Wiener-Khinchin-Theorem

In der angewandten Mathematik und Statistik besagt das Wiener-Khinchin-Theorem ( auch Wiener-Khintchine-Theorem , Wiener-Khinchin-Einstein-Theorem oder Khinchin-Kolmogorov-Theorem genannt), dass die spektrale Leistungsdichte eines stationären Zufallsprozesses im weiteren Sinne gleich der Fouriertransformierten seiner Autokorrelationsfunktion ist . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Norbert Wiener bewies diesen Satz 1930 für den Fall einer deterministischen Funktion; ^{[ 8 ]} Aleksandr Khinchin formulierte später ein analoges Ergebnis für stationäre stochastische Prozesse und veröffentlichte dieses probabilistische Analogon 1934. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Albert Einstein erläuterte die Idee 1914 in einem kurzen, zweiseitigen Memo, ohne sie zu beweisen. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Für kontinuierliche Zeit besagt der Satz von Wiener-Khinchin, dass zu jedem stationären Zufallsprozess im weiteren Sinne , dessen Autokorrelationsfunktion durch den statistischen Erwartungswert definiert ist (wobei der Stern die komplexe Konjugation bezeichnet), eine monotone Funktion im Frequenzbereich existiert , oder äquivalent dazu ein nichtnegatives Radon-Maß im Frequenzbereich, sodass gilt: Hierbei ist das Integral ein Riemann-Stieltjes-Integral . ^{[ 1 ] [ 13 ]} Dies ist eine Art Spektralzerlegung der Autokorrelationsfunktion. wird als Leistungsspektralverteilungsfunktion bezeichnet und ist eine statistische Verteilungsfunktion. Sie wird auch als integriertes Spektrum bezeichnet. ${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\mathbb {E} {\big [}x(t)^{*}x(t-\tau ){\big ]}<\infty ,\quad \forall \tau ,t\in \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle -\infty <f<\infty }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\mu (df)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}dF(f),}$$${\displaystyle F}$

Die gewöhnliche Fouriertransformierte von existiert im Allgemeinen nicht, da stochastische Zufallsfunktionen üblicherweise nicht absolut integrierbar sind . wird auch nicht als absolut integrierbar vorausgesetzt, daher benötigt sie ebenfalls keine Fouriertransformierte. ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle r_{xx}}$

Ist das Maß jedoch absolut stetig (z. B. wenn der Prozess rein indeterministisch ist), so ist es fast überall differenzierbar und besitzt eine Radon-Nikodym-Ableitung. In diesem Fall lässt sich die spektrale Leistungsdichte von bestimmen , indem man die gemittelte Ableitung von bildet . Da die links- und rechtsseitigen Ableitungen von überall existieren, d. h. wir können überall setzen ^{[ 14 ]} (wodurch F das Integral seiner gemittelten Ableitung ist ^{[ 15 ]} ), vereinfacht sich der Satz zu . Unter der Annahme, dass und „hinreichend gut“ sind , sodass der Fourier-Inversionssatz gilt, nimmt der Satz von Wiener-Khinchin die einfache Form an, dass und ein Fourier-Transformationspaar bilden . ${\displaystyle \mu (df)=dF(f)}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle S(f)={\frac {\mu (df)}{df}}.}$$${\displaystyle S(f)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle S(f)={\frac {1}{2}}\left(\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}+\lim _{\varepsilon \uparrow 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\big (}F(f+\varepsilon )-F(f){\big )}\right)}$$$${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi i\tau f}\,S(f)df.}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-2\pi if\tau }\,d\tau .}$$

Im Fall diskreter Zeit ist die spektrale Leistungsdichte der Funktion mit diskreten Werten${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}(k)e^{-i\omega k}}$

wobei die Kreisfrequenz ist, zur Bezeichnung der imaginären Einheit dient (in der Technik wird manchmal stattdessen der Buchstabe verwendet) und die diskrete Autokorrelationsfunktion von ist , definiert in ihrer deterministischen oder stochastischen Formulierung. ${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{xx}(k)}$${\displaystyle x_{n}}$

Bereitgestellt ist absolut zusammenfassbar, d.h. ${\displaystyle r_{xx}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }|r_{xx}(k)|<+\infty }$

Das Ergebnis des Satzes lässt sich dann wie folgt schreiben:

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\tau \omega }S(\omega )d\omega }$

Da es sich um eine diskrete Zeitfolge handelt, ist die Spektraldichte im Frequenzbereich periodisch. Aus diesem Grund ist der Definitionsbereich der Funktion üblicherweise auf ein Intervall beschränkt (beachten Sie, dass das Intervall von einer Seite offen ist). ${\displaystyle S}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

Der Satz ist nützlich zur Analyse linearer zeitinvarianter Systeme (LTI-Systeme), deren Ein- und Ausgänge nicht quadratintegrierbar sind und deren Fouriertransformierte daher nicht existieren. Daraus folgt, dass die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignals eines LTI-Systems gleich dem Produkt der Fouriertransformierten der Autokorrelationsfunktion des Eingangssignals und dem Quadrat des Betrags der Fouriertransformierten der Impulsantwort des Systems ist . ^{[ 16 ]} Dies gilt auch dann, wenn die Fouriertransformierten der Eingangs- und Ausgangssignale nicht existieren, da diese Signale nicht quadratintegrierbar sind und die Systemeingänge und -ausgänge daher nicht direkt über die Fouriertransformierte der Impulsantwort verknüpft werden können.

Da die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion eines Signals das Leistungsspektrum des Signals ist, ist diese Folgerung gleichbedeutend mit der Aussage, dass das Leistungsspektrum des Ausgangssignals gleich dem Leistungsspektrum des Eingangssignals multipliziert mit der Energieübertragungsfunktion ist .

Dieser Korollar wird bei der parametrischen Methode zur Schätzung des Leistungsspektrums verwendet.

In vielen Lehrbüchern und einem Großteil der Fachliteratur wird stillschweigend vorausgesetzt, dass die Fourier-Inversion der Autokorrelationsfunktion und der spektralen Leistungsdichte gültig ist. Das Wiener-Khinchin-Theorem wird sehr vereinfacht so formuliert, als ob es besage, dass die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion gleich der spektralen Leistungsdichte sei , wobei jegliche Konvergenzfragen außer Acht gelassen werden ^{[ 17 ]} (ähnlich wie in Einsteins Arbeit ^{[ 11 ]} ). Das Theorem (in der hier dargestellten Form) wurde jedoch von Norbert Wiener und Aleksandr Khinchin auf die Abtastfunktionen (Signale) stationärer Zufallsprozesse im weiteren Sinne angewendet – Signale, deren Fourier-Transformierte nicht existieren. Wieners Beitrag bestand darin, die Spektralzerlegung der Autokorrelationsfunktion einer Abtastfunktion eines stationären Zufallsprozesses auch dann sinnvoll zu machen, wenn die Integrale für die Fourier-Transformation und die Fourier-Inversion keinen Sinn ergeben.

Erschwerend kommt hinzu, dass die diskrete Fourier-Transformation stets für digitale Sequenzen endlicher Länge existiert, was bedeutet, dass der Satz ohne Weiteres zur Berechnung von Autokorrelationen numerischer Sequenzen angewendet werden kann. Wie bereits erwähnt, ist die Beziehung dieser diskret abgetasteten Daten zu einem mathematischen Modell oft irreführend, und entsprechende Fehler können sich als Divergenz bemerkbar machen, wenn die Sequenzlänge verändert wird.

Manche Autoren bezeichnen sie als Autokovarianzfunktion. Anschließend normalisieren sie diese, indem sie durch dividieren , um die sogenannte Autokorrelationsfunktion zu erhalten. ${\displaystyle R}$${\displaystyle R(0)}$

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