Wiener-Wintner-Theorem

In der Mathematik ist der Satz von Wiener-Wintner , benannt nach Norbert Wiener und Aurel Wintner , eine Verschärfung des Ergodensatzes , der von Wiener und Wintner ( 1941 ) bewiesen wurde.

Angenommen, τ ist eine maßtreue Transformation eines Maßraums S mit endlichem Maß. Wenn f eine reellwertige, integrierbare Funktion auf S ist , dann besagt der Satz von Wiener-Wintner, dass es eine Menge E mit Maß 0 gibt , sodass der Mittelwert

${\displaystyle \lim _{\ell \rightarrow \infty }{\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{j=-\ell }^{\ell }e^{ij\lambda }f(\tau ^{j}P)}$

existiert für alle reellen λ und für alle P nicht in E.

Der Spezialfall λ  = 0 entspricht im Wesentlichen dem Birkhoffschen Ergodensatz , aus dem unmittelbar die Existenz einer geeigneten Menge E mit Maß 0 für jedes feste λ oder jede abzählbare Menge von Werten λ folgt. Der Satz von Wiener-Wintner besagt, dass man die Ausnahmemenge E mit Maß 0 unabhängig von  λ wählen kann .

Dieser Satz wurde durch den Rückkehrzeitensatz noch viel allgemeiner formuliert.

• Assani, I. (2001) [1994], „Satz von Wiener-Wintner“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Wiener, Norbert; Wintner, Aurel (1941), „Harmonische Analysis und Ergodentheorie“, American Journal of Mathematics , 63 (2): 415–426 , doi : 10.2307/2371534 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2371534 , MR  0004098