Gegeben ein topologischer Raum und eine darauf wirkende Gruppe , bilden die Bilder eines einzelnen Punktes unter der Gruppenwirkung eine Bahn der Wirkung. Ein Fundamentalbereich ist eine Teilmenge des Raums , die genau einen Punkt aus jeder dieser Bahnen enthält. Er dient als geometrische Realisierung der abstrakten Menge der Repräsentanten der Bahnen.

Es gibt viele Möglichkeiten, einen Fundamentalbereich zu wählen. Typischerweise muss ein Fundamentalbereich eine zusammenhängende Teilmenge mit bestimmten Einschränkungen an seinem Rand sein, beispielsweise glatt oder polyedrisch. Die Bilder eines gewählten Fundamentalbereichs unter der Gruppenwirkung füllen dann den Raum lückenlos aus. Eine allgemeine Konstruktion von Fundamentalbereichen verwendet Voronoi-Zellen .

Hinweise auf eine allgemeine Definition

Ein Gitter in der komplexen Ebene und sein Fundamentalbereich, dessen Quotient ein Torus ist.

Gegeben sei eine Operation einer Gruppe G auf einem topologischen Raum X mittels Homöomorphismen . Ein Fundamentalring dieser Operation ist eine Menge D von Repräsentanten für die Bahnen. Üblicherweise wird gefordert, dass D topologisch eine hinreichend geeignete Menge ist, und zwar auf eine von mehreren präzise definierten Arten. Eine typische Bedingung ist, dass D eine fast offene Menge ist , d. h. dass D die symmetrische Differenz einer offenen Menge in X mit einer Menge vom Maß Null ist , wobei ein bestimmtes (quasi)invariantes Maß auf X existiert. Ein Fundamentalring enthält stets eine freie reguläre Menge U , eine offene Menge, die von G in disjunkte Kopien zerlegt wird und die Bahnen nahezu so gut repräsentiert wie D. Häufig wird gefordert, dass D eine vollständige Menge von Nebenklassenrepräsentanten mit einigen Wiederholungen ist, wobei der wiederholte Teil das Maß Null hat. Dies ist eine typische Situation in der Ergodentheorie . Wird ein Fundamentalring zur Berechnung eines Integrals über X / G verwendet , spielen Mengen vom Maß Null keine Rolle.

Wenn beispielsweise X der euklidische Raum R <sup>n</sup> der Dimension n ist und G der darauf durch Translationen wirkende Verband Z <sup> n</sup> , dann ist der Quotient X / G der n- dimensionale Torus . Ein Fundamentalbereich D kann hier als [0,1)<sup> n</sup> gewählt werden , der sich von der offenen Menge (0,1)<sup> n</sup> durch eine Menge vom Maß Null unterscheidet, oder als abgeschlossener Einheitswürfel [0,1] <sup>n</sup> , dessen Rand aus den Punkten besteht, deren Bahn mehr als einen Repräsentanten in D besitzt .

Beispiele

Beispiele im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 .

  • Bei n -facher Rotation: Eine Umlaufbahn ist entweder eine Menge von n Punkten um die Achse oder ein einzelner Punkt auf der Achse; der Fundamentalbereich ist ein Sektor
  • Bei Spiegelungen an einer Ebene gilt: Eine Bahn besteht entweder aus zwei Punkten, je einem auf jeder Seite der Ebene, oder aus einem einzelnen Punkt in der Ebene; der Fundamentalbereich ist ein Halbraum, der von dieser Ebene begrenzt wird.
  • Bei der Spiegelung an einem Punkt gilt: Eine Bahn besteht aus zwei Punkten, je einem auf jeder Seite des Mittelpunkts, mit Ausnahme einer Bahn, die nur aus dem Mittelpunkt besteht; der Fundamentalbereich ist ein Halbraum, der von einer beliebigen Ebene durch den Mittelpunkt begrenzt wird.
  • Bei einer Drehung um 180° um eine Gerade: Eine Bahn besteht entweder aus zwei einander gegenüberliegenden Punkten bezüglich der Achse oder aus einem einzelnen Punkt auf der Achse; der Fundamentalbereich ist ein Halbraum, der von einer beliebigen Ebene durch die Gerade begrenzt wird.
  • Bei diskreter Translationssymmetrie in einer Richtung: Die Orbits sind Verschiebungen eines 1D-Gitters in Richtung des Translationsvektors; der fundamentale Bereich ist eine unendliche Fläche.
  • Bei diskreter Translationssymmetrie in zwei Richtungen: Die Bahnen sind Verschiebungen eines 2D-Gitters in der Ebene durch die Translationsvektoren; der fundamentale Bereich ist ein unendlich langer Stab mit parallelogrammatischem Querschnitt
  • Bei diskreter Translationssymmetrie in drei Richtungen: Die Bahnen sind Verschiebungen des Gitters; der fundamentale Bereich ist eine primitive Zelle , die z. B. ein Parallelepiped oder eine Wigner-Seitz-Zelle , auch Voronoi-Zelle /-Diagramm genannt , ist .

Bei Translationssymmetrie in Kombination mit anderen Symmetrien ist der Fundamentalbereich Teil der primitiven Zelle. Beispielsweise ist bei Tapetengruppen der Fundamentalbereich um den Faktor 1, 2, 3, 4, 6, 8 oder 12 kleiner als die primitive Zelle.

Fundamentale Domäne für die modulare Gruppe

Jedes Dreiecksgebiet ist eine freie reguläre Menge von H/Γ; das graue Gebiet (mit dem dritten Punkt des Dreiecks im Unendlichen) ist der kanonische Fundamentalbereich.

Das Diagramm rechts zeigt einen Teil der Konstruktion des Fundamentalbereichs für die Wirkung der Modulgruppe Γ auf der oberen Halbebene H.

Dieses bekannte Diagramm findet sich in allen klassischen Werken über Modulfunktionen . (Es war vermutlich auch C. F. Gauß wohlbekannt , der sich im Rahmen der Reduktionstheorie quadratischer Formen mit Fundamentalbereichen befasste .) Hier ist jedes Dreiecksgebiet (begrenzt durch die blauen Linien) eine freie reguläre Menge der Wirkung von Γ auf H. Die Ränder (die blauen Linien) gehören nicht zu den freien regulären Mengen. Um einen Fundamentalbereich von H /Γ zu konstruieren, muss man auch die Zuordnung von Punkten auf dem Rand berücksichtigen und darauf achten, solche Punkte nicht doppelt zu zählen. Die freie reguläre Menge in diesem Beispiel ist also

Der Grundbereich wird gebildet, indem man die linke Begrenzung und die Hälfte des unteren Bogens, einschließlich des Mittelpunkts, hinzufügt:

Die Wahl, welche Punkte der Grenze als Teil des fundamentalen Bereichs einbezogen werden, ist willkürlich und variiert von Autor zu Autor.

Die größte Schwierigkeit bei der Definition des Fundamentalbereichs liegt weniger in der Definition der Menge an sich , sondern vielmehr in der Frage, wie Integrale über den Fundamentalbereich zu behandeln sind, wenn Funktionen mit Polen und Nullstellen auf dem Rand des Bereichs integriert werden.

Siehe auch