Witt-Gruppe

In der Mathematik ist eine Witt-Gruppe eines Körpers , benannt nach Ernst Witt , eine abelsche Gruppe , deren Elemente durch symmetrische Bilinearformen über dem Körper dargestellt werden .

Wir wählen einen Körper k mit Charakteristik ungleich 2. Alle Vektorräume werden als endlichdimensional angenommen . Zwei Räume mit symmetrischen Bilinearformen sind äquivalent , wenn der eine durch Hinzufügen eines metabolischen quadratischen Raums aus dem anderen gewonnen werden kann , d. h. durch null oder mehr Kopien einer hyperbolischen Ebene , der nicht-ausgearteten zweidimensionalen symmetrischen Bilinearform mit Vektor der Norm 0. ^{[ 1 ]} Jede Klasse wird durch die Kernform einer Witt-Zerlegung repräsentiert . ^{[ 2 ]}

Die Witt-Gruppe von k ist die abelsche Gruppe W ( k ) der Äquivalenzklassen nicht-ausgearteter symmetrischer Bilinearformen, wobei die Gruppenoperation der orthogonalen direkten Summe der Formen entspricht. Sie wird additiv von den Klassen eindimensionaler Formen erzeugt. ^{[ 3 ]} Obwohl Klassen Räume unterschiedlicher Dimension enthalten können, ist die Parität der Dimension innerhalb einer Klasse konstant, und somit ist rk: W ( k ) → Z / 2Z ein Homomorphismus . ^{[ 4 ]}

Die Elemente endlicher Ordnung in der Witt-Gruppe haben eine Ordnung, die eine Zweierpotenz ist. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Die Torsionsuntergruppe ist der Kern der Funktorabbildung von W ( k ) nach W ( k^{^py} ), wobei k ^{^py} der pythagoreische Abschluss von k ist . ^{[ 7 ]} Sie wird von den Pfister-Formen mit einer von null verschiedenen Quadratsumme erzeugt. ^{[ 8 ]} Ist k nicht formal reell , so ist die Witt-Gruppe eine Torsionsuntergruppe mit einem Exponenten , der eine Zweierpotenz ist. ^{[ 9 ]} Die Höhe des Körpers k ist der Exponent der Torsion in der Witt-Gruppe, falls dieser endlich ist, andernfalls ∞. ^{[ 8 ]}${\displaystyle \langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle }$${\displaystyle w}$

Die Witt-Gruppe von k kann durch die Definition des Ringprodukts mittels des Tensorprodukts quadratischer Formen als kommutativer Ring definiert werden . Dieser Ring wird mitunter als Witt-Ring W ( k ) bezeichnet, wobei der Begriff „Witt-Ring“ häufig auch für einen völlig anderen Ring von Witt-Vektoren verwendet wird .

Um die Struktur dieses Rings zu diskutieren, setzt man voraus, dass k eine Charakteristik ungleich 2 hat, sodass man symmetrische Bilinearformen und quadratische Formen identifizieren kann.

Der Kern des Rang-mod-2-Homomorphismus ist ein Primideal I des Witt-Rings ^{[ 4 ],} das als Fundamentalideal bezeichnet wird . ^{[ 10 ]} Die Ringhomomorphismen von W ( k ) nach Z entsprechen den Körperordnungen von k , indem man die Signatur bezüglich der Ordnung wählt. ^{[ 10 ]} Der Witt-Ring ist ein Jacobson-Ring . ^{[ 9 ]} Er ist genau dann ein noetherscher Ring , wenn es endlich viele Quadratklassen gibt ; das heißt, wenn die Quadrate in k eine Untergruppe von endlichem Index in der multiplikativen Gruppe von k bilden . ^{[ 11 ]}

Ist k nicht formal reell, so ist das Fundamentalideal das einzige Primideal von W ^{[ 12 ]} und besteht genau aus den nilpotenten Elementen ; ^{[ 9 ]} W ist ein lokaler Ring und hat Krull-Dimension 0. ^{[ 13 ]}

Ist k reell, so sind die nilpotenten Elemente genau diejenigen endlicher additiver Ordnung, und diese wiederum sind die Formen, deren Signaturen alle 0 sind; ^{[ 14 ]} W hat Krull-Dimension 1. ^{[ 13 ]}

Ist k ein reeller pythagoreischer Körper , so sind die Nullteiler von W die Elemente, für die eine bestimmte Signatur gleich 0 ist; andernfalls sind die Nullteiler genau das Fundamentalideal. ^{[ 5 ] [ 15 ]}

Ist k ein geordneter Körper mit positivem Kegel P, so gilt das Sylvestersche Trägheitsgesetz für quadratische Formen über k , und die Signatur definiert einen Ringhomomorphismus von W ( k ) nach Z mit einem Primideal K ⊆ _P als Kern . Diese Primideale stehen in Bijektion zu den Ordnungen X _{_k} von k und bilden das minimale Primidealspektrum MinSpec W ( k ) von W ( k ). Die Bijektion ist ein Homöomorphismus zwischen MinSpec W ( k ) mit der Zariski-Topologie und der Menge der Ordnungen X _{_k} mit der Harrison-Topologie . ^{[ 16 ]}

Die n -te Potenz des Fundamentalideals wird additiv durch die n -fachen Pfister-Formen erzeugt . ^{[ 17 ]}

• Der Witt-Ring von C und tatsächlich jeder algebraisch abgeschlossene Körper oder quadratisch abgeschlossene Körper ist Z /2 Z . ^{[ 18 ]}
• Der Witt-Ring ^von R ist Z. ^[ 18 ^]
• Der Witt-Ring eines endlichen Körpers F _q mit ungeradem q ist Z /4 Z , falls q ≡ 3 mod 4, und isomorph zum Gruppenring ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ], falls q ≡ 1 mod 4. ^{[ 19 ]}
• Der Witt-Ring eines lokalen Körpers mit maximalem Ideal von Norm kongruent zu 1 modulo 4 ist isomorph zum Gruppenring ( Z /2 Z )[ V ], wobei V die Kleinsche 4-Gruppe ist . ^{[ 20 ]}
• Der Witt-Ring eines lokalen Körpers mit maximalem Ideal der Norm kongruent zu 3 modulo 4 ist ( Z /4 Z )[ C ₂ ], wobei C ₂ eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist. ^{[ 20 ]}
• Der Witt-Ring von Q ₂ ist von der Ordnung 32 und ist gegeben durch ^{[ 21 ].}

${\displaystyle \mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle }$Die

Bestimmte Invarianten einer quadratischen Form lassen sich als Funktionen auf Witt-Klassen auffassen. Die Dimension modulo 2 ist eine Funktion auf Klassen; die Diskriminante ist ebenfalls wohldefiniert. Die Hasse-Invariante einer quadratischen Form ist wiederum eine wohldefinierte Funktion auf Witt-Klassen mit Werten in der Brauer-Gruppe des Definitionskörpers. ^{[ 22 ]}

Ein Ring über K , Q ( K ), ist definiert als eine Menge von Paaren ( d , e ), wobei d ∈ K* / K* ^² und e ∈ Z /2Z . Addition und Multiplikation sind definiert durch:

${\displaystyle (d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2})}$Die

Dann gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus von W ( K ) nach diesem, der durch Abbildung einer Klasse auf Diskriminante und Rang modulo 2 entsteht. Der Kern ist ^I₂ . [ ^{23 ] Die} Elemente von Q können als klassifizierende graduierte quadratische Erweiterungen von K betrachtet werden . ^{[ 24 ]}

Das Tripel aus Diskriminante, Rang modulo 2 und Hasse-Invariante definiert eine Abbildung von W ( K ) in die Brauer-Wall-Gruppe BW( K ). ^{[ 25 ]}

Sei K ein vollständiger lokaler Körper mit Bewertung v , Uniformisierer π und Restklassenkörper k von Charakteristik ungleich 2. Es gibt eine Injektion W ( k ) → W ( K ) _{, die} die Diagonalform ⟨a₁ , ... , aₙ⟩ auf _⟨u₁ , ..., _{uₙ⟩ anhebt} , wobei uᵢ eine Einheit von K mit Bild aᵢ in k ist . Dies _ergibt

${\displaystyle W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)}$

Identifizierung von W ( k ) mit seinem Bild in W ( K ). ^{[ 26 ]}

Sei K ein Zahlkörper . Für quadratische Formen über K existiert für jede endliche Stelle, die den Hilbert-Symbolen entspricht , eine Hasse-Invariante ±1 . Die Invarianten einer Form über einem Zahlkörper sind genau die Dimension, die Diskriminante, alle lokalen Hasse-Invarianten und die Signaturen , die von reellen Einbettungen herrühren. ^{[ 27 ]}

Der Symbolring über K , Sym( K ), ist definiert als eine Menge von Tripeln ( d , e , f ) mit d ∈ K* / K* ^² , e ∈ Z /2 und f einer Folge von Elementen ±1, indiziert durch die Stellen von K , unter der Bedingung, dass alle bis auf endlich viele Terme von f +1 sind, dass der Wert an a komplexen Stellen +1 ist und dass das Produkt aller Terme in f +1 ist. Sei [ a , b ] die Folge der Hilbert-Symbole: Sie erfüllt die oben genannten Bedingungen an f . ^{[ 28 ]}

Addition und Multiplikation sind wie folgt definiert:

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})}$

${\displaystyle (d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})}$Die

Dann gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus von W ( K ) nach Sym( K ) ^, der durch Abbildung einer Klasse auf die Diskriminante, Rang modulo 2 und die Folge der Hasse-Invarianten entsteht. Der Kern ist I₃ . ^{[ 29 ]}

Der Symbolring ist eine Realisierung der Brauer-Wall-Gruppe. ^{[ 30 ]}

Der Satz von Hasse-Minkowski impliziert, dass es eine Injektion gibt ^{[ 31 ].}

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\rightarrow W(\mathbf {R} )\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})}$Die

Man kann dies konkretisieren und das Bild mithilfe des „zweiten Resthomomorphismus“ W( Q _p ) → W( F _p ) berechnen. Zusammengesetzt mit der Abbildung W( Q ) → W( Q _p ) erhält man einen Gruppenhomomorphismus ∂ _p : W( Q ) → W( F _p ) (für p = 2 ist ∂ ₂ als die 2-adische Bewertung der Diskriminante modulo 2 definiert).

Man erhält dann eine gespaltene exakte Sequenz ^{[ 32 ].}

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q} )\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\rightarrow 0\ }$

was als Isomorphismus geschrieben werden kann

${\displaystyle W(\mathbf {Q} )\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})}$

wobei die erste Komponente die Signatur ist. ^{[ 33 ]}

Sei k ein Körper der Charakteristik ungleich 2. Die Potenzen des Ideals I der Formen gerader Dimension (fundamentales Ideal) bilden eine absteigende Filtration , und man kann den zugehörigen graduierten Ring betrachten , der die direkte Summe von Quotienten ist . Sei die quadratische Form, die als Element des Witt-Rings betrachtet wird. Dann ist ein Element von I und entsprechend ein Produkt der Form ${\displaystyle W(k)}$${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle ax^{2}}$${\displaystyle \langle a\rangle -\langle 1\rangle }$

${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle )}$

ist ein Element von . John Milnor bewies 1970 in einer Arbeit ^{[ 34 ]} , dass die Abbildung von nach , die auf abbildet , multilinear ist und Steinberg-Elemente (Elemente, für die für ein und gilt , sodass ) auf 0 abbildet. Dies bedeutet, dass diese Abbildung einen Homomorphismus vom Milnor-Ring von k in den graduierten Witt-Ring definiert. Milnor zeigte außerdem, dass dieser Homomorphismus durch 2 teilbare Elemente auf 0 abbildet und surjektiv ist. In derselben Arbeit stellte er die Vermutung auf, dass dieser Homomorphismus ein Isomorphismus für alle Körper k (mit von 2 verschiedener Charakteristik) ist. Dies wurde als Milnor-Vermutung über quadratische Formen bekannt. ${\displaystyle I^{n}}$${\displaystyle (k^{*})^{n}}$${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}=1}$

Die Vermutung wurde 1996 von Dmitry Orlov, Alexander Vishik und Vladimir Voevodsky ^{[ 35 ]} für den Fall bewiesen (veröffentlicht 2007) , was zu einem besseren Verständnis der Struktur quadratischer Formen über beliebigen Körpern führte. ${\displaystyle {\textrm {char}}(k)=0}$

Der Grothendieck-Witt-Ring GW ist eine verwandte Konstruktion, die von Isometrieklassen nichtsingulärer quadratischer Räume erzeugt wird, wobei die Addition durch eine orthogonale Summe und die Multiplikation durch ein Tensorprodukt gegeben ist. Da zwei Räume, die sich durch eine hyperbolische Ebene unterscheiden, in GW nicht identifiziert werden können , muss die Inverse der Addition formal durch die von Grothendieck entdeckte Konstruktion eingeführt werden (siehe Grothendieck-Gruppe ). Es gibt einen natürlichen Homomorphismus GW → Z , der durch die Dimension gegeben ist: Ein Körper ist genau dann quadratisch abgeschlossen , wenn dies ein Isomorphismus ist. ^{[ 18 ]} Die hyperbolischen Räume erzeugen ein Ideal in GW , und der Witt-Ring W ist der Quotient. ^{[ 36 ]} Die äußere Potenz verleiht dem Grothendieck-Witt-Ring die zusätzliche Struktur eines λ-Rings . ^{[ 37 ]}

• Der Grothendieck-Witt-Ring von ^C und tatsächlich jeder algebraisch abgeschlossene Körper oder quadratisch abgeschlossene Körper ist Z. ^[ 18 ^]
• Der Grothendieck-Witt-Ring von R ist isomorph zum Gruppenring Z [ C ₂ ], wobei C ₂ eine zyklische Gruppe der Ordnung 2 ist. ^{[ 18 ]}
• Der Grothendieck-Witt-Ring eines beliebigen endlichen Körpers ungerader Charakteristik ist Z ⊕ Z /2 Z mit trivialer Multiplikation in der zweiten Komponente. ^{[ 38 ]} Das Element (1, 0) entspricht der quadratischen Form ⟨1⟩.
• Der Grothendieck-Witt-Ring eines lokalen Körpers mit maximalem Ideal von Norm kongruent zu 1 modulo 4 ist isomorph zu Z ⊕ ( Z /2 Z ) ³ . ^{[ 20 ]}
• Der Grothendieck-Witt-Ring eines lokalen Körpers mit maximalem Ideal der Norm kongruent zu 3 modulo 4 ist Z ⊕ Z /4 Z ⊕ Z /2 Z . ^{[ 20 ]}

Fabien Morel ^{[ 39 ] [ 40 ]} zeigte, dass der Grothendieck-Witt-Ring eines perfekten Körpers isomorph zur motivischen stabilen Homotopiegruppe der Sphären π _0,0 (S ^0,0 ) ist (siehe " A¹ Homotopietheorie ").

Zwei Körper heißen Witt-äquivalent , wenn ihre Witt-Ringe isomorph sind.

Für globale Körper gilt ein Prinzip der Witt-Äquivalenz: Zwei globale Körper sind genau dann Witt-äquivalent, wenn eine Bijektion zwischen ihren Stellen existiert, sodass die entsprechenden lokalen Körper Witt-äquivalent sind. ^{[ 41 ]} Insbesondere sind zwei Zahlkörper K und L genau dann Witt-äquivalent, wenn eine Bijektion T zwischen den Stellen von K und den Stellen von L und ein Gruppenisomorphismus t zwischen ihren Quadratklassengruppen existiert , der Hilbert-Symbole vom Grad 2 erhält. In diesem Fall wird das Paar ( T , t ) als Reziprozitätsäquivalenz oder Hilbert-Symbol-Äquivalenz vom Grad 2 bezeichnet . ^{[ 42 ]} Es wurden auch einige Variationen und Erweiterungen dieser Bedingung untersucht, wie beispielsweise die „zahme Hilbert-Symbol-Äquivalenz vom Grad l “. ^{[ 43 ]}

Witt-Gruppen können auf die gleiche Weise auch für schiefsymmetrische Formen , für quadratische Formen und allgemeiner für ε-quadratische Formen über einem beliebigen *-Ring R definiert werden .

_Die resultierenden Gruppen (und ihre Verallgemeinerungen) werden als geradzahlige symmetrische L- ^Gruppen L₂k ( ℝ ) und geradzahlige quadratische _L - Gruppen L₂k ( ℝ ⁾ bezeichnet . Die quadratischen L- Gruppen sind 4-periodisch, wobei L₀ ( _ℝ ) die Witt-Gruppe der (1)-quadratischen Formen (symmetrisch) und L₂ ( ℝ ) die Witt-Gruppe der ( ₋₁ )-quadratischen Formen (schiefsymmetrisch) ist. Symmetrische L- Gruppen sind nicht für alle Ringe 4-periodisch und stellen daher eine weniger exakte Verallgemeinerung dar.

L -Gruppen sind zentrale Objekte in der Theorie der Chirurgie und bilden einen der drei Bestandteile der exakten Sequenz der Chirurgie .

• Verringerte Höhe eines Feldes

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