L -Theorie

In der Mathematik ist die algebraische L -Theorie die K -Theorie der quadratischen Formen ; der Begriff wurde von C. T. C. Wall geprägt , wobei L der Buchstabe nach K ist . Die algebraische L -Theorie, auch bekannt als „Hermitesche K -Theorie“, ist wichtig in der chirurgischen Theorie . ^{[ 1 ]}

Man kann L -Gruppen für jeden Ring mit Involution R definieren : die quadratischen L- Gruppen (Wall) und die symmetrischen L- Gruppen (Mishchenko, Ranicki). ${\displaystyle L_{*}(R)}$${\displaystyle L^{*}(R)}$

Die geradzahligen L -Gruppen sind definiert als die Witt-Gruppen der ε-quadratischen Formen über dem Ring R mit . Genauer gesagt, ${\displaystyle L_{2k}(R)}$${\displaystyle \epsilon =(-1)^{k}}$

${\displaystyle L_{2k}(R)}$

ist die abelsche Gruppe der Äquivalenzklassen nicht-ausgearteter ε-quadratischer Formen über R, wobei die zugrunde liegenden R-Moduln F endlich erzeugt frei sind. Die Äquivalenzrelation ist durch Stabilisierung bezüglich hyperbolischer ε-quadratischer Formen gegeben . ${\displaystyle [\psi ]}$${\displaystyle \psi \in Q_{\epsilon }(F)}$

${\displaystyle [\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}}$Die

Die Addition in ist definiert durch ${\displaystyle L_{2k}(R)}$

${\displaystyle [\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].}$

Das Nullelement wird durch für jedes dargestellt . Die Inverse von ist . ${\displaystyle H_{(-1)^{k}}(R)^{n}}$${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }_{0}}$${\displaystyle [\psi ]}$${\displaystyle [-\psi ]}$

Die Definition ungeradzahliger L- Gruppen ist komplizierter; weitere Details und die Definition der ungeradzahligen L- Gruppen finden sich in den unten genannten Referenzen.

Die L -Gruppen einer Gruppe sind die L -Gruppen des Gruppenrings . In topologischen Anwendungen ist die Fundamentalgruppe eines Raumes . Die quadratischen L -Gruppen spielen eine zentrale Rolle in der chirurgischen Klassifizierung der Homotopietypen von -dimensionalen Mannigfaltigkeiten der Dimension und in der Formulierung der Novikov-Vermutung . ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>4}$

Die Unterscheidung zwischen symmetrischen und quadratischen L - Gruppen, gekennzeichnet durch obere und untere Indizes, entspricht der Verwendung in der Gruppenhomologie und -kohomologie. Die Gruppenkohomologie der zyklischen Gruppe befasst sich mit den Fixpunkten einer L -Wirkung, während die Gruppenhomologie die Bahnen einer L-Wirkung untersucht; vergleiche (Fixpunkte) und (Bahnen, Quotient) zur Notation der oberen/unteren Indizes. ${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$${\displaystyle H_{*}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$${\displaystyle X^{G}}$${\displaystyle X_{G}=X/G}$

Die quadratischen L- Gruppen und die symmetrischen L- Gruppen sind durch eine Symmetrisierungsabbildung miteinander verbunden, die ein Isomorphismus modulo 2-Torsion ist und den Polarisationsidentitäten entspricht . ${\displaystyle L_{n}(R)}$${\displaystyle L^{n}(R)}$${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$

Die quadratischen und die symmetrischen L- Gruppen sind 4-fach periodisch (der Kommentar von Ranicki auf Seite 12 zur Nichtperiodizität der symmetrischen L -Gruppen bezieht sich auf einen anderen Typ von L- Gruppen, der mit Hilfe von „kurzen Komplexen“ definiert wird).

Im Hinblick auf die Anwendungen in der Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten werden umfangreiche Berechnungen der quadratischen -Gruppen durchgeführt . Für endliche werden algebraische Methoden verwendet, für unendliche hingegen meist geometrische Methoden (z. B. kontrollierte Topologie) . ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Allgemeiner lassen sich L -Gruppen für jede additive Kategorie mit Kettendualität definieren , wie in Ranicki (Abschnitt 1).

Die einfach zusammenhängenden L -Gruppen sind auch die L -Gruppen der ganzen Zahlen, da für beide = oder Für quadratische L- Gruppen sind dies die chirurgischen Hindernisse für einfach zusammenhängende Operationen. ${\displaystyle L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{*}}$${\displaystyle L_{*}.}$

Die quadratischen L -Gruppen der ganzen Zahlen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

In doppelt gerader Dimension (4 k ) detektieren die quadratischen L -Gruppen die Signatur ; in einfach gerader Dimension (4 k +2) detektieren die L -Gruppen die Arf-Invariante (topologisch die Kervaire-Invariante ).

Die symmetrischen L -Gruppen der ganzen Zahlen sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

In der doppelt geraden Dimension (4 k ) erkennen die symmetrischen L -Gruppen, wie auch die quadratischen L -Gruppen, die Signatur; in der Dimension (4 k +1) erkennen die L -Gruppen die de Rham-Invariante .

• Lück, Wolfgang (2002), „Eine grundlegende Einführung in die Theorie der Chirurgie“ (PDF) , Topologie hochdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Nr. 1, 2 (Triest, 2001) , ICTP Lecture Notes, Bd. 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Triest, S.  1–224 , MR  1937016
• Ranicki, Andrew A. (1992), Algebraische L-Theorie und topologische Mannigfaltigkeiten (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, Band 102, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42024-2, MR  1211640
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (Hrsg.), Surgery on compact manifolds (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, Bd. 69 (2. Aufl.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6MR 1687388​