Ampèresches Kraftgesetz

In der Magnetostatik beschreibt das Ampèresche Gesetz die Anziehungs- oder Abstoßungskraft zwischen zwei stromdurchflossenen Drähten. Physikalisch beruht diese Kraft darauf, dass jeder Draht gemäß dem Biot-Savart-Gesetz ein Magnetfeld erzeugt und der andere Draht dadurch gemäß dem Lorentz-Gesetz eine magnetische Kraft erfährt .

Das bekannteste und einfachste Beispiel für das Ampèresche Gesetz, das (vor dem 20. Mai 2019 ^{[ 1 ]} ) der Definition des Ampere , der SI- Einheit der elektrischen Stromstärke, zugrunde lag, besagt, dass die magnetische Kraft pro Längeneinheit zwischen zwei geraden, parallelen Leitern beträgt

$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}},}$$

Dabei ist die magnetische Kraftkonstante aus dem Biot-Savart-Gesetz , die Gesamtkraft auf jeden Draht pro Längeneinheit des kürzeren Drahtes (der längere Draht wird im Verhältnis zum kürzeren als unendlich lang angenähert), der Abstand zwischen den beiden Drähten und die Gleichströme , die von den Drähten geführt werden. ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$${\displaystyle F_{m}/L}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$

Dies ist eine gute Näherung, wenn ein Draht ausreichend lang ist als der andere, sodass er näherungsweise als unendlich lang betrachtet werden kann, und wenn der Abstand zwischen den Drähten im Vergleich zu ihren Längen klein (sodass die Näherung unendlich langer Drähte gilt), aber im Vergleich zu ihren Durchmessern groß ist (sodass sie auch näherungsweise als unendlich dünne Linien betrachtet werden können). Der Wert von hängt vom gewählten Einheitensystem ab und bestimmt die Größe der Stromstärkeeinheit. ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$${\displaystyle k_{\rm {A}}}$

Im SI- System, ^{[ 2 ] [ 3 ]} das in SI-Einheiten angegeben ist$${\displaystyle k_{\rm {A}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$$0,999 999 999 87 (16) × 10 ⁻⁷  H /m . Hierbei handelt es sich um die magnetische Konstante , die in SI-Einheiten beträgt ${\displaystyle \mu _{0}}$

Die allgemeine Formulierung der magnetischen Kraft für beliebige Geometrien basiert auf iterierten Linienintegralen und kombiniert das Biot-Savart-Gesetz und die Lorentzkraft in einer Gleichung, wie unten dargestellt. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$

Wo

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$ist die gesamte magnetische Kraft, die Draht 1 aufgrund von Draht 2 erfährt (üblicherweise gemessen in Newton ).
• ${\displaystyle I_{1}}$und sind die Ströme, die durch die Drähte 1 bzw. 2 fließen (üblicherweise gemessen in Ampere ).${\displaystyle I_{2}}$
• Die Integration über zwei Linien summiert die Kraft, die auf jedes Element des Drahtes 1 aufgrund des Magnetfeldes jedes Elements des Drahtes 2 wirkt.
• ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$und sind infinitesimale Vektoren, die jeweils dem Draht 1 und dem Draht 2 zugeordnet sind (üblicherweise in Metern gemessen ); siehe Linienintegral für eine detaillierte Definition.${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$
• Der Vektor ist der Einheitsvektor, der vom differentiellen Element auf Draht 2 zum differentiellen Element auf Draht 1 zeigt, und |r| ist der Abstand zwischen diesen Elementen.${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}$
• Die Multiplikation × ist ein Vektorkreuzprodukt ,
• Das Vorzeichen von ist relativ zur Orientierung (zeigt beispielsweise in Richtung des konventionellen Stroms , dann ).${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{n}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$${\displaystyle I_{1}>0}$

Um die Kraft zwischen Drähten in einem Materialmedium zu bestimmen, wird die magnetische Konstante durch die tatsächliche Permeabilität des Mediums ersetzt .

Im Fall zweier getrennter geschlossener Drähte kann das Gesetz durch Entwicklung des Vektortripelprodukts und Anwendung des Satzes von Stokes auf folgende äquivalente Weise umgeschrieben werden: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\cdot } \ I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2})\ {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}{|r|^{2}}}.}$$

In dieser Form ist es unmittelbar ersichtlich, dass die Kraft, die auf Draht 1 aufgrund von Draht 2 wirkt, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet ist wie die Kraft, die auf Draht 2 aufgrund von Draht 1 wirkt, gemäß dem dritten Newtonschen Bewegungsgesetz .

Die allgemein übliche Form des Ampèreschen Kraftgesetzes wurde 1873 von James Clerk Maxwell hergeleitet und ist eine von mehreren Formulierungen, die mit den ursprünglichen Experimenten von André-Marie Ampère und Carl Friedrich Gauß übereinstimmen . Die x -Komponente der Kraft zwischen zwei linearen Strömen I und I ' , wie im nebenstehenden Diagramm dargestellt, wurde von Ampère 1825 und von Gauß 1833 wie folgt angegeben: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.}$$

Nach Ampère entwickelten zahlreiche Wissenschaftler, darunter Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , Maxwell, Bernhard Riemann , Hermann Grassmann [ ^{9 ] und} Walther Ritz , diesen Ausdruck weiter, um einen fundamentalen Ausdruck der Kraft zu finden. Durch Differentiation lässt sich zeigen, dass:

$${\displaystyle {\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.}$$

und auch die Identität: $${\displaystyle {\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.}$$

Mit diesen Ausdrücken lässt sich das Ampèresche Kraftgesetz wie folgt formulieren: $${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.}$$

Verwendung der Identitäten: und $${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.}$$

Ampères Ergebnisse lassen sich wie folgt ausdrücken: $${\displaystyle d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).}$$

Wie Maxwell bemerkte, können diesem Ausdruck Terme hinzugefügt werden, die Ableitungen einer Funktion Q ( r ) sind und sich bei der Integration gegenseitig aufheben. Somit gab Maxwell „die allgemeinste mit den experimentellen Befunden übereinstimmende Form“ für die Kraft auf ds an , die durch die Wirkung von ds ' entsteht: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].}$$

Q ist laut Maxwell eine Funktion von r , die „ohne Annahmen bestimmter Art nicht aus Experimenten bestimmt werden kann, bei denen der Wirkstrom einen geschlossenen Stromkreis bildet“. Die Funktion Q ( r ) hat folgende Form: $${\displaystyle Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}}$$

Wir erhalten den allgemeinen Ausdruck für die Kraft, die ds' auf ds ausübt  : $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].}$$

Durch Integration um s ' wird k eliminiert , und man erhält den ursprünglichen Ausdruck von Ampère und Gauß. Somit ist der Wert von k für die ursprünglichen Ampère-Experimente bedeutungslos. Ampère wählte k = −1; Gauß wählte k = +1, ebenso wie Grassmann und Clausius, wobei Clausius die S- Komponente vernachlässigte. In den Theorien nicht-ätherischer Elektronen wählte Weber k = −1 und Riemann k = +1. Ritz ließ k in seiner Theorie unbestimmt. Setzt man k = −1, erhält man den Ampère-Ausdruck. $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]}$$

Setzen wir k = +1, so erhalten wir $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]}$$

Unter Verwendung der Vektoridentität für das dreifache Kreuzprodukt können wir dieses Ergebnis wie folgt ausdrücken: $${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]}$$

Bei Integration über ds ' ist der zweite Term null, und somit erhalten wir die von Maxwell angegebene Form des Ampèreschen Kraftgesetzes: $${\displaystyle \mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}}$$

Ausgehend von der allgemeinen Formel: Draht 2 verläuft entlang der x-Achse, und Draht 1 befindet sich bei y = D, z = 0, parallel zur x-Achse. Sei die x -Koordinate des differentiellen Elements von Draht 1 bzw. Draht 2. Das differentielle Element von Draht 1 befindet sich also bei und das differentielle Element von Draht 2 bei . Aufgrund der Eigenschaften von Kurvenintegralen gilt und . Außerdem gilt und . Daher ist das Integral . Auswertung des Kreuzprodukts: Als Nächstes integrieren wir von bis : Wenn Draht 1 ebenfalls unendlich lang ist, divergiert das Integral, da die gesamte Anziehungskraft zwischen zwei unendlich langen parallelen Drähten unendlich ist. Tatsächlich wollen wir die Anziehungskraft pro Längeneinheit von Draht 1 bestimmen. Daher nehmen wir an, dass Draht 1 eine große, aber endliche Länge hat . Dann ist der auf Draht 1 wirkende Kraftvektor: Wie erwartet, ist die auf den Draht wirkende Kraft proportional zu seiner Länge. Die Kraft pro Längeneinheit beträgt: Die Kraftrichtung verläuft entlang der y-Achse, was bedeutet, dass Draht 1, wie erwartet, zu Draht 2 hingezogen wird, wenn die Ströme parallel verlaufen. Der Betrag der Kraft pro Längeneinheit stimmt mit dem oben angegebenen Ausdruck überein. $${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle (x_{1},D,0)}$${\displaystyle (x_{2},0,0)}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)}$$$${\displaystyle |r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.}$$${\displaystyle L_{1}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.}$$$${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).}$$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}}$

Chronologisch geordnet:

• Ampères ursprüngliche Ableitung von 1823:
  • Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Ampères Elektrodynamik: Analyse der Bedeutung und Entwicklung der Ampèreschen Kraft zwischen Stromelementen, zusammen mit einer vollständigen Übersetzung seines Meisterwerks: Theorie der elektrodynamischen Phänomene, einzigartig aus der Erfahrung abgeleitet (PDF) . Montreal: Apeiron. ISBN 978-1-987980-03-5Die
• Maxwells Herleitung von 1873:
  • Abhandlung über Elektrizität und Magnetismus, Band 2, Teil 4, Kapitel 2 (§§502–527)
• Pierre Duhems Ableitung von 1892:
  • Duhem, Pierre Maurice Marie (9. September 2018). Ampèresches Kraftgesetz: Eine moderne Einführung . Übersetzt von Alan Aversa. doi : 10.13140/RG.2.2.31100.03206/1 . Abgerufen am 3. Juli 2019 .( EPUB )
    • Übersetzung von: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, Anhang zu Buch 14, S. 309-332 (auf Französisch)
• Alfred O'Rahillys Ableitung von 1938:
  • Elektromagnetische Theorie: Eine kritische Untersuchung der Grundlagen , Band 1, S. 102–104 (vgl. auch die folgenden Seiten)

• Ampere
• Magnetische Konstante
• Lorentzkraft
• Ampèresches Gesetz
• Freiraum

• Ampèresches Kraftgesetz. Enthält eine animierte Grafik der Kraftvektoren.