Snells Gesetz

Das Snellius'sche Brechungsgesetz (auch bekannt als Snellius-Descartes-Gesetz oder Brechungsgesetz ) beschreibt den Zusammenhang zwischen Einfallswinkel und Brechungswinkel beim Durchgang von Licht oder anderen Wellen durch die Grenzfläche zweier isotroper Medien wie Wasser, Glas oder Luft. In der Optik wird es zur Berechnung von Transmissions- und Brechungswinkeln bei der Strahlverfolgung und zur Bestimmung des Brechungsindex eines Materials in der experimentellen Optik verwendet . Auch Metamaterialien erfüllen das Gesetz ; sie ermöglichen die Brechung von Licht unter einem negativen Brechungswinkel und weisen einen negativen Brechungsindex auf .

Das Gesetz besagt, dass für ein gegebenes Medienpaar das Verhältnis der Sinuswerte von Einfallswinkel und Brechungswinkel gleich dem Brechungsindex des zweiten Mediums relativ zum ersten ( ) ist, welches wiederum gleich dem Verhältnis der Brechungsindizes der beiden Medien oder äquivalent dazu dem Verhältnis der Phasengeschwindigkeiten in den beiden Medien ist . ^{[ 1 ]}${\displaystyle \left(\theta _{1}\right)}$${\displaystyle \left(\theta _{2}\right)}$${\displaystyle n_{2,1}}$${\displaystyle \left({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {v_{1}}{v_{2}}}\right)}$

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}=n_{2,1}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}}$$

Das Gesetz folgt aus dem Fermatschen Prinzip der kürzesten Zeit , welches wiederum aus der Ausbreitung des Lichts als Welle folgt.

Ptolemäus hatte in Alexandria , Ägypten, ^{[ 2 ]} einen Zusammenhang zwischen Brechungswinkeln festgestellt, der jedoch für größere Winkel ungenau war. Ptolemäus war überzeugt, ein korrektes empirisches Gesetz gefunden zu haben, was teilweise darauf zurückzuführen war, dass er seine Daten leicht an die Theorie anpasste (siehe: Bestätigungsfehler ). ^{[ 3 ]}

Das Gesetz wurde schließlich nach Snell benannt , obwohl es bereits 984 vom persischen Wissenschaftler Ibn Sahl am Hof ​​von Bagdad entdeckt worden war. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} In seinem Manuskript „Über brennende Spiegel und Linsen“ nutzte Sahl das Gesetz, um Linsenformen abzuleiten, die Licht ohne geometrische Aberration bündeln . ^{[ 8 ]}

Ibn al-Haytham kam in seinem Buch über die Optik (1021) der Wiederentdeckung des Brechungsgesetzes nahe, unternahm diesen Schritt jedoch nicht. ^{[ 9 ]}

Das Gesetz wurde 1602 von Thomas Harriot wiederentdeckt ^{[ 10 ]} , der seine Ergebnisse jedoch nicht veröffentlichte, obwohl er mit Kepler zu diesem Thema korrespondiert hatte. 1621 leitete der niederländische Astronom Willebrord Snellius (1580–1626) – Snell – eine mathematisch äquivalente Formel ab, die zu seinen Lebzeiten unveröffentlicht blieb. René Descartes leitete das Gesetz unabhängig davon in seinem 1637 erschienenen Aufsatz „La Dioptrique“ mithilfe heuristischer Impulserhaltungsargumente in Form von Sinusfunktionen her und nutzte es zur Lösung verschiedener optischer Probleme. Pierre de Fermat verwarf Descartes’ Lösung und gelangte allein auf der Grundlage seines Prinzips der kürzesten Zeit zum selben Ergebnis . Descartes nahm an, die Lichtgeschwindigkeit sei unendlich, doch in seiner Herleitung des Snelliusschen Gesetzes nahm er auch an, dass die Lichtgeschwindigkeit mit zunehmender Dichte des Mediums steigt. Fermat vertrat die gegenteilige Annahme, d. h., dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist, und seine Herleitung beruhte darauf, dass die Lichtgeschwindigkeit in einem dichteren Medium geringer ist. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Fermats Herleitung nutzte auch seine Erfindung der Adäquanz , ein mathematisches Verfahren, das der Differentialrechnung äquivalent ist, um Maxima, Minima und Tangenten zu finden. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

In seinem einflussreichen Mathematikwerk „Geometrie“ löst Descartes ein Problem, an dem bereits Apollonius von Perga und Pappus von Alexandria gearbeitet hatten . Gegeben seien n Geraden L und je ein Punkt P(L) auf jeder Geraden. Gesucht ist die Menge aller Punkte Q, deren Strecken QP(L) bestimmte Bedingungen erfüllen. Beispielsweise soll für n = 4, gegeben die Geraden a, b, c und d sowie je ein Punkt A auf a, B auf b usw., die Menge aller Punkte Q gefunden werden, für die das Produkt QA × QB gleich dem Produkt QC × QD ist. Pappus zeigte, dass die Mengen Kegelschnitte sind, wenn die Geraden nicht alle parallel sind. Descartes hingegen erhielt für größere n Kurven kubischer und höherer Ordnung. Um die Bedeutung dieser kubischen Kurven zu verdeutlichen, wies er nach, dass sie in der Optik auf natürliche Weise aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz hervorgehen. ^{[ 15 ]}

Laut Dijksterhuis ^{[ 16 ]} behauptete Isaac Vossius in „ De natura lucis et proprietate “ (1662), Descartes habe Snells Abhandlung gelesen und einen eigenen Beweis verfasst. Heute wissen wir, dass diese Anschuldigung unberechtigt ist, sie wurde aber seither vielfach erhoben. Sowohl Fermat als auch Huygens wiederholten den Vorwurf, Descartes habe von Snell abgeschrieben. Im Französischen wird das Snellsche Gesetz manchmal als „la loi de Descartes“ oder häufiger als „ loi de Snell-Descartes “ bezeichnet.

In seinem 1678 erschienenen Traité de la Lumière zeigte Christiaan Huygens , wie das Snellius'sche Sinusgesetz durch den Wellencharakter des Lichts erklärt bzw. daraus abgeleitet werden kann, und zwar mithilfe dessen, was wir heute als Huygens-Fresnel-Prinzip bezeichnen .

Mit der Entwicklung der modernen Optik und Elektromagnetik wurde das Snellius'sche Brechungsgesetz neu definiert. 1962 zeigte Nicolaas Bloembergen , dass sich das Snellius'sche Brechungsgesetz an der Grenze eines nichtlinearen Mediums allgemein formulieren lässt. ^{[ 17 ]} In den Jahren 2008 und 2011 wurde zudem demonstriert, dass plasmonische Metasurfaces die Reflexions- und Brechungsrichtung eines Lichtstrahls verändern können. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Das Snellius'sche Brechungsgesetz dient zur Bestimmung der Ausbreitungsrichtung von Lichtstrahlen in Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes. ^{[ 20 ]} Die Brechungsindizes der Medien, bezeichnet mit , usw., geben den Faktor an, um den die Lichtgeschwindigkeit beim Durchgang durch ein Medium wie Glas oder Wasser im Vergleich zur Geschwindigkeit im Vakuum abnimmt. ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

Beim Übergang von Licht in ein anderes Medium wird es, abhängig von den Brechungsindizes der beiden Medien, entweder stärker oder schwächer gebrochen. Diese Winkel werden relativ zum Lot gemessen , das senkrecht zur Grenzfläche steht. Beim Übergang von Luft in Wasser wird das Licht zum Lot hin gebrochen, da es im Wasser abgebremst wird; beim Übergang von Wasser in Luft wird es vom Lot weg gebrochen.

Die Lichtbrechung zwischen zwei Oberflächen wird auch als reversibel bezeichnet, weil bei identischen Bedingungen die Winkel für Licht, das sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, gleich wären.

Das Snellius'sche Brechungsgesetz gilt im Allgemeinen nur für isotrope oder spiegelnde Medien (wie Glas ). In anisotropen Medien, wie beispielsweise einigen Kristallen , kann die Doppelbrechung den gebrochenen Strahl in zwei Strahlen aufspalten: den ordentlichen Strahl ( o- Strahl), der dem Snellius'schen Brechungsgesetz folgt, und den außerordentlichen Strahl ( e- Strahl), der nicht in derselben Ebene wie der einfallende Strahl liegen muss.

Wenn es sich bei dem Licht oder der anderen beteiligten Welle um monochromatisches Licht handelt, d. h. um eine einzige Frequenz, kann das Snellius'sche Brechungsgesetz auch als Verhältnis der Wellenlängen in den beiden Medien ausgedrückt werden :${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \theta _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}$$

Das Snellius'sche Brechungsgesetz lässt sich auf verschiedene Weisen herleiten.

Das Snellius'sche Brechungsgesetz lässt sich aus dem Fermatschen Prinzip ableiten , welches besagt, dass Licht den Weg des kürzesten Weges nimmt. Durch Ableiten der optischen Weglänge erhält man den Ruhepunkt und damit den vom Licht zurückgelegten Weg. (Es gibt Fälle, in denen Licht das Fermatsche Prinzip verletzt, indem es nicht den Weg des kürzesten Weges nimmt, wie beispielsweise bei der Reflexion an einem (sphärischen) Spiegel.) In einer klassischen Analogie wird der Bereich mit niedrigerem Brechungsindex durch einen Strand, der Bereich mit höherem Brechungsindex durch das Meer ersetzt . Der schnellste Weg für einen Retter am Strand, eine ertrinkende Person im Meer zu erreichen, ist dann, dem Snellius'schen Brechungsgesetz zu folgen.

Wie in der Abbildung rechts dargestellt, seien die Brechungsindizes von Medium 1 und Medium 2 jeweils und . Licht tritt von Medium 1 über den Punkt O in Medium 2 ein. ${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}}$ist der Einfallswinkel, ist der Brechungswinkel bezüglich der Normalen. ${\displaystyle \theta _{2}}$

Die Phasengeschwindigkeiten des Lichts in Medium 1 und Medium 2 sind bzw. , wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. ${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$${\displaystyle c}$

Sei T die Zeit, die das Licht benötigt, um vom Punkt Q über den Punkt O zum Punkt P zu gelangen. Dabei sind a , b , ℓ und x wie in der rechten Abbildung dargestellt, wobei x der variable Parameter ist. $${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(\ell -x)^{2}}}{v_{2}}}\\&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}}}{v_{2}}}\end{aligned}}}$$

Um sie zu minimieren, kann man differenzieren und sie dann gleich 0 setzen, um die stationären Punkte zu finden. $${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(\ell -x)}{v_{2}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}}}$$

Beachten Sie, dass ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

Und${\displaystyle {\frac {\ell -x}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

Daher,

$${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}&={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}\\{\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}&={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}$$

Alternativ lässt sich das Snellius'sche Gesetz auch durch Interferenz aller möglichen Wege einer Lichtwelle von der Quelle zum Beobachter herleiten – dies führt zu destruktiver Interferenz.

Eine andere Möglichkeit, das Snellius'sche Gesetz herzuleiten, besteht in der Anwendung der allgemeinen Randbedingungen der Maxwell-Gleichungen für elektromagnetische Strahlung und Induktion .

Eine weitere Herleitung des Snelliusschen Brechungsgesetzes basiert auf der Translationssymmetrie. ^{[ 21 ]} Beispielsweise kann eine homogene Oberfläche senkrecht zur z-Richtung den transversalen Impuls nicht verändern. Da der Ausbreitungsvektor proportional zum Photonenimpuls ist, muss die transversale Ausbreitungsrichtung in beiden Bereichen gleich bleiben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir eine Einfallsebene in der Ebene an . Unter Verwendung der bekannten Abhängigkeit der Wellenzahl vom Brechungsindex des Mediums lässt sich das Snelliussche Brechungsgesetz unmittelbar herleiten. ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}$${\displaystyle z,x}$${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x{\text{Region}}_{1}}&=k_{x{\text{Region}}_{2}}\\n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}&=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}$$

Dabei handelt es sich um die Wellenzahl im Vakuum. Obwohl keine Oberfläche auf atomarer Ebene wirklich homogen ist, stellt die vollständige Translationssymmetrie eine ausgezeichnete Näherung dar, sofern der Bereich auf der Skala der Lichtwellenlänge homogen ist. ${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}$

Bei gegebenem normierten Lichtvektor (der von der Lichtquelle zur Oberfläche zeigt) und einem normierten Ebenennormalenvektor kann man die normierten reflektierten und gebrochenen Strahlen über die Kosinuswerte des Einfallswinkels und des Brechungswinkels berechnen , ohne explizit die Sinuswerte oder trigonometrische Funktionen oder Winkel zu verwenden: ^{[ 22 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

$${\displaystyle \cos \theta _{1}=-\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\ell }}}$$

Hinweis: muss positiv sein, was der Fall ist, wenn der Normalenvektor ist, der von der Oberfläche zur Seite zeigt, von der das Licht kommt (Bereich mit Index ) . Ist negativ, zeigt zur Seite ohne Lichteinfall; in diesem Fall muss der Vektor durch sein Negativ ersetzt werden. ${\displaystyle \cos \theta _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle \cos \theta _{1}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }={\boldsymbol {\ell }}+2\cos \theta _{1}\mathbf {n} }$$ Dieser reflektierte Richtungsvektor zeigt zurück zu der Seite der Oberfläche, von der das Licht kam.

Wendet man nun das Snellius'sche Brechungsgesetz auf das Verhältnis der Sinuswerte an, erhält man die Formel für den Richtungsvektor des gebrochenen Strahls: $${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}}$$$${\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\boldsymbol {\ell }}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }$$

Die Formel mag einfacher erscheinen, wenn man umbenannte einfache Werte verwendet und dabei jegliches Auftreten von Namen trigonometrischer Funktionen oder Winkelnamen vermeidet: ${\displaystyle r=n_{1}/n_{2}}$${\displaystyle c=-\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\ell }}}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=r{\boldsymbol {\ell }}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right)\mathbf {n} }$$

Beispiel: $${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}=\{0.707107,-0.707107\},~\mathbf {n} =\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}$$$${\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}$$

Die Kosinuswerte können gespeichert und in den Fresnel-Gleichungen zur Berechnung der Intensität der entstehenden Strahlen verwendet werden.

Totalreflexion wird durch einen negativen Radikanden in der Gleichung für angezeigt und tritt nur bei Strahlen auf, die in ein Medium geringerer Dichte ( ) eintreten. In der angewandten Optik werden diese Vektorrechnungen sequenziell verwendet, um komplexe optische Mehrschichtsysteme wie Antireflexbeschichtungen oder Displaypanels zu modellieren. In diesen Systemen müssen die laterale Strahlverschiebung und die Bedingungen für Totalreflexion an jeder dielektrischen Grenzfläche überprüft werden, um eine präzise Ausrichtung zu gewährleisten. ^{[ 23 ]}${\displaystyle \cos \theta _{2}}$${\displaystyle n_{2}<n_{1}}$

Wenn Licht von einem Medium mit höherem Brechungsindex in ein Medium mit niedrigerem Brechungsindex übergeht, scheint das Snellius'sche Brechungsgesetz in manchen Fällen (wenn der Einfallswinkel groß genug ist) zu fordern, dass der Sinus des Brechungswinkels größer als eins ist. Dies ist natürlich unmöglich, und das Licht wird in solchen Fällen vollständig an der Grenzfläche reflektiert – ein Phänomen, das als Totalreflexion bekannt ist . Der größtmögliche Einfallswinkel, bei dem noch ein gebrochener Strahl entsteht, wird als Grenzwinkel bezeichnet ; in diesem Fall verläuft der gebrochene Strahl entlang der Grenzfläche zwischen den beiden Medien.

Betrachten wir beispielsweise einen Lichtstrahl, der unter einem Einfallswinkel von 50° von Wasser in Luft übergeht. Die Brechungsindizes von Wasser und Luft betragen ungefähr 1,333 bzw. 1, daher ergibt sich aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgende Beziehung:

$${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {1.333}{1}}\cdot \sin \left(50^{\circ }\right)=1.333\cdot 0.766=1.021,}$$

was unmöglich zu erfüllen ist. Der kritische Winkel θ _{_krit} ist der Wert von θ _₁ , für den θ_₂ gleich 90° ist:

$${\displaystyle \theta _{\text{crit}}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\sin \theta _{2}\right)=\arcsin {\frac {n_{2}}{n_{1}}}=48.6^{\circ }.}$$

In vielen Ausbreitungsmedien ändert sich die Wellengeschwindigkeit mit der Frequenz oder Wellenlänge der Wellen; dies gilt für die Lichtausbreitung in den meisten transparenten Substanzen außer im Vakuum. Solche Medien werden als dispersiv bezeichnet. Daraus folgt, dass die durch das Snellius'sche Brechungsgesetz bestimmten Winkel ebenfalls von der Frequenz oder Wellenlänge abhängen, sodass ein Strahl gemischter Wellenlängen, wie beispielsweise weißes Licht, sich ausbreitet oder streut. Diese Lichtdispersion in Glas oder Wasser ist die Ursache für Regenbögen und andere optische Phänomene , bei denen unterschiedliche Wellenlängen als unterschiedliche Farben erscheinen.

In optischen Instrumenten führt Dispersion zu chromatischer Aberration , einer farbabhängigen Unschärfe, die mitunter die Auflösung begrenzt. Dies galt insbesondere für Linsenfernrohre vor der Erfindung achromatischer Objektive.

In einem leitenden Medium sind Permittivität und Brechungsindex komplexwertig. Folglich sind auch Brechungswinkel und Wellenvektor komplexwertig. Dies bedeutet, dass Flächen konstanter reeller Phase Ebenen sind, deren Normalen mit der Normalen der Grenzfläche einen Winkel gleich dem Brechungswinkel bilden, während Flächen konstanter Amplitude parallel zur Grenzfläche verlaufen. Da diese beiden Ebenen im Allgemeinen nicht zusammenfallen, spricht man von einer inhomogenen Welle. ^{[ 24 ]} Die gebrochene Welle wird exponentiell gedämpft, wobei der Exponent proportional zum Imaginärteil des Brechungsindex ist. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

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