Aristoteles' Radparadoxon

Das Radparadoxon des Aristoteles ist ein Paradoxon oder Problem, das in dem pseudoaristotelischen griechischen Werk „Mechanica“ auftritt . Es lautet wie folgt: Ein Rad wird im zweidimensionalen Raum als zwei Kreise dargestellt . Sein größerer, äußerer Kreis berührt tangential eine horizontale Fläche (z. B. eine Straße), während der kleinere, innere Kreis denselben Mittelpunkt hat und fest mit dem größeren verbunden ist. (Der kleinere Kreis könnte der Reifenwulst, die Felge oder die Achse sein.) Angenommen, der größere Kreis rollt eine volle Umdrehung ohne zu rutschen, dann sind die von den Umfängen beider Kreise zurückgelegten Strecken gleich. Die vom größeren Kreis zurückgelegte Strecke entspricht seinem Umfang , die des kleineren Kreises jedoch ist größer als sein Umfang, wodurch ein Paradoxon entsteht.

Das Paradoxon beschränkt sich nicht auf Räder: Auch andere zweidimensional dargestellte Dinge zeigen das gleiche Verhalten, wie beispielsweise eine Klebebandrolle oder eine typische runde Flasche oder ein Glas, das auf die Seite gerollt wird (der kleinere Kreis wäre die Öffnung oder der Hals des Glases oder der Flasche).

In einer alternativen Version des Problems berührt der kleinere Kreis, nicht der größere, die horizontale Fläche. Beispiele hierfür sind ein typisches Eisenbahnrad mit Spurkranz oder eine Hantelstange, die auf einer Bank liegt. Der amerikanische Pädagoge und Philosoph Israel Drabkin nannte diese Fälle „Fall II“ des Paradoxons ^{[ 1 ]} , und eine ähnliche, aber nicht identische Analyse ist anwendbar.

In der Antike wurde das Radproblem in dem griechischen Werk „Mechanica“ beschrieben , das traditionell Aristoteles zugeschrieben wird, aber weithin als Werk eines späteren Mitglieds seiner Schule gilt. ^{[ Anmerkung 1 ] [ 3 ]} Es erscheint auch in der „ Mechanica“ des Heron von Alexandria . ^{[ 1 ] [ 4 ]} In der aristotelischen Version erscheint es als „Problem 24“, wo die Beschreibung des Rades wie folgt lautet:

Sei ein größerer Kreis ΔZΓ und ein kleinerer Kreis EHB gegeben, wobei A der Mittelpunkt beider Kreise sei. ZI sei die Gerade, die der größere Kreis von selbst abwickelt, und HK diejenige, die der kleinere Kreis von selbst abwickelt, gleich ZΛ . Wenn ich den kleineren Kreis bewege, bewege ich denselben Mittelpunkt, also A ; der größere Kreis sei daran befestigt. Wenn AB senkrecht zu HK steht, steht AΓ gleichzeitig senkrecht zu ZΛ , sodass es stets die gleiche Strecke zurücklegt, nämlich HK für den Umfang HB und ZΛ für ZΓ . Wenn sich das Viertel um die gleiche Strecke abwickelt, rollt sich offensichtlich auch der ganze Kreis um die gleiche Strecke ab, sodass, wenn die Gerade BH den Punkt K erreicht , der Umfang ZΓ gleich ZΛ ist und der ganze Kreis abgewickelt ist. Wenn ich den großen Kreis verschiebe und den kleinen Kreis daran anpasse, sodass ihre Mittelpunkte übereinstimmen, dann steht AB senkrecht und gleichzeitig rechtwinklig zu AΓ , wobei letzteres zu ZI und ersteres zu HΘ steht. Wenn also das eine eine Gerade entlang HΘ und das andere zu ZI vollendet hat , steht ZA wieder senkrecht zu ZΛ und HA zu HK , sodass sie sich wieder wie zu Beginn bei Θ und I befinden . ^{[ 5 ]}

Das Problem wird dann wie folgt formuliert:

Da das größere Objekt nicht anhält, sodass es für eine gewisse Zeit am selben Punkt verharrt, und da das kleinere Objekt keinen Punkt überspringt, ist es erstaunlich, dass das größere Objekt einen Weg zurücklegt, der dem des kleineren entspricht, und umgekehrt. Bemerkenswert ist außerdem, dass, obwohl in jedem Fall nur eine Bewegung stattfindet, der Mittelpunkt, der sich bewegt, im einen Fall eine große und im anderen Fall eine kleinere Strecke zurücklegt. ^{[ 1 ]}

Der Mathematiker Gerolamo Cardano erörtert das Radproblem in seinem 1570 erschienenen ^Opus novum de proportionibus numerorum [ ^{6 ]} und wendet sich gegen die Annahme, es könne durch Bewegung analysiert werden. ^{[ 1 ]} Mersenne behandelte es weiter in seinen 1623 erschienenen Quaestiones Celeberrimae in Genesim ^{[ 7 ]} , wo er vorschlägt, das Problem durch einen Prozess der Expansion und Kontraktion der beiden Kreise zu analysieren. Mersenne blieb jedoch mit seinem Verständnis unzufrieden und schrieb:

Tatsächlich ist es mir nie gelungen, herauszufinden, und ich glaube auch nicht, dass es irgendjemandem sonst gelungen ist, herauszufinden, ob der kleinere Kreis denselben Punkt zweimal berührt oder sich sprunghaft und gleitend fortbewegt. ^{[ 1 ]}

In seinem Werk „Zwei neue Wissenschaften “ verwendet Galilei das Radproblem, um für eine bestimmte Form des Atomismus zu argumentieren . Er beginnt seine Analyse mit der Betrachtung zweier konzentrischer Sechsecke anstelle von Kreisen. Stellt er sich vor, wie dieses Sechseck auf einer Fläche „rollt“, bemerkt Galilei, dass das innere Sechseck bei jeder Drehung des äußeren auf eine neue Fläche ein kleines Stück „springt“. ^{[ 8 ]} Anschließend überlegt er, was mit dem Grenzwert geschieht, wenn die Anzahl der Flächen eines Polygons sehr groß wird, und stellt fest, dass das kleine Stück, das das innere Polygon „springt“, immer kleiner wird. Er schreibt:

Daher verläuft ein größeres Polygon mit tausend Seiten über eine gerade Linie, deren Umfang seinem Umfang entspricht, während gleichzeitig das kleinere Polygon eine annähernd gleich lange Linie verläuft, die jedoch unterbrochen aus tausend kleinen Partikeln besteht, deren Anzahl seinen tausend Seiten entspricht und die durch tausend kleine Leerräume unterbrochen sind – denn diese können wir in Bezug auf die tausend Linienstücke, die von den Seiten des Polygons berührt werden, als „leer“ bezeichnen. ^{[ 8 ]}

Da ein Kreis lediglich der Grenzwert ist, bei dem die Anzahl der Flächen eines Polygons unendlich wird, stellt Galilei fest, dass Aristoteles’ Rad Materie enthält, die mit infinitesimalen Zwischenräumen oder „Leerräumen“ gefüllt ist, und dass „die dazwischenliegenden Leerräume nicht quantifiziert, sondern unendlich zahlreich sind“. ^{[ 8 ]} Daraus schließt er, dass der Glaube an Atome – im Sinne, dass Materie „aus unendlich vielen nicht quantifizierbaren Atomen besteht“ – ausreicht, um das Phänomen zu erklären. ^{[ 8 ]} Auch Gilles de Roberval (1602–1675) wird mit dieser Analyse in Verbindung gebracht.

Bernard Bolzano erörterte Aristoteles’ Rad in „ Die Paradoxien des Unendlichen “ (1851), einem Buch, das Georg Cantor und nachfolgende Denker der Mathematik der Unendlichkeit beeinflusste. Bolzano bemerkt, dass zwischen den Punkten je zwei ähnlicher Kreisbögen eine Bijektion besteht , die sich durch Zeichnen eines Radius realisieren lässt, und weist darauf hin, dass die Geschichte dieser scheinbar paradoxen Tatsache auf Aristoteles zurückgeht. ^{[ 1 ]}

Der Autor von „Mathematische Fehlschlüsse und Paradoxien“ verwendet eine auf eine Halbdollarmünze geklebte Zehn-Cent-Münze (die jeweils einen kleineren und einen größeren Kreis darstellen), deren Mittelpunkte übereinstimmen und die beide an einer Achse befestigt sind, als Modell für das Paradoxon. Er schreibt:

Das ist also die Lösung bzw. der Schlüssel dazu. Obwohl man darauf achtet, dass die Halbdollarmünze nicht auf der Tischplatte verrutscht, dreht und gleitet der „Punkt“, der die Linie am Fuß der Zehn-Cent-Münze beschreibt, ständig. Er gleitet relativ zur Tischplatte. Da die Zehn-Cent-Münze die Tischplatte nicht berührt, bemerkt man das Gleiten nicht. Wenn man die Halbdollarmünze über den Tisch rollen und gleichzeitig die Zehn-Cent-Münze (oder besser noch deren Achse) über einen Holzblock rollen lässt, kann man das Gleiten tatsächlich beobachten. Wer schon einmal zu nah am Bordstein geparkt hat, kennt das Quietschen der Radkappe, die am Bordstein entlangrutscht (und rollt), während der Reifen nur auf dem Asphalt rollt. Je kleiner der kleine Kreis im Verhältnis zum großen Kreis ist, desto stärker gleitet der kleine. Der Mittelpunkt der beiden Kreise dreht sich natürlich nicht, sondern gleitet die gesamte Strecke. ^{[ 9 ]}

Das Paradoxe ist, dass sich der kleinere innere Kreis um 2πR , den Umfang des größeren äußeren Kreises mit Radius R , bewegt , anstatt um seinen eigenen Umfang. Würde der innere Kreis separat gerollt, würde er sich um 2πr, seinen eigenen Umfang mit Radius r, bewegen . Der innere Kreis ist also nicht separat, sondern fest mit dem größeren verbunden .

Wenn der kleinere Kreis vom größeren abhängt (Fall I), zwingt die Bewegung des größeren Kreises den kleineren, den Umfang des größeren zu durchlaufen. Wenn der größere Kreis vom kleineren abhängt (Fall II), zwingt die Bewegung des kleineren Kreises den größeren, den Umfang des kleineren zu durchlaufen. Dies ist die einfachste Lösung.

Diese Lösung betrachtet den Übergang von der Start- zur Endposition. Sei Pb ein Punkt auf dem größeren Kreis und Ps ein Punkt auf dem kleineren Kreis, beide auf demselben Radius. Vereinfachend nehmen wir an, dass sie sich beide direkt unterhalb des Mittelpunkts befinden, analog zu den Zeigern einer Uhr, die auf sechs zeigen. Pb und Ps beschreiben eine Zykloidenbahn , während sie gemeinsam eine Umdrehung ausführen. ^{[ 10 ]}

Obwohl sich beide horizontal über 2πR von Start bis Ziel bewegen , ist die Zykloidenbahn von Ps kürzer und effizienter als die von Pb . Pb bewegt sich weiter oberhalb und unterhalb der Bahn des Zentrums – der einzigen geraden Bahn – als Ps .

Befänden sich Pb und Ps an anderen Stellen ihrer jeweiligen Kreise, wären die Kurven gleich lang. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich der kleinere Kreis horizontal um 2πR bewegt, da jeder Punkt auf dem kleineren Kreis einen kürzeren und somit direkteren Weg zurücklegt als jeder Punkt auf dem größeren Kreis.

• Brachistochronenkurve
• Paradoxon der Münzrotation
• Trochoide

• Hutton, Charles (1795). „ Rota Aristotelica “ . Mathematisches und philosophisches Wörterbuch . Band 2. S. 398. Archiviert vom Original am 2. Juli 2017.
• Weisstein, Eric W. „Das Radparadoxon des Aristoteles“ . MathWorld .