BSSN-Formalismus

Der BSSN-Formalismus (Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura-Formalismus) ist ein Formalismus der allgemeinen Relativitätstheorie , der zwischen 1987 und 1999 von Thomas W. Baumgarte , Stuart L. Shapiro , Masaru Shibata und Takashi Nakamura entwickelt wurde. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Es handelt sich um eine Modifikation des in den 1950er Jahren entwickelten ADM-Formalismus .

Der ADM-Formalismus ist ein Hamiltonscher Formalismus, der keine stabilen und langfristigen numerischen Simulationen zulässt. Im BSSN-Formalismus werden die ADM-Gleichungen durch die Einführung von Hilfsvariablen modifiziert. Der Formalismus wurde für die Langzeitentwicklung linearer Gravitationswellen getestet und für verschiedene Zwecke eingesetzt, beispielsweise zur Simulation der nichtlinearen Entwicklung von Gravitationswellen oder der Entwicklung und Kollision von Schwarzen Löchern . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Die meisten Referenzen verwenden eine Notation, in der vierdimensionale Tensoren in abstrakter Indexnotation geschrieben werden, wobei griechische Indizes Raumzeitindizes mit den Werten (0, 1, 2, 3) und lateinische Indizes räumliche Indizes mit den Werten (1, 2, 3) sind.

Der hochgestellte Index (4) wird Größen vorangestellt, die typischerweise sowohl eine dreidimensionale als auch eine vierdimensionale Version haben, wie zum Beispiel dem metrischen Tensor für dreidimensionale Schnitte und dem metrischen Tensor für die gesamte vierdimensionale Raumzeit . ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$

Der Text verwendet die Einstein-Notation , wobei wiederholte Indizes eine Summation anzeigen. Wenn beispielsweise ein Tangentenvektor auf der Mannigfaltigkeit ist und wir ihn in seine Komponenten zerlegen, sähe dies in Einstein-Notation wie folgt aus: ${\displaystyle X\in T_{p}M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\sum _{\mu }X^{\mu }{\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\implies X^{\mu }{\dfrac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\end{aligned}}}$

Der Absolutbetrag der Determinante der Matrix der metrischen Tensorkoeffizienten wird mit dargestellt . Andere Tensorsymbole ohne Indizes repräsentieren die Spur des entsprechenden Tensors, wie z . B. . ${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi =g^{ij}\pi _{ij}}$

Shibata und Nakamura ^{[ 2 ]} leiteten die Gleichungen für die Vakuumlösungen her:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{ab}&=0\end{aligned}}}$

Variable	Definition
${\displaystyle \alpha }$	Rückschlagfunktion
${\displaystyle \beta ^{i}}$	Verschiebungsvektor
${\displaystyle \gamma _{ij}}$	metrischer Tensor auf einer 3D-Hyperfläche der Blätterung
${\displaystyle R}$	3D- Ricci-Skalar
${\displaystyle K_{ij}}$	äußere Krümmung
${\displaystyle D_{i}}$	3D- kovariante Ableitung

Die Herleitung beginnt mit dem ADM-Formalismus . Die ADM-Metrik ist gegeben durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-(\alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i})dt^{2}+2\beta _{i}dtdx^{i}+\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}\end{aligned}}}$

Die Hamiltonsche Zwangsbedingung lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}R-K_{ij}K^{ij}+K^{2}=0\end{aligned}}}$

Die Impulsbeschränkung lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{i}K_{j}^{i}-D_{j}K&=0\end{aligned}}}$

und die Evolutionsgleichungen lauten:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\gamma _{ij}&=-2\alpha K_{ij}+D_{i}\beta _{j}+D_{j}\beta _{i}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\partial }{\partial t}}K_{ij}&=\alpha (R_{ij}+KK_{ij}-2K_{ij}K_{j}^{\ell })-D_{i}D_{j}\alpha +(D_{j}\beta ^{m})K_{mi}+(D_{i}\beta ^{m})K_{mj}+\beta _{m}D_{m}K_{ij}\end{aligned}}}$

• ADM-Formalismus
• Kanonische Koordinaten
• Kanonische Schwerkraft
• Hamiltonsche Mechanik
• Numerische Relativitätstheorie