Exakte Lösungen in der allgemeinen Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine exakte Lösung eine (typischerweise geschlossene ) Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen, deren Herleitung keine vereinfachenden Näherungen der Gleichungen erfordert, obwohl der Ausgangspunkt für diese Herleitung ein idealisierter Fall wie eine perfekt kugelförmige Materie sein kann. Mathematisch bedeutet das Finden einer exakten Lösung, eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit zu finden , die mit Tensorfeldern ausgestattet ist , welche Zustände gewöhnlicher Materie, wie beispielsweise eines Fluids , oder klassische nichtgravitative Felder wie das elektromagnetische Feld modellieren .

Diese Tensorfelder sollten allen relevanten physikalischen Gesetzen gehorchen (beispielsweise muss jedes elektromagnetische Feld die Maxwell-Gleichungen erfüllen). Nach einem in der mathematischen Physik weit verbreiteten Standardverfahren sollten diese Tensorfelder auch spezifische Beiträge zum Energie-Impuls-Tensor liefern . ^{[ 1 ]} (Ein Feld wird durch eine Lagrange-Funktion beschrieben ; die Variation bezüglich des Feldes sollte die Feldgleichungen ergeben, und die Variation bezüglich der Metrik sollte den Energie-Impuls-Beitrag des Feldes liefern.) ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Wenn man schließlich alle Beiträge zum Energie-Impuls-Tensor addiert, muss das Ergebnis eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen sein.

${\displaystyle G^{\alpha \beta }=\kappa \,T^{\alpha \beta }.}$

In den obigen Feldgleichungen ist der Einstein-Tensor , der eindeutig aus dem metrischen Tensor berechnet wird , welcher Teil der Definition einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit ist. Da die Angabe des Einstein-Tensors den Riemann-Tensor nicht vollständig bestimmt , den Weyl-Tensor jedoch unbestimmt lässt (siehe die Ricci-Zerlegung ), kann die Einstein-Gleichung als eine Art Kompatibilitätsbedingung betrachtet werden: Die Raumzeitgeometrie muss mit der Menge und Bewegung jeglicher Materie oder nichtgravitativer Felder konsistent sein, in dem Sinne, dass die unmittelbare Präsenz nichtgravitativer Energie und Impuls im Hier und Jetzt eine proportionale Ricci-Krümmung im Hier und Jetzt verursacht. Darüber hinaus zeigt sich durch die Bildung kovarianter Ableitungen der Feldgleichungen und die Anwendung der Bianchi-Identitäten , dass eine geeignet variierende Menge/Bewegung nichtgravitativer Energie-Impuls dazu führen kann, dass sich Wellen in der Krümmung als Gravitationsstrahlung ausbreiten , sogar durch Vakuumregionen hindurch , die keine Materie oder nichtgravitative Felder enthalten. ${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$

Jede Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichung für eine rechte Seite. Dies wird durch das folgende Verfahren veranschaulicht:

• Man nehme eine beliebige Lorentzsche Mannigfaltigkeit und berechne ihren Einstein-Tensor , was eine rein mathematische Operation ist.${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$
• dividiere durch die Einsteinsche Gravitationskonstante${\displaystyle \kappa }$
• Das resultierende symmetrische Tensorfeld zweiter Stufe sei der Spannungs-Energie-Tensor .${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Dies zeigt, dass es zwei komplementäre Wege gibt, die allgemeine Relativitätstheorie anzuwenden:

• Man kann die Form des Energie-Impuls-Tensors festlegen (zum Beispiel aus physikalischen Gründen) und die Lösungen der Einstein-Gleichungen mit einer solchen rechten Seite untersuchen (wenn man beispielsweise den Energie-Impuls-Tensor als den eines perfekten Fluids wählt, kann eine sphärisch symmetrische Lösung als Sternmodell dienen ).
• Alternativ kann man bestimmte geometrische Eigenschaften der Raumzeit festlegen und nach einer Materiequelle suchen, die diese Eigenschaften liefern könnte. Genau das tun Kosmologen seit den 2000er Jahren: Sie gehen davon aus, dass das Universum homogen, isotrop und beschleunigt expandiert ist und versuchen zu verstehen, welche Materie (die sogenannte Dunkle Energie ) eine solche Struktur stützen kann.

Im ersten Ansatz muss der angenommene Energie-Impuls-Tensor auf übliche Weise aus einer „plausiblen“ Materieverteilung oder einem nichtgravitativen Feld hervorgehen. In der Praxis ist diese Vorstellung recht klar, insbesondere wenn wir die zulässigen nichtgravitativen Felder auf das einzige 1916 bekannte, das elektromagnetische Feld , beschränken . Idealerweise hätten wir jedoch gerne eine mathematische Charakterisierung , die einen rein mathematischen Test formuliert, den wir auf jeden hypothetischen „Energie-Impuls-Tensor“ anwenden können. Dieser Test müsste alle Bedingungen erfüllen, die sich aus einem „plausiblen“ physikalischen Szenario ergeben, und alle anderen verwerfen. Eine solche Charakterisierung ist nicht bekannt. Stattdessen verfügen wir über grobe Tests, die sogenannten Energiebedingungen , die ähnlich wie Einschränkungen für die Eigenwerte und Eigenvektoren eines linearen Operators funktionieren . Einerseits sind diese Bedingungen viel zu permissiv: Sie würden „Lösungen“ zulassen, die kaum jemand für physikalisch plausibel hält. Andererseits sind sie möglicherweise viel zu restriktiv: Die gängigsten Energiebedingungen werden offenbar durch den Casimir-Effekt verletzt .

Eine weitere gängige Annahme ist, dass exakte Lösungen glatte Mannigfaltigkeiten mit stetig variierenden Metriken sein sollten. Bei der Arbeit mit der allgemeinen Relativitätstheorie erweist es sich jedoch als nützlich, Lösungen zuzulassen, die nicht überall glatt sind; Beispiele hierfür sind zahlreiche Lösungen, die durch die Anpassung einer idealen Lösung für das Innere eines Fluids an eine Lösung für das Äußere eines Vakuums entstehen, sowie impulsive ebene Wellen.

Neben solchen lokalen Einwänden besteht das weitaus größere Problem, dass es sehr viele exakte Lösungen gibt, die lokal unbedenklich sind, aber global kausal fragwürdige Eigenschaften aufweisen, wie etwa geschlossene zeitartige Kurven oder Strukturen mit Trennungspunkten („Hosenwelten“). Einige der bekanntesten exakten Lösungen besitzen sogar global einen seltsamen Charakter.

Viele bekannte exakte Lösungen gehören je nach beabsichtigter physikalischer Interpretation des Spannungs-Energie-Tensors zu einem von mehreren Typen:

• Vakuumlösungen : ; diese beschreiben Bereiche, in denen keine Materie oder nichtgravitative Felder vorhanden sind,${\displaystyle T^{\alpha \beta }=0}$
• Elektrovakuumlösungen : müssen vollständig aus einem elektromagnetischen Feld entstehen , das die quellenfreien Maxwell-Gleichungen auf der gegebenen gekrümmten Lorentzschen Mannigfaltigkeit löst; dies bedeutet, dass die einzige Quelle für das Gravitationsfeld die Feldenergie (und der Impuls) des elektromagnetischen Feldes ist.${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• Nullstaublösungen : müssen einem Spannungs-Energie-Tensor entsprechen, der als Folge inkohärenter elektromagnetischer Strahlung interpretiert werden kann, ohne notwendigerweise die Maxwell-Feldgleichungen auf der gegebenen Lorentzschen Mannigfaltigkeit zu lösen.${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• Fluidlösungen : müssen vollständig aus dem Spannungs-Energie-Tensor eines Fluids (oft als perfektes Fluid angenommen ) entstehen; die einzige Quelle für das Gravitationsfeld ist die Energie, der Impuls und die Spannung (Druck und Scherspannung ) der Materie, aus der das Fluid besteht.${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Neben so gut etablierten Phänomenen wie Flüssigkeiten oder elektromagnetischen Wellen kann man auch Modelle in Betracht ziehen, in denen das Gravitationsfeld vollständig durch die Feldenergie verschiedener exotischer hypothetischer Felder erzeugt wird:

• Skalarfeldlösungen : müssen vollständig aus einem Skalarfeld (oft einem masselosen Skalarfeld) entstehen; diese können in klassischen Feldtheoriebehandlungen von Mesonenstrahlen oder als Quintessenz auftreten .${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• Lambdavakuum-Lösungen (kein Standardbegriff, sondern ein Standardkonzept, für das es noch keinen Namen gibt): entstehen ausschließlich aus einer von Null verschiedenen kosmologischen Konstante .${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

Eine Möglichkeit, die bisher wenig Beachtung gefunden hat (möglicherweise aufgrund der komplexen mathematischen Thematik), ist die Modellierung eines elastischen Festkörpers . Derzeit scheinen für diesen speziellen Typ keine exakten Lösungen bekannt zu sein.

Im Folgenden haben wir eine Klassifizierung nach physikalischer Interpretation skizziert. Lösungen können auch mithilfe der Segre-Klassifizierung der möglichen algebraischen Symmetrien des Ricci-Tensors geordnet werden :

• Nicht-Null-Elektrovakua haben den Segre-Typ und die Isotropiegruppe SO(1,1) x SO(2).${\displaystyle \{\,(1,1)(11)\}}$
• Null-Elektrovakuum und Null-Staub haben den Segre-Typ und die Isotropiegruppe E(2).${\displaystyle \{\,(2,11)\}}$
• Ideale Fluide haben den Segre-Typ und die Isotropiegruppe SO(3).${\displaystyle \{\,1,(111)\}}$
• Lambda-Vakua haben den Segre-Typ und die Isotropiegruppe SO(1,3).${\displaystyle \{\,(1,111)\}}$

Die übrigen Segre-Typen haben keine spezifische physikalische Interpretation und die meisten von ihnen können keinem bekannten Beitragstyp zum Spannungs-Energie-Tensor zugeordnet werden.

Bemerkenswerte Beispiele für Vakuumlösungen, Elektrovakuumlösungen usw. sind in Fachartikeln aufgeführt (siehe unten). Diese Lösungen enthalten höchstens einen Beitrag zum Energie-Impuls-Tensor , der auf eine bestimmte Art von Materie oder Feld zurückzuführen ist. Es gibt jedoch einige bemerkenswerte exakte Lösungen, die zwei oder drei Beiträge enthalten, darunter:

• Die NUT-Kerr–Newman–de-Sitter-Lösung enthält Beiträge eines elektromagnetischen Feldes und einer positiven Vakuumenergie sowie eine Art Vakuumstörung des Kerr-Vakuums, die durch den sogenannten NUT-Parameter spezifiziert wird.
• Gödel-Staub enthält Beiträge eines drucklosen idealen Fluids (Staub) und einer positiven Vakuumenergie.

Die Einsteinschen Feldgleichungen sind ein System gekoppelter, nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Dies macht sie im Allgemeinen schwer lösbar. Dennoch wurden mehrere effektive Verfahren zur Bestimmung exakter Lösungen entwickelt.

Die einfachste Methode besteht darin, Symmetriebedingungen an den metrischen Tensor zu stellen , wie etwa Stationarität (Symmetrie unter Zeitverschiebung ) oder Achsensymmetrie (Symmetrie unter Rotation um eine Symmetrieachse ). Mit hinreichend geschickten Annahmen dieser Art lässt sich die Einsteinsche Feldgleichung oft auf ein deutlich einfacheres Gleichungssystem reduzieren, sogar auf eine einzige partielle Differentialgleichung (wie im Fall stationärer, achsensymmetrischer Vakuumlösungen, die durch die Ernst-Gleichung charakterisiert sind ) oder auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen (wie im Fall des Schwarzschild-Vakuums ).

Dieser naive Ansatz funktioniert in der Regel am besten, wenn man ein Rahmenfeld anstelle einer Koordinatenbasis verwendet.

Ein verwandter Ansatz besteht darin, algebraische Symmetriebedingungen an den Weyl-Tensor , den Ricci-Tensor oder den Riemann-Tensor zu stellen . Diese werden häufig anhand der Petrov-Klassifikation der möglichen Symmetrien des Weyl-Tensors oder der Segre-Klassifikation der möglichen Symmetrien des Ricci-Tensors formuliert. Wie aus der obigen Diskussion hervorgeht, besitzen solche Ansätze oft einen physikalischen Gehalt, auch wenn dieser aus ihrer mathematischen Form nicht immer ersichtlich ist.

Dieser zweite Symmetrieansatz wurde häufig in Verbindung mit dem Newman-Penrose-Formalismus verwendet , der spinorielle Größen für eine effizientere Buchführung nutzt.

Selbst nach solchen Symmetriereduktionen ist das reduzierte Gleichungssystem oft schwer zu lösen. Beispielsweise ist die Ernst-Gleichung eine nichtlineare partielle Differentialgleichung, die der nichtlinearen Schrödingergleichung (NLS) ähnelt.

Erinnern wir uns daran, dass die konforme Gruppe auf der Minkowski-Raumzeit die Symmetriegruppe der Maxwell-Gleichungen ist . Ebenso erinnern wir uns daran, dass Lösungen der Wärmeleitungsgleichung durch einen Skalierungsansatz gefunden werden können . Diese Begriffe sind lediglich Spezialfälle von Sophus Lies Begriff der Punktsymmetrie einer Differentialgleichung (oder eines Gleichungssystems). Wie Lie zeigte, bietet dies einen Ansatzpunkt für jede Differentialgleichung mit einer nichttrivialen Symmetriegruppe. Tatsächlich besitzen sowohl die Ernst-Gleichung als auch die NLS nichttriviale Symmetriegruppen, und einige Lösungen lassen sich durch Ausnutzung ihrer Symmetrien finden. Diese Symmetriegruppen sind oft unendlichdimensional, was jedoch nicht immer von Vorteil ist.

Emmy Noether zeigte, dass eine geringfügige, aber tiefgreifende Verallgemeinerung von Lies Symmetriebegriff zu einer noch leistungsfähigeren Methode führen kann. Dies steht in engem Zusammenhang mit der Entdeckung, dass einige Gleichungen, die als vollständig integrierbar bezeichnet werden , eine unendliche Folge von Erhaltungssätzen besitzen . Bemerkenswerterweise erweisen sich sowohl die Ernst-Gleichung (die in verschiedenen Formen bei der Suche nach exakten Lösungen auftritt) als auch die NLS als vollständig integrierbar. Sie sind daher mit Techniken lösbar, die der inversen Streutransformation ähneln. Diese wurde ursprünglich zur Lösung der Korteweg-de-Vries-Gleichung (KdV-Gleichung) entwickelt , einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung aus der Solitonentheorie , die ebenfalls vollständig integrierbar ist. Leider sind die mit diesen Methoden erzielten Lösungen oft nicht so optimal, wie man es sich wünschen würde. Beispielsweise kann man, analog zur Gewinnung einer Mehrfachsolitonenlösung der KdV-Gleichung aus der Einzelsolitonenlösung (die sich aus Lies Begriff der Punktsymmetrie ergibt), eine Mehrfachsolitonenlösung der Kerr-Objekt-Gleichung erhalten; dies weist jedoch leider einige Merkmale auf, die es physikalisch unplausibel machen. ^{[ 2 ]}

Es existieren außerdem verschiedene Transformationen (siehe Belinski-Zakharov-Transformation ), die beispielsweise eine auf anderem Wege gefundene Vakuumlösung in eine neue Vakuumlösung, eine Elektrovakuumlösung oder eine Fluidlösung überführen können. Diese Transformationen sind analog zu den Bäcklund-Transformationen, die aus der Theorie bestimmter partieller Differentialgleichungen bekannt sind , darunter einige berühmte Beispiele von Solitonengleichungen . Dies ist kein Zufall, da dieses Phänomen auch mit den Symmetriebegriffen von Noether und Lie zusammenhängt. Leider liefern diese Transformationen selbst bei Anwendung auf eine vermeintlich gut verstandene, global zulässige Lösung häufig eine schlecht verstandene Lösung, deren allgemeine Interpretation noch immer unbekannt ist.

Angesichts der Schwierigkeit, explizite kleine Lösungsfamilien zu konstruieren, geschweige denn so etwas wie eine „allgemeine“ Lösung der Einsteinschen Feldgleichung oder gar der Vakuumfeldgleichung zu präsentieren , ist es ein sehr sinnvoller Ansatz, qualitative Eigenschaften zu finden, die für alle Lösungen oder zumindest für alle Vakuumlösungen gelten . Eine der grundlegendsten Fragen lautet: Existieren Lösungen, und wenn ja, wie viele ?

Zunächst wählen wir eine geeignete Anfangswertformulierung der Feldgleichung. Diese führt zu zwei neuen Gleichungssystemen: eines mit einer Nebenbedingung für die Anfangsdaten und eines mit einem Verfahren zur Entwicklung dieser Anfangsdaten zu einer Lösung. Anschließend lässt sich die Existenz von Lösungen zumindest lokal beweisen , indem man Ideen verwendet, die denen bei der Untersuchung anderer Differentialgleichungen nicht unähnlich sind.

Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie viele Lösungen wir optimistisch erwarten können, können wir auf Einsteins Methode der Nebenbedingungen zurückgreifen . Eine typische Schlussfolgerung dieser Argumentation ist, dass eine generische Vakuumlösung der Einsteinschen Feldgleichung durch vier beliebige Funktionen mit drei Variablen und sechs beliebige Funktionen mit zwei Variablen spezifiziert werden kann. Diese Funktionen legen Anfangsdaten fest, aus denen sich eine eindeutige Vakuumlösung entwickeln lässt . (Im Gegensatz dazu werden die Ernst-Vakua, die Familie aller stationären, achsensymmetrischen Vakuumlösungen, durch nur zwei Funktionen mit zwei Variablen spezifiziert, die nicht einmal beliebig sind, sondern ein System aus zwei gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erfüllen müssen. Dies mag eine Vorstellung davon vermitteln, wie winzig eine typische „große“ Familie exakter Lösungen im großen Ganzen tatsächlich ist.)

Diese grobe Analyse greift jedoch bei Weitem zu kurz, um die weitaus schwierigere Frage nach der globalen Existenz von Lösungen zu beantworten. Die bisher bekannten Ergebnisse zur globalen Existenz von Lösungen beruhen auf einer anderen Idee.

Wir können uns vorstellen, das Gravitationsfeld außerhalb eines isolierten massereichen Objekts zu „stören“, indem wir „Strahlung aus dem Unendlichen einsenden“. Wir können fragen: Was geschieht, wenn die einfallende Strahlung mit dem umgebenden Feld wechselwirkt? Im Rahmen der klassischen Störungstheorie können wir mit einem Minkowski-Vakuum (oder einer anderen sehr einfachen Lösung wie dem de-Sitter-Lambda-Vakuum) beginnen, sehr kleine metrische Störungen einführen und in einer geeigneten Störungsentwicklung nur Terme bis zu einer bestimmten Ordnung berücksichtigen – ähnlich der Auswertung einer Taylorreihe für die Geometrie unserer Raumzeit. Dieser Ansatz ist im Wesentlichen die Idee hinter den post-Newtonschen Näherungen, die beim Aufbau von Modellen gravitierender Systeme wie beispielsweise binären Pulsaren verwendet werden . Störungsentwicklungen sind jedoch im Allgemeinen nicht zuverlässig für Fragen der langfristigen Existenz und Stabilität, insbesondere bei nichtlinearen Gleichungen.

Die vollständige Feldgleichung ist stark nichtlinear, daher wollen wir beweisen, dass das Minkowski-Vakuum unter kleinen Störungen, die mithilfe der vollständig nichtlinearen Feldgleichung behandelt werden, stabil ist. Dies erfordert die Einführung vieler neuer Ideen. Das gewünschte Ergebnis, das mitunter als „nichtlineare Stabilität des Minkowski-Vakuums“ bezeichnet wird, wurde schließlich 1993 von Demetrios Christodoulou und Sergiu Klainerman bewiesen. ^{[ 3 ]} Analoge Ergebnisse sind für Lambdavac-Störungen des de-Sitter-Lambdavacuums ( Helmut Friedrich ) und für Elektrovacuum-Störungen des Minkowski-Vakuums ( Nina Zipser ) bekannt. Im Gegensatz dazu ist bekannt, dass die Anti -de-Sitter-Raumzeit unter bestimmten Bedingungen instabil ist. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Ein weiteres Problem, das uns Sorgen bereiten könnte, ist die Frage, ob die Nettomasse-Energie einer isolierten Konzentration positiver Massenenergiedichte (und Impuls) stets eine wohldefinierte (und nicht-negative) Nettomasse ergibt. Dieses Ergebnis, bekannt als das Theorem der positiven Energie, wurde schließlich 1979 von Richard Schoen und Shing-Tung Yau bewiesen , die eine zusätzliche technische Annahme über die Natur des Energie-Impuls-Tensors trafen. Der ursprüngliche Beweis ist sehr schwierig; Edward Witten präsentierte bald darauf einen wesentlich kürzeren „physikalischen Beweis“, der von Mathematikern – unter Verwendung weiterer sehr komplexer Argumente – bestätigt wurde. Roger Penrose und andere haben zudem alternative Argumente für Varianten des ursprünglichen Theorems der positiven Energie vorgelegt.

• Liste der Raumzeiten
• Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-Metrik
• Petrov-Klassifikation für algebraische Symmetrien des Weyl-Tensors

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