Linearisierte Schwerkraft

In der allgemeinen Relativitätstheorie bezeichnet die linearisierte Gravitation die Anwendung der Störungstheorie auf den metrischen Tensor , der die Geometrie der Raumzeit beschreibt . Daher ist die linearisierte Gravitation eine effektive Methode zur Modellierung der Gravitationseffekte bei schwachen Gravitationsfeldern . Ihre Anwendung ist integraler Bestandteil der Untersuchung von Gravitationswellen und der Gravitationslinsenwirkung in schwachen Gravitationsfeldern .

Die Einsteinschen Feldgleichungen (EFE), die die Geometrie der Raumzeit unter Verwendung der MTW-Vorzeichenkonvention einschließlich der metrischen Signatur (−+++) beschreiben , lauten:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

wobei der Ricci-Tensor ist , der Ricci-Skalar ist , der Energie-Impuls-Tensor ist , die Einstein-Gravitationskonstante ist und der Raumzeit -Metriktensor ist , der die Lösungen der Gleichung darstellt. ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Obwohl die Darstellung in Einstein-Notation prägnant ist , verbergen sich im Ricci-Tensor und Ricci-Skalar außergewöhnlich nichtlineare Abhängigkeiten vom metrischen Tensor, die die Suche nach exakten Lösungen in den meisten Systemen praktisch unmöglich machen. Beschreibt man jedoch Systeme mit geringer Raumzeitkrümmung (d. h., Terme in den effektiven Feldgleichungen, die quadratisch in π sind, tragen nicht wesentlich zu den Bewegungsgleichungen bei), so lässt sich die Lösung der Feldgleichungen als Minkowski-Metrik ^{[ Anmerkung 1 ]} plus einem kleinen Störungsterm modellieren . Anders ausgedrückt: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.}$

In diesem Bereich führt die Ersetzung der Störungsnäherung durch die allgemeine Metrik zu einem vereinfachten Ausdruck für den Ricci-Tensor: ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

$R _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),}$

wobei die Spur der Störung ist, die partielle Ableitung nach der Koordinate der Raumzeit bezeichnet und der d'Alembert-Operator ist . ${\displaystyle h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$${\displaystyle \partial _{\mu }}$${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle \square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }}$

Zusammen mit dem Ricci-Skalar,

${\displaystyle R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,}$

Die linke Seite der Feldgleichung reduziert sich auf

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).}$

und somit reduziert sich die EFE auf eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung in Bezug auf . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Die Zerlegung der allgemeinen Raumzeit in die Minkowski-Metrik und einen Störungsterm ist nicht eindeutig. Dies liegt daran, dass unterschiedliche Koordinatenwahlen zu unterschiedlichen Formen für führen können . Um dieses Phänomen zu erfassen, wird das Konzept der Eichsymmetrie eingeführt. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Eichsymmetrien sind ein mathematisches Hilfsmittel zur Beschreibung eines Systems, das sich nicht ändert, wenn das zugrunde liegende Koordinatensystem um einen infinitesimalen Betrag verschoben wird. Obwohl die Störungsmetrik also nicht zwischen verschiedenen Koordinatensystemen konsistent definiert ist, bleibt das Gesamtsystem, das sie beschreibt, unverändert . ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Um dies formal zu erfassen, wird die Nicht-Eindeutigkeit der Störung als Folge der Vielzahl von Diffeomorphismen auf der Raumzeit dargestellt, die ausreichend kleine Werte zurücklassen. Daher ist es erforderlich, die Störungsmetrik mithilfe einer allgemeinen Menge von Diffeomorphismen zu definieren und anschließend diejenige Teilmenge auszuwählen, die die für die Schwachfeldnäherung notwendige kleine Skala beibehält. Man kann somit einen beliebigen Diffeomorphismus definieren, der die flache Minkowski-Raumzeit auf die allgemeinere, durch die Metrik dargestellte Raumzeit abbildet . Damit lässt sich die Störungsmetrik als Differenz zwischen dem Pullback von und der Minkowski-Metrik definieren. ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h_{\mu \nu }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.}$

Die Diffeomorphismen können somit so gewählt werden, dass ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \vert h_{\mu \nu }\vert \ll 1}$

Ausgehend von einem Vektorfeld, das auf der flachen Hintergrundraumzeit definiert ist, lässt sich eine zusätzliche Familie von Diffeomorphismen definieren, die durch ⁠ ⁠ erzeugt und parametrisiert werden . Diese neuen Diffeomorphismen werden verwendet, um die Koordinatentransformationen für „infinitesimale Verschiebungen“ wie oben beschrieben darzustellen. Zusammen mit ⁠ ⁠ ergibt sich eine Familie von Störungen durch ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$${\displaystyle \psi _{\epsilon }}$${\displaystyle \xi ^{\mu }}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

Daher gilt im Grenzwert ⁠ ⁠${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ ,

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }}$

wobei die Lie-Ableitung entlang des Vektorfeldes ist .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }}$${\displaystyle \xi _{\mu }}$

Die Lie-Ableitung führt zur endgültigen Eichtransformation der Störungsmetrik ⁠ ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ :

${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),}$

Diese definieren präzise die Menge der Störungsmetriken, die dasselbe physikalische System beschreiben. Anders ausgedrückt: Sie charakterisieren die Eichsymmetrie der linearisierten Feldgleichungen.

Durch Ausnutzung der Eichinvarianz können bestimmte Eigenschaften der Störungsmetrik durch die Wahl eines geeigneten Vektorfeldes gewährleistet werden .${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

Um zu untersuchen, wie die Störung Längenmessungen verzerrt, ist es hilfreich, den folgenden räumlichen Tensor zu definieren: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}}$

(Beachten Sie, dass die Indizes nur räumliche Komponenten umfassen: ⁠ ⁠${\displaystyle i,j\in \{1,2,3\}}$ ). Mithilfe von ⁠ ⁠${\displaystyle s_{ij}}$ lassen sich die räumlichen Komponenten der Störung wie folgt zerlegen:

${\displaystyle h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}}$

Wo . ${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}}$

Der Tensor ist per Konstruktion spurlos und wird als Verzerrung bezeichnet, da er angibt, um wie viel die Störung die Raummessungen dehnt bzw. staucht . Im Kontext der Untersuchung von Gravitationsstrahlung ist die Verzerrung besonders nützlich in Verbindung mit der transversalen Eichung. Diese Eichung ist definiert, indem die räumlichen Komponenten so gewählt werden, dass die Beziehung erfüllt ist. ${\displaystyle s_{ij}}$${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},}$

dann die Zeitkomponente auswählen, die erfüllt sein muss ${\displaystyle \xi ^{0}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.}$

Nach Durchführung der Dehnungsmessungstransformation mithilfe der Formel aus dem vorherigen Abschnitt wird die Dehnung räumlich transversal:

${\displaystyle \partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,}$

mit der zusätzlichen Eigenschaft:

${\displaystyle \partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.}$

Die synchrone Eichung vereinfacht die Störungsmetrik, indem sie fordert, dass die Metrik Zeitmessungen nicht verzerrt. Genauer gesagt wird die synchrone Eichung so gewählt, dass die nicht-räumlichen Komponenten von null sind, nämlich ${\displaystyle h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}}$

${\displaystyle h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.}$

Dies kann erreicht werden, indem gefordert wird, dass die Zeitkomponente von erfüllt sein muss ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}}$

und die räumlichen Komponenten müssen erfüllt sein

${\displaystyle \partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.}$

Die harmonische Eichung (auch Lorenz-Eichung genannt ^{[ Anmerkung 2 ]} ) wird immer dann gewählt, wenn es notwendig ist, die linearisierten Feldgleichungen so weit wie möglich zu reduzieren. Dies ist möglich, wenn die Bedingung erfüllt ist.

${\displaystyle \partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h}$

ist wahr. Um dies zu erreichen, muss die folgende Beziehung erfüllt sein: ${\displaystyle \xi _{\mu }}$

${\displaystyle \square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.}$

Folglich reduziert sich der Einstein-Tensor durch Verwendung der harmonischen Eichung auf ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).}$

Daher${\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }}$ reduzieren sich die linearisierten Feldgleichungen durch die Verwendung einer „spurumgekehrten“ Metrik auf

${\displaystyle \square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.}$

Dies lässt sich exakt lösen, um die Wellenlösungen zu erzeugen, die die Gravitationsstrahlung definieren .

• Carroll, Sean M. (2003). Raumzeit und Geometrie: Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie . Addison-Wesley. ISBN 978-0-805-38732-2Die

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