Elektronische Filtertopologie

Die Topologie elektronischer Filter definiert elektronische Filterschaltungen , ohne die Werte der verwendeten Bauteile zu berücksichtigen, sondern nur die Art und Weise, wie diese Bauteile miteinander verbunden sind.

Die Filterauslegung charakterisiert Filterschaltungen primär durch ihre Übertragungsfunktion und weniger durch ihre Topologie . Übertragungsfunktionen können linear oder nichtlinear sein . Gängige lineare Übertragungsfunktionen sind Hochpass- , Tiefpass- , Bandpass- , Bandsperr- und Allpassfilter . Sobald die Übertragungsfunktion eines Filters festgelegt ist, kann die passende Topologie zur Implementierung eines solchen Prototypfilters ausgewählt werden. Beispielsweise könnte man einen Butterworth-Filter mithilfe der Sallen-Key-Topologie entwerfen .

Filtertopologien lassen sich in passive und aktive Typen unterteilen. Passive Topologien bestehen ausschließlich aus passiven Bauelementen wie Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten. Aktive Topologien enthalten zusätzlich aktive Bauelemente (wie Transistoren, Operationsverstärker und andere integrierte Schaltungen), die Strom benötigen. Darüber hinaus können Topologien entweder unsymmetrisch oder, in symmetrischen Schaltungen eingesetzt, symmetrisch realisiert werden . Anwendungen wie elektronische Mischpulte und Stereoanlagen benötigen mitunter Arrays identischer Schaltungen.

Passive Filter werden seit Langem entwickelt und eingesetzt . Die meisten bestehen aus einfachen Zweitornetzwerken, sogenannten „Sektionen“. Eine formale Definition einer Sektion existiert nicht, außer dass sie mindestens eine Serienkomponente und eine Parallelkomponente enthalten muss. Sektionen werden stets in einer Kaskaden- oder Reihenschaltung verbunden , die aus zusätzlichen Kopien derselben oder völlig unterschiedlicher Sektionen besteht. Gemäß den Regeln für Serien- und Parallelimpedanz werden zwei Sektionen, die ausschließlich aus Serien- bzw. Parallelkomponenten bestehen, zu einer einzigen Sektion zusammengefasst.

Einige passive Filter, die nur aus einem oder zwei Filterabschnitten bestehen, tragen spezielle Bezeichnungen wie L-, T- und Π-Abschnitt (unsymmetrische Filter) sowie C-, H- und Kasten-Abschnitt (symmetrische Filter). Sie alle basieren auf einer sehr einfachen Leiterstruktur (siehe unten). Die Tabelle am Ende der Seite veranschaulicht diese verschiedenen Topologien anhand allgemeiner Filter mit konstantem k .

Mithilfe der Netzwerksynthese entworfene Filter wiederholen üblicherweise die einfachste Form der L-förmigen Topologie, wobei sich die Komponentenwerte in jedem Abschnitt ändern können. Bildbasierte Filter hingegen behalten die gleichen grundlegenden Komponentenwerte von Abschnitt zu Abschnitt bei, obwohl die Topologie variieren kann und tendenziell komplexere Abschnitte verwendet.

L-Profile sind niemals symmetrisch, aber zwei Rücken an Rücken angeordnete L-Profile bilden eine symmetrische Topologie, und viele andere Profile sind in ihrer Form symmetrisch.

Die Leitertopologie, oft auch Cauer-Topologie genannt ( nach Wilhelm Cauer , dem Erfinder des elliptischen Filters ), wurde tatsächlich erstmals von George Campbell (dem Erfinder des Constant-k-Filters ) verwendet. Campbell veröffentlichte seine Arbeit 1922, nutzte die Topologie aber offensichtlich schon länger. Cauer selbst griff die Leitertopologie erstmals auf (Veröffentlichung 1926), inspiriert von Fosters Arbeit (1924). Es gibt zwei grundlegende Formen von Leitertopologien: unbalancierte und balancierte. Die Cauer-Topologie wird üblicherweise als unbalancierte Leitertopologie betrachtet.

Ein Leiternetzwerk besteht aus kaskadierten asymmetrischen L-Abschnitten (unsymmetrisch) oder C-Abschnitten (symmetrisch). Im Tiefpassbetrieb besteht die Topologie aus in Reihe geschalteten Induktivitäten und parallel geschalteten Kondensatoren. Andere Frequenzbänder weisen eine ebenso einfache, aus der Tiefpasstopologie abgeleitete Topologie auf . Das transformierte Netzwerk besitzt parallele Admittanzen, die duale Netzwerke der Reihenimpedanzen darstellen, sofern diese im Ausgangsnetzwerk dual sind – was bei in Reihe geschalteten Induktivitäten und parallel geschalteten Kondensatoren der Fall ist.

Bildfilterabschnitte​
	Unausgewogen L-Halbsegment T-Profil P Abschnitt Leiternetzwerk
	Ausgewogen C Halbabschnitt H-Abschnitt Kastenprofil Leiternetzwerk X-Abschnitt (mittleres T-Abgeleitet) X-Abschnitt (mittleres-Π-abgeleitet)
Anmerkung In Lehrbüchern und Konstruktionszeichnungen werden üblicherweise die unsymmetrischen Ausführungen gezeigt, aber in der Telekommunikation ist es oft erforderlich, die Konstruktion auf die symmetrische Ausführung umzustellen, wenn symmetrische Leitungen verwendet werden.

Bei der Entwicklung von Bildfiltern werden häufig Modifikationen der grundlegenden Leitertopologie verwendet. Diese von Otto Zobel [ ^{1 ]} entwickelten Topologien weisen dieselben Durchlassbereiche wie die zugrunde liegende Leitertopologie auf, jedoch werden ihre Übertragungsfunktionen modifiziert, um Parameter wie Impedanzanpassung, Sperrdämpfung oder die Steilheit des Übergangs vom Durchlass- zum Sperrbereich zu verbessern ^. Üblicherweise wird eine einfache Leitertopologie transformiert: Die resultierende Topologie ist zwar leiterähnlich, erfüllt aber nicht mehr die Regel, dass die Paralleladmittanzen das duale Netzwerk der Serienimpedanzen darstellen. Mit zunehmender Bauteilanzahl wird sie zwangsläufig komplexer. Beispiele für solche Topologien sind:

• m-abgeleiteter Filter
• mm'-Typ-Filter
• Allgemeiner m _n -Typ Filter

Der m-Typ-Filter (von m abgeleitet) ist die mit Abstand am häufigsten verwendete modifizierte Spiegelfrequenzleiter-Topologie. Für jede der grundlegenden Spiegelfrequenzleiter-Topologien existieren zwei m-Typ-Topologien: die seriell und die parallel geschaltete. Diese besitzen identische Übertragungsfunktionen, aber unterschiedliche Spiegelfrequenzimpedanzen. Bei der Auslegung eines Filters mit mehreren Durchlassbereichen führt die m-Typ-Topologie zu einem Filter, bei dem jeder Durchlassbereich ein analoges Frequenzgangverhalten aufweist. Die m-Typ-Topologie lässt sich für Filter mit mehreren Durchlassbereichen verallgemeinern, indem man Parameter m₁, m₂, m₃ usw. verwendet _, die _nicht einheitlich _sind . Dies führt zu allgemeinen mₙ _- Typ- Filtern ^{[ 2 ]} , deren Bandformen sich in verschiedenen Bereichen des Frequenzspektrums unterscheiden können.

Die mm'-Topologie kann als doppelte m-Topologie betrachtet werden. Wie die m-Topologie weist sie dieselbe Bandform auf, bietet aber verbesserte Übertragungseigenschaften. Aufgrund der höheren Bauteilanzahl und Komplexität sowie der üblicherweise erforderlichen Impedanzanpassung, die die Verwendung von Leiter- und m-förmigen Abschnitten im selben Filter erfordert, wird sie jedoch selten eingesetzt. Sie findet sich üblicherweise nur in zusammengesetzten Filtern .

Zobel-Konstantwiderstandsfilter ^{[ 3 ]} verwenden eine Topologie, die sich von anderen Filtertypen unterscheidet. Sie zeichnen sich durch einen konstanten Eingangswiderstand über den gesamten Frequenzbereich und die Verwendung von Widerstandsbauteilen in ihren Abschnitten aus. Die höhere Anzahl an Bauteilen und Abschnitten beschränkt ihren Einsatz üblicherweise auf Entzerrungsanwendungen. Typische Topologien für Konstantwiderstandsfilter sind das Brücken-T-Filter und seine Varianten, die alle im Artikel über Zobel-Netzwerke beschrieben werden .

• Bridged-T-Topologie
• Ausgewogene gebrückte T-Topologie
• Offene L-Segment-Topologie
• Kurzschluss-L-Profil-Topologie
• Symmetrische offene C-Abschnittstopologie
• Symmetrische Kurzschluss-C-Sektionstopologie

Die Brücken-T-Topologie wird auch in Abschnitten verwendet, die eine Signalverzögerung erzeugen sollen; in diesem Fall werden jedoch keine Widerstandsbauteile im Design verwendet.

Sowohl das T-Glied (aus der Leitertopologie) als auch das Brücken-T-Glied (aus der Zobel-Topologie) lassen sich in ein Filterglied mit Gittertopologie umwandeln, was jedoch in beiden Fällen zu einer hohen Bauteilanzahl und Komplexität führt. Die häufigste Anwendung von Gitterfiltern (X-Gliedern) liegt in Allpassfiltern zur Phasenentzerrung . ^{[ 4 ]}

Obwohl T- und überbrückte T-Abschnitte immer in X-Abschnitte umgewandelt werden können, ist die Umkehrung nicht immer möglich, da bei der Umwandlung negative Werte für Induktivität und Kapazität auftreten können.

Die Gittertopologie ist identisch mit der bekannteren Brückentopologie ; der Unterschied besteht lediglich in der gezeichneten Darstellung auf dem Papier und nicht in einem wirklichen Unterschied in Topologie, Schaltung oder Funktion.

Die elementare Rückkopplungstopologie basiert auf der einfachen invertierenden Verstärkerkonfiguration . Die Übertragungsfunktion lautet:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{Z_{2} \over Z_{1}}}$

Die Mehrfachrückkopplungstopologie ist eine elektronische Filtertopologie, die zur Implementierung eines elektronischen Filters durch Hinzufügen zweier Pole zur Übertragungsfunktion verwendet wird . Ein Schaltplan für einen Tiefpassfilter zweiter Ordnung ist in der Abbildung rechts dargestellt.

Die Übertragungsfunktion der Tiefpass-Mehrfachrückkopplungstopologie ist, wie bei allen linearen Tiefpassfiltern zweiter Ordnung , folgende:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {1}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {K{\omega _{n}}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{n}}{Q}}s+{\omega _{n}}^{2}}}}$Die

In einem MF-Tiefpassfilter,

${\displaystyle A=R_{1}R_{3}C_{2}C_{5}\,}$

${\displaystyle B=R_{3}C_{5}+R_{1}C_{5}+R_{1}R_{3}C_{5}/R_{4}\,}$

${\displaystyle C=R_{1}/R_{4}\,}$

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}{(R_{4}+R_{3}+|K|R_{3})C_{5}}}}$ist der Qualitätsfaktor .

${\displaystyle K=-R_{4}/R_{1}\,}$ist die Gleichspannungsverstärkung

${\displaystyle \omega _{n}=2\pi f_{n}={\frac {1}{\sqrt {R_{3}R_{4}C_{2}C_{5}}}}}$ist die natürliche Frequenz

und, vorausgesetzt${\displaystyle Q>={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \omega _{c}=\omega _{n}{\sqrt {1-1/(2Q^{2})+{\sqrt {2-1/Q^{2}+1/(4Q^{4})}}}}}$ist die Grenzfrequenz

${\displaystyle \omega _{r}=2\pi f_{r}=\omega _{n}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q^{2}}}}}}$ist die Resonanzfrequenz

${\displaystyle M_{r}={\frac {2Q^{2}}{\sqrt {4Q^{2}-1}}}}$Die Verstärkung erreicht ihren Höhepunkt bei der Resonanz.

Die Übertragungsfunktion der Hochpass-Mehrfachrückkopplungstopologie-Schaltung ist, wie bei allen linearen Hochpassfiltern zweiter Ordnung , bei denen R und C im obigen Schaltplan vertauscht werden:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {s^{2}}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {Ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{n}}{Q}}s+{\omega _{n}}^{2}}}}$Die

Bei einem MF-Hochpassfilter, wobei der skalare Verstärkungsfaktor K vernachlässigt wird:

${\displaystyle A=1\,}$

${\displaystyle B={\frac {C_{1}+C_{3}+C_{4}}{R_{5}C_{3}C_{4}}}\,}$

${\displaystyle C={\frac {1}{R_{2}R_{5}C_{3}C_{4}}}\,}$

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {C_{3}C_{4}R_{2}R_{5}}}{(C_{4}+C_{3}+|K|C_{3})R_{5}}}}$ist der Qualitätsfaktor

${\displaystyle K=-C_{1}/C_{4}\,}$ist die HF-Spannungsverstärkung

${\displaystyle \omega _{n}=2\pi f_{n}={\frac {1}{\sqrt {C_{3}C_{4}R_{2}R_{5}}}}}$ist die natürliche Frequenz

und nochmals vorausgesetzt${\displaystyle Q>={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}={\frac {w_{n}}{\sqrt {1-1/(2Q^{2})+{\sqrt {2-1/Q^{2}+1/(4Q^{4})}}}}}}$ist die Grenzfrequenz

${\displaystyle \omega _{r}=2\pi f_{r}={\frac {\omega _{n}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2Q^{2}}}}}}}}$ist die Resonanzfrequenz

${\displaystyle M_{r}={\frac {2Q^{2}}{\sqrt {4Q^{2}-1}}}}$Die Verstärkung erreicht ihren Höhepunkt bei der Resonanz.

Die Übertragungsfunktion der Bandpass-Mehrfachrückkopplungstopologie ist, wie bei allen linearen Bandpassfiltern zweiter Ordnung , wie folgt:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}}{V_{i}}}=-{\frac {s}{As^{2}+Bs+C}}={\frac {K\omega _{bw}s}{s^{2}+\omega _{bw}s+\omega _{c}^{2}}}}$, Wo

${\displaystyle \omega _{c}}$ist die Mittenfrequenz,

${\displaystyle \omega _{bw}}$ist die Filterbandbreite an den -3 dB-Punkten, und

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{c}}{\omega _{bw}}}}$ is the quality factor.

In an MF bandpass filter with equal capacitors C:

${\displaystyle K\omega _{bw}=-{\frac {1}{R_{1}C}}}$

${\displaystyle A=1}$

${\displaystyle B={\frac {2C}{R_{3}}}}$

${\displaystyle C={\frac {1}{(R_{1}||R_{2})R_{3}C^{2}}}}$

Note that although this is a 2nd-order filter, as it has two poles, the rate of attenuation either side of the centre frequency is 6 dB/octave, not 12 dB/octave, because only one of the poles is active at any given frequency.

This topology is only adequate for a narrowband bandpass filter. For a wideband bandpass filter with a flat passband it is necessary to use a lowpass and a highpass in series.

For finding suitable component values to achieve the desired filter properties, a similar approach can be followed as in the Design choices section of the alternative Sallen–Key topology.

For the digital implementation of a biquad filter, see Digital biquad filter.

A biquad filter is a type of linear filter that implements a transfer function that is the ratio of two quadratic functions. The name biquad is short for biquadratic. Any second-order filter topology can be referred to as a biquad, such as the MFB or Sallen-Key.^[5][6] However, there is also a specific "biquad" topology. It is also sometimes called the 'ring of 3' circuit.

Biquad filters are typically active and implemented with a single-amplifier biquad (SAB) or two-integrator-loop topology.

• The SAB topology uses feedback to generate complexpoles and possibly complex zeros. In particular, the feedback moves the real poles of an RC circuit in order to generate the proper filter characteristics.
• The two-integrator-loop topology is derived from rearranging a biquadratic transfer function. The rearrangement will equate one signal with the sum of another signal, its integral, and the integral's integral. In other words, the rearrangement reveals a state variable filter structure. By using different states as outputs, any kind of second-order filter can be implemented.

The SAB topology is sensitive to component choice and can be more difficult to adjust. Hence, usually the term biquad refers to the two-integrator-loop state variable filter topology.

For example, the basic configuration in Figure 1 can be used as either a low-pass or bandpass filter depending on where the output signal is taken from.

The second-order low-pass transfer function is given by

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{\mathrm {lpf} }{\omega _{0}}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$

wobei die Tiefpassverstärkung . Die Bandpass-Übertragungsfunktion zweiter Ordnung ist gegeben durch ${\displaystyle G_{\mathrm {lpf} }=-R_{2}/R_{1}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{\mathrm {bpf} }{\frac {\omega _{0}}{Q}}s}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+{\omega _{0}}^{2}}}}$Die

mit Bandpassverstärkung . In beiden Fällen gilt: ${\displaystyle G_{\mathrm {bpf} }=-R_{3}/R_{1}}$

• Die Eigenfrequenz beträgt .${\displaystyle \omega _{0}=1/{\sqrt {R_{2}R_{4}C_{1}C_{2}}}}$
• Der Qualitätsfaktor ist .${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {{R_{3}}^{2}C_{1}}{R_{2}R_{4}C_{2}}}}}$

Die Bandbreite wird durch angenähert , und Q wird mitunter als Dämpfungskonstante ausgedrückt . Wird ein nichtinvertierender Tiefpassfilter benötigt, kann das Ausgangssignal am Ausgang des zweiten Operationsverstärkers abgegriffen werden , nachdem die Ordnung des zweiten Integrators und des Inverters vertauscht wurde. Wird hingegen ein nichtinvertierender Bandpassfilter benötigt, können die Ordnungen des zweiten Integrators und des Inverters vertauscht und das Ausgangssignal am Ausgang des Operationsverstärkers des Inverters abgegriffen werden. ${\displaystyle B=\omega _{0}/Q}$${\displaystyle \zeta =1/2Q}$

Abbildung 2 zeigt eine Variante der Tow-Thomas-Topologie, die als Akerberg-Mossberg-Topologie bekannt ist und einen aktiv kompensierten Miller-Integrator verwendet, was die Filterleistung verbessert.

Das Sallen-Key-Design ist ein nicht-invertierender Filter zweiter Ordnung mit der Option auf hohe Güte und Durchlassbandverstärkung.

• Prototypfilter
• Topologie (Elektronik)
• Linearfilter
• Zustandsvariablenfilter

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