Sallen-Key-Topologie

Die Sallen-Key-Topologie ist eine elektronische Filtertopologie zur Realisierung aktiver Filter zweiter Ordnung , die sich durch ihre Einfachheit auszeichnet. ^{[ 1 ]} Sie ist eine degenerierte Form einer spannungsgesteuerten Spannungsquellen- Filtertopologie ( VCVS ) . Sie wurde 1955 von R. P. Sallen und E. L. Key vom MIT Lincoln Laboratory eingeführt. ^{[ 2 ]}

Ein VCVS-Filter nutzt einen Spannungsverstärker mit praktisch unendlicher Eingangsimpedanz und null Ausgangsimpedanz , um einen 2-poligen Tiefpass- , Hochpass- , Bandpass- , Bandsperr- oder Allpass- Charakteristik zu realisieren . Der VCVS-Filter ermöglicht einen hohen Gütefaktor und eine hohe Durchlassverstärkung ohne den Einsatz von Induktivitäten . Ein weiterer Vorteil eines VCVS-Filters ist seine Unabhängigkeit: VCVS-Filter können kaskadiert werden, ohne dass sich die einzelnen Stufen gegenseitig beeinflussen. Ein Sallen-Key-Filter ist eine Variante des VCVS-Filters, die einen Verstärker mit Einheitsverstärkung (d. h. einen Pufferverstärker ) verwendet.

1955 verwendeten Sallen und Key Kathodenfolgerverstärker mit Vakuumröhren ; der Kathodenfolger stellt eine gute Näherung für einen Verstärker mit Einheitsverstärkung dar. Moderne analoge Filterimplementierungen verwenden Operationsverstärker (auch Op-Amps genannt ). Aufgrund seiner hohen Eingangsimpedanz und der einfach wählbaren Verstärkung wird in VCVS-Implementierungen häufig ein Operationsverstärker in konventioneller nicht-invertierender Konfiguration eingesetzt. Implementierungen von Sallen-Key-Filtern verwenden oft einen als Spannungsfolger konfigurierten Op-Amp ; Emitter- oder Sourcefolger sind jedoch weitere gängige Optionen für den Pufferverstärker.

VCVS-Filter sind relativ unempfindlich gegenüber Bauteiltoleranzen , jedoch kann die Erzielung eines hohen Q-Faktors eine extreme Streuung der Bauteilwerte oder eine hohe Verstärkung erfordern. ^{[ 1 ]} Filter höherer Ordnung lassen sich durch Kaskadierung von zwei oder mehr Stufen realisieren.

Die generische Sallen-Key-Filtertopologie mit Einheitsverstärkung, implementiert mit einem Operationsverstärker mit Einheitsverstärkung, ist in Abbildung 1 dargestellt. Die folgende Analyse basiert auf der Annahme, dass der Operationsverstärker ideal ist.

Da der Operationsverstärker in negativer Rückkopplung geschaltet ist, müssen seine Eingänge und übereinstimmen (d. h. ). Der invertierende Eingang ist jedoch direkt mit dem Ausgang verbunden , daher gilt . ${\displaystyle v_{+}}$${\displaystyle v_{-}}$${\displaystyle v_{+}=v_{-}}$${\displaystyle v_{-}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$

${\displaystyle v_{+}=v_{-}=v_{\text{out}}.}$

1

Nach dem Kirchhoffschen Stromgesetz (KCL), angewendet am Knotenpunkt, ${\displaystyle v_{x}}$

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.}$

2

Durch Kombination der Gleichungen (1) und (2),

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

Die Anwendung von Gleichung (1) und des Kirchhoffschen Knotensatzes am nichtinvertierenden Eingang des Operationsverstärkers ergibt ${\displaystyle v_{+}}$

${\displaystyle {\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},}$

was bedeutet, dass

${\displaystyle v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right).}$

3

Durch Kombination der Gleichungen (2) und (3) ergibt sich

${\displaystyle {\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.}$

4

Durch Umstellen der Gleichung (4) erhält man die Übertragungsfunktion

${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}},}$

5

was typischerweise ein lineares zeitinvariantes System zweiter Ordnung (LTI-System) beschreibt .

Wäre die Komponente anstelle von mit Masse verbunden , entspräche der Filter einem Spannungsteiler, der aus den Komponenten und besteht, die mit einem weiteren Spannungsteiler aus den Komponenten und kaskadiert sind . Der Pufferverstärker verbindet den unteren Eingang der Komponente mit dem Ausgang des Filters, wodurch eine Verbesserung gegenüber dem einfachen Fall mit zwei Spannungsteilern erzielt wird. Aus diesem Grund werden Sallen-Key-Filter oft so dargestellt, dass der nicht-invertierende Eingang des Operationsverstärkers unterhalb des invertierenden Eingangs liegt, um die Ähnlichkeit zwischen Ausgang und Masse zu verdeutlichen. ${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle v_{\text{out}}}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$

Durch die Wahl unterschiedlicher passiver Bauelemente (z. B. Widerstände und Kondensatoren ) für , , , und kann der Filter mit Tiefpass- , Bandpass- und Hochpasscharakteristik realisiert werden . In den folgenden Beispielen sei daran erinnert, dass ein Widerstand mit dem Wert Ω die Impedanz Ω hat .${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle Z_{4}}$${\displaystyle Z_{3}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Z_{R}}$

${\displaystyle Z_{R}=R,}$

und ein Kondensator mit der Kapazität hat eine Impedanz von ${\displaystyle C}$${\displaystyle Z_{C}}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}},}$

Hierbei bezeichnet (hier die imaginäre Einheit ) die komplexe Kreisfrequenz und die Frequenz eines reinen Sinussignals . Das heißt, die Impedanz eines Kondensators ist frequenzabhängig, die eines Widerstands hingegen nicht. ${\displaystyle s=j\omega =2\pi jf}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f}$

Ein Beispiel für eine Tiefpassschaltung mit Einheitsverstärkung ist in Abbildung 2 dargestellt. Hier wird ein Operationsverstärker als Puffer verwendet, obwohl auch ein Emitterfolger wirksam ist. Diese Schaltung ist äquivalent zum oben beschriebenen allgemeinen Fall.

${\displaystyle Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.}$

Die Übertragungsfunktion für diesen Tiefpassfilter zweiter Ordnung mit Einheitsverstärkung lautet:

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},}$

wobei die ungedämpfte Eigenfrequenz , die Dämpfung , der Q-Faktor und das Dämpfungsverhältnis gegeben sind durch ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

Und

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).}$

Also,

${\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.}$

Dieser Faktor bestimmt die Höhe und Breite des Maximums im Frequenzgang des Filters. Mit zunehmendem Wert dieses Parameters neigt der Filter dazu, bei einer einzelnen Resonanzfrequenz nahe 2π zu „schwingen“ (siehe „ LC-Filter “ für eine weiterführende Erläuterung). ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$

Diese Übertragungsfunktion hat keine (endlichen) Nullstellen und zwei Pole in der komplexen s -Ebene :

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}$

Es gibt zwei Nullstellen im Unendlichen (die Übertragungsfunktion strebt für jeden Term im Nenner gegen Null). ${\displaystyle s}$

Ein Entwickler muss den für seine Anwendung geeigneten Parameter auswählen . Der Wert ist entscheidend für die endgültige Form des Filters. Beispielsweise hat ein Butterworth-Filter zweiter Ordnung mit maximal flachem Durchlassbereich einen Wert von . Im Vergleich dazu entspricht ein Wert von der Reihenschaltung zweier identischer einfacher Tiefpassfilter. ${\displaystyle Q}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle Q=1/2}$

Da es zwei Parameter und vier Unbekannte gibt, legt das Entwurfsverfahren typischerweise das Verhältnis der beiden Widerstände sowie das der Kondensatoren fest. Eine Möglichkeit besteht darin, das Verhältnis zwischen den Widerständen als und das Verhältnis zwischen den Kondensatoren als und das Verhältnis zwischen den Kondensatoren als festzulegen . ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 1/m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}}$

Folglich reduzieren sich die Ausdrücke und auf${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}}$

Und

${\displaystyle Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.}$

Ausgehend von einer mehr oder weniger willkürlichen Wahl von beispielsweise und lassen sich die geeigneten Werte für und so berechnen, dass die gewünschten Werte für und erreicht werden . In der Praxis erzielen bestimmte Bauteilwerte aufgrund der Nichtidealitäten realer Operationsverstärker bessere Ergebnisse als andere. ^{[ 3 ]} Beispielsweise erhöhen hohe Widerstandswerte die Rauscherzeugung der Schaltung und tragen gleichzeitig zur Gleichspannungs- Offsetspannung am Ausgang von Operationsverstärkern mit bipolaren Eingangstransistoren bei. ${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

Beispielsweise hat die Schaltung in Abbildung 3 die Werte und . Die Übertragungsfunktion ist gegeben durch ${\displaystyle f_{0}=15.9~{\text{kHz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},}$

und nach der Substitution lautet dieser Ausdruck gleich

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},}$

Dies zeigt, wie jede Kombination eine bestimmte Eigenschaft aufweist , die für den Tiefpassfilter gilt . Ein ähnlicher Designansatz wird für die anderen unten aufgeführten Filter verwendet.${\displaystyle (R,C)}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

Die Eingangsimpedanz des Sallen-Key-Tiefpassfilters zweiter Ordnung mit Einheitsverstärkung ist ebenfalls von Interesse für Entwickler. Sie wird durch Gleichung (3) in Cartwright und Kaminsky ^{[ 4 ]} angegeben .

${\displaystyle Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},}$

wo und . ${\displaystyle s'={\frac {s}{\omega _{0}}}}$${\displaystyle k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}}$

Des Weiteren existiert für ein minimaler Wert der Impedanzgröße, der durch Gleichung (16) von Cartwright und Kaminsky ^{[ 4 ]} gegeben ist und besagt, dass ${\displaystyle Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.}$

Glücklicherweise lässt sich diese Gleichung gut durch ^{[ 4 ] annähern.}

${\displaystyle |Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}}$

Für Werte außerhalb dieses Bereichs muss die Konstante 0,34 angepasst werden, um den Fehler zu minimieren .${\displaystyle 0.25\leq k\leq 0.75}$${\displaystyle k}$

Die Frequenz, bei der die minimale Impedanzgröße auftritt, ist durch Gleichung (15) von Cartwright und Kaminsky ^{[ 4 ]} gegeben , d.h.

${\displaystyle \omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Diese Gleichung lässt sich auch gut mit Gl. (20) von Cartwright und Kaminsky ^{[ 4 ]} annähern, welche besagt, dass

${\displaystyle \omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.}$

Ein Hochpassfilter zweiter Ordnung mit Einheitsverstärkung und ist in Abbildung 4 dargestellt. ${\displaystyle f_{0}=72~{\text{Hz}}}$${\displaystyle Q=0.5}$

Ein Hochpassfilter zweiter Ordnung mit Einheitsverstärkung hat die Übertragungsfunktion

${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},}$

Die ungedämpfte Eigenfrequenz und der Dämpfungsfaktor wurden bereits im Abschnitt über Tiefpassfilter erläutert . Die obige Schaltung implementiert diese Übertragungsfunktion durch die folgenden Gleichungen: ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

(wie zuvor) und

${\displaystyle {\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.}$

Also

${\displaystyle 2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.}$

Gehen Sie ähnlich vor wie beim Entwurf des oben beschriebenen Tiefpassfilters.

Abbildung 5 zeigt ein Beispiel für einen mit einem VCVS-Filter realisierten Bandpassfilter mit nicht-einheitlicher Verstärkung. Obwohl er eine andere Topologie und einen für nicht-einheitliche Verstärkung konfigurierten Operationsverstärker verwendet, kann er mit ähnlichen Methoden wie die generische Sallen-Key-Topologie analysiert werden . Seine Übertragungsfunktion ist gegeben durch

${\displaystyle H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.}$

Die Mittenfrequenz (d. h. die Frequenz, bei der die Amplitudenantwort ihr Maximum aufweist ) ist gegeben durch ${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.}$

Der Q-Faktor ist gegeben durch ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}}$

Der Spannungsteiler in der negativen Rückkopplungsschleife steuert die „innere Verstärkung“ des Operationsverstärkers: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.}$

Ist die innere Verstärkung zu hoch, gerät der Filter in Schwingung. ${\displaystyle G}$

• Filterdesign
• Elektronische Filtertopologie
• Harmonischer Oszillator
• Resonanz

• Anwendungsbericht von Texas Instruments: Analyse der Sallen-Key-Architektur
• Analog Devices Filterdesign-Tool  – Ein einfaches Online-Tool zum Entwerfen aktiver Filter mit spannungsrückgekoppelten Operationsverstärkern.
• Häufig gestellte Fragen zum Design aktiver Filter von TI
• Operationsverstärker für jedermann – Kapitel 16
• Hochfrequenzmodifikation des Sallen-Key-Filters – Verbesserung der Sperrdämpfung
• Online-Berechnungstool für Sallen-Key-Tiefpass-/Hochpassfilter
• Online-Berechnungstool für Filterdesign und -analyse
• ECE 327: Verfahren für das Labor zur Ausgangsfilterung ( Archiviert am 24.09.2015 im Internet Archive)  – Abschnitt 3 („Glättungstiefpassfilter“) behandelt die aktive Filterung mit einem Sallen-Key-Butterworth-Tiefpassfilter.
• Filterung für Anfänger: Mehrpolige Filter mit Sallen-Key-Schaltung – Matt Duff von Analog Devices erklärt die Funktionsweise der Sallen-Key-Schaltung.