In der abstrakten Algebra ist eine endliche Gruppe eine Gruppe , deren zugrundeliegende Menge endlich ist . Endliche Gruppen treten häufig bei der Betrachtung der Symmetrie mathematischer oder physikalischer Objekte auf, wenn diese Objekte nur endlich viele strukturerhaltende Transformationen zulassen. Wichtige Beispiele für endliche Gruppen sind zyklische Gruppen und Permutationsgruppen .

Die Untersuchung endlicher Gruppen ist seit ihren Anfängen im 19. Jahrhundert ein integraler Bestandteil der Gruppentheorie . Ein wichtiger Forschungsbereich war die Klassifikation: Die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen (solcher ohne nichttrivialen Normalteiler ) wurde im Jahr 2004 abgeschlossen.

Geschichte

Im Laufe des 20. Jahrhunderts untersuchten Mathematiker einige Aspekte der Theorie endlicher Gruppen eingehend, insbesondere die lokale Theorie endlicher Gruppen und die Theorie auflösbarer und nilpotenter Gruppen . [ 1 ] [ 2 ] Infolgedessen wurde die vollständige Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen erreicht, was bedeutet, dass nun alle einfachen Gruppen bekannt sind, aus denen alle endlichen Gruppen gebildet werden können.

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts erweiterten Mathematiker wie Chevalley und Steinberg das Verständnis endlicher Analoga klassischer Gruppen und anderer verwandter Gruppen. Eine solche Gruppenfamilie ist die Familie der allgemeinen linearen Gruppen über endlichen Körpern .

Endliche Gruppen treten häufig bei der Betrachtung der Symmetrie mathematischer oder physikalischer Objekte auf, wenn diese Objekte nur eine endliche Anzahl strukturerhaltender Transformationen zulassen. Die Theorie der Lie-Gruppen , die sich mit „ kontinuierlicher Symmetrie “ befasst , ist stark von den zugehörigen Weyl-Gruppen beeinflusst . Dies sind endliche Gruppen, die durch Spiegelungen auf einem endlichdimensionalen euklidischen Raum erzeugt werden . Die Eigenschaften endlicher Gruppen können daher in Gebieten wie der theoretischen Physik und Chemie eine Rolle spielen . [ 3 ]

Beispiele

Permutationsgruppen

Ein Cayley-Graph der symmetrischen Gruppe S 4

Die symmetrische Gruppe S <sub>n</sub> über einer endlichen Menge von n Symbolen ist die Gruppe , deren Elemente alle Permutationen der n Symbole sind und deren Gruppenoperation die Komposition solcher Permutationen ist , die als bijektive Funktionen von der Symbolmenge in sich selbst betrachtet werden. [ 4 ] Da es n ! ( n Fakultät ) mögliche Permutationen einer Menge von n Symbolen gibt, folgt daraus, dass die Ordnung (die Anzahl der Elemente) der symmetrischen Gruppe S <sub>n</sub> gleich n ! ist .

Zyklische Gruppen

Eine zyklische Gruppe Z<sub> n</sub> ist eine Gruppe, deren Elemente alle Potenzen eines bestimmten Elements a sind, wobei a <sub>n</sub> = a <sub>0 </sub> = e , das neutrale Element, gilt. Eine typische Realisierung dieser Gruppe sind die komplexen n -ten Einheitswurzeln . Die Abbildung von a auf eine primitive Einheitswurzel liefert einen Isomorphismus zwischen den beiden. Dies ist mit jeder endlichen zyklischen Gruppe möglich.

Endliche abelsche Gruppen

Eine abelsche Gruppe , auch kommutative Gruppe genannt , ist eine Gruppe , bei der das Ergebnis der Anwendung einer Gruppenoperation auf zwei Gruppenelemente nicht von deren Reihenfolge abhängt (Kommutativitätsaxiom ) . Sie sind nach Niels Henrik Abel benannt . [ 5 ]

Eine beliebige endliche abelsche Gruppe ist isomorph zu einer direkten Summe endlicher zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung, und diese Ordnungen sind eindeutig bestimmt und bilden ein vollständiges System von Invarianten. Die Automorphismengruppe einer endlichen abelschen Gruppe lässt sich direkt durch diese Invarianten beschreiben. Die Theorie wurde erstmals 1879 in einer Arbeit von Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger entwickelt und später sowohl vereinfacht als auch auf endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealring verallgemeinert, wodurch ein wichtiges Kapitel der linearen Algebra entstand .

Gruppen vom Lügentyp

Eine Gruppe vom Lie-Typ ist eine Gruppe , die eng mit der Gruppe G ( k ) der rationalen Punkte einer reduktiven linearen algebraischen Gruppe G mit Werten im Körper k verwandt ist . Endliche Gruppen vom Lie-Typ bilden den Großteil der nichtabelschen endlichen einfachen Gruppen . Spezialfälle sind die klassischen Gruppen , die Chevalley-Gruppen , die Steinberg-Gruppen und die Suzuki-Ree-Gruppen.

Endliche Gruppen vom Lie-Typ gehörten nach zyklischen , symmetrischen und alternierenden Gruppen zu den ersten Gruppen, die in der Mathematik untersucht wurden. Die projektiven speziellen linearen Gruppen über endlichen Primkörpern, PSL(2, p ), wurden in den 1830er Jahren von Évariste Galois konstruiert . Die systematische Erforschung endlicher Gruppen vom Lie-Typ begann mit dem Satz von Camille Jordan , dass die projektive spezielle lineare Gruppe PSL(2, q ) für q ≠ 2, 3 einfach ist. Dieser Satz lässt sich auf projektive Gruppen höherer Dimensionen verallgemeinern und liefert eine wichtige unendliche Familie endlicher einfacher Gruppen , PSL( n , q ) . Weitere klassische Gruppen wurden Anfang des 20. Jahrhunderts von Leonard Dickson untersucht . In den 1950er Jahren erkannte Claude Chevalley , dass viele Sätze über halbeinfache Lie-Gruppen nach einer geeigneten Umformulierung Analogien für algebraische Gruppen über einem beliebigen Körper k besitzen , was zur Konstruktion der heute als Chevalley-Gruppen bekannten Gruppen führte . Wie im Fall kompakter einfacher Lie-Gruppen erwiesen sich die entsprechenden Gruppen als nahezu einfache abstrakte Gruppen ( Satz von Tits ). Obwohl die Existenz weiterer endlicher einfacher Gruppen (z. B. Mathieu-Gruppen ) bereits seit dem 19. Jahrhundert bekannt war, setzte sich allmählich die Überzeugung durch, dass sich nahezu alle endlichen einfachen Gruppen, zusammen mit zyklischen und alternierenden Gruppen, durch geeignete Erweiterungen von Chevalleys Konstruktion erklären lassen. Darüber hinaus weisen die Ausnahmen, die sporadischen Gruppen , viele Gemeinsamkeiten mit den endlichen Gruppen vom Lie-Typ auf und können insbesondere im Sinne von Tits anhand ihrer Geometrie konstruiert und charakterisiert werden.

Diese Annahme hat sich nun zu einem Theorem entwickelt – der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen . Ein Blick auf die Liste der endlichen einfachen Gruppen zeigt, dass die Gruppen vom Lie-Typ über einem endlichen Körper alle endlichen einfachen Gruppen außer den zyklischen Gruppen, den alternierenden Gruppen, der Tits-Gruppe und den 26 sporadischen einfachen Gruppen umfassen .

Hauptsätze

Satz von Lagrange

Für jede endliche Gruppe G teilt die Ordnung (Anzahl der Elemente) jeder Untergruppe H von G die Ordnung von G. Der Satz ist nach Joseph-Louis Lagrange benannt .

Sylow-Sätze

Dies stellt eine teilweise Umkehrung des Satzes von Lagrange dar und gibt Auskunft darüber, wie viele Untergruppen einer gegebenen Ordnung in G enthalten sind .

Satz von Cayley

Der Satz von Cayley , benannt zu Ehren von Arthur Cayley , besagt, dass jede Gruppe G isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist , die auf G operiert . [ 6 ] Dies kann als Beispiel für die Gruppenwirkung von G auf die Elemente von G verstanden werden . [ 7 ]

Satz von Burnside

Der Satz von Burnside in der Gruppentheorie besagt, dass eine endliche Gruppe G der Ordnung p a q b , wobei p und q Primzahlen und a und b nichtnegative ganze Zahlen sind , auflösbar ist . Daher ist die Ordnung jeder nichtabelschen endlichen einfachen Gruppe durch mindestens drei verschiedene Primzahlen teilbar.

Satz von Feit-Thompson

Der Satz von Feit-Thompson , auch Satz über ungerade Ordnung genannt , besagt, dass jede endliche Gruppe ungerader Ordnung auflösbar ist . Er wurde von Walter Feit und John Griggs Thompson  ( 1962 , 1963 ) bewiesen.

Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen

Die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen ist ein Theorem, das besagt, dass jede endliche einfache Gruppe zu einer der folgenden Familien gehört:

Die endlichen einfachen Gruppen können als die grundlegenden Bausteine ​​aller endlichen Gruppen betrachtet werden, ähnlich wie die Primzahlen die grundlegenden Bausteine ​​der natürlichen Zahlen sind . Der Satz von Jordan-Hölder formuliert diesen Sachverhalt über endliche Gruppen präziser. Ein wesentlicher Unterschied zur Faktorisierung ganzer Zahlen besteht jedoch darin, dass solche „Bausteine“ nicht notwendigerweise eine Gruppe eindeutig bestimmen, da es viele nicht-isomorphe Gruppen mit derselben Kompositionsreihe geben kann , oder anders ausgedrückt: Das Erweiterungsproblem besitzt keine eindeutige Lösung.

Der Beweis des Theorems umfasst Zehntausende von Seiten in mehreren Hundert Zeitschriftenartikeln von etwa 100 Autoren, die größtenteils zwischen 1955 und 2004 veröffentlicht wurden. Gorenstein (gest. 1992), Lyons und Solomon veröffentlichen nach und nach eine vereinfachte und überarbeitete Version des Beweises.

Anzahl der Gruppen einer bestimmten Ordnung

Bei einer gegebenen positiven ganzen Zahl n ist es keineswegs trivial, die Anzahl der Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung n zu bestimmen . Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch , da der Satz von Lagrange besagt, dass die von einem ihrer Elemente ungleich dem neutralen Element erzeugte zyklische Untergruppe die gesamte Gruppe ist. Ist n das Quadrat einer Primzahl, so gibt es genau zwei mögliche Isomorphietypen einer Gruppe der Ordnung n , die beide abelsch sind. Ist n eine höhere Potenz einer Primzahl, so liefern Ergebnisse von Graham Higman und Charles Sims asymptotisch korrekte Abschätzungen für die Anzahl der Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung n , und diese Anzahl wächst mit zunehmender Potenz sehr schnell.

Abhängig von der Primfaktorzerlegung von n können bestimmte Einschränkungen hinsichtlich der Struktur von Gruppen der Ordnung n gelten , beispielsweise aufgrund von Ergebnissen wie den Sätzen von Sylow . So ist beispielsweise jede Gruppe der Ordnung pq zyklisch, wenn q < p Primzahlen sind, deren Teiler p − 1 nicht durch q teilbar ist . Eine notwendige und hinreichende Bedingung findet sich unter dem Begriff „zyklische Zahl“ .

Ist n quadratfrei , so ist jede Gruppe der Ordnung n auflösbar. Der Satz von Burnside , bewiesen mithilfe von Gruppencharakteren , besagt, dass jede Gruppe der Ordnung n auflösbar ist, wenn n durch weniger als drei verschiedene Primzahlen teilbar ist, d. h. wenn n = p a q b , wobei p und q Primzahlen und a und b nichtnegative ganze Zahlen sind. Nach dem Satz von Feit-Thompson , dessen Beweis lang und kompliziert ist, ist jede Gruppe der Ordnung n auflösbar, wenn n ungerade ist.

Für jede positive ganze Zahl n sind die meisten Gruppen der Ordnung n auflösbar . Dies lässt sich für jede beliebige Ordnung in der Regel leicht zeigen (beispielsweise gibt es bis auf Isomorphie eine nicht auflösbare und zwölf auflösbare Gruppen der Ordnung 60), der Beweis für alle Ordnungen verwendet jedoch die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen . Für jede positive ganze Zahl n gibt es höchstens zwei einfache Gruppen der Ordnung n , und es gibt unendlich viele positive ganze Zahlen n, für die es zwei nicht-isomorphe einfache Gruppen der Ordnung n gibt .

Tabelle der verschiedenen Gruppen der Ordnung n

Bestellung n# Gruppen [ 8 ]Abelisch Nichtabelsch
0 0 0 0
1 1 1 0
2 1 1 0
3 1 1 0
4 2 2 0
5 1 1 0
6 2 1 1
7 1 1 0
8 5 3 2
9 2 2 0
10 2 1 1
11 1 1 0
12 5 2 3
13 1 1 0
14 2 1 1
15 1 1 0
16 14 5 9
17 1 1 0
18 5 2 3
19 1 1 0
20 5 2 3
21 2 1 1
22 2 1 1
23 1 1 0
24 15 3 12
25 2 2 0
26 2 1 1
27 5 3 2
28 4 2 2
29 1 1 0
30 4 1 3

Siehe auch

Referenzen

  1. ^ Aschbacher, Michael (2004). „Der Status der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen“ (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . Band 51, Nr. 7, S.  736–740 .
  2. ^ Daniel Gorenstein (1985), „The Enormous Theorem“, Scientific American , 1. Dezember 1985, Bd. 253, Nr. 6, S. 104–115.
  3. ^ Gruppentheorie und ihre Anwendung in der Chemie Die LibreTexts-Bibliothek Chemie
  4. ^ Jacobson 2009 , S. 31
  5. ^ Jacobson 2009 , S. 41
  6. ^ Jacobson 2009 , S. 38
  7. ^ Jacobson 2009 , S. 72, Beispiel 1
  8. ^ Humphreys, John F. (1996). A Course in Group Theory . Oxford University Press. S.  238–242 . ISBN 0198534590. Zbl  0843.20001 .

Weiterführende Literatur