Darstellungstheorie endlicher Gruppen

Die Repräsentationstheorie von Gruppen ist ein Teilgebiet der Mathematik, das untersucht, wie Gruppen auf gegebene Strukturen einwirken.

Hier liegt der Schwerpunkt insbesondere auf Operationen von Gruppen auf Vektorräumen . Dennoch werden auch Gruppenoperationen auf anderen Gruppen oder Mengen betrachtet. Weitere Details finden Sie im Abschnitt über Permutationsdarstellungen .

Bis auf wenige Ausnahmen werden in diesem Artikel nur endliche Gruppen betrachtet. Wir beschränken uns außerdem auf Vektorräume über Körpern der Charakteristik Null. Da die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null vollständig ist , gilt eine Theorie, die für einen speziellen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null gültig ist, auch für jeden anderen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik Null. Daher können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit Vektorräume über Körpern der Charakteristik Null untersuchen. $\mathbb {C} .$

Die Darstellungstheorie findet in vielen Bereichen der Mathematik sowie in der Quantenchemie und -physik Anwendung. Unter anderem wird sie in der Algebra zur Untersuchung der Gruppenstruktur eingesetzt. Weitere Anwendungen finden sich in der harmonischen Analysis und der Zahlentheorie . Beispielsweise wird die Darstellungstheorie im modernen Ansatz verwendet, um neue Erkenntnisse über automorphe Formen zu gewinnen.

Definition

Lineare Darstellungen

Sei ein Vektorraum und eine endliche Gruppe. Eine lineare Darstellung von ist ein Gruppenhomomorphismus. Hierbei bezeichnet die Notation eine allgemeine lineare Gruppe und eine Automorphismengruppe . Dies bedeutet, dass eine lineare Darstellung eine Abbildung ist , die für alle erfüllt. Der Vektorraum wird Darstellungsraum von genannt . Oft wird der Begriff „Darstellung von “ auch für den Darstellungsraum verwendet. $V$ $K$ $G$ $G$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V).$ ${\text{GL}}(V)$ ${\text{Aut}}(V)$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $\rho (st)=\rho (s)\rho (t)$ $s,t\in G.$ $V$ $G.$ $G$ $V.$

Die Darstellung einer Gruppe in einem Modul anstelle eines Vektorraums wird auch als lineare Darstellung bezeichnet.

Wir schreiben für die Darstellung von Manchmal verwenden wir die Notation, wenn klar ist, zu welcher Darstellung der Raum gehört. $(\rho ,V_{\rho })$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ $G.$ $(\rho ,V)$ $V$

In diesem Artikel beschränken wir uns, mit Ausnahme des letzten Kapitels, auf die Untersuchung endlichdimensionaler Darstellungsräume. Da in den meisten Fällen nur eine endliche Anzahl von Vektoren von Interesse ist, genügt es, die von diesen Vektoren erzeugte Teildarstellung zu untersuchen . Der Darstellungsraum dieser Teildarstellung ist dann endlichdimensional. $V$

Der Grad einer Repräsentation ist die Dimension ihres Repräsentationsraums. Die Notation wird manchmal verwendet, um den Grad einer Repräsentation zu bezeichnen. $V.$ $\dim(\rho )$ $\rho .$

Beispiele

Die triviale Darstellung ist gegeben durch für alle $\rho (s)={\text{Id}}$ $s\in G.$

Eine Darstellung vom Grad einer Gruppe ist ein Homomorphismus in die multiplikative Gruppe. Da jedes Element von endlicher Ordnung ist, sind die Werte von Einheitswurzeln . Sei beispielsweise eine nichttriviale lineare Darstellung. Da ein Gruppenhomomorphismus ist, muss er erfüllen . Da erzeugt wird , ist durch seinen Wert auf bestimmt. Und da nichttrivial ist, erhalten wir das Ergebnis, dass das Bild von unter eine nichttriviale Untergruppe der Gruppe sein muss, die aus den vierten Einheitswurzeln besteht. Mit anderen Worten, muss eine der folgenden drei Abbildungen sein: $1$ $G$ $\rho :G\to {\text{GL}}_{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}.$ $G$ $\rho (s)$ $\rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }$ $\rho$ $\rho ({0})=1.$ $1$ $G,\rho$ $\rho (1).$ $\rho$ $\rho ({1})\in \{i,-1,-i\}.$ $G$ $\rho$ $\rho$

{\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}

Sei und sei der durch definierte Gruppenhomomorphismus: $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

\rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

In diesem Fall handelt es sich um eine lineare Darstellung von vom Grad $\rho$ $G$ $2.$

Permutationsdarstellung

Sei eine endliche Menge und sei eine Gruppe, die auf wirkt. Bezeichne die Gruppe aller Permutationen auf , wobei die Komposition die Gruppenmultiplikation ist. $X$ $G$ $X.$ ${\text{Aut}}(X)$ $X$

Eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge operiert, wird manchmal als hinreichend für die Definition der Permutationsdarstellung angesehen. Da wir jedoch Beispiele für lineare Darstellungen konstruieren wollen – bei denen Gruppen auf Vektorräumen anstatt auf beliebigen endlichen Mengen operieren – müssen wir anders vorgehen. Um die Permutationsdarstellung zu konstruieren, benötigen wir einen Vektorraum. Eine Basis dieses Vektorraums kann durch die Elemente von indiziert werden. Die Permutationsdarstellung ist der Gruppenhomomorphismus, der durch für alle gegeben ist. Alle linearen Abbildungen sind durch diese Eigenschaft eindeutig definiert. $V$ $\dim(V)=|X|.$ $V$ $X.$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $\rho (s)e_{x}=e_{sx}$ $s\in G,x\in X.$ $\rho (s)$

Beispiel. Sei und . Dann wirkt auf über . Die zugehörige lineare Darstellung ist mit für $X=\{1,2,3\}$ $G={\text{Sym}}(3).$ $G$ $X$ ${\text{Aut}}(X)=G.$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ $\rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}$ $\sigma \in G,x\in X.$

Links- und rechtsreguläre Darstellung

Sei eine Gruppe und ein Vektorraum der Dimension mit einer Basis, die durch die Elemente von indiziert wird. Die linksreguläre Darstellung ist ein Spezialfall der Permutationsdarstellung durch Wahl von . Dies bedeutet für alle . Somit ist die Familie der Bilder von eine Basis von . Der Grad der linksregulären Darstellung ist gleich der Ordnung der Gruppe. $G$ $V$ $|G|$ $(e_{t})_{t\in G}$ $G.$ $X=G.$ $\rho (s)e_{t}=e_{st}$ $s,t\in G.$ $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ $e_{1}$ $V.$

Die rechtsreguläre Darstellung ist auf demselben Vektorraum mit einem ähnlichen Homomorphismus definiert: Wie zuvor ist eine Basis von . Genau wie im Fall der linksregulären Darstellung ist der Grad der rechtsregulären Darstellung gleich der Ordnung von $\rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.$ $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ $V.$ $G.$

Beide Darstellungen sind isomorph über . Aus diesem Grund werden sie nicht immer unterschieden und oft als „die“ reguläre Darstellung bezeichnet. $e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}.$

Eine genauere Betrachtung liefert folgendes Ergebnis: Eine gegebene lineare Darstellung ist genau dann isomorph zur linksregulären Darstellung, wenn es ein solches gibt, dass eine Basis von ist. $\rho :G\to {\text{GL}}(W)$ $w\in W,$ $(\rho (s)w)_{s\in G}$ $W.$

Beispiel. Seien und mit der Basis . Dann ist die linksreguläre Darstellung definiert durch für . Die rechtsreguläre Darstellung ist analog definiert durch für . $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ $V=\mathbb {R} ^{5}$ $\{e_{0},\ldots ,e_{4}\}.$ $L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)$ $L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}$ $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$ $R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}$ $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$

Darstellungen, Moduln und die Faltungsalgebra

Sei eine endliche Gruppe, sei ein kommutativer Ring und sei die Gruppenalgebra von über . Diese Algebra ist frei, und eine Basis kann durch die Elemente von indiziert werden . Meistens wird die Basis mit identifiziert . Jedes Element kann dann eindeutig als dargestellt werden $G$ $K$ $K[G]$ $G$ $K.$ $G.$ $G$ $f\in K[G]$

f=\sum _{s\in G}a_{s}s

mit .

a_{s}\in K

Die Multiplikation in erweitert die in distributiv. $K[G]$ $G$

Sei nun ein -Modul und sei eine lineare Darstellung von in . Wir definieren für alle und . Durch lineare Erweiterung erhält man die Struktur eines Links-- Moduls . Umgekehrt erhält man eine lineare Darstellung von ausgehend von einem -Modul . Homomorphismen von Darstellungen stehen in bijektiver Korrespondenz mit Gruppenalgebra-Homomorphismen. Daher können diese Begriffe synonym verwendet werden. ^[¹^]^[²^] Dies ist ein Beispiel für einen Isomorphismus von Kategorien . $V$ $K$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $G$ $V.$ $sv=\rho (s)v$ $s\in G$ $v\in V$ $V$ $K[G]$ $G$ $K[G]$ $V$

Angenommen, in diesem Fall entspricht der durch sich selbst gegebene linke Modul der linksregulären Darstellung. Analog dazu entspricht ein rechter Modul der rechtsregulären Darstellung. $K=\mathbb {C} .$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$

Im Folgenden definieren wir die Faltungsalgebra : Sei eine Gruppe, die Menge ein Vektorraum mit den Operationen Addition und Skalarmultiplikation. Dann ist dieser Vektorraum isomorph zu . Die Faltung zweier Elemente ist definiert durch $G$ $L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ^{|G|}.$ $f,h\in L^{1}(G)$

f*h(s):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)

bildet eine Algebra . Diese Algebra wird Faltungsalgebra genannt . $L^{1}(G)$ $L^{1}(G)$

Die Faltungsalgebra ist frei und besitzt eine Basis, die durch die Gruppenelemente indiziert wird: wobei $(\delta _{s})_{s\in G},$

\delta _{s}(t)={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Unter Verwendung der Eigenschaften der Faltung erhalten wir: $\delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.$

Wir definieren eine Abbildung zwischen und , indem wir auf der Basis definieren und sie linear fortsetzen. Offensichtlich ist die vorherige Abbildung bijektiv . Eine genauere Betrachtung der Faltung zweier Basiselemente, wie in der obigen Gleichung dargestellt, zeigt, dass die Multiplikation in derjenigen in entspricht . Somit sind die Faltungsalgebra und die Gruppenalgebra als Algebren isomorph. $L^{1}(G)$ $\mathbb {C} [G],$ $\delta _{s}\mapsto e_{s}$ $(\delta _{s})_{s\in G}$ $L^{1}(G)$ $\mathbb {C} [G].$

Die Involution

f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}

wird zu einer -Algebra . Wir haben $L^{1}(G)$ $^{*}$ $\delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.$

Eine Darstellung einer Gruppe lässt sich zu einem -Algebra-Homomorphismus erweitern durch . Da Multiplikativität eine charakteristische Eigenschaft von Algebra-Homomorphismen ist, erfüllt . Ist unitär, so gilt auch . Zur Definition einer unitären Darstellung siehe das Kapitel über Eigenschaften . Dort wird gezeigt, dass (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) jede lineare Darstellung als unitär angenommen werden kann. $(\pi ,V_{\pi })$ $G$ $^{*}$ $\pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })$ $\pi (\delta _{s})=\pi (s).$ $\pi$ $\pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).$ $\pi$ $\pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).$

Mithilfe der Faltungsalgebra lässt sich eine Fouriertransformation auf einer Gruppe implementieren . Im Bereich der harmonischen Analyse wird gezeigt, dass die folgende Definition mit der Definition der Fouriertransformation auf konsistent ist. $G.$ $\mathbb {R} .$

Sei eine Darstellung und sei eine -wertige Funktion auf . Die Fouriertransformierte von ist definiert als $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ $f\in L^{1}(G)$ $\mathbb {C}$ $G$ ${\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })$ $f$

{\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).

Diese Transformation erfüllt ${\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).$

Abbildungen zwischen Darstellungen

Eine Abbildung zwischen zwei Darstellungen derselben Gruppe ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass sie für alle gilt. Mit anderen Worten: Das folgende Diagramm kommutiert für alle : $(\rho ,V_{\rho }),\,(\tau ,V_{\tau })$ $G$ $T:V_{\rho }\to V_{\tau },$ $\tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)$ $s\in G.$ $s\in G$

Eine solche Abbildung wird auch als lineare oder äquivariante Abbildung bezeichnet . Der Kern , das Bild und der Kokern von sind standardmäßig definiert. Die Komposition äquivarianter Abbildungen ist wiederum eine äquivariante Abbildung. Es gibt eine Kategorie von Darstellungen, deren Morphismen äquivariante Abbildungen sind . Diese sind wiederum Moduln. Daher liefern sie aufgrund der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Korrelation Darstellungen von . $G$ $T$ $G$ $G$

Irreduzible Darstellungen und das Lemma von Schur

Sei eine lineare Darstellung von . Sei ein -invarianter Unterraum von , d. h. für alle und . Die Einschränkung ist ein Isomorphismus von auf sich selbst. Da für alle gilt, ist diese Konstruktion eine Darstellung von in . Sie wird als Unterdarstellung von bezeichnet. Jede Darstellung V besitzt mindestens zwei Unterdarstellungen, nämlich diejenige, die nur aus 0 besteht, und diejenige, die aus V selbst besteht. Die Darstellung heißt irreduzible Darstellung , wenn diese beiden die einzigen Unterdarstellungen sind. Manche Autoren nennen diese Darstellungen auch einfach, da sie genau die einfachen Moduln über der Gruppenalgebra sind . $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $G.$ $W$ $G$ $V,$ $\rho (s)w\in W$ $s\in G$ $w\in W$ $\rho (s)|_{W}$ $W$ $\rho (s)|_{W}\circ \rho (t)|_{W}=\rho (st)|_{W}$ $s,t\in G,$ $G$ $W.$ $V.$ $\mathbb {C} [G]$

Das Lemma von Schur schränkt Abbildungen zwischen irreduziblen Darstellungen stark ein. Wenn und beide irreduzibel sind und eine lineare Abbildung ist, sodass für alle gilt , dann gibt es die folgende Dichotomie: $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1})$ $\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ $F:V_{1}\to V_{2}$ $\rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)$ $s\in G.$

Wenn und eine Homothetie ist (d. h. für a ). Allgemeiner gilt: Wenn und isomorph sind, ist der Raum der G- linearen Abbildungen eindimensional. $V_{1}=V_{2}$ $\rho _{1}=\rho _{2},$ $F$ $F=\lambda {\text{Id}}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $\rho _{1}$ $\rho _{2}$
Andernfalls, wenn die beiden Darstellungen nicht isomorph sind, muss F gleich 0 sein. ^{[ 3 ]}

Eigenschaften

Zwei Darstellungen heißen äquivalent oder isomorph , wenn zwischen ihnen ein linearer Vektorraumisomorphismus existiert . Anders ausgedrückt: Sie sind isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung gibt , sodass für alle gilt. Insbesondere haben äquivalente Darstellungen denselben Grad. $(\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })$ $G$ $T:V_{\rho }\to V_{\pi },$ $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ $s\in G.$

Eine Darstellung heißt treu , wenn sie injektiv ist . In diesem Fall induziert sie einen Isomorphismus zwischen und dem Bild. Da letzteres eine Untergruppe von ist, können wir es über als Untergruppe von betrachten. $(\pi ,V_{\pi })$ $\pi$ $\pi$ $G$ $\pi (G).$ ${\text{GL}}(V_{\pi }),$ $G$ $\pi$ ${\text{Aut}}(V_{\pi }).$

Wir können sowohl den Wertebereich als auch den Definitionsbereich einschränken:

Sei eine Untergruppe von . Sei eine lineare Darstellung von . Wir bezeichnen mit die Einschränkung von auf die Untergruppe $H$ $G.$ $\rho$ $G.$ ${\text{Res}}_{H}(\rho )$ $\rho$ $H.$

Besteht keine Verwechslungsgefahr, könnten wir nur „ oder“ verwenden, kurz gesagt. ${\text{Res}}(\rho )$ ${\text{Res}}\rho .$

Die Notation oder kurz wird auch verwendet, um die Einschränkung der Darstellung von auf zu bezeichnen. ${\text{Res}}_{H}(V)$ ${\text{Res}}(V)$ $V$ $G$ $H.$

Sei eine Funktion auf . Wir schreiben oder kurz für die Einschränkung auf die Untergruppe $f$ $G.$ ${\text{Res}}_{H}(f)$ ${\text{Res}}(f)$ $H.$

Es lässt sich beweisen, dass die Anzahl der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe (oder entsprechend die Anzahl der einfachen -Moduln) gleich der Anzahl der Konjugationsklassen von ist. $G$ $\mathbb {C} [G]$ $G.$

Eine Darstellung heißt halbeinfach oder vollständig reduzierbar, wenn sie als direkte Summe irreduzibler Darstellungen geschrieben werden kann. Dies ist analog zur entsprechenden Definition einer halbeinfachen Algebra.

Zur Definition der direkten Summe von Darstellungen verweisen wir auf den Abschnitt über direkte Summen von Darstellungen .

Eine Repräsentation heißt isotypisch, wenn sie die direkte Summe paarweise isomorpher irreduzibler Repräsentationen ist.

Sei eine gegebene Darstellung einer Gruppe. Sei eine irreduzible Darstellung von . Der -Isotyp von ist definiert als die Summe aller irreduziblen Unterdarstellungen von , die isomorph zu sind. $(\rho ,V_{\rho })$ $G.$ $\tau$ $G.$ $\tau$ $V_{\rho }(\tau )$ $G$ $V$ $\tau .$

Jeder Vektorraum über kann mit einem Skalarprodukt versehen werden . Eine Darstellung einer Gruppe in einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt unitär, wenn für jedes unitär ist . Dies bedeutet insbesondere, dass jedes diagonalisierbar ist . Weitere Details finden sich im Artikel über unitäre Darstellungen . $\mathbb {C}$ $\rho$ $G$ $\rho (s)$ $s\in G.$ $\rho (s)$

Eine Darstellung heißt unitär bezüglich eines gegebenen Skalarprodukts genau dann, wenn das Skalarprodukt invariant bezüglich der induzierten Operation von ist, d. h. genau dann, wenn für alle gilt. $G,$ $(v|u)=(\rho (s)v|\rho (s)u)$ $v,u\in V_{\rho },s\in G.$

Ein gegebenes inneres Produkt kann durch ein invariantes inneres Produkt ersetzt werden, indem man es mit vertauscht. $(\cdot |\cdot )$ $(v|u)$

\sum _{t\in G}(\rho (t)v|\rho (t)u).

Daher können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass jede weitere betrachtete Darstellung unitär ist.

Beispiel. Sei die Diedergruppe der Ordnung , die von erzeugt wird und die Eigenschaften und erfüllt. Sei eine lineare Darstellung von , definiert auf den Erzeugern durch: $G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}$ $6$ $\mu ,\nu$ ${\text{ord}}(\nu )=2,{\text{ord}}(\mu )=3$ $\nu \mu \nu =\mu ^{2}.$ $\rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ $D_{6}$

\rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).

Diese Darstellung ist treu. Der Unterraum ist ein -invarianter Unterraum. Daher existiert eine nichttriviale Unterdarstellung mit . Folglich ist die Darstellung nicht irreduzibel. Die erwähnte Unterdarstellung ist vom Grad eins und irreduzibel. Der komplementäre Unterraum von ist ebenfalls -invariant. Daher erhalten wir die Unterdarstellung mit . $\mathbb {C} e_{2}$ $D_{6}$ $\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }$ $\nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.$ $\mathbb {C} e_{2}$ $D_{6}$ $\rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}$

\nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.

Diese Teildarstellung ist ebenfalls irreduzibel. Das bedeutet, die ursprüngliche Darstellung ist vollständig reduzierbar:

\rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.

Beide Teildarstellungen sind isotypisch und stellen die beiden einzigen von Null verschiedenen Isotypen dar. $\rho .$

Die Darstellung ist unitär bezüglich des Standard-Skalarprodukts auf , weil und unitär sind. $\rho$ $\mathbb {C} ^{3},$ $\rho (\mu )$ $\rho (\nu )$

Sei ein beliebiger Vektorraumisomorphismus. Dann ist die durch die Gleichung für alle definierte Darstellung isomorph zu . $T:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ $\eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),$ $\eta (s):=T\circ \rho (s)\circ T^{-1}$ $s\in D_{6},$ $\rho .$

Durch Einschränkung des Definitionsbereichs der Darstellung auf eine Untergruppe, z. B. erhalten wir die Darstellung . Diese Darstellung ist durch das Bild definiert, dessen explizite Form oben gezeigt wird. $H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},$ ${\text{Res}}_{H}(\rho ).$ $\rho (\mu ),$

Konstruktionen

Die duale Darstellung

Sei eine gegebene Darstellung. Die duale Darstellung oder Kontragredientendarstellung ist eine Darstellung von im dualen Vektorraum von . Sie ist definiert durch die Eigenschaft $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $\rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})$ $G$ $V.$

\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*}(s)\alpha \right)(v)=\alpha \left(\rho \left(s^{-1}\right)v\right).

Bezüglich der natürlichen Paarung zwischen und ergibt die obige Definition die Gleichung: $\langle \alpha ,v\rangle :=\alpha (v)$ $V^{*}$ $V$

\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*}(s)(\alpha ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \alpha ,v\rangle .

Ein Beispiel finden Sie auf der Hauptseite zu diesem Thema: Duale Repräsentation .

Direkte Summe von Darstellungen

Seien und Darstellungen von bzw. . Die direkte Summe dieser Darstellungen ist eine lineare Darstellung und ist definiert als $(\rho _{1},V_{1})$ $(\rho _{2},V_{2})$ $G_{1}$ $G_{2},$

\forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2},v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}\end{cases}}

Seien Darstellungen derselben Gruppe. Der Einfachheit halber wird die direkte Summe dieser Darstellungen als eine Darstellung von definiert, d. h. sie ist gegeben als , indem man als die diagonale Untergruppe von betrachtet . $\rho _{1},\rho _{2}$ $G.$ $G,$ $\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),$ $G$ $G\times G.$

Beispiel. Sei (hierbei sind und die imaginäre Einheit bzw. die primitive Kubikwurzel der Einheit): $i$ $\omega$

{\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}

Dann

{\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}\left(\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}\right)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}

Da es genügt, das Bild des erzeugenden Elements zu betrachten, stellen wir fest, dass

(\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}

Tensorprodukt von Darstellungen

Seien lineare Darstellungen. Wir definieren die lineare Darstellung in das Tensorprodukt von und durch , wobei . Diese Darstellung wird äußeres Tensorprodukt der Darstellungen und genannt. Die Existenz und Eindeutigkeit ist eine Folge der Eigenschaften des Tensorprodukts . $\rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(V_{2})$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ $V_{1}$ $V_{2}$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),$ $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.$ $\rho _{1}$ $\rho _{2}.$

Beispiel. Wir betrachten das für die direkte Summe gegebene Beispiel erneut :

{\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}

Das äußere Tensorprodukt

{\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}

Auf der Basis von erhalten wir für das erzeugende Element Folgendes: $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$

\rho _{1}\otimes \rho _{2}(1,1)=\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}0&0&0&-i&0&-i\omega \\0&0&0&0&-i\omega &0\\0&0&0&0&0&-i\omega ^{2}\\i&0&i\omega &0&0&0\\0&i\omega &0&0&0&0\\0&0&i\omega ^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}

Anmerkung. Beachten Sie, dass die direkte Summe und die Tensorprodukte unterschiedliche Grade haben und daher unterschiedliche Darstellungen sind.

Seien zwei lineare Darstellungen derselben Gruppe. Sei ein Element von . Dann ist definiert durch für und wir schreiben . Dann definiert die Abbildung eine lineare Darstellung von , die auch als Tensorprodukt der gegebenen Darstellungen bezeichnet wird. $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ $s$ $G.$ $\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ $\rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},$ $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},$ $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ $s\mapsto \rho (s)$ $G,$

Diese beiden Fälle müssen strikt unterschieden werden. Im ersten Fall handelt es sich um eine Darstellung des Gruppenprodukts als Tensorprodukt der entsprechenden Darstellungsräume. Im zweiten Fall handelt es sich um eine Darstellung der Gruppe als Tensorprodukt zweier Darstellungsräume dieser einen Gruppe. Dieser letzte Fall kann jedoch als Spezialfall des ersten betrachtet werden, indem man sich auf die diagonale Untergruppe konzentriert. Diese Definition lässt sich endlich oft wiederholen. $G$ $G\times G.$

Seien und Darstellungen der Gruppe . Dann ist eine Darstellung aufgrund der folgenden Identität: . Seien und sei die Darstellung auf . Sei die Darstellung auf und die Darstellung auf . Dann führt die obige Identität zu folgendem Ergebnis: $V$ $W$ $G.$ ${\text{Hom}}(V,W)$ ${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W$ $B\in {\text{Hom}}(V,W)$ $\rho$ ${\text{Hom}}(V,W).$ $\rho _{V}$ $V$ $\rho _{W}$ $W.$

\rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s^{-1})v

für alle

s\in G,v\in V.

Satz. Die irreduziblen Darstellungen von bis auf Isomorphie sind genau die Darstellungen, in denen und irreduzible Darstellungen von bzw. sind .

G_{1}\times G_{2}

\rho _{1}\otimes \rho _{2}

\rho _{1}

\rho _{2}

G_{1}

G_{2},

Symmetrisches und alternierendes Quadrat

Sei eine lineare Darstellung von . Sei eine Basis von . Definiere durch lineare Fortsetzung. Dann gilt und zerfällt daher in , wobei . $\rho :G\to V\otimes V$ $G.$ $(e_{k})$ $V.$ $\vartheta :V\otimes V\to V\otimes V$ $\vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}$ $\vartheta ^{2}=1$ $V\otimes V$ $V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$

{\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=z\}

{\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.

Diese Unterräume sind -invariant und definieren dadurch Unterdarstellungen, die als symmetrisches Quadrat bzw. alternierendes Quadrat bezeichnet werden . Diese Unterdarstellungen sind auch in definiert, werden dort aber als Keilprodukt bzw. symmetrisches Produkt bezeichnet . Im Allgemeinen ist der Vektorraum nicht gleich der direkten Summe dieser beiden Produkte. $G$ $V^{\otimes m},$ $\bigwedge ^{m}V$ ${\text{Sym}}^{m}(V).$ $m>2,$ $V^{\otimes m}$

Zerlegungen

Um Darstellungen besser zu verstehen, wäre eine Zerlegung des Darstellungsraums in die direkte Summe einfacherer Teildarstellungen wünschenswert. Dies lässt sich für endliche Gruppen erreichen, wie wir in den folgenden Ergebnissen sehen werden. Ausführlichere Erklärungen und Beweise finden sich in ^{[ 4 ]} und ^{[ 5 ]} .

Satz ( Maschke ) : Sei eine lineare Darstellung, wobei ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik Null ist. Sei ein -invarianter Unterraum von . Dann existiert das Komplement von in und ist -invariant.

\rho :G\to {\text{GL}}(V)

V

W

G

V.

W^{0}

W

V

G

Eine Teildarstellung und ihr Komplement bestimmen eine Darstellung eindeutig.

Der folgende Satz wird allgemeiner formuliert, da er ein sehr schönes Ergebnis über Darstellungen kompakter – und damit auch endlicher – Gruppen liefert:

Satz. Jede lineare Darstellung einer kompakten Gruppe über einem Körper der Charakteristik Null ist eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

Oder in der Sprache der -Moduln: Wenn die Gruppenalgebra halbeinfach ist, d.h. sie die direkte Summe einfacher Algebren ist. $K[G]$ ${\text{char}}(K)=0,$ $K[G]$

Beachten Sie, dass diese Zerlegung nicht eindeutig ist. Die Anzahl der Vorkommen einer zu einer gegebenen irreduziblen Darstellung isomorphen Teildarstellung in dieser Zerlegung ist jedoch unabhängig von der Wahl der Zerlegung.

Die kanonische Zerlegung

Um eine eindeutige Zerlegung zu erreichen, müssen alle irreduziblen Teildarstellungen, die zueinander isomorph sind, kombiniert werden. Das bedeutet, der Darstellungsraum wird in eine direkte Summe seiner Isotypen zerlegt. Diese Zerlegung ist eindeutig bestimmt. Sie wird als kanonische Zerlegung bezeichnet .

Sei die Menge aller irreduziblen Darstellungen einer Gruppe bis auf Isomorphie. Sei eine Darstellung von und sei die Menge aller Isotypen von . Die zur kanonischen Zerlegung gehörige Projektion ist gegeben durch $(\tau _{j})_{j\in I}$ $G$ $V$ $G$ $\{V(\tau _{j})|j\in I\}$ $V.$ $p_{j}:V\to V(\tau _{j})$

p_{j}={\frac {n_{j}}{g}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{j}}(t)}}\rho (t),

wo und gehört die Figur zu $n_{j}=\dim(\tau _{j}),$ $g={\text{ord}}(G)$ $\chi _{\tau _{j}}$ $\tau _{j}.$

Im Folgenden zeigen wir, wie man den Isotyp zur trivialen Darstellung bestimmt:

Definition (Projektionsformel). Für jede Darstellung einer Gruppe definieren wir $(\rho ,V)$ $G$

V^{G}:=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\forall \,s\in G\}.

Im Allgemeinen ist nicht linear. Wir definieren $\rho (s):V\to V$ $G$

P:={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\rho (s)\in {\text{End}}(V).

Dann ist es eine -lineare Abbildung, weil $P$ $G$

\forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho (s)=\sum _{s\in G}\rho (tst^{-1}).

These. Die Karte ist eine Projektion von nach

P

V

V^{G}.

Dieser Satz ermöglicht es uns, den Isotyp zur trivialen Teildarstellung einer gegebenen Darstellung explizit zu bestimmen.

Wie häufig die triviale Darstellung in auftritt, ist gegeben durch [Formel einfügen]. Dieses Ergebnis ist eine Folge der Tatsache, dass die Eigenwerte einer Projektion nur 1 oder 2 sind und dass der zum Eigenwert 1 gehörige Eigenraum das Bild der Projektion ist. Da die Spur der Projektion die Summe aller Eigenwerte ist, erhalten wir das folgende Ergebnis: [Formel einfügen]. $V$ ${\text{Tr}}(P).$ $0$ $1$ $1$

\dim(V(1))=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\chi _{V}(s),

wobei den Isotyp der trivialen Darstellung bezeichnet. $V(1)$

Sei eine nichttriviale irreduzible Darstellung von . Dann ist der Isotyp zur trivialen Darstellung von der Nullraum. Das bedeutet, dass die folgende Gleichung gilt. $V_{\pi }$ $G.$ $\pi$

P={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\pi (s)=0.

Sei eine Orthonormalbasis von . Dann gilt: $e_{1},...,e_{n}$ $V_{\pi }.$

\sum _{s\in G}{\text{Tr}}(\pi (s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j},e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}\left\langle \sum _{s\in G}\pi (s)e_{j},e_{j}\right\rangle =0.

Daher gilt für eine nichttriviale irreduzible Darstellung Folgendes : $V$

\sum _{s\in G}\chi _{V}(s)=0.

Beispiel. Seien die Permutationsgruppen in drei Elementen. Sei eine lineare Darstellung von , die auf den erzeugenden Elementen wie folgt definiert ist: $G={\text{Per}}(3)$ $\rho :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ ${\text{Per}}(3)$

\rho (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \rho (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Diese Darstellung lässt sich auf den ersten Blick in die links-reguläre Darstellung von , die im Folgenden mit bezeichnet wird , und die Darstellung mit zerlegen. ${\text{Per}}(3),$ $\pi$ $\eta :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

\eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.

Mithilfe des Irreduzibilitätskriteriums aus dem nächsten Kapitel konnten wir erkennen, dass irreduzibel ist, jedoch nicht. Dies liegt daran, dass (bezogen auf das Skalarprodukt aus „Skalarprodukt und Charaktere“ weiter unten) gilt: $\eta$ $\pi$ $(\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2.$

Der Unterraum von ist invariant bezüglich der linksregulären Darstellung. Beschränkt man sich auf diesen Unterraum, erhält man die triviale Darstellung. $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ $\mathbb {C} ^{3}$

Das orthogonale Komplement von ist . Beschränkt man die Darstellung auf diesen Unterraum, der, wie wir oben gesehen haben, auch -invariant ist, erhält man die folgende Darstellung: $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ $\mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).$ $G$ $\tau$

\tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.

Wir können erneut das Irreduzibilitätskriterium aus dem nächsten Kapitel verwenden, um zu beweisen, dass irreduzibel ist. Nun sind und isomorph, da für alle , in denen durch die Matrix gegeben ist $\tau$ $\eta$ $\tau$ $\eta (s)=B\circ \tau (s)\circ B^{-1}$ $s\in {\text{Per}}(3),$ $B:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$

M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.

Eine Zerlegung von in irreduzible Unterdarstellungen ist: wobei die triviale Darstellung bezeichnet und $(\rho ,\mathbb {C} ^{5})$ $\rho =\tau \oplus \eta \oplus 1$ $1$

\mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})

ist die entsprechende Zerlegung des Darstellungsraums.

Wir erhalten die kanonische Zerlegung durch Kombination aller isomorphen irreduziblen Unterdarstellungen: ist der -Isotyp von und folglich ist die kanonische Zerlegung gegeben durch $\rho _{1}:=\eta \oplus \tau$ $\tau$ $\rho$

\rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).

Die obigen Sätze gelten im Allgemeinen nicht für unendliche Gruppen. Dies wird anhand des folgenden Beispiels gezeigt: sei

G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ is an upper triangular matrix}}\}.

Zusammen mit der Matrixmultiplikation bildet die Gruppe eine unendliche Gruppe. Sie wirkt auf durch Matrix-Vektor-Multiplikation. Wir betrachten die Darstellung für alle . Der Unterraum ist ein -invarianter Unterraum. Es existiert jedoch kein -invariantes Komplement zu diesem Unterraum. Die Annahme, dass ein solches Komplement existiert, würde implizieren, dass jede Matrix über diagonalisierbar ist . Dies ist bekanntermaßen falsch und führt somit zu einem Widerspruch. $G$ $G$ $\mathbb {C} ^{2}$ $\rho (A)=A$ $A\in G.$ $\mathbb {C} e_{1}$ $G$ $G$ $\mathbb {C} .$

Die Lehre aus dieser Geschichte ist, dass, wenn wir unendliche Gruppen betrachten, es möglich ist, dass eine Darstellung – selbst eine, die nicht irreduzibel ist – nicht in eine direkte Summe irreduzibler Teildarstellungen zerlegt werden kann.

Charaktertheorie

Definitionen

Der Charakter einer Repräsentation wird als die Abbildung definiert $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$

\chi _{\rho }:G\to \mathbb {C} ,\chi _{\rho }(s):={\text{Tr}}(\rho (s)),

wobei die Spur der linearen Abbildung bezeichnet ^[⁶^]

{\text{Tr}}(\rho (s))

\rho (s).

Auch wenn der Charakter eine Abbildung zwischen zwei Gruppen ist, ist er im Allgemeinen kein Gruppenhomomorphismus , wie das folgende Beispiel zeigt.

Sei die durch folgende Darstellung definierte: $\rho :\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

\rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

Der Charakter wird gegeben durch $\chi _{\rho }$

\chi _{\rho }(0,0)=2,\quad \chi _{\rho }(1,0)=-2,\quad \chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0.

Charaktere von Permutationsdarstellungen sind besonders einfach zu berechnen. Wenn V die G -Darstellung ist, die der Linksoperation von auf einer endlichen Menge entspricht , dann $G$ $X$

\chi _{V}(s)=|\{x\in X|s\cdot x=x\}|.

Beispielsweise ist der Charakter der regulären Darstellung gegeben durch ^{[ 7 ].} $R$

\chi _{R}(s)={\begin{cases}0&s\neq e\\|G|&s=e\end{cases}},

wobei das neutrale Element von bezeichnet $e$ $G.$

Eigenschaften

Eine entscheidende Eigenschaft von Charakteren ist die Formel

\chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.

Diese Formel folgt aus der Tatsache, dass die Spur des Produkts AB zweier quadratischer Matrizen gleich der Spur von BA ist . Funktionen, die eine solche Formel erfüllen, werden Klassenfunktionen genannt . Anders ausgedrückt: Klassenfunktionen und insbesondere Charaktere sind auf jeder Konjugationsklasse konstant. Aus elementaren Eigenschaften der Spur folgt außerdem, dass die Summe der Eigenwerte von mit Vielfachheit ist. Ist der Grad der Darstellung n , so ist die Summe n lang. Hat s die Ordnung m , so sind diese Eigenwerte allesamt m -te Einheitswurzeln . Diese Tatsache kann verwendet werden, um zu zeigen, dass und impliziert auch . $G\to \mathbb {C}$ $C_{s}=\{tst^{-1}|t\in G\}.$ $\chi (s)$ $\rho (s)$ $\chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G$ $|\chi (s)|\leqslant n.$

Da die Spur der Einheitsmatrix die Anzahl der Zeilen ist, wobei das neutrale Element von und n die Dimension der Darstellung ist, ist im Allgemeinen ein Normalteiler in . Die folgende Tabelle zeigt, wie die Charaktere zweier gegebener Darstellungen Charaktere verwandter Darstellungen erzeugen. $\chi (e)=n,$ $e$ $G$ $\{s\in G|\chi (s)=n\}$ $G.$ $\chi _{1},\chi _{2}$ $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$

Merkmale mehrerer Standardkonstruktionen
Darstellung	Charakter
Doppelrepräsentation $V_{1}^{*}$	$\chi _{1}^{*}={\overline {\chi _{1}}}.$
direkte Summe $V_{1}\oplus V_{2}$	$\chi _{1}+\chi _{2}.$
Tensorprodukt der Darstellungen $V_{1}\otimes V_{2}$	$\chi _{1}\chi _{2}.$
symmetrisches Quadrat $Sym^{2}(V)$	${\tfrac {1}{2}}\left(\chi (s)^{2}+\chi (s^{2})\right)$
abwechselnde Quadrate $\bigwedge ^{2}V$	${\tfrac {1}{2}}\left(\chi (s)^{2}-\chi (s^{2})\right)$

Konstruktionsbedingt gibt es eine direkte Summenzerlegung von . Bei Charakteren entspricht dies der Tatsache, dass die Summe der letzten beiden Ausdrücke in der Tabelle gleich ist , dem Charakter von . $V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V$ $\chi (s)^{2}$ $V\otimes V$

Inneres Produkt und Charaktere

Um einige besonders interessante Ergebnisse über Charaktere aufzuzeigen, lohnt es sich, einen allgemeineren Funktionstyp auf Gruppen zu betrachten:

Definition (Klassenfunktionen). Eine Funktion heißt Klassenfunktion, wenn sie auf Konjugationsklassen von konstant ist , d.h. $\varphi :G\to \mathbb {C}$ $G$

\forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t).

Beachten Sie, dass jedes Zeichen eine Klassenfunktion ist, da die Spur einer Matrix bei der Konjugation erhalten bleibt.

Die Menge aller Klassenfunktionen ist eine -Algebra und wird mit bezeichnet . Ihre Dimension entspricht der Anzahl der Konjugationsklassen von . $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $G.$

Die Beweise für die nachfolgenden Ergebnisse dieses Kapitels finden sich in ^{[ 8 ]} , ^{[ 9 ]} , und ^{[ 10 ]} .

Auf der Menge aller Klassenfunktionen einer endlichen Gruppe kann ein Skalarprodukt definiert werden:

(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}

Orthonormaleigenschaft. Sind die verschiedenen irreduziblen Charaktere von , so bilden sie eine Orthonormalbasis für den Vektorraum aller Klassenfunktionen bezüglich des oben definierten Skalarprodukts, d. h. $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ $G$

$(\chi _{i}|\chi _{j})={\begin{cases}1{\text{ if }}i=j\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}.$
Jede Klassenfunktion kann als eindeutige Linearkombination der irreduziblen Charaktere ausgedrückt werden . $f$ $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$

Man kann die Erzeugung irreduzibler Charaktere überprüfen, indem man zeigt, dass keine von Null verschiedene Klassenfunktion existiert, die orthogonal zu allen irreduziblen Charakteren ist. Sei eine Darstellung und eine Klassenfunktion gegeben durch . Dann gilt für irreduzible Charaktere nach dem Lemma von Schur : . Sei eine Klassenfunktion, die orthogonal zu allen Charakteren ist. Dann gilt nach dem Obigen: wann immer irreduzibel ist. Daraus folgt dann aufgrund der Zerlegbarkeit, dass für alle gilt. Sei die reguläre Darstellung. Angewendet auf ein bestimmtes Basiselement erhalten wir : . Da dies für alle gilt , haben wir $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $\rho$ $f$ $\rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho (g).$ $\rho$ $\rho _{f}={\frac {|G|}{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)$ $f$ $\rho _{f}=0$ $\rho$ $\rho _{f}=0$ $\rho$ $\rho$ $\rho _{f}$ $g$ $f(g)=0$ $g$ $f=0.$

Aus der Orthonormalitätseigenschaft folgt, dass die Anzahl der nicht-isomorphen irreduziblen Darstellungen einer Gruppe gleich der Anzahl der Konjugationsklassen ist . $G$ $G.$

Des Weiteren ist eine Klassenfunktion auf ein Charakter von genau dann, wenn sie als Linearkombination der verschiedenen irreduziblen Charaktere mit nichtnegativen ganzzahligen Koeffizienten geschrieben werden kann: Wenn eine Klassenfunktion auf ist, sodass , wobei nichtnegative ganze Zahlen sind, dann ist der Charakter der direkten Summe der Darstellungen, die zu gehören . Umgekehrt ist es immer möglich, jeden Charakter als Summe irreduzibler Charaktere zu schreiben. $G$ $G$ $\chi _{j}$ $\varphi$ $G$ $\varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}$ $c_{j}$ $\varphi$ $c_{1}\tau _{1}\oplus \cdots \oplus c_{k}\tau _{k}$ $\tau _{j}$ $\chi _{j}.$

Das oben definierte Skalarprodukt lässt sich auf die Menge aller -wertigen Funktionen auf einer endlichen Gruppe erweitern: $\mathbb {C}$ $L^{1}(G)$

(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}

Eine symmetrische Bilinearform kann auch definiert werden auf $L^{1}(G):$

\langle f,h\rangle _{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1})

Diese beiden Formen stimmen in der Zeichenkette überein. Besteht keine Verwechslungsgefahr, wird der Index beider Formen weggelassen . $(\cdot |\cdot )_{G}$ $\langle \cdot |\cdot \rangle _{G}$

Seien zwei -Moduln. Man beachte, dass -Moduln einfach Darstellungen von sind . Da die Orthonormalitätseigenschaft besagt, dass die Anzahl der irreduziblen Darstellungen von genau der Anzahl seiner Konjugationsklassen entspricht, gibt es (bis auf Isomorphie) genau so viele einfache -Moduln wie Konjugationsklassen von gibt. $V_{1},V_{2}$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$ $G$ $G$ $\mathbb {C} [G]$ $G.$

Wir definieren , wobei der Vektorraum aller -linearen Abbildungen ist. Diese Form ist bilinear bezüglich der direkten Summe. $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:=\dim({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})),$ ${\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})$ $G$

Im Folgenden werden uns diese bilinearen Formen ermöglichen, einige wichtige Ergebnisse hinsichtlich der Zerlegung und Irreduzibilität von Darstellungen zu erzielen.

Seien beispielsweise und die Charaktere von bzw. . Dann $\chi _{1}$ $\chi _{2}$ $V_{1}$ $V_{2},$ $\langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1}|\chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.$

Aus den obigen Ergebnissen sowie dem Lemma von Schur und der vollständigen Reduzierbarkeit von Darstellungen lässt sich der folgende Satz ableiten.

Satz. Sei eine lineare Darstellung von mit Charakter. Sei , wobei irreduzibel sind. Sei eine irreduzible Darstellung von mit Charakter. Dann ist die Anzahl der zu isomorphen Unterdarstellungen unabhängig von der gegebenen Zerlegung und gleich dem Skalarprodukt , d. h. der -Isotyp von ist unabhängig von der Wahl der Zerlegung. Wir erhalten außerdem:

V

G

\xi .

V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},

W_{j}

(\tau ,W)

G

\chi .

W_{j}

W

(\xi |\chi ),

\tau

V(\tau )

V

(\xi |\chi )={\frac {\dim(V(\tau ))}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle

und somit

\dim(V(\tau ))=\dim(\tau )(\xi |\chi ).

Folgerung. Zwei Darstellungen mit demselben Charakter sind isomorph. Das bedeutet, dass jede Darstellung durch ihren Charakter bestimmt wird.

Damit erhalten wir ein sehr nützliches Ergebnis zur Analyse von Darstellungen:

Irreduzibilitätskriterium. Sei der Charakter der Darstellung, dann gilt: Der Fall ist genau dann erfüllt, wenn irreduzibel ist. $\chi$ $V,$ $(\chi |\chi )\in \mathbb {N} _{0}.$ $(\chi |\chi )=1$ $V$

Daher bilden die Charaktere irreduzibler Darstellungen von gemäß dem ersten Theorem ein Orthonormalsystem auf bezüglich dieses inneren Produkts. $G$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$

Folgerung. Sei ein Vektorraum. Eine gegebene irreduzible Darstellung von ist -mal in der regulären Darstellung enthalten . Anders ausgedrückt: Bezeichnet die reguläre Darstellung von , so gilt: wobei die Menge aller irreduziblen Darstellungen von ist, die paarweise nicht isomorph zueinander sind.

V

\dim(V)=n.

V

G

n

R

G

R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},

\{W_{j}|j\in I\}

G

Im Sinne der Gruppenalgebra bedeutet dies, dass als Algebren. $\mathbb {C} [G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})$

Als numerisches Ergebnis erhalten wir:

|G|=\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}}|\chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}}|\chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},

Dabei ist die reguläre Darstellung und und sind entsprechende Zeichen zu bzw. . Zur Erinnerung: bezeichnet das neutrale Element der Gruppe. $R$ $\chi _{W_{j}}$ $\chi _{R}$ $W_{j}$ $R,$ $e$

Diese Formel ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Problem der Klassifizierung irreduzibler Darstellungen einer Gruppe bis auf Isomorphie. Sie ermöglicht es uns zu überprüfen, ob wir alle Isomorphieklassen irreduzibler Darstellungen einer Gruppe gefunden haben.

Analog dazu erhalten wir durch Auswertung des Charakters der regulären Darstellung an der Stelle die Gleichung: $s\neq e,$

0=\chi _{R}(s)=\sum _{j}\dim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}(s).

Durch die Beschreibung von Darstellungen mittels der Faltungsalgebra erhalten wir eine äquivalente Formulierung dieser Gleichungen:

Die Fourier-Inversionsformel :

f(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irr. rep. of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (s^{-1})\cdot {\hat {f}}(\rho )).

Darüber hinaus gilt die Plancherel-Formel :

\sum _{s\in G}f(s^{-1})h(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho \,\,{\text{ irred.}}{\text{ rep.}}{\text{ of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {f}}(\rho ){\hat {h}}(\rho )).

In beiden Formeln handelt es sich um eine lineare Darstellung einer Gruppe und $(\rho ,V_{\rho })$ $G,s\in G$ $f,h\in L^{1}(G).$

Die obige Folgerung hat eine weitere Konsequenz:

Lemma. Sei eine Gruppe. Dann ist Folgendes äquivalent:

G

$G$ ist abelisch .
Jede Funktion auf ist eine Klassenfunktion. $G$
Alle irreduziblen Darstellungen von haben den Grad $G$ $1.$

Die induzierte Repräsentation

Wie im Abschnitt über Eigenschaften linearer Darstellungen gezeigt wurde , lässt sich – durch Einschränkung – aus einer Gruppendarstellung eine Darstellung einer Untergruppe gewinnen. Natürlich interessiert uns der umgekehrte Prozess: Ist es möglich, aus einer Gruppendarstellung eine Gruppendarstellung zu erhalten? Wir werden sehen, dass die unten definierte induzierte Darstellung uns das notwendige Konzept liefert. Zugegebenermaßen ist diese Konstruktion nicht invers, sondern adjungiert zur Einschränkung.

Definitionen

Sei eine lineare Darstellung von . Sei eine Untergruppe und die Einschränkung . Sei eine Unterdarstellung von . Wir schreiben , um diese Darstellung zu bezeichnen. Sei . Der Vektorraum hängt nur von der linken Nebenklasse von ab . Sei ein repräsentatives System von . $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ $G.$ $H$ $\rho |_{H}$ $W$ $\rho _{H}.$ $\theta :H\to {\text{GL}}(W)$ $s\in G.$ $\rho (s)(W)$ $sH$ $s.$ $R$ $G/H,$

\sum _{r\in R}\rho (r)(W)

ist eine Unterdarstellung von $V_{\rho }.$

Eine Repräsentation von in heißt induziert durch die Repräsentation von in, wenn $\rho$ $G$ $V_{\rho }$ $\theta$ $H$ $W,$

V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.

Hier gilt für alle und für alle. Anders ausgedrückt: Die Darstellung wird induziert durch, wenn jedes eindeutig geschrieben werden kann als $W_{r}=\rho (s)(W)$ $s\in rH$ $r\in R.$ $(\rho ,V_{\rho })$ $(\theta ,W),$ $v\in V_{\rho }$

\sum _{r\in R}w_{r},

wo für jeden $w_{r}\in W_{r}$ $r\in R.$

Wir bezeichnen die Darstellung von , die durch die Darstellung von induziert wird , als oder kurz , falls keine Verwechslungsgefahr besteht. Häufig wird anstelle der Darstellungsabbildung der Darstellungsraum selbst verwendet, d. h. oder , falls die Darstellung durch induziert wird. $\rho$ $G$ $\theta$ $H$ $\rho ={\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta ),$ $\rho ={\text{Ind}}(\theta ),$ $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W),$ $V={\text{Ind}}(W),$ $V$ $W.$

Alternative Beschreibung der induzierten Repräsentation

Mithilfe der Gruppenalgebra erhalten wir eine alternative Beschreibung der induzierten Darstellung:

Sei eine Gruppe, ein -Modul und ein -Untermodul von , der der Untergruppe von entspricht. Wir sagen, dass von induziert wird, wenn in auf dem ersten Faktor wirkt: für alle $G$ $V$ $\mathbb {C} [G]$ $W$ $\mathbb {C} [H]$ $V$ $H$ $G.$ $V$ $W$ $V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,$ $G$ $s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w$ $s,t\in G,w\in W.$

Eigenschaften

Die in diesem Abschnitt vorgestellten Ergebnisse werden ohne Beweis präsentiert. Diese finden sich in ^{[ 11 ]} und ^{[ 12 ]} .

Eindeutigkeit und Existenz der induzierten Darstellung. Sei eine lineare Darstellung einer Untergruppe von . Dann existiert eine lineare Darstellung von , die durch induziert wird. Diese Darstellung ist bis auf Isomorphie eindeutig.

(\theta ,W_{\theta })

H

G.

(\rho ,V_{\rho })

G,

(\theta ,W_{\theta }).

Transitivität der Induktion. Sei eine Darstellung von und sei eine aufsteigende Folge von Gruppen. Dann gilt:

W

H

H\leq G\leq K

{\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).

Lemma. Sei durch induziert und sei eine lineare Darstellung von . Sei nun eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass für alle gilt. Dann existiert eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung , die und fortsetzt und für die für alle gilt.

(\rho ,V_{\rho })

(\theta ,W_{\theta })

\rho ':G\to {\text{GL}}(V')

G.

F:W_{\theta }\to V'

F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F

t\in G.

F':V_{\rho }\to V',

F

F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'

s\in G.

Das bedeutet, wenn wir als -Modul interpretieren, haben wir , wobei der Vektorraum aller -Homomorphismen von nach ist . Dasselbe gilt für $V'$ $\mathbb {C} [G]$ ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),$ ${\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')$ $\mathbb {C} [G]$ $V_{\rho }$ $V'.$ ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').$

Induktion über Klassenfunktionen. Analog zur Darstellung können wir – durch Induktion – eine Klassenfunktion auf der Gruppe aus einer Klassenfunktion auf einer Untergruppe gewinnen. Sei eine Klassenfunktion auf . Wir definieren eine Funktion auf durch $\varphi$ $H.$ $\varphi '$ $G$

\varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).

Wir sagen, wird induziert durch und schreiben oder $\varphi '$ $\varphi$ ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '$ ${\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.$

Satz. Die Funktion ist eine Klassenfunktion auf . Wenn der Charakter einer Darstellung von ist, dann ist der Charakter der induzierten Darstellung von .

{\text{Ind}}(\varphi )

G.

\varphi

W

H,

{\text{Ind}}(\varphi )

{\text{Ind}}(W)

G.

Lemma. Wenn eine Klassenfunktion auf und eine Klassenfunktion auf ist, dann gilt:

\psi

H

\varphi

G,

{\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .

Satz. Sei die Darstellung von , die durch die Darstellung der Untergruppe induziert wird. Seien und die zugehörigen Charaktere. Sei ein repräsentatives System von . Der induzierte Charakter ist gegeben durch

(\rho ,V_{\rho })

G

(\theta ,W_{\theta })

H.

\chi _{\rho }

\chi _{\theta }

R

G/H.

\forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).

Frobenius-Reziprozität

Zusammenfassend lässt sich aus dem Reziprozitätssatz von Frobenius die Lehre ziehen, dass die Abbildungen und zueinander adjungiert sind . ${\text{Res}}$ ${\text{Ind}}$

Sei eine irreduzible Darstellung von und sei eine irreduzible Darstellung von . Dann besagt die Frobenius-Reziprozität, dass genauso oft in enthalten ist wie in enthalten ist. $W$ $H$ $V$ $G,$ $W$ ${\text{Res}}(V)$ ${\text{Ind}}(W)$ $V.$

Frobenius-Reziprozität. Wenn und wir haben

\psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)

\varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)

\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}.

Diese Aussage gilt auch für das Skalarprodukt .

Mackeys Irreduzibilitätskriterium

George Mackey hat ein Kriterium aufgestellt, um die Irreduzibilität induzierter Darstellungen zu überprüfen. Dazu benötigen wir zunächst einige Definitionen und Spezifikationen bezüglich der Notation.

Zwei Darstellungen und einer Gruppe heißen disjunkt , wenn sie keine gemeinsame irreduzible Komponente haben, d.h. wenn $V_{1}$ $V_{2}$ $G$ $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.$

Sei eine Gruppe und sei eine Untergruppe. Wir definieren für . Sei eine Darstellung der Untergruppe . Dies definiert durch Einschränkung eine Darstellung von . Wir schreiben für . Wir definieren außerdem eine weitere Darstellung von durch . Diese beiden Darstellungen dürfen nicht verwechselt werden. $G$ $H$ $H_{s}=sHs^{-1}\cap H$ $s\in G.$ $(\rho ,W)$ $H.$ ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )$ $H_{s}.$ ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).$ $\rho ^{s}$ $H_{s}$ $\rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).$

Mackeys Irreduzibilitätskriterium. Die induzierte Darstellung ist genau dann irreduzibel, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)

$W$ ist irreduzibel
Für jedes sind die beiden Darstellungen und von disjunkt. Ein Beweis dieses Satzes findet sich in ^[¹³^] . $s\in G\setminus H$ $\rho ^{s}$ ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ $H_{s}$

Im Normalfall gilt und . Daraus ergibt sich Folgendes: $H$ $H_{s}=H$ ${\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho$

Folgerung. Sei ein Normalteiler von . Dann ist genau dann irreduzibel, wenn irreduzibel und nicht isomorph zu den Konjugierten von ist.

H

G.

{\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )

\rho

\rho ^{s}

s\notin H.

Anträge an spezielle Gruppen

In diesem Abschnitt stellen wir einige Anwendungen der bisher vorgestellten Theorie auf normale Untergruppen und auf eine spezielle Gruppe vor, nämlich das semidirekte Produkt einer Untergruppe mit einer abelschen normalen Untergruppe.

Satz. Sei ein Normalteiler der Gruppe und sei eine irreduzible Darstellung von . Dann muss eine der folgenden Aussagen gelten:

A

G

\rho :G\to {\text{GL}}(V)

G.

entweder existiert eine echte Untergruppe von , die enthält , und eine irreduzible Darstellung von , die induziert , $H$ $G$ $A$ $\eta$ $H$ $\rho$
oder ist ein isotypisches -Modul. $V$ $\mathbb {C} A$

Beweis. Betrachten wir als -Modul und zerlegen wir es in Isotypen als . Ist diese Zerlegung trivial, befinden wir uns im zweiten Fall. Andernfalls permutiert die größere -Operation diese isotypischen Moduln; da als -Modul irreduzibel ist, ist die Permutationsoperation transitiv (tatsächlich primitiv ). Sei beliebig ; der Stabilisator in von weist elementar die behaupteten Eigenschaften auf.

V

\mathbb {C} A

V=\bigoplus _{j}{V_{j}}

G

V

\mathbb {C} G

j

G

V_{j}

\Box

Beachten Sie, dass, wenn abelsch ist, die isotypischen Moduln von irreduzibel sind, vom Grad eins sind und alle Homothetien sind. $A$ $A$

Wir erhalten außerdem Folgendes:

Korollar. Sei ein abelscher Normalteiler von und sei eine beliebige irreduzible Darstellung von . Wir bezeichnen mit den Index von in . Dann ^[¹⁴^]

A

G

\tau

G.

(G:A)

A

G.

\deg(\tau )|(G:A).

Wenn eine abelsche Untergruppe von (nicht notwendigerweise normal) ist, ist im Allgemeinen nicht erfüllt, aber dennoch gültig. $A$ $G$ $\deg(\tau )|(G:A)$ $\deg(\tau )\leq (G:A)$

Klassifizierung von Darstellungen eines semidirekten Produkts

Im Folgenden sei ein semidirektes Produkt, dessen normaler semidirekter Faktor abelsch ist. Die irreduziblen Darstellungen einer solchen Gruppe lassen sich klassifizieren, indem man zeigt, dass alle irreduziblen Darstellungen von aus bestimmten Untergruppen von konstruiert werden können . Dies ist die sogenannte Methode der „kleinen Gruppen“ von Wigner und Mackey. $G=A\rtimes H$ $A$ $G,$ $G$ $H$

Da abelsch ist , haben die irreduziblen Charaktere von den Grad eins und bilden die Gruppe . Die Gruppe operiert auf durch für $A$ $A$ $\mathrm {X} ={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).$ $G$ $\mathrm {X}$ $(s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)$ $s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.$

Sei ein repräsentatives System der Bahn von in . Für jedes sei . Dies ist eine Untergruppe von . Sei die entsprechende Untergruppe von . Wir erweitern nun die Funktion auf durch für . Somit ist eine Klassenfunktion auf . Da außerdem für alle , kann gezeigt werden, dass ein Gruppenhomomorphismus von nach ist . Daher haben wir eine Darstellung von vom Grad eins, die gleich ihrem eigenen Charakter ist. $(\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}$ $H$ $\mathrm {X} .$ $j\in \mathrm {X} /H$ $H_{j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.$ $H.$ $G_{j}=A\cdot H_{j}$ $G.$ $\chi _{j}$ $G_{j}$ $\chi _{j}(at)=\chi _{j}(a)$ $a\in A,t\in H_{j}.$ $\chi _{j}$ $G_{j}.$ $t\chi _{j}=\chi _{j}$ $t\in H_{j},$ $\chi _{j}$ $G_{j}$ $\mathbb {C} ^{\times }.$ $G_{j}$

Sei nun eine irreduzible Darstellung von . Dann erhalten wir eine irreduzible Darstellung von , indem wir mit der kanonischen Projektion kombinieren . Schließlich konstruieren wir das Tensorprodukt von und . Somit erhalten wir eine irreduzible Darstellung von . $\rho$ $H_{j}.$ ${\tilde {\rho }}$ $G_{j},$ $\rho$ $G_{j}\to H_{j}.$ $\chi _{j}$ ${\tilde {\rho }}.$ $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}$ $G_{j}.$

Um schließlich die Klassifizierung der irreduziblen Darstellungen von zu erhalten, verwenden wir die Darstellung von , die durch das Tensorprodukt induziert wird. Somit erzielen wir folgendes Ergebnis: $G$ $\theta _{j,\rho }$ $G,$ $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.$

Satz.

$\theta _{j,\rho }$ ist irreduzibel.
Wenn und isomorph sind, dann ist auch isomorph zu . $\theta _{j,\rho }$ $\theta _{j',\rho '}$ $j=j'$ $\rho$ $\rho '.$
Jede irreduzible Darstellung von ist isomorph zu einer der $G$ $\theta _{j,\rho }.$

Für den Beweis des Satzes werden unter anderem das Kriterium von Mackey und eine auf dem Frobenius-Reziprozitätssatz basierende Schlussfolgerung benötigt. Weitere Details finden sich in ^{[ 15 ]} .

Mit anderen Worten, wir haben alle irreduziblen Darstellungen von klassifiziert $G=A\rtimes H.$

Darstellungsring

Der Darstellungsring von wird als die abelsche Gruppe definiert $G$

R(G)=\left\{\left.\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}\right|\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}{\text{ all irreducible representations of }}G{\text{ up to isomorphism}},a_{j}\in \mathbb {Z} \right\}.

Durch die Multiplikation mittels des Tensorprodukts wird ein Ring. Die Elemente von werden virtuelle Darstellungen genannt . $R(G)$ $R(G)$

Der Charakter definiert einen Ringhomomorphismus in der Menge aller Klassenfunktionen auf mit komplexen Werten $G$

{\begin{cases}\chi :R(G)\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\end{cases}}

wobei es sich um die irreduziblen Charaktere handelt, die den $\chi _{j}$ $\tau _{j}.$

Da eine Repräsentation durch ihren Charakter bestimmt wird, ist sie injektiv . Die Bilder von werden virtuelle Charaktere genannt . $\chi$ $\chi$

Da die irreduziblen Charaktere eine orthonormale Basis bilden, induziert dies einen Isomorphismus. $\mathbb {C} _{\text{class}},\chi$

\chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \to \mathbb {C} _{\text{class}}(G).

Dieser Isomorphismus wird auf einer Basis aus elementaren Tensoren durch bzw. definiert und bilinear erweitert . $(\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}$ $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}$ $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},$

Wir schreiben für die Menge aller Zeichen von und für die von erzeugte Gruppe, d. h. die Menge aller Differenzen zweier Zeichen. Dann gilt und . Somit haben wir und die virtuellen Zeichen entsprechen den virtuellen Darstellungen optimal. ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ $G$ ${\mathcal {R}}(G)$ ${\mathcal {R}}^{+}(G),$ ${\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}$ ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).$ $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G)$

Da gilt, ist die Menge aller virtuellen Charaktere. Da das Produkt zweier Charaktere wieder einen Charakter liefert, ist ein Unterring des Rings aller Klassenfunktionen auf . Da die eine Basis von bilden , erhalten wir, genau wie im Fall eines Isomorphismus ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )$ ${\mathcal {R}}(G)$ ${\mathcal {R}}(G)$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $G.$ $\chi _{i}$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $R(G),$ $\mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

Sei eine Untergruppe von . Die Einschränkung definiert somit einen Ringhomomorphismus , der mit oder bezeichnet wird . Ebenso definiert die Induktion über Klassenfunktionen einen Homomorphismus abelscher Gruppen, der als oder kurz geschrieben wird. $H$ $G.$ ${\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi |_{H},$ ${\text{Res}}_{H}^{G}$ ${\text{Res}}.$ ${\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),$ ${\text{Ind}}_{H}^{G}$ ${\text{Ind}}.$

Nach dem Frobenius-Reziprozitätssatz sind diese beiden Homomorphismen adjungiert bezüglich der Bilinearformen . Außerdem zeigt die Formel, dass das Bild von ein Ideal des Rings ist. $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.$ ${\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi$ ${\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ ${\mathcal {R}}(G).$

Durch Einschränkung der Darstellungen lässt sich die Abbildung analog für definieren, und durch Induktion erhalten wir die Abbildung für . Aufgrund der Frobenius-Reziprozität folgt, dass diese Abbildungen zueinander adjungiert sind und dass das Bild ein Ideal des Rings ist . ${\text{Res}}$ $R(G),$ ${\text{Ind}}$ $R(G).$ ${\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))$ $R(G).$

Ist ein kommutativer Ring, so lassen sich die Homomorphismen und zu -linearen Abbildungen erweitern: $A$ ${\text{Res}}$ ${\text{Ind}}$ $A$

{\begin{cases}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})\right)\end{cases}}

in der alle irreduziblen Darstellungen von bis auf Isomorphie enthalten sind. $\eta _{j}$ $H$

Damit erhalten wir insbesondere, dass und Homomorphismen zwischen und liefern. $A=\mathbb {C}$ ${\text{Ind}}$ ${\text{Res}}$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(H).$

Seien und zwei Gruppen mit den jeweiligen Darstellungen und . Dann ist die Darstellung des direkten Produkts, wie in einem vorherigen Abschnitt gezeigt wurde . Ein weiteres Ergebnis dieses Abschnitts war, dass alle irreduziblen Darstellungen von genau die Darstellungen sind, wobei und irreduzible Darstellungen von bzw. sind . Dies lässt sich auf den Darstellungsring übertragen, da die Identität in das Tensorprodukt der Darstellungsringe als -Moduln ist . $G_{1}$ $G_{2}$ $(\rho _{1},V_{1})$ $(\rho _{2},V_{2}).$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ $G_{1}\times G_{2}$ $G_{1}\times G_{2}$ $\eta _{1}\otimes \eta _{2},$ $\eta _{1}$ $\eta _{2}$ $G_{1}$ $G_{2},$ $R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),$ $R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})$ $\mathbb {Z}$

Induktionssätze

Induktionssätze stellen einen Zusammenhang zwischen dem Darstellungsring einer gegebenen endlichen Gruppe G und Darstellungsringen einer Familie X her , die aus Teilmengen H von G besteht . Genauer gesagt, liefert der Induktionsfunktor für eine solche Familie von Untergruppen eine Abbildung

\varphi :{\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)

; Induktionssätze liefern Kriterien für die Surjektivität dieser Abbildung oder eng verwandter Abbildungen.

Artins Induktionssatz ist der elementarste Satz in dieser Gruppe von Ergebnissen. Er besagt, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Der Kokern von ist endlich. $\varphi$
$G$ ist die Vereinigung der Konjugierten der zu gehörenden Untergruppen, d.h. $X,$ $G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.$

Da als Gruppe endlich erzeugt wird, kann der erste Punkt wie folgt umformuliert werden: ${\mathcal {R}}(G)$

Für jedes Zeichen von gibt es virtuelle Zeichen und eine ganze Zahl , so dass $\chi$ $G,$ $\chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X$ $d\geq 1,$ $d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).$

Serre (1977) liefert zwei Beweise für diesen Satz. Da G die Vereinigung ihrer zyklischen Untergruppen ist, ist beispielsweise jeder Charakter von G eine Linearkombination von Charakteren mit rationalen Koeffizienten, die durch Charaktere zyklischer Untergruppen von G induziert werden . Da die Darstellungen zyklischer Gruppen gut verstanden sind, insbesondere die irreduziblen Darstellungen eindimensional sind, ermöglicht dies eine gewisse Kontrolle über Darstellungen von G. $G$ $G.$

Unter den oben genannten Umständen ist es im Allgemeinen nicht wahr, dass surjektiv ist. Der Induktionssatz von Brauer besagt, dass surjektiv ist, vorausgesetzt, X ist die Familie aller elementaren Untergruppen . Hierbei ist eine Gruppe H elementar , wenn es eine Primzahl p gibt , sodass H das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe von Ordnung prim zu und einer -Gruppe ist . Anders ausgedrückt: Jeder Charakter von ist eine Linearkombination von Charakteren mit ganzzahligen Koeffizienten, die durch Charaktere elementarer Untergruppen induziert werden. Die in Brauers Satz auftretenden elementaren Untergruppen H besitzen eine reichhaltigere Darstellungstheorie als zyklische Gruppen; sie haben zumindest die Eigenschaft, dass jede irreduzible Darstellung für ein solches H durch eine eindimensionale Darstellung einer (notwendigerweise ebenfalls elementaren) Untergruppe induziert wird . (Letztere Eigenschaft kann für jede supersolvable Gruppe gezeigt werden , was nilpotente Gruppen und insbesondere elementare Gruppen einschließt .) Diese Möglichkeit, Darstellungen aus Darstellungen vom Grad 1 zu induzieren, hat weitere Konsequenzen in der Darstellungstheorie endlicher Gruppen. $\varphi$ $\varphi$ $p$ $p$ $G$ $K\subset H$

Reale Darstellungen

Für Beweise und weitere Informationen über Darstellungen über allgemeinen Unterkörpern von verweisen wir auf ^[¹⁶^] . $\mathbb {C}$

Wirkt eine Gruppe auf einem reellen Vektorraum, so nennt man die entsprechende Darstellung auf dem komplexen Vektorraum reell ( die Komplexifizierung von wird als ). Die oben erwähnte entsprechende Darstellung ist gegeben durch für alle . $G$ $V_{0},$ $V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $V$ $V_{0}$ $s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z$ $s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .$

Sei eine reelle Darstellung. Die lineare Abbildung ist für alle -wertig. Daher können wir schließen, dass der Charakter einer reellen Darstellung stets reellwertig ist. Aber nicht jede Darstellung mit reellwertigem Charakter ist reell. Um dies zu verdeutlichen, sei eine endliche, nicht-abelsche Untergruppe der Gruppe $\rho$ $\rho (s)$ $\mathbb {R}$ $s\in G.$ $G$

{\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}\ :\ |a|^{2}+|b|^{2}=1\right\}.

Da die Spur jeder Matrix in reell ist, ist der Charakter der Darstellung reellwertig. Angenommen, ist eine reelle Darstellung, dann bestünde nur aus reellwertigen Matrizen. Somit gilt: Die Kreisgruppe ist abelsch, wurde aber als nicht-abelsche Gruppe gewählt. Nun müssen wir nur noch die Existenz einer nicht-abelschen, endlichen Untergruppe von beweisen. Um eine solche Gruppe zu finden, beachte man, dass mit den Einheiten der Quaternionen identifiziert werden kann . Sei nun . Die folgende zweidimensionale Darstellung von ist nicht reellwertig, hat aber einen reellwertigen Charakter: $G\subset {\text{SU}}(2)$ $V=\mathbb {C} ^{2}.$ ${\text{SU}}(2)$ $\rho$ $\rho (G)$ $G\subset {\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1}.$ $G$ ${\text{SU}}(2).$ ${\text{SU}}(2)$ $G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.$ $G$

{\begin{cases}\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}

Dann ist das Bild von nicht reellwertig, aber dennoch eine Teilmenge von . Somit ist der Charakter der Darstellung reell. $\rho$ ${\text{SU}}(2).$

Lemma. Eine irreduzible Darstellung von ist genau dann reell, wenn es eine nicht-ausgeartete, symmetrische Bilinearform auf gibt, die von erhalten bleibt.

V

G

B

V

G.

Eine irreduzible Darstellung einer reellen Vektorgruppe kann reduzibel werden, wenn der Körper auf erweitert wird. Beispielsweise ist die folgende reelle Darstellung der zyklischen Gruppe reduzibel, wenn sie über betrachtet wird. $G$ $\mathbb {C} .$ $\mathbb {C}$

{\begin{cases}\rho :\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )\\[4pt]\rho (k)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\\-\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\end{pmatrix}}\end{cases}}

Daher haben wir durch die Klassifizierung aller irreduziblen Darstellungen, die reell sind, noch nicht alle irreduziblen reellen Darstellungen klassifiziert. Wir erreichen aber Folgendes: $\mathbb {C} ,$

Sei ein reeller Vektorraum. Sei irreduzibel auf und sei . Falls nicht irreduzibel ist, existieren genau zwei irreduzible Faktoren, die komplex konjugierte Darstellungen von sind. $V_{0}$ $G$ $V_{0}$ $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .$ $V$ $G.$

Definition. Eine quaternionische Darstellung ist eine (komplexe) Darstellung , die einen -invarianten antilinearen Homomorphismus besitzt , der erfüllt. Somit definiert eine schiefsymmetrische , nicht-ausgeartete -invariante Bilinearform eine quaternionische Struktur auf $V,$ $G$ $J:V\to V$ $J^{2}=-{\text{Id}}.$ $G$ $V.$

Satz. Eine irreduzible Darstellung ist genau eine der folgenden:

V

(i) komplex: ist nicht reellwertig und es existiert keine -invariante , nicht-ausgeartete Bilinearform auf

\chi _{V}

G

V.

(ii) reell: eine reelle Darstellung; besitzt eine -invariante nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform .

V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,

V

G

(iii) quaternionisch: ist reell, aber ist nicht reell; besitzt eine -invariante schiefsymmetrische nicht-ausgeartete Bilinearform.

\chi _{V}

V

V

G

Darstellungen bestimmter Gruppen

Symmetrische Gruppen

Die Darstellungen symmetrischer Gruppen wurden intensiv untersucht. Konjugationsklassen in (und damit, gemäß dem Obigen, irreduzible Darstellungen) entsprechen Partitionen von n . Beispielsweise besitzt drei irreduzible Darstellungen, die den Partitionen entsprechen. $S_{n}$ $S_{n}$ $S_{3}$

3; 2+1; 1+1+1

3. Für eine solche Partition ist ein Young-Tableau eine grafische Darstellung der Partition. Die zu einer solchen Partition (oder einem Young-Tableau) gehörige irreduzible Darstellung wird Specht-Modul genannt .

Darstellungen verschiedener symmetrischer Gruppen sind miteinander verwandt: Jede Darstellung von A liefert per Induktion eine Darstellung von B , und umgekehrt per Einschränkung. Die direkte Summe all dieser Darstellungsringe ist … $S_{n}\times S_{m}$ $S_{n+m}$

\bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n})

Von diesen Konstruktionen erbt sie die Struktur einer Hopf-Algebra , die, wie sich herausstellt, eng mit symmetrischen Funktionen verwandt ist .

Endliche Gruppen vom Lie-Typ

Bis zu einem gewissen Grad ähneln die Darstellungen von , wenn n variiert, denen von ; der oben erwähnte Induktionsprozess wird durch die sogenannte parabolische Induktion ersetzt. Anders als bei , wo alle Darstellungen durch Induktion trivialer Darstellungen gewonnen werden können, gilt dies jedoch nicht für . Stattdessen werden neue Bausteine benötigt , die als spitzenförmige Darstellungen bekannt sind. $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ $S_{n}$ $S_{n}$ $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$

Darstellungen von und allgemeiner Darstellungen endlicher Gruppen vom Lie-Typ wurden eingehend untersucht. Bonnafé (2010) beschreibt die Darstellungen von . Eine geometrische Beschreibung irreduzibler Darstellungen solcher Gruppen, einschließlich der oben erwähnten spitzen Darstellungen, wird mithilfe der Deligne-Lusztig-Theorie gewonnen , welche eine solche Darstellung in der l-adischen Kohomologie von Deligne-Lusztig-Varietäten konstruiert . $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ $SL_{2}(\mathbf {F} _{q})$

Die Ähnlichkeit der Darstellungstheorie von und geht über endliche Gruppen hinaus. Die Philosophie der Spitzenformen hebt die Verwandtschaft der darstellungstheoretischen Aspekte dieser Gruppentypen mit allgemeinen linearen Gruppen lokaler Körper wie Q _p und des Adeles -Rings hervor (siehe Bump, 2004) . $S_{n}$ $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$

Ausblick – Darstellungen kompakter Gruppen

Die Darstellungstheorie kompakter Gruppen lässt sich in gewissem Maße auf lokal kompakte Gruppen erweitern. In diesem Kontext ist die Darstellungstheorie von großer Bedeutung für die harmonische Analysis und die Untersuchung automorpher Formen. Für Beweise, weiterführende Informationen und eine detailliertere Betrachtung, die den Rahmen dieses Kapitels sprengt, sei auf ^{[ 17 ]} und ^{[ 18 ]} verwiesen .

Definition und Eigenschaften

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe zusammen mit einer Topologie , bezüglich deren Komposition und Inversion stetig sind . Eine solche Gruppe heißt kompakt , wenn jede offene Überdeckung in der Topologie eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Abgeschlossene Untergruppen einer kompakten Gruppe sind wiederum kompakt. $G,$

Sei eine kompakte Gruppe und sei ein endlichdimensionaler Vektorraum. Eine lineare Darstellung von nach ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus, d. h. ist eine stetige Funktion in den beiden Variablen und $G$ $V$ $\mathbb {C}$ $G$ $V$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V),$ $\rho (s)v$ $s\in G$ $v\in V.$

Eine lineare Darstellung eines Raumes in einen Banachraum ist definiert als ein stetiger Gruppenhomomorphismus von in die Menge aller bijektiven beschränkten linearen Operatoren auf mit einer stetigen Umkehrfunktion. Da wir auf die letzte Bedingung verzichten können, betrachten wir im Folgenden insbesondere Darstellungen kompakter Gruppen in Hilberträumen . $G$ $V$ $G$ $V$ $\pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),$

Analog zu endlichen Gruppen lassen sich auch hier die Gruppenalgebra und die Faltungsalgebra definieren . Im Fall unendlicher Gruppen liefert die Gruppenalgebra jedoch keine hilfreichen Informationen, da die Stetigkeitsbedingung bei ihrer Konstruktion verloren geht. Stattdessen kommt die Faltungsalgebra zum Einsatz. $L^{1}(G)$

Die meisten Eigenschaften von Darstellungen endlicher Gruppen lassen sich mit geeigneten Modifikationen auf kompakte Gruppen übertragen. Dazu benötigen wir ein Gegenstück zur Summation über eine endliche Gruppe:

Existenz und Einzigartigkeit des Haar-Maßes

Auf einer kompakten Gruppe existiert genau ein Maß , sodass: $G$ $dt,$

Es handelt sich um ein linkstranslationsinvariantes Maß.

\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.

Die gesamte Gruppe hat eine Maßeinheit:

\int _{G}dt=1,

Ein solches linkstranslationsinvariantes, normiertes Maß wird als Haar-Maß der Gruppe bezeichnet. $G.$

Da kompakt ist, lässt sich zeigen, dass dieses Maß auch rechtstranslationsinvariant ist, d.h. es gilt auch $G$

\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.

Durch die obige Skalierung ergibt sich das Haar-Maß auf einer endlichen Gruppe für alle $dt(s)={\tfrac {1}{|G|}}$ $s\in G.$

Alle im Abschnitt „Eigenschaften“ genannten Definitionen von Darstellungen endlicher Gruppen gelten auch für Darstellungen kompakter Gruppen. Es sind jedoch einige Anpassungen erforderlich:

Um eine Unterdarstellung zu definieren, benötigen wir nun einen abgeschlossenen Unterraum. Dies war für endlichdimensionale Darstellungsräume nicht notwendig, da in diesem Fall jeder Unterraum bereits abgeschlossen ist. Weiterhin heißen zwei Darstellungen einer kompakten Gruppe äquivalent, wenn es einen bijektiven, stetigen, linearen Operator zwischen den Darstellungsräumen gibt, dessen Inverse ebenfalls stetig ist und der für alle gilt. $\rho ,\pi$ $G$ $T$ $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ $s\in G.$

Wenn die Funktion unitär ist, werden die beiden Darstellungen als unitär äquivalent bezeichnet . $T$

Um aus einem nicht -invarianten Skalarprodukt ein -invariantes Skalarprodukt zu erhalten , müssen wir nun das Integral über anstelle der Summe verwenden. Wenn ein Skalarprodukt auf einem Hilbertraum ist , das nicht invariant bezüglich der Darstellung von ist, dann $G$ $G$ $G$ $(\cdot |\cdot )$ $V,$ $\rho$ $G,$

(v|u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v|\rho (t)u)dt

ist ein -invariantes inneres Produkt auf aufgrund der Eigenschaften des Haar-Maßes. Daher können wir annehmen, dass jede Darstellung auf einem Hilbertraum unitär ist. $G$ $V$ $dt.$

Sei eine kompakte Gruppe und sei der Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf . Wir definieren den Operator auf diesem Raum durch wobei $G$ $s\in G.$ $L^{2}(G)$ $G.$ $L_{s}$ $L_{s}\Phi (t)=\Phi (s^{-1}t),$ $\Phi \in L^{2}(G),t\in G.$

Die Abbildung ist eine unitäre Darstellung von . Sie wird als linksreguläre Darstellung bezeichnet . Die rechtsreguläre Darstellung ist analog definiert. Da das Haar-Maß von ebenfalls rechtstranslationsinvariant ist, ist der Operator auf gegeben durch . Die rechtsreguläre Darstellung ist dann die unitäre Darstellung . Die beiden Darstellungen und sind dual zueinander. $s\mapsto L_{s}$ $G.$ $G$ $R_{s}$ $L^{2}(G)$ $R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).$ $s\mapsto R_{s}.$ $s\mapsto L_{s}$ $s\mapsto R_{s}$

Ist die Gruppe unendlich, so haben diese Darstellungen keinen endlichen Grad. Die zu Beginn definierten links- und rechtsregulären Darstellungen sind isomorph zu den oben definierten links- und rechtsregulären Darstellungen, falls die Gruppe endlich ist. Dies liegt daran, dass in diesem Fall $G$ $G$ $L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].$

Konstruktionen und Zerlegungen

Die verschiedenen Methoden zur Konstruktion neuer Darstellungen aus gegebenen Darstellungen lassen sich auch auf kompakte Gruppen anwenden, mit Ausnahme der dualen Darstellung, die wir später behandeln werden. Die direkte Summe und das Tensorprodukt mit endlich vielen Summanden/Faktoren sind analog zu den Definitionen für endliche Gruppen definiert. Dies gilt auch für die symmetrische und die alternierende Quadratdarstellung. Um den Satz zu erweitern, der besagt, dass die irreduziblen Darstellungen des Produkts zweier Gruppen (bis auf Isomorphie) genau das Tensorprodukt der irreduziblen Darstellungen der Faktorgruppen sind, benötigen wir jedoch ein Haar-Maß auf dem direkten Produkt kompakter Gruppen. Zunächst stellen wir fest, dass das direkte Produkt zweier kompakter Gruppen, versehen mit der Produkttopologie, wieder eine kompakte Gruppe ist . Das Haar-Maß auf dem direkten Produkt ist dann das Produkt der Haar-Maße auf den Faktorgruppen. $G_{1}\times G_{2}$

Für die duale Darstellung auf kompakten Gruppen benötigen wir den topologischen Dualraum des Vektorraums. Dies ist der Vektorraum aller stetigen linearen Funktionale vom Vektorraum in den Grundkörper. Sei eine Darstellung einer kompakten Gruppe in $V'$ $V.$ $V$ $\pi$ $G$ $V.$

Die duale Darstellung ist durch die Eigenschaft definiert $\pi ':G\to {\text{GL}}(V')$

\forall v\in V,\forall v'\in V',\forall s\in G:\qquad \left\langle \pi '(s)v',\pi (s)v\right\rangle =\langle v',v\rangle :=v'(v).

Wir können also schlussfolgern, dass die duale Darstellung durch für alle gegeben ist . Die Abbildung ist wiederum ein stetiger Gruppenhomomorphismus und somit eine Darstellung. $\pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})$ $v'\in V',s\in G.$ $\pi '$

Auf Hilberträumen: ist irreduzibel genau dann, wenn irreduzibel ist. $\pi$ $\pi '$

Durch Übertragung der Ergebnisse der Schnittzerlegungen auf kompakte Gruppen erhalten wir die folgenden Theoreme:

Satz. Jede irreduzible Darstellung einer kompakten Gruppe in einen Hilbertraum ist endlichdimensional, und es existiert ein Skalarprodukt auf diesem Raum, sodass unitär ist. Da das Haar-Maß normiert ist, ist dieses Skalarprodukt eindeutig.

(\tau ,V_{\tau })

V_{\tau }

\tau

Jede Darstellung einer kompakten Gruppe ist isomorph zu einer direkten Hilbert-Summe irreduzibler Darstellungen.

Sei eine unitäre Darstellung der kompakten Gruppe . Analog zu endlichen Gruppen definieren wir für eine irreduzible Darstellung den Isotyp oder die isotypische Komponente in als den Unterraum . $(\rho ,V_{\rho })$ $G.$ $(\tau ,V_{\tau })$ $\rho$

V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.

Dies ist die Summe aller invarianten abgeschlossenen Unterräume, die isomorph zu sind. $U,$ $G$ $V_{\tau }.$

Beachten Sie, dass die Isotypen nicht äquivalenter irreduzibler Darstellungen paarweise orthogonal sind.

Satz.

(i) ist ein abgeschlossener invarianter Unterraum von

V_{\rho }(\tau )

V_{\rho }.

(ii) ist isomorph zur direkten Summe von Kopien von

V_{\rho }(\tau )

G

V_{\tau }.

(iii) Kanonische Zerlegung: ist die direkte Hilbert-Summe der Isotypen, in der alle Isomorphieklassen der irreduziblen Darstellungen durchlaufen werden.

V_{\rho }

V_{\rho }(\tau ),

\tau

Die entsprechende Projektion auf die kanonische Zerlegung, in der ein Isotyp von ist, ist für kompakte Gruppen gegeben durch $p_{\tau }:V\to V(\tau ),$ $V(\tau )$ $V,$

p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(v)dt,

wobei und der Charakter ist, der der irreduziblen Darstellung entspricht $n_{\tau }=\dim(V(\tau ))$ $\chi _{\tau }$ $\tau .$

Projektionsformel

Für jede Darstellung einer kompakten Gruppe definieren wir $(\rho ,V)$ $G$

V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}.

Im Allgemeinen ist es nicht linear. Sei $\rho (s):V\to V$ $G$

Pv:=\int _{G}\rho (s)vds.

Die Abbildung ist als Endomorphismus auf definiert, indem sie die Eigenschaft besitzt $P$ $V$

\left.\left(\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right)=\int _{G}(\rho (s)v|w)ds,

was für das innere Produkt des Hilbertraums gilt $V.$

Dann ist es linear, aufgrund von $P$ $G$

{\begin{aligned}\left.\left(\int _{G}\rho (s)(\rho (t)v)ds\right|w\right)&=\int _{G}\left.\left(\rho \left(tst^{-1}\right)(\rho (t)v)\right|w\right)ds\\&=\int _{G}(\rho (ts)v|w)ds\\&=\int (\rho (t)\rho (s)v|w)ds\\&=\left.\left(\rho (t)\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right),\end{aligned}}

wobei wir die Invarianz des Haar-Maßes nutzten.

These. Die Karte ist eine Projektion von nach

P

V

V^{G}.

Ist die Darstellung endlichdimensional, so lässt sich die direkte Summe der trivialen Unterdarstellung analog zu endlichen Gruppen bestimmen.

Charaktere, Schurs Lemma und das Skalarprodukt

Im Allgemeinen werden Darstellungen kompakter Gruppen auf Hilbert- und Banachräumen untersucht . In den meisten Fällen sind diese nicht endlichdimensional. Daher ist es nicht sinnvoll, bei der Betrachtung von Darstellungen kompakter Gruppen auf Charaktere Bezug zu nehmen . Dennoch ist es in den meisten Fällen möglich, die Untersuchung auf den Fall endlicher Dimensionen zu beschränken.

Da irreduzible Darstellungen kompakter Gruppen endlichdimensional und unitär sind (siehe Ergebnisse aus dem ersten Unterabschnitt ), können wir irreduzible Charaktere auf die gleiche Weise definieren wie für endliche Gruppen.

Solange die konstruierten Darstellungen endlichdimensional bleiben, können die Charaktere der neu konstruierten Darstellungen auf die gleiche Weise wie bei endlichen Gruppen erhalten werden.

Das Lemma von Schur gilt auch für kompakte Gruppen:

Sei eine irreduzible unitäre Darstellung einer kompakten Gruppe. Dann ist jeder beschränkte Operator, der die Eigenschaft für alle erfüllt , ein skalares Vielfaches der Identität, d. h. es existiert ein solches, dass $(\pi ,V)$ $G.$ $T:V\to V$ $T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T$ $s\in G,$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $T=\lambda {\text{Id}}.$

Definition. Die Formel

(\Phi |\Psi )=\int _{G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}dt.

definiert ein inneres Produkt auf der Menge aller quadratintegrierbaren Funktionen einer kompakten Gruppe. Ebenso $L^{2}(G)$ $G.$

\langle \Phi ,\Psi \rangle =\int _{G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})dt.

definiert eine Bilinearform auf einer kompakten Gruppe $L^{2}(G)$ $G.$

Die Bilinearform auf den Darstellungsräumen ist genau wie für endliche Gruppen definiert, und analog zu endlichen Gruppen gelten daher die folgenden Ergebnisse:

Satz. Seien und die Charaktere zweier nicht-isomorpher irreduzibler Darstellungen bzw. . Dann gilt Folgendes:

\chi

\chi '

V

V',

$(\chi |\chi ')=0.$
$(\chi |\chi )=1,$ ie hat "Norm" $\chi$ $1.$

Satz. Sei eine Darstellung von mit Charakter. Sei eine irreduzible Darstellung von mit Charakter. Die Anzahl der zu äquivalenten Unterdarstellungen von ist unabhängig von einer gegebenen Zerlegung für und gleich dem Skalarprodukt.

V

G

\chi _{V}.

W

G

\chi _{W}.

V

W

V

(\chi _{V}|\chi _{W}).

Irreduzibilitätskriterium. Sei der Charakter der Darstellung, dann ist eine positive ganze Zahl. Außerdem ist genau dann irreduzibel, wenn irreduzibel ist.

\chi

V,

(\chi |\chi )

(\chi |\chi )=1

V

Daher bilden die Charaktere irreduzibler Darstellungen von gemäß dem ersten Theorem ein Orthonormalsystem auf bezüglich dieses inneren Produkts. $G$ $L^{2}(G)$

Folgerung. Jede irreduzible Darstellung von ist -mal in der linksregulären Darstellung enthalten .

V

G

\dim(V)

Lemma. Sei eine kompakte Gruppe. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

G

$G$ ist abelisch.
Alle irreduziblen Darstellungen von haben den Grad $G$ $1.$

Orthonormaleigenschaft. Sei eine Gruppe. Die nicht-isomorphen irreduziblen Darstellungen von bilden eine Orthonormalbasis in bezüglich dieses inneren Produkts.

G

G

L^{2}(G)

Da wir bereits wissen, dass die nicht-isomorphen irreduziblen Darstellungen orthonormal sind, müssen wir nur noch überprüfen, ob sie erzeugen. Dies kann geschehen, indem man beweist, dass es keine von Null verschiedene quadratintegrierbare Funktion auf gibt, die orthogonal zu allen irreduziblen Charakteren ist. $L^{2}(G).$ $G$

Genau wie bei endlichen Gruppen ist die Anzahl der irreduziblen Darstellungen bis auf Isomorphie einer Gruppe gleich der Anzahl der Konjugationsklassen . Da eine kompakte Gruppe jedoch im Allgemeinen unendlich viele Konjugationsklassen besitzt, liefert dies keine nützlichen Informationen. $G$ $G.$

Die induzierte Repräsentation

Ist eine abgeschlossene Untergruppe von endlichem Index in einer kompakten Gruppe, so kann die Definition der induzierten Darstellung für endliche Gruppen übernommen werden. $H$ $G,$

Die induzierte Darstellung kann jedoch allgemeiner definiert werden, sodass die Definition unabhängig vom Index der Untergruppe gültig ist. $H.$

Sei dazu eine unitäre Darstellung der abgeschlossenen Untergruppe . Die stetige induzierte Darstellung ist wie folgt definiert: $(\eta ,V_{\eta })$ $H.$ ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})$

Sei der Hilbertraum aller messbaren, quadratintegrierbaren Funktionen mit der Eigenschaft für alle . Die Norm ist gegeben durch $V_{I}$ $\Phi :G\to V_{\eta }$ $\Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)$ $l\in H,s\in G.$

\|\Phi \|_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\|\Phi (s)\|

und die Darstellung ist als Rechtsübersetzung gegeben: $I$ $I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).$

Die induzierte Repräsentation ist dann wiederum eine unitäre Repräsentation.

Da kompakt ist, kann die induzierte Darstellung in die direkte Summe irreduzibler Darstellungen von zerlegt werden. Beachten Sie, dass alle irreduziblen Darstellungen desselben Isotyps mit einer Multiplizität gleich auftreten. $G$ $G.$ $\dim({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.$

Sei eine Darstellung von , dann existiert ein kanonischer Isomorphismus $(\rho ,V_{\rho })$ $G,$

T:{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta }).

Die Frobenius-Reziprozität lässt sich zusammen mit den modifizierten Definitionen des Skalarprodukts und der Bilinearform auf kompakte Gruppen übertragen. Der Satz gilt nun für quadratintegrierbare Funktionen auf der Gruppe anstelle von Klassenfunktionen, jedoch muss die Untergruppe abgeschlossen sein. $G$ $H$

Der Satz von Peter-Weyl

Ein weiteres wichtiges Ergebnis in der Darstellungstheorie kompakter Gruppen ist der Satz von Peter-Weyl. Er wird üblicherweise in der harmonischen Analysis vorgestellt und bewiesen , da er eine ihrer zentralen und fundamentalen Aussagen darstellt.

Satz von Peter-Weyl. Sei eine kompakte Gruppe. Für jede irreduzible Darstellung von sei eine Orthonormalbasis von . Wir definieren die Matrixkoeffizienten für . Dann haben wir die folgende Orthonormalbasis von :

G

(\tau ,V_{\tau })

G

\{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}

V_{\tau }.

\tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle

k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.

L^{2}(G)

\left({\sqrt {\dim(\tau )}}\tau _{k,l}\right)_{k,l}

Wir können diesen Satz umformulieren, um eine Verallgemeinerung der Fourier-Reihe für Funktionen auf kompakten Gruppen zu erhalten:

Satz von Peter-Weyl (zweite Fassung). Ein Beweis dieses Satzes und weitere Informationen zur Darstellungstheorie kompakter Gruppen finden sich in ^{[ 19 ]} . Es existiert ein natürlicher Isomorphismus

G\times G

L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}

wobei die Menge aller irreduziblen Darstellungen von bis auf Isomorphie ist und der zugehörige Darstellungsraum ist . Konkreter:

{\widehat {G}}

G

V_{\tau }

\tau .

{\begin{cases}\Phi \mapsto \sum _{\tau \in {\widehat {G}}}\tau (\Phi )\\[5pt]\tau (\Phi )=\int _{G}\Phi (t)\tau (t)dt\in {\text{End}}(V_{\tau })\end{cases}}

Geschichte

Die allgemeinen Merkmale der Darstellungstheorie einer endlichen Gruppe G über den komplexen Zahlen wurden von Ferdinand Georg Frobenius in den Jahren vor 1900 entdeckt. Später wurde die modulare Darstellungstheorie von Richard Brauer entwickelt.

Siehe auch

Anmerkungen

^ ( Serre 1977 , S. 47)
^ ( Sengupta 2012 , S. 62)
Beweis . Seiungleich null. Danngilt für alle .Daher erhalten wirfür alleund .Und wir wissen nun, dass-invariantistirreduzibel ist,schließen wir daraus,Sei nun .Das bedeutet, es existiert ein ,sodassund wir haben .Somitist ein-invarianter Unterraum. Daungleich null undirreduzibel ist, haben wir .Daherist ein Isomorphismus und die erste Aussage ist bewiesen. Sei nun .Da unser Grundkörper ist,wissen wir, dassmindestens einen Eigenwert hat.Sei. Dannhaben wirfür alle .Nach den obigen Überlegungen ist dies nur möglich, wenn ,d. h. $F$ $F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0$ $u\in \ker(F).$ $\rho _{1}(s)u\in \ker(F)$ $s\in G$ $u\in \ker(F).$ $\ker(F)$ $G$ $V_{1}$ $F\neq 0,$ $\ker(F)=0.$ $y\in {\text{Im}}(F).$ $v\in V_{1},$ $Fv=y,$ $\rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.$ ${\text{Im}}(F)$ $G$ $F$ $V_{2}$ ${\text{Im}}(F)=V_{2}.$ $F$ $V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.$ $\mathbb {C} ,$ $F$ $\lambda .$ $F'=F-\lambda ,$ $\ker(F')\neq 0$ $\rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)$ $s\in G.$ $F'=0,$ $F=\lambda .$
^ Serre (1977)
^ Fulton & Harris (199)
^ Einige Autoren definieren das Zeichen als, diese Definition wird in diesem Artikel jedoch nicht verwendet. $\chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),$
^ indem man die Wirkung von G auf sich selbst verwendet, die gegeben ist durch $G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G$
^ Serre (1977)
^ Fulton & Harris (199)
^ Alperin & Bell (1995)
^ Serre (1977)
^ Fulton & Harris (199)
^ Serre (1977)
^ Serre (1977)
^ Serre (1977)
^ Fulton & Harris (199)
^ Deitmar (2010)
^ Echterhoff & Deitmar (2009)
^ Echterhoff & Deitmar (2009)

Referenzen

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Bump, Daniel (2004), Lie-Gruppen , Graduate Texts in Mathematics, Band 225, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
Burrow, Martin (2014) [1965]. Darstellungstheorie endlicher Gruppen . New York: Dover.
Deitmar, Anton (2010), Automorphe Formen , New York: Springer-Verlag , S. 89–93 , 185–189 , ISBN 978-3-642-12389-4
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Fulton, William; Harris, Joe (1991), Repräsentationstheorie: Ein erster Kurs , New York: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97527-6
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Sengupta, Ambar (2012). Representing finite groups: a semisimple introduction . New York. ISBN 9781461412311OCLC 769756134 .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups , New York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90190-6

[1] ( Serre 1977 , S. 47)

[2] ( Sengupta 2012 , S. 62)

[3] Beweis . Seiungleich null. Danngilt für alle .Daher erhalten wirfür alleund .Und wir wissen nun, dass-invariantistirreduzibel ist,schließen wir daraus,Sei nun .Das bedeutet, es existiert ein ,sodassund wir haben .Somitist ein-invarianter Unterraum. Daungleich null undirreduzibel ist, haben wir .Daherist ein Isomorphismus und die erste Aussage ist bewiesen. Sei nun .Da unser Grundkörper ist,wissen wir, dassmindestens einen Eigenwert hat.Sei. Dannhaben wirfür alle .Nach den obigen Überlegungen ist dies nur möglich, wenn ,d. h. $F$ $F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0$ $u\in \ker(F).$ $\rho _{1}(s)u\in \ker(F)$ $s\in G$ $u\in \ker(F).$ $\ker(F)$ $G$ $V_{1}$ $F\neq 0,$ $\ker(F)=0.$ $y\in {\text{Im}}(F).$ $v\in V_{1},$ $Fv=y,$ $\rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.$ ${\text{Im}}(F)$ $G$ $F$ $V_{2}$ ${\text{Im}}(F)=V_{2}.$ $F$ $V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.$ $\mathbb {C} ,$ $F$ $\lambda .$ $F'=F-\lambda ,$ $\ker(F')\neq 0$ $\rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)$ $s\in G.$ $F'=0,$ $F=\lambda .$

[4] Serre (1977)

[5] Fulton & Harris (199)

[6] Einige Autoren definieren das Zeichen als, diese Definition wird in diesem Artikel jedoch nicht verwendet. $\chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),$

[7] Wirkung von G auf sich selbst verwendet, die gegeben ist durch $G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G$

[8] Serre (1977)

[9] Fulton & Harris (199)

[10] Alperin & Bell (1995)

[11] Serre (1977)

[12] Fulton & Harris (199)

[13] Serre (1977)

[14] Serre (1977)

[15] Serre (1977)

[16] Fulton & Harris (199)

[17] Deitmar (2010)

[18] Echterhoff & Deitmar (2009)

[19] Echterhoff & Deitmar (2009)

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[ 3 ]

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Definition

Lineare Darstellungen

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