Burnside-Ring

In der Mathematik ist der Burnside-Ring einer endlichen Gruppe eine algebraische Konstruktion, die die verschiedenen Möglichkeiten beschreibt, wie die Gruppe auf endlichen Mengen operieren kann. Die Ideen dazu wurden Ende des 19. Jahrhunderts von William Burnside eingeführt. Die algebraische Ringstruktur ist eine neuere Entwicklung, die auf Solomon (1967) zurückgeht.

Gegeben sei eine endliche Gruppe G. Die Erzeuger ihres Burnside-Rings Ω( G ) sind die formalen Summen von Isomorphieklassen endlicher G- Mengen . Für die Ringstruktur ist die Addition durch disjunkte Vereinigung von G- Mengen und die Multiplikation mit ihrem kartesischen Produkt gegeben .

Der Burnside-Ring ist ein freier Z - Modul , dessen Erzeuger die (Isomorphieklassen von) Orbittypen von G sind .

Wenn G auf einer endlichen Menge X operiert , kann man schreiben (disjunkte Vereinigung), wobei jedes X_{_i} eine einzelne G -Bahn ist. Die Wahl eines beliebigen Elements x_{_i} in X _{_i} erzeugt einen Isomorphismus G / G_{_i} → X_{_i} , wobei G _{_i} die Stabilisator- (Isotropie-)Untergruppe von G in x _{_i} ist . Eine andere Wahl eines Repräsentanten y _{_i} in X _{_i} liefert eine zu G_{_i} konjugierte Untergruppe als Stabilisator. Dies zeigt, dass die Erzeuger von Ω( G ) als Z -Modul die Bahnen G / H sind, wenn H die Konjugationsklassen von Untergruppen von G durchläuft . ${\textstyle X=\bigcup _{i}X_{i}}$

Mit anderen Worten, ein typisches Element von Ω( G ) ist , wobei a _i in Z und G ₁ , G ₂ , ..., G _N Repräsentanten der Konjugationsklassen von Untergruppen von G sind . $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}[G/G_{i}],}$$

So wie die Charaktertheorie die Arbeit mit Gruppendarstellungen vereinfacht , vereinfachen Markierungen die Arbeit mit Permutationsdarstellungen und dem Burnside-Ring.

Wenn G auf X operiert und H ≤ G ( H ist eine Untergruppe von G ), dann ist die Markierung von H auf X die Anzahl der Elemente von X , die von jedem Element von H fixiert werden : , wobei ${\displaystyle m_{X}(H)=\left|X^{H}\right|}$

${\displaystyle X^{H}=\{x\in X\mid h\cdot x=x,\forall h\in H\}.}$

Sind H und K konjugierte Untergruppen, dann gilt m _X ( H ) = m _X ( K ) für jede endliche G -Menge X ; in der Tat, wenn K = gHg ^−1, dann ist X ^K = g · X ^H .

Man sieht auch leicht, dass für jedes _H ≤ G die Abbildung Ω ( G ) → Z  : X ↦ mX ( H ) ein Homomorphismus ist. Das bedeutet, dass es zum Ermitteln der Markierungen von G genügt, diese auf den Erzeugern von Ω ( G ), also den Bahnen G / H , auszuwerten .

Für jedes Paar von Untergruppen H , K ≤ G definieren wir

${\displaystyle m(K,H)=\left|[G/K]^{H}\right|=\#\left\{gK\in G/K\mid HgK=gK\right\}.}$

Dies ist m _X ( H ) für X = G / K . Die Bedingung HgK = gK ist äquivalent zu g ⁻¹ Hg ≤ K , also wenn H nicht konjugiert zu einer Untergruppe von K ist, dann ist m ( K , H ) = 0.

Um alle möglichen Markierungen zu erfassen, erstellt man eine Tabelle, die Burnside -Markierungstabelle , wie folgt: Seien G₁ (= triviale Untergruppe), G₂ _, ..., Gₙ = _G Repräsentanten der N Konjugationsklassen von Untergruppen von G , geordnet so, dass immer dann, wenn _{Gᵢ zu} einer Untergruppe von Gⱼ konjugiert ist , dann i ≤ j gilt . Nun definiert man die N × N- Tabelle ( quadratische Matrix ), deren Eintrag ( i , j ) _gleich m ( Gᵢ _, Gⱼ ₎ ist . Diese Matrix ist eine untere Dreiecksmatrix, und da die Elemente auf der Diagonalen ungleich null sind, ist sie invertierbar .

Daraus folgt, dass, wenn X eine G- Menge ist und u ihr Zeilenvektor von Markierungen, also u _i = m _X ( G _i ), dann X sich in eine disjunkte Vereinigung von a _i Kopien der Bahn vom Typ G _i zerlegen lässt , wobei der Vektor a die Bedingung erfüllt,

a M = u ,

wobei M die Matrix der Notentabelle ist. Dieser Satz geht auf Burnside (1897 ) zurück.

Die Notentabelle für die zyklische Gruppe der Ordnung 6:

Die Notentabelle für die symmetrische Gruppe S ₃ :

Die Punkte in den beiden Tabellen sind alle Nullen und unterstreichen lediglich die Tatsache, dass es sich um untere Dreieckstabellen handelt.

(Manche Autoren verwenden die Transponierte der Tabelle, aber so hat Burnside sie ursprünglich definiert.)

Dass die letzte Zeile nur Einsen enthält, liegt daran, dass [ G/G] ein einzelner Punkt ist. Die Diagonalelemente sind m(H,H) = |NG(H ) / H | . Die Zahlen in der ersten Spalte geben _den Grad der Darstellung an.

Die Ringstruktur von Ω ( G ) lässt sich aus diesen Tabellen ableiten: Die Erzeuger des Rings (als Z -Modul) sind die Zeilen der Tabelle, und das Produkt zweier Erzeuger hat eine Markierung, die durch das Produkt der Markierungen gegeben ist (also komponentenweise Multiplikation der Zeilenvektoren), welches dann als Linearkombination aller Zeilen dargestellt werden kann. Zum Beispiel mit S³ _,

${\displaystyle [G/\mathbf {Z} _{2}]\cdot [G/\mathbf {Z} _{3}]=[G/1],}$

als (3, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).

Zu jeder endlichen Menge X ist ein Vektorraum V = V × _X assoziiert , der die Elemente von X als Basis (mit einem beliebigen vorgegebenen Körper) enthält. Eine Operation einer endlichen Gruppe G auf X induziert eine lineare Operation auf V , die als Permutationsdarstellung bezeichnet wird . Die Menge aller endlichdimensionalen Darstellungen von G hat die Struktur eines Rings, des Darstellungsrings R (G) .

Für eine gegebene G -Menge X ist der Charakter der zugehörigen Darstellung

${\displaystyle \chi (g)=m_{X}(\langle g\rangle )}$

wo ist die zyklische Gruppe, die von erzeugt wird ? ${\displaystyle \langle g\rangle }$${\displaystyle g}$

Die resultierende Karte

${\displaystyle \beta :\Omega (G)\longrightarrow R(G)}$

Die Abbildung einer G -Menge auf die entsprechende Repräsentation ist im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv.

Das einfachste Beispiel, das zeigt, dass β im Allgemeinen nicht injektiv ist, ist für G = S ₃ (siehe Tabelle oben) und lautet:

${\displaystyle \beta (2[S_{3}/\mathbf {Z} _{2}]+[S_{3}/\mathbf {Z} _{3}])=\beta ([S_{3}]+2[S_{3}/S_{3}]).}$

Der Burnside-Ring für kompakte Gruppen wird in ( tom Dieck 1987 ) beschrieben.

Die Segal-Vermutung stellt einen Zusammenhang zwischen dem Burnside-Ring und der Homotopie her .

• Burnside-Kategorie

• Burnside, William (1897), Theorie der Gruppen endlicher Ordnung , Cambridge University PressDie
• Tom Dieck, Tammo (1987), Transformationsgruppen , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 8, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-009745-0, MR  0889050 , OCLC  217014538
• Dress, Andreas (1969), „Eine Charakterisierung auflösbarer Gruppen“, Math. Z. , 110 (3): 213–217 , doi : 10.1007/BF01110213
• Kerber, Adalbert (1999), Angewandte endliche Gruppenwirkungen , Algorithmen und Kombinatorik, Bd. 19 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65941-9, MR  1716962 , OCLC  247593131
• Solomon, Louis (1967), „Die Burnside-Algebra einer endlichen Gruppe“, J. Comb. Theory , 1 : 603–615 , doi : 10.1016/S0021-9800(67)80064-4