Chi-Quadrat-Verteilung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die -Verteilung mit Freiheitsgraden die Verteilung einer Summe der Quadrate unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung und der univariaten Wishart-Verteilung . Genauer gesagt, wenn dann (wobei der Formparameter und der Skalenparameter der Gammaverteilung ist) und . ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\textstyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(1,k)}$

Die skalierte Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Reparametrisierung der Gammaverteilung und der univariaten Wishart-Verteilung . Genauer gesagt: Wenn dann und . ${\displaystyle s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\displaystyle X\sim s^{2}\chi _{k}^{2}}$${\textstyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2s^{2})}$${\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(s^{2},k)}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine der am häufigsten verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Inferenzstatistik , insbesondere beim Hypothesentest und der Konstruktion von Konfidenzintervallen . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Diese Verteilung wird manchmal auch als zentrale Chi-Quadrat-Verteilung bezeichnet , ein Spezialfall der allgemeineren nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung . ^{[ 7 ]}

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird in den gängigen Chi-Quadrat-Tests verwendet , um die Anpassung einer beobachteten an eine theoretische Verteilung zu prüfen, die Unabhängigkeit zweier Kriterien zur Klassifizierung qualitativer Daten zu testen und das Konfidenzintervall für die Schätzung der Populationsstandardabweichung einer Normalverteilung anhand der Stichprobenstandardabweichung zu bestimmen . Viele weitere statistische Tests, wie beispielsweise die Friedman-Varianzanalyse , verwenden ebenfalls diese Verteilung .

Sind Z₁ , ..., Zₖ unabhängige , standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so ist die Summe ihrer Quadrate χ²-verteilt mit k Freiheitsgraden. Dies wird üblicherweise mit χ²(k _{) bezeichnet} .$${\displaystyle X\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$$$${\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$$

Die Chi-Quadrat-Verteilung hat einen Parameter: eine positive ganze Zahl k , die die Anzahl der Freiheitsgrade angibt (die Anzahl der zu summierenden Zufallsvariablen Z _{i ).}

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird primär für Hypothesentests und in geringerem Maße für Konfidenzintervalle der Populationsvarianz verwendet, wenn die zugrunde liegende Verteilung normalverteilt ist. Im Gegensatz zu bekannteren Verteilungen wie der Normalverteilung und der Exponentialverteilung findet die Chi-Quadrat-Verteilung in der direkten Modellierung natürlicher Phänomene weniger häufig Anwendung. Sie tritt unter anderem in folgenden Hypothesentests auf:

• Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit in Kontingenztafeln
• Chi-Quadrat-Test zur Beurteilung der Anpassung beobachteter Daten an hypothetische Verteilungen
• Likelihood-Ratio-Test für verschachtelte Modelle
• Log-Rank-Test in der Überlebenszeitanalyse
• Cochran-Mantel-Haenszel-Test für stratifizierte Kontingenztafeln
• Wald-Test
• Punktetest

Sie ist außerdem Bestandteil der Definition der t -Verteilung und der F- Verteilung , die bei t- Tests, Varianzanalysen und Regressionsanalysen verwendet werden.

Der Hauptgrund für die häufige Verwendung der Chi-Quadrat-Verteilung in Hypothesentests liegt in ihrer Ähnlichkeit zur Normalverteilung. Viele Hypothesentests verwenden eine Teststatistik, beispielsweise die t- Statistik im t -Test. Bei diesen Hypothesentests nähert sich die Verteilung der Teststatistik mit zunehmendem Stichprobenumfang n der Normalverteilung an ( zentraler Grenzwertsatz ). Da die Teststatistik (wie z. B. t ) asymptotisch normalverteilt ist, kann die für Hypothesentests verwendete Verteilung bei ausreichend großem Stichprobenumfang durch eine Normalverteilung approximiert werden. Hypothesentests mit einer Normalverteilung sind gut verstanden und relativ einfach. Die einfachste Chi-Quadrat-Verteilung ist das Quadrat einer Standardnormalverteilung. Daher kann überall dort, wo eine Normalverteilung für einen Hypothesentest verwendet werden kann, auch eine Chi-Quadrat-Verteilung verwendet werden.

Angenommen, es handelt sich um eine Zufallsvariable, die aus einer Standardnormalverteilung gezogen wird, wobei der Mittelwert und die Varianz ist : . Betrachten wir nun die Zufallsvariable . Die Verteilung der Zufallsvariable ist ein Beispiel für eine Chi-Quadrat-Verteilung: . Der Index 1 zeigt an, dass diese spezielle Chi-Quadrat-Verteilung aus genau einer Standardnormalverteilung konstruiert wurde. Eine Chi-Quadrat-Verteilung, die durch Quadrieren einer einzelnen Standardnormalverteilung entsteht, hat einen Freiheitsgrad. Daher nähert sich die Verteilung der Teststatistik mit zunehmendem Stichprobenumfang eines Hypothesentests einer Normalverteilung an. Genau wie Extremwerte der Normalverteilung eine geringe Wahrscheinlichkeit haben (und kleine p-Werte liefern), haben Extremwerte der Chi-Quadrat-Verteilung eine geringe Wahrscheinlichkeit. ${\displaystyle Z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$${\displaystyle X=Z^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{1}^{2}}$

Ein weiterer Grund für die weite Verbreitung der Chi-Quadrat-Verteilung ist, dass sie als Verteilung für große Stichproben in verallgemeinerten Likelihood-Quotienten-Tests (LRT) auftritt. ^{[ 8 ]} LRTs weisen mehrere wünschenswerte Eigenschaften auf; insbesondere bieten einfache LRTs üblicherweise die höchste Teststärke zum Verwerfen der Nullhypothese ( Neyman-Pearson-Lemma ), was auch zu Optimalitätseigenschaften verallgemeinerter LRTs führt. Die Normal- und Chi-Quadrat-Approximationen sind jedoch nur asymptotisch gültig. Daher ist es bei kleinen Stichprobenumfängen vorzuziehen, die t- Verteilung anstelle der Normal- oder Chi-Quadrat-Approximation zu verwenden. Ebenso ist die Chi-Quadrat-Approximation bei der Analyse von Kontingenztafeln für kleine Stichprobenumfänge ungeeignet, und es ist ratsam, den exakten Fisher-Test zu verwenden . Ramsey zeigt, dass der exakte Binomialtest stets eine höhere Teststärke als die Normalapproximation aufweist. ^{[ 9 ]}

Lancaster zeigt die Zusammenhänge zwischen Binomial-, Normal- und Chi-Quadrat-Verteilung wie folgt auf. ^{[ 10 ]} De Moivre und Laplace bewiesen, dass eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden kann. Insbesondere zeigten sie die asymptotische Normalität der Zufallsvariablen.

$${\displaystyle \chi ={\frac {m-Np}{\sqrt {Npq}}}}$$

wobei die beobachtete Anzahl der Erfolge in Versuchen ist, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit und beträgt . ${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q=1-p}$

Quadrieren beider Seiten der Gleichung ergibt

$${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(m-Np\right)^{2}}{Npq}}}$$

Unter Verwendung von , , und kann diese Gleichung umgeschrieben werden als ${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$${\displaystyle N=m+(N-m)}$${\displaystyle q=1-p}$

$${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(m-Np\right)^{2}}{Np}}+{\frac {\left(N-m-Nq\right)^{2}}{Nq}}}$$

Der Ausdruck auf der rechten Seite hat die Form, die Karl Pearson verallgemeinern würde, zu der Form

$${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(O_{i}-E_{i}\right)^{2}}{E_{i}}}}$$

Wo

• ${\displaystyle \chi ^{2}}$= Pearsonsche kumulative Teststatistik, die sich asymptotisch einer Verteilung annähert;${\displaystyle \chi ^{2}}$
• ${\displaystyle O_{i}}$= die Anzahl der Beobachtungen vom Typ ;${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$= die erwartete (theoretische) Häufigkeit des Typs , die durch die Nullhypothese behauptet wird, dass der Anteil des Typs in der Population beträgt ; und${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p_{i}}$
• ${\displaystyle n}$= die Anzahl der Zellen in der Tabelle.

Bei einem binomialen Ergebnis (z. B. Münzwurf) kann die Binomialverteilung (für ausreichend große Werte ) durch eine Normalverteilung angenähert werden. Da das Quadrat einer Standardnormalverteilung der Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad entspricht, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis wie beispielsweise 1x Kopf bei 10 Versuchen entweder direkt durch die Normalverteilung oder mithilfe der Chi-Quadrat-Verteilung für die normalisierte quadrierte Differenz zwischen beobachtetem und erwartetem Wert approximieren. Viele Probleme umfassen jedoch mehr als die zwei möglichen Ergebnisse einer Binomialverteilung und erfordern stattdessen drei oder mehr Kategorien, was zur Multinomialverteilung führt. So wie de Moivre und Laplace die Normalapproximation der Binomialverteilung suchten und fanden, suchte und fand Pearson eine degenerierte multivariate Normalapproximation der Multinomialverteilung (die Anzahl in jeder Kategorie summiert sich zur Gesamtstichprobengröße, die als fest angenommen wird). Pearson zeigte, dass die Chi-Quadrat-Verteilung aus einer solchen multivariaten Normalapproximation der Multinomialverteilung entsteht, wobei die statistische Abhängigkeit (negative Korrelationen) zwischen den Anzahlen von Beobachtungen in verschiedenen Kategorien sorgfältig berücksichtigt wird. ^{[ 10 ]}${\displaystyle n}$

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) der Chi-Quadrat-Verteilung ist , wobei die Gammafunktion bezeichnet , die für ganze Zahlen geschlossene Werte besitzt . $${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$${\textstyle \Gamma (k/2)}$${\displaystyle k}$

Für Herleitungen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Fall von einem, zwei und n Freiheitsgraden siehe Beweise zur Chi-Quadrat-Verteilung . ${\displaystyle k}$

Ihre kumulative Verteilungsfunktion lautet: wobei die untere unvollständige Gammafunktion und die regularisierte Gammafunktion ist . $${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma {\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}=P{\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)},}$$${\displaystyle \gamma (s,t)}$${\textstyle P(s,t)}$

In einem Spezialfall hat diese Funktion die einfache Form: welche sich leicht durch direkte Integration herleiten lässt . Die ganzzahlige Rekursion der Gammafunktion ermöglicht die einfache Berechnung für andere kleine, sogar . ${\displaystyle k=2}$$${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$$${\textstyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}}$${\displaystyle F(x;\,k)}$${\displaystyle k}$

Tabellen mit der kumulativen Verteilungsfunktion des Chi-Quadrats sind weit verbreitet und die Funktion ist in vielen Tabellenkalkulationsprogrammen und allen Statistikpaketen enthalten .

Setzt man , so lassen sich Chernoff-Schranken für die unteren und oberen Enden der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF) bestimmen. ^{[ 11 ]} Für die Fälle, in denen (einschließlich aller Fälle, in denen diese CDF kleiner als die Hälfte ist): ${\displaystyle z\equiv x/k}$${\displaystyle 0<z<1}$${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

Die Schranke für die Fälle, in denen , ist analog. ${\displaystyle z>1}$$${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$$

Eine weitere Näherung für die kumulative Verteilungsfunktion, die dem Kubus einer Gaußverteilung nachempfunden ist, finden Sie unter Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung .

Das Folgende ist ein Spezialfall des Satzes von Cochran.

Satz. Sind unabhängige , identisch verteilte (iid), standardnormalverteilte Zufallsvariablen, dann gilt: wobei${\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}}$${\textstyle \sum _{t=1}^{n}\left(Z_{t}-{\bar {Z}}\right)^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$${\textstyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}$

Aus der Definition der Chi-Quadrat-Verteilung folgt, dass auch die Summe unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Variablen Chi-Quadrat-verteilt ist. Genauer gesagt: Sind y unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Variablen mit n bzw. n Freiheitsgraden, so ist die Summe der Zufallsvariablen Chi-Quadrat-verteilt mit n Freiheitsgraden. ${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$${\displaystyle Y=X_{1}+\cdots +X_{n}}$${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$

Der Stichprobenmittelwert von unabhängig und identisch verteilten Chi-Quadrat-Variablen vom Grad ist gemäß einer Gammaverteilung mit Form- und Skalenparametern verteilt : ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha {=}{\tfrac {nk}{2}},\,\theta {=}{\tfrac {2}{n}}\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$$

Da eine Gammaverteilung asymptotisch für einen gegen unendlich strebenden Formparameter gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz konvergiert , konvergiert der Stichprobenmittelwert gegen: ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =\alpha \theta }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \theta ^{2}}$

$${\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N{\left(\mu {=}k,\,\sigma ^{2}{=}{\tfrac {2k}{n}}\right)}}$$

Beachten Sie, dass wir dasselbe Ergebnis erhalten hätten, wenn wir stattdessen den zentralen Grenzwertsatz angewendet hätten, wobei zu beachten ist, dass für jede Chi-Quadrat-Variable vom Grad der Erwartungswert ist und ihre Varianz (und damit die Varianz des Stichprobenmittelwerts ist ). ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\textstyle \sigma ^{2}={\tfrac {2k}{n}}}$

Die differentielle Entropie ist gegeben durch , wobei die Digamma-Funktion ist . $${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx\\&={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle \psi (x)}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit maximaler Entropie für eine Zufallsvariable, für die und fest sind. Da die Chi-Quadrat-Verteilung zur Familie der Gammaverteilungen gehört, lässt sie sich durch Einsetzen geeigneter Werte in den Erwartungswert des Logarithmus des Moments der Gammaverteilung herleiten . Eine Herleitung aus grundlegenderen Prinzipien findet sich im Abschnitt über die momenterzeugende Funktion der suffizienten Statistik . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$

Die nichtzentralen Momente (Rohmomente) einer Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden sind gegeben durch ^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle k}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{m})&=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)\\[1ex]&=2^{m}{\frac {\Gamma {\left(m+{\frac {k}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}.\end{aligned}}}$$

Die Kumulanten erhält man leicht durch eine Potenzreihenentwicklung des Logarithmus der charakteristischen Funktion: mit der Kumulantenerzeugungsfunktion . $${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$$${\textstyle \ln \operatorname {E} [e^{tX}]=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung weist eine starke Konzentration um ihren Mittelwert auf. Die Standard-Laurent-Massart- Schranken ^{[ 14 ]} lauten: Eine Konsequenz daraus ist, dass, wenn ein Gaußscher Zufallsvektor in ist , sich mit zunehmender Dimension das Quadrat der Länge des Vektors eng um konzentriert, mit einer Breite , wobei der Exponent als beliebiger Wert in gewählt werden kann . $${\displaystyle \Pr(X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq e^{-x}}$$$${\displaystyle \Pr(k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq e^{-x}}$$${\displaystyle Z\sim N(0,1)^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{1/2+\alpha }}$$${\displaystyle \Pr \left(\left\|Z\right\|^{2}\in \left[k-2k^{1/2+\alpha },\;k+2k^{1/2+\alpha }+2k^{\alpha }\right]\right)\geq 1-e^{-k^{\alpha }}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Da die kumulantenerzeugende Funktion für ist und ihr konvexes Dual ist , ergibt die Standard -Chernoff-Schranke , wobei . Nach der Vereinigungsabschätzung gilt . Dieses Ergebnis wird im Beweis des Johnson-Lindenstrauss-Lemmas verwendet . ^{[ 15 ]}${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$${\textstyle K(t)=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}$${\textstyle K^{*}(q)={\frac {1}{2}}\left(q-k+k\ln {\frac {k}{q}}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Pr(X\geq (1+\varepsilon )k)&\leq -{\frac {k}{2}}\left(\varepsilon -\ln(1+\varepsilon )\right)\\\ln \Pr(X\leq (1-\varepsilon )k)&\leq -{\frac {k}{2}}\left(-\varepsilon -\ln(1-\varepsilon )\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$$${\displaystyle Pr(X\in (1\pm \varepsilon )k)\geq 1-2e^{-{\frac {k}{2}}({\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{3})}}$$

Nach dem zentralen Grenzwertsatz konvergiert die Chi-Quadrat-Verteilung, da sie die Summe unabhängiger Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz ist, für große Werte von n gegen eine Normalverteilung . Für viele praktische Anwendungen ist die Verteilung für n ≥ n ausreichend nahe an einer Normalverteilung , sodass der Unterschied vernachlässigbar ist. ^{[ 16 ]} Genauer gesagt: Wenn n ≥ n gilt , dann konvergiert die Verteilung von n gegen eine Standardnormalverteilung, wenn n gegen unendlich strebt . Die Konvergenz verläuft jedoch langsam, da die Schiefe n = 1 und die Exzesskurtosis n = 2 ist . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k>50}$${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$${\textstyle {\sqrt {8/k}}}$${\displaystyle 12/k}$

Die Stichprobenverteilung von konvergiert viel schneller zur Normalverteilung als die Stichprobenverteilung von , ^{[ 17 ]} , da die logarithmische Transformation einen Großteil der Asymmetrie beseitigt. ^{[ 18 ]}${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

Andere Funktionen der Chi-Quadrat-Verteilung konvergieren schneller gegen eine Normalverteilung. Einige Beispiele sind:

• Dann ist sie annähernd normalverteilt mit Mittelwert und Einheitsvarianz (1922, von R. A. Fisher , siehe (18.23), S. 426 von Johnson). ^{[ 5 ]}${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$
• Wenn dann annähernd normalverteilt ist mit Mittelwert und Varianz ^{[ 19 ],} dann ist dies als Wilson-Hilferty-Transformation bekannt , siehe (18.24), S. 426 von Johnson. ^{[ 5 ]}${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$${\textstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$
  • Diese Normalisierungstransformation führt direkt zur häufig verwendeten Medianapproximation durch Rücktransformation vom Mittelwert, der gleichzeitig der Median der Normalverteilung ist.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$

• Als ( Normalverteilung )​${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$( nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter )${\displaystyle \lambda =0}$
• Wenn dann die Chi-Quadrat-Verteilung${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$
  • Als Sonderfall, wenn dann die Chi-Quadrat-Verteilung${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$
• ${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\right\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$(Die quadrierte Norm von k standardnormalverteilten Variablen ist eine Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden .)
• Wenn und , dann . ( Gammaverteilung )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}\,}$${\displaystyle c>0\,}$${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$
• Wenn dann ( Chi-Verteilung )${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}}$
• Wenn , dann ist eine Exponentialverteilung . (Siehe Gammaverteilung für weitere Informationen.)${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {exp} (1/2)}$
• Wenn , dann ist eine Erlang-Verteilung .${\displaystyle X\sim \chi _{2k}^{2}}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)}$
• Wenn , dann${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}}$
• Wenn ( Rayleigh-Verteilung ) dann${\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• Wenn ( Maxwell-Verteilung ) dann${\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,}$${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,}$
• Wenn dann ( Inverse-Chi-Quadrat-Verteilung )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,}$
• Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Pearson-Verteilung vom Typ III.
• Wenn und unabhängig sind, dann ( Beta-Verteilung )${\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,}$${\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,}$${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,}$
• Wenn ( Gleichverteilung ) dann${\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,}$${\displaystyle -2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,}$
• Wenn dann${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,}$
• Wenn sie der verallgemeinerten Normalverteilung (Version 1) mit Parametern folgt , dann ^{[ 20 ]}${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,}$
• Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Transformation der Pareto-Verteilung.
• Die Student-t-Verteilung ist eine Transformation der Chi-Quadrat-Verteilung.
• Die Student-t-Verteilung kann aus der Chi-Quadrat-Verteilung und der Normalverteilung abgeleitet werden.
• Die nichtzentrale Beta-Verteilung kann als Transformation der Chi-Quadrat-Verteilung und der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung erhalten werden.
• Die nichtzentrale t-Verteilung kann aus der Normalverteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung abgeleitet werden.

Eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit Freiheitsgraden ist definiert als die Summe der Quadrate unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvariablen. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Wenn es sich um einen -dimensionalen Gaußschen Zufallsvektor mit Mittelwertvektor und Rangkovarianzmatrix handelt , dann ist χ²-verteilt mit Freiheitsgraden. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=(Y-\mu )^{\mathsf {T}}C^{-1}(Y-\mu )}$${\displaystyle k}$

Die Summe der Quadrate statistisch unabhängiger Gaußscher Zufallsvariablen mit Einheitsvarianz und ungleichem Mittelwert Null ergibt eine Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung, die als nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung bezeichnet wird .

Wenn es sich um einen Vektor von unabhängigen und identisch standardnormalverteilten Zufallsvariablen handelt und eine symmetrische , idempotente Matrix vom Rang ist , dann ist die quadratische Form χ²-verteilt mit Freiheitsgraden. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle k-n}$${\displaystyle Y^{\mathsf {T}}\!AY}$${\displaystyle k-n}$

Ist eine positiv semidefinite Kovarianzmatrix mit strikt positiven Diagonalelementen, so gilt für und einen zufälligen -Vektor, der unabhängig von ist, sodass und dann ^{[ 18 ]}${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$${\displaystyle w}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1}$${\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}$

$${\displaystyle {\frac {1}{{\tilde {w}}^{\mathsf {T}}\Sigma {\tilde {w}}}}\sim \chi _{1}^{2}.}$$Wo . ${\displaystyle {\tilde {w}}=(w_{1}/X_{1},\dots ,w_{p}/X_{p})}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung steht auch in natürlichem Zusammenhang mit anderen Verteilungen, die aus der Gauß-Verteilung hervorgehen. Insbesondere

• ${\displaystyle Y}$ist F-verteilt , wenn , wobei und statistisch unabhängig sind.${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$
• Sind die Variablen und statistisch unabhängig, dann gilt . Sind die Variablen und nicht unabhängig, dann ist nicht χ²-verteilt.${\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}}$${\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung ergibt sich als Summe der Quadrate von k unabhängigen, zentrierten und varianznormalverteilten Zufallsvariablen. Verallgemeinerungen dieser Verteilung lassen sich durch Summierung der Quadrate anderer Arten von gaußverteilten Zufallsvariablen gewinnen. Einige dieser Verteilungen werden im Folgenden beschrieben.

Sind χ²-verteilte Zufallsvariablen und , so ist die Verteilung von ein Spezialfall der verallgemeinerten χ²-Verteilung . Ein geschlossener Ausdruck für diese Verteilung ist nicht bekannt. Sie kann jedoch effizient mithilfe der Eigenschaften charakteristischer Funktionen χ²-verteilter Zufallsvariablen approximiert werden. ^{[ 21 ]}${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$${\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$

Die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung erhält man aus der Summe der Quadrate unabhängiger Gaußscher Zufallsvariablen mit Einheitsvarianz und von Null verschiedenem Mittelwert.

Die verallgemeinerte Chi-Quadrat-Verteilung erhält man aus der quadratischen Form z'Az, wobei z ein zentrierter Gaußscher Vektor mit beliebiger Kovarianzmatrix ist und A eine beliebige Matrix ist.

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gamma-Verteilung , da sie die Ratenparametrisierung der Gamma-Verteilung (oder die Skalenparametrisierung der Gamma-Verteilung) verwendet, wobei k eine ganze Zahl ist. ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\textstyle X\sim \Gamma {\left({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}}$${\textstyle X\sim \Gamma {\left({\tfrac {k}{2}},2\right)}}$

Da die Exponentialverteilung auch ein Spezialfall der Gammaverteilung ist, gilt auch: Wenn , dann ist eine Exponentialverteilung . ${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$${\textstyle X\sim \operatorname {exp} \left({\tfrac {1}{2}}\right)}$

Die Erlang-Verteilung ist auch ein Spezialfall der Gamma-Verteilung, und daher gilt auch: Wenn mit geradem , dann ist die Verteilung Erlang-verteilt mit Formparameter und Skalenparameter . ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k/2}$${\displaystyle 1/2}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung findet zahlreiche Anwendungen in der Inferenzstatistik , beispielsweise in Chi-Quadrat-Tests und bei der Schätzung von Varianzen . Sie spielt eine Rolle bei der Schätzung des Mittelwerts einer normalverteilten Grundgesamtheit und der Steigung einer Regressionsgeraden durch ihre Funktion in der t-Verteilung . Über die F-Verteilung , die das Verhältnis zweier unabhängiger, Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen , jeweils dividiert durch ihre Freiheitsgrade, beschreibt, ist sie Bestandteil aller Varianzanalysen .

Nachfolgend sind einige der häufigsten Situationen aufgeführt, in denen die Chi-Quadrat-Verteilung aus einer normalverteilten Stichprobe entsteht.

• Wenn es sich um unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen handelt , dann gilt : .${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$${\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$
• Die folgende Box zeigt einige Statistiken, die auf unabhängigen Zufallsvariablen basieren, deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der Chi-Quadrat-Verteilung verwandt sind:${\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k}$

Name	Statistik
Chi-Quadrat-Verteilung	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Chi-Verteilung	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
nichtzentrale Chi-Verteilung	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird auch häufig in der Magnetresonanztomographie beobachtet . ^{[ 22 ]}

Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Chi-Quadrat-Verteilung einen Teststatistikwert zu beobachten, der mindestens so extrem ist wie dieser. Da die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) für die entsprechenden Freiheitsgrade (df) die Wahrscheinlichkeit angibt, einen weniger extremen Wert als diesen zu erhalten , ergibt die Subtraktion des CDF-Werts von 1 den p -Wert. Ein niedriger p -Wert, unterhalb des gewählten Signifikanzniveaus, deutet auf statistische Signifikanz hin , d. h. auf ausreichende Evidenz, um die Nullhypothese zu verwerfen. Ein Signifikanzniveau von 0,05 wird häufig als Grenze zwischen signifikanten und nicht signifikanten Ergebnissen verwendet. ${\textstyle p}$

Die folgende Tabelle gibt eine Anzahl von p -Werten an, die mit den ersten 10 Freiheitsgraden übereinstimmen .${\displaystyle \chi ^{2}}$

Grade von Freiheit (df)	${\displaystyle \chi ^{2}}$Wert [ 23 ]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2.41	3.22	4,61	5,99	9.21	13,82
3	0,35	0,58	1.01	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,81	11.34	16.27
4	0,71	1.06	1,65	2.20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	13.28	18.47
5	1.14	1,61	2.34	3,00	4,35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20,52
6	1,63	2.20	3.07	3,83	5,35	7.23	8,56	10,64	12,59	16,81	22.46
7	2.17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12.02	14.07	18.48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5,38	6,39	8.34	10,66	12.24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4,87	6.18	7.27	9,34	11,78	13.44	15,99	18.31	23.21	29,59
p -Wert (Wahrscheinlichkeit)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Diese Werte können durch Auswertung der Quantilfunktion (auch bekannt als „inverse CDF“ oder „ICDF“) der Chi-Quadrat-Verteilung berechnet werden; ^{[ 24 ]} z.B. ergibt die χ ² ICDF für p = 0,05 und df = 7 2,1673 ≈ 2,17 wie in der obigen Tabelle, wobei zu beachten ist, dass 1 – p der p -Wert aus der Tabelle ist .

Diese Verteilung wurde erstmals von dem deutschen Geodäten und Statistiker Friedrich Robert Helmert in Arbeiten aus den Jahren 1875–76 beschrieben ^{[ 25 ] [ 26 ]} , in denen er die Stichprobenverteilung der Stichprobenvarianz einer normalverteilten Grundgesamtheit berechnete. Daher wurde sie im Deutschen traditionell als Helmertsche Verteilung bezeichnet.

Die Verteilung wurde unabhängig davon vom englischen Mathematiker Karl Pearson im Kontext der Anpassungsgüte wiederentdeckt . Er entwickelte hierfür seinen Pearson-Chi-Quadrat-Test , der 1900 veröffentlicht wurde. Die berechnete Wertetabelle erschien in Elderton (1902 ) und ist in Pearsons Werk (1914 , S. xxxi–xxxiii, 26–28, Tabelle XII) zusammengefasst. Der Name „Chi-Quadrat“ leitet sich letztlich von Pearsons Kurzform für den Exponenten in einer multivariaten ^{Normalverteilung} mit dem griechischen Buchstaben Chi ab . Er schrieb −1/2 χ² für das , was in moderner Notation als −1/2 xᵀΣ⁻¹x ( wobei Σ die Kovarianzmatrix ^{ist )} dargestellt würde . ^{[ 27 ]} Die Idee einer Familie von „Chi-Quadrat-Verteilungen“ geht jedoch nicht auf Pearson zurück, sondern entstand als Weiterentwicklung durch Fisher in den 1920er Jahren. ^{[ 25 ]}

• Früheste Verwendungen einiger mathematischer Begriffe: Der Eintrag zu Chi-Quadrat enthält eine kurze Geschichte.
• Vorlesungsnotizen zum Chi-Quadrat-Anpassungstest aus dem Statistik-101-Kurs der Yale University.
• Mathematica- Demonstration zur Veranschaulichung der Chi-Quadrat-Stichprobenverteilung verschiedener Statistiken, z. B. Σ x² , für eine normalverteilte Grundgesamtheit
• Einfacher Algorithmus zur Annäherung an die kumulative Verteilungsfunktion und die inverse kumulative Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Taschenrechner
• Werte der Chi-Quadrat-Verteilung