Clifford-Modul

In der Mathematik ist ein Clifford-Modul eine Darstellung einer Clifford-Algebra . Allgemein ist eine Clifford-Algebra C eine zentrale einfache Algebra über einer Körpererweiterung L des Körpers K , über der die quadratische Form Q, die C definiert, definiert ist.

Die abstrakte Theorie der Clifford-Moduln wurde durch eine Arbeit von M. F. Atiyah , R. Bott und Arnold S. Shapiro begründet . Ein fundamentales Ergebnis über Clifford-Moduln besagt, dass die Morita-Äquivalenzklasse einer Clifford-Algebra (die Äquivalenzklasse der Kategorie der Clifford-Moduln über dieser Algebra) nur von der Signatur p − q (mod 8) abhängt . Dies ist eine algebraische Form der Bott-Periodizität .

Wir müssen antikommutierende Matrizen ( AB = − BA ) untersuchen, da in Clifford-Algebren orthogonale Vektoren antikommutieren.

${\displaystyle A\cdot B={\frac {1}{2}}(AB+BA)=0.}$

Für die reelle Clifford-Algebra benötigen wir p + q zueinander antikommutierende Matrizen, von denen p die Quadratzahl +1 und q die Quadratzahl −1 haben. ${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{a}^{2}&=&+1&{\mbox{falls}}&1\leq a\leq p\\\gamma _{a}^{2}&=&-1&{\mbox{falls}}&p+1\leq a\leq p+q\\\gamma _{a}\gamma _{b}&=&-\gamma _{b}\gamma _{a}&{\mbox{falls}}&a\neq b.\ \\\end{matrix}}}$

Eine solche Basis von Gammamatrizen ist nicht eindeutig. Man kann stets durch eine Ähnlichkeitstransformation eine andere Menge von Gammamatrizen erhalten, die dieselbe Clifford-Algebra erfüllen.

${\displaystyle \gamma _{a'}=S\gamma _{a}S^{-1},}$

wobei S eine nichtsinguläre Matrix ist. Die Mengen γ _{a ′} und γ _a gehören zur selben Äquivalenzklasse.

Dieses von Ettore Majorana entwickelte Clifford-Modul ermöglicht die Konstruktion einer Dirac-ähnlichen Gleichung ohne komplexe Zahlen, und seine Elemente werden Majorana- Spinoren genannt .

Die vier Basisvektoren sind die drei Pauli-Matrizen und eine vierte antihermitesche Matrix. Die Signatur lautet (+++−). Für die in der Physik häufig verwendeten Signaturen (+−−−) und (−−−+) werden 4×4-komplexe Matrizen oder 8×8-reelle Matrizen benötigt.

• Weyl-Brauer-Matrizen
• Höherdimensionale Gamma-Matrizen
• Clifford-Modulpaket

• Atiyah, Michael F .; Bott, Raoul ; Shapiro, Arnold (1964), „Clifford modules“, Topology , 3 (Suppl. 1): 3–38 , doi : 10.1016/0040-9383(64)90003-5
• Deligne, Pierre (1999), „Notes on spinors“, in Deligne, P.; Etingof, P .; Freed, D. S.; Jeffrey, L. C.; Kazhdan, D.; Morgan, J. W.; Morrison, D. R.; Witten, E. (Hrsg.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians , Providence: American Mathematical Society, S.  99–135 , ISBN 978-0-8218-2012-4Siehe auch die Programmwebsite für eine vorläufige Version.
• Harvey, F. Reese (1990), Spinoren und Kalibrierungen , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4Die
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0Die