Spinor

In Geometrie und Physik sind Spinoren (ausgesprochen „Spinner“; / spɪnər / ) Elemente eines komplexen Vektorraums , der dem euklidischen Raum zugeordnet werden kann. Spinoren lassen sich als geometrische Begleitobjekte des euklidischen Raums verstehen, die – ähnlich wie euklidische Vektoren – auf eine Rotation des euklidischen Raums reagieren. Bei einer leichten ( infinitesimalen ) Rotation des euklidischen Raums transformiert sich ein Spinor linear. Im Gegensatz zu geometrischen Vektoren und Tensoren nimmt ein Spinor jedoch bei einer Rotation um 360° seinen negativen Wert an (siehe Abbildung). Erst nach einer Rotation um 720° kehrt ein Spinor in seinen Ausgangszustand zurück. Spinoren werden daher oft heuristisch als „Quadratwurzeln“ von (geometrischen) Vektoren beschrieben, und ein geometrischer Vektor lässt sich quadratisch aus einem Spinor konstruieren.

Spinoren wurden 1913 von Élie Cartan in die Geometrie eingeführt. ^{[ 1 ]} In den 1920er Jahren entdeckten Physiker, dass Spinoren wesentlich zur Beschreibung des intrinsischen Drehimpulses , des sogenannten „Spins“, des Elektrons und anderer subatomarer Teilchen sind. Mathematisch gesehen sind Spinoren Elemente von Räumen, die Darstellungen der Spingruppe oder der zugehörigen Clifford-Algebra tragen . Nach Wahl einer Matrixrealisierung der Clifford-Algebra lassen sich Spinoren konkret als Spaltenvektoren darstellen, auf die die entsprechenden Gamma-Matrizen wirken.

Eine allmähliche Drehung lässt sich als Band im Raum visualisieren. ^{[ b ]} Zwei allmähliche Drehungen unterschiedlicher Klassen, eine um 360° und eine um 720°, werden hier im Gürtel- Rätsel veranschaulicht. Eine Lösung des Rätsels besteht in einer kontinuierlichen Manipulation des Gürtels, wobei die Endpunkte fixiert werden, wodurch er sich entdreht. Dies ist bei der 360°-Drehung unmöglich, bei der 720°-Drehung jedoch möglich. Eine Lösung, die in der zweiten Animation gezeigt wird, liefert eine explizite Homotopie in der Rotationsgruppe zwischen der 720°-Drehung und der 0°-Identitätsdrehung.

Spinoren zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich von geometrischen Vektoren und anderen Tensoren unterscheiden. Ein subtiler Unterschied liegt in ihrem Verhalten bei Rotationen: Spinoren reagieren wegabhängig auf Rotationen , während Vektoren unabhängig vom Rotationsweg reagieren. Betrachten wir die Anwendung einer Rotation auf die Koordinaten eines Systems. Kein Objekt im System selbst hat sich bewegt, nur die Koordinaten. Daher ergibt sich bei Anwendung der Rotation auf ein beliebiges Objekt des Systems stets eine kompensatorische Änderung der Koordinatenwerte. Geometrische Vektoren beispielsweise besitzen Komponenten, die dieselbe Rotation erfahren wie die Koordinaten. Allgemeiner gesagt: Jeder mit dem System assoziierte Tensor (beispielsweise die Spannung eines Mediums) besitzt ebenfalls Koordinatenbeschreibungen, die sich an Änderungen des Koordinatensystems selbst anpassen.

Spinoren treten auf dieser Ebene der Beschreibung eines physikalischen Systems nicht auf, wenn man sich nur mit den Eigenschaften einer einzelnen, isolierten Koordinatenrotation befasst. Spinoren entstehen vielmehr, wenn wir uns vorstellen, dass das Koordinatensystem nicht durch eine einzelne Rotation, sondern schrittweise ( kontinuierlich ) zwischen einer Anfangs- und einer Endkonfiguration rotiert wird. Für alle bekannten und intuitiven („tensoriellen“) Größen des Systems hängt das Transformationsgesetz nicht von den genauen Details ab, wie die Koordinaten ihre Endkonfiguration erreicht haben. Spinoren hingegen sind so konstruiert, dass sie sensitiv darauf reagieren, wie die schrittweise Rotation der Koordinaten zu dieser Konfiguration geführt hat: Sie weisen Pfadabhängigkeit auf. Es zeigt sich, dass es für jede Endkonfiguration der Koordinaten tatsächlich zwei („ topologisch “) ungleichwertige schrittweise (kontinuierliche) Rotationen des Koordinatensystems gibt, die zu derselben Konfiguration führen. Diese Mehrdeutigkeit wird als Homotopieklasse der schrittweisen Rotation bezeichnet . Der Gürteltrick (siehe Abbildung, bei dem beide Enden des gedrehten Objekts an einem externen Bezugspunkt befestigt sind) demonstriert zwei verschiedene Drehungen, eine um einen Winkel von 2π und die andere um einen Winkel von 4π , die dieselbe Endkonfiguration, aber unterschiedliche Klassen aufweisen. Spinoren zeigen tatsächlich eine Vorzeichenumkehr, die von dieser Homotopieklasse abhängt. Dies unterscheidet sie von Vektoren und anderen Tensoren, die diese Klasse nicht wahrnehmen können.

Um zu sehen, wie dies in der Praxis funktionieren könnte, betrachten wir die Menge der hermiteschen Matrizen mit komplexen Einträgen, deren Spuren null sind. Jede solche Matrix lässt sich als schreiben, wobei reell, komplex und die komplex Konjugierte von ist . Dann ist ein dreidimensionaler Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen. Die negative Determinante von ist , die Summe der Quadrate der drei reellen Koordinaten . Somit ist mit dieser Form ein reeller euklidischer dreidimensionaler Raum (ähnlich wie mit seinem Skalarprodukt ). Um Rotationen dieses euklidischen Raums zu beschreiben, betrachten wir alle komplexen Matrizen, die erfüllen. Dann ist die Einheitsmatrix , wobei der Stern die hermitesch Konjugierte bezeichnet : Die Menge solcher Matrizen ist die spezielle unitäre Gruppe . Da , erhält die Operation für alle die Determinante. Das heißt, es handelt sich um eine Rotation des euklidischen Raums. Rotationen von lassen sich daher durch spezielle unitäre Matrizen beschreiben. Für jedes Paar unitärer Abbildungen und wird dieselbe Rotation auf induziert : Daher macht keinen Unterschied zwischen den verschiedenen unitären Matrizen und wahr.${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x&z\\{\bar {z}}&-x\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle z=u+iv}$${\displaystyle {\bar {z}}=u-iv}$${\displaystyle z}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -\det X=x^{2}+|z|^{2}=x^{2}+u^{2}+v^{2}}$${\displaystyle (x,u,v)}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \det U=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{2},}$${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle U^{*}={\begin{bmatrix}{\bar {\alpha }}&-\beta \\{\bar {\beta }}&\alpha \end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle \operatorname {SU} (2).}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle R_{U},}$${\displaystyle R_{U}(X)=UXU^{*}}$${\displaystyle X\in H_{2},}$${\displaystyle R_{U}}$${\displaystyle H_{2}.}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle U\in \operatorname {SU} (2),}$${\displaystyle U}$${\displaystyle -U}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle R_{U}(X)=UXU^{*}=(-U)X(-U)^{*}=R_{-U}(X).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle -U.}$

In diesem Beispiel sind die Spinoren per Definition die komplexen Spaltenvektoren, auf die die speziellen unitären Matrizen wirken. Diese Spinoren spüren den Unterschied zwischen den Matrizen und . Insbesondere wenn wir einen Pfad in von der Einheitsmatrix zu ihrem Negativen wählen (wie etwa für alle , was eine Drehung um den Winkel auf induziert ), beginnen und enden die zugehörigen Drehungen an der Einheitsmatrix, und der Raum erfährt keine Veränderung, während ein Spaltenvektor in sein Negatives transformiert wird . ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle -U}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle -I_{2}}$${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(t/2)&\sin(t/2)\\-\sin(t/2)&\cos(t/2)\end{bmatrix}}}$${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$${\displaystyle t}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle R_{\gamma (t)}}$${\displaystyle H_{2}}$

Die Zuordnung der Rotation zu jedem Vektor ist bijektiv, und der Kern ist die Gruppe . Diese Gruppe stellt die doppelte Überlagerung der Rotationsgruppe dar und ist ihre Spingruppe. In diesem Kontext ist der euklidische Raum (der „physikalischen Vektoren“) der reelle Vektorraum , während der Raum der Spinoren der komplexe zweidimensionale Vektorraum der Spaltenvektoren ist, auf dem wirkt. Zu einem gegebenen Spinor kann ein reeller Vektor in als gebildet werden . Somit sind „Vektoren“ quadratisch in den Spinoren. ${\displaystyle R_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{\pm I_{2}\}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle vv^{*}-{\frac {1}{2}}v^{*}vI_{2}}$

Im Fall dreidimensionaler Rotationen lassen sich Spinoren wie folgt definieren: Ein Spinor ist ein komplexer zweikomponentiger Spaltenvektor, der sich unter der natürlichen Wirkung von transformiert . Die zugehörigen geometrischen Vektoren sind die spurfreien hermiteschen Matrizen, die sich durch Konjugation transformieren . Somit sind die Spinoren die Spaltenvektoren selbst, während die gewöhnlichen Vektoren die von ihnen abgeleiteten Objekte sind, die sich unter der entsprechenden Rotationswirkung transformieren. ${\displaystyle v\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle X\mapsto UXU^{*}}$

Die Darstellung von Spinoren als konkrete Objekte in höheren Dimensionen, wie in diesem dreidimensionalen Beispiel, erfordert im Allgemeinen Konstruktionen, die von der Dimension und der Signatur der quadratischen Form abhängen (beispielsweise im Minkowski-Raum ). Spinoren werden im Allgemeinen mithilfe der Clifford-Algebra oder, äquivalent dazu, als Darstellungen der Spingruppe beschrieben . Nach Wahl einer Matrixrealisierung der Clifford-Algebra lassen sich die Spinoren konkret als Spaltenvektoren darstellen, auf die die entsprechenden Gammamatrizen wirken.

Ein Spinorraum ist formal als irreduzibler Modul der Clifford-Algebra definiert . Über den reellen oder komplexen Zahlen ist die Clifford-Algebra eine halbeinfache Algebra und lässt sich daher nach dem Satz von Artin-Wedderburn als direkte Summe von vollen Matrixalgebren über einem Schiefkörper darstellen . Spinorräume sind die irreduziblen Räume, auf denen diese Komponenten operieren. Ein Spinor ist somit ein „Spaltenvektor“, auf dem eine dieser Matrixalgebren operiert. ^{[ c ]} Der Spinorraum kann auch als Spindarstellung der orthogonalen Lie-Algebra definiert werden . Diese Spindarstellungen sind auch als endlichdimensionale projektive Darstellungen der speziellen orthogonalen Gruppe charakterisiert, die nicht durch lineare Darstellungen faktorisieren. Äquivalent dazu ist ein Spinor ein Element einer endlichdimensionalen Gruppendarstellung der Spingruppe , auf der das Zentrum nicht-trivial operiert.

Grundsätzlich gibt es zwei Betrachtungsweisen für den Begriff des Spinors: die darstellungstheoretische und die geometrische Sichtweise .

Aus darstellungstheoretischer Sicht ist bekannt, dass es Darstellungen der Lie-Algebra der orthogonalen Gruppe gibt , die sich nicht durch die üblichen Tensorkonstruktionen bilden lassen. Diese fehlenden Darstellungen werden dann als Spin-Darstellungen und ihre Bestandteile als Spinoren bezeichnet . Aus dieser Sicht muss ein Spinor zu einer Darstellung der doppelten Überlagerung der Rotationsgruppe oder allgemeiner zu einer doppelten Überlagerung der verallgemeinerten speziellen orthogonalen Gruppe auf Räumen mit der metrischen Signatur ( p , q ) gehören . Diese doppelten Überlagerungen sind Lie-Gruppen , die Spin-Gruppen Spin( n ) oder Spin( p , q ) genannt werden . Alle Eigenschaften von Spinoren sowie ihre Anwendungen und abgeleiteten Objekte manifestieren sich zuerst in der Spin-Gruppe. Darstellungen der doppelten Überlagerungen dieser Gruppen liefern doppelwertige projektive Darstellungen der Gruppen selbst. (Dies bedeutet, dass die Wirkung einer bestimmten Rotation auf Vektoren im Quanten-Hilbert-Raum nur bis auf ein Vorzeichen definiert ist.) ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} ^{+}(p,q,\mathbb {R} )}$

Zusammenfassend lässt sich sagen: Gegeben eine durch die Daten spezifizierte Darstellung, wobei ein Vektorraum über oder und ein Homomorphismus ist , ist ein Spinor ein Element des Vektorraums . ${\displaystyle (V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho :{\text{Spin}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle V}$

Aus geometrischer Sicht lassen sich die Spinoren explizit konstruieren und anschließend ihr Verhalten unter der Wirkung der relevanten Lie-Gruppen untersuchen. Dieser Ansatz bietet den Vorteil einer konkreten und elementaren Beschreibung des Spinors. Allerdings wird eine solche Beschreibung unhandlich, wenn komplizierte Eigenschaften der Spinoren, wie beispielsweise Fierz-Identitäten , benötigt werden.

Die Sprache der Clifford-Algebren ^{[ 2 ]} (manchmal auch geometrische Algebren genannt) liefert durch die Klassifizierung der Clifford-Algebren ein vollständiges Bild der Spin-Darstellungen aller Spin-Gruppen und der verschiedenen Beziehungen zwischen diesen Darstellungen . Dadurch entfällt weitgehend die Notwendigkeit von Ad-hoc -Konstruktionen.

Sei V ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit nicht-ausgearteter symmetrischer Bilinearform g . Die Clifford-Algebra Cℓ( V , g ) ist die von V erzeugte Algebra unter der Antikommutationsrelation xy + yx = 2 g ( x , y ) . Sie ist eine abstrakte Version der von den Gamma- oder Pauli-Matrizen erzeugten Algebra . Ist V = ℂ  n  mit der Standardform g ( x , y ) = x  T  y = x 1 y  1 + ... + x n y  n , so schreibt man Cℓ n (ℂ) für diese Clifford-Algebra. Da jede nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf einem komplexen Vektorraum äquivalent zur Standardform ist, wird diese Notation häufig verwendet, wenn dim ℂ ( V ) = n . Ist n = 2k gerade, so ist Cℓ n ( ℂ) nichtkanonisch isomorph zu Mat( 2k , ℂ) und besitzt daher einen eindeutigen irreduziblen Modul Δ der Dimension 2k . Ist n = 2k + 1 ungerade, so ist Cℓ n  (ℂ) isomorph zu Mat( 2k , ℂ) ⊕ Mat(2k , ℂ) und besitzt somit zwei nichtäquivalente irreduzible Moduln, jeweils der Dimension 2k . Die Lie-Algebra so ( V , g ) ist in den geraden Teil der Clifford-Algebra eingebettet, die mit der Kommutatorklammer versehen ist, und operiert daher auf diesen Moduln. Für ungerades n beschränken sich die beiden irreduziblen Clifford-Moduln auf isomorphe irreduzible Darstellungen von so ( V , g ) ; diese Darstellung wird Spin-Darstellung genannt und oft mit Δ bezeichnet . Wenn n gerade ist, bleibt der eindeutige irreduzible Clifford-Modul Δ für die volle Clifford-Algebra irreduzibel, aber bei Einschränkung auf die gerade Clifford-Algebra oder äquivalent auf die Spingruppe zerfällt er wie folgt:$${\displaystyle \Delta =\Delta _{+}\oplus \Delta _{-},}$$Δ + und Δ − sind die Weyl- oder Halbspin-Darstellungen.

Irreduzible Darstellungen über den reellen Zahlen sind im Fall, dass V ein reeller Vektorraum ist, wesentlich komplizierter; für weitere Details sei auf den Artikel über Clifford-Algebra verwiesen.

Spinoren bilden einen Vektorraum , üblicherweise über den komplexen Zahlen , der mit einer linearen Gruppendarstellung der Spingruppe ausgestattet ist , die nicht durch eine Darstellung der Rotationsgruppe faktorisiert werden kann (siehe Diagramm). Die Spingruppe ist die Rotationsgruppe, die die Homotopieklasse erfasst. Spinoren sind notwendig, um grundlegende Informationen über die Topologie der Rotationsgruppe zu kodieren, da diese Gruppe nicht einfach zusammenhängend ist , die einfach zusammenhängende Spingruppe jedoch ihre doppelte Überlagerung darstellt . Somit gibt es für jede Rotation zwei Elemente der Spingruppe, die sie repräsentieren. Geometrische Vektoren und andere Tensoren können den Unterschied zwischen diesen beiden Elementen nicht erfassen, aber sie erzeugen entgegengesetzte Vorzeichen, wenn sie einen Spinor unter der Darstellung beeinflussen. Betrachtet man die Elemente der Spingruppe als Homotopieklassen einparametriger Rotationsfamilien, so wird jede Rotation durch zwei verschiedene Homotopieklassen von Wegen zur Identität repräsentiert. Visualisiert man eine einparametrige Familie von Rotationen als Band im Raum, dessen Bogenlänge den Rotationsparameter darstellt (die Rotation selbst wird durch das Tangential-, Normalen- und Binormalensystem bestimmt), so lassen sich diese beiden unterschiedlichen Homotopieklassen in den beiden Zuständen des Gürteltrick- Puzzles (siehe oben) veranschaulichen. Der Raum der Spinoren ist ein Hilfsvektorraum, der explizit in Koordinaten konstruiert werden kann, aber letztlich nur bis auf Isomorphie existiert, da es keine „natürliche“ Konstruktion ohne willkürliche Wahl von Koordinatensystemen gibt. Der Begriff der Spinoren kann als solches mathematisches Hilfsobjekt mit jedem Vektorraum assoziiert werden, der über eine quadratische Form verfügt, wie beispielsweise dem euklidischen Raum mit seinem Skalarprodukt oder dem Minkowski-Raum mit seiner Lorentz-Metrik . Im letzteren Fall umfassen die „Rotationen“ die Lorentz-Boosts , ansonsten ist die Theorie im Wesentlichen ähnlich.

In der Physik ist ein Spinorfeld ein Feld, dessen Werte in einer Spinordarstellung liegen. Auf dem Minkowski-Raum oder allgemeiner auf einer Raumzeitmannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur zulässt , bildet man ein Spinorbündel , das dem Hauptspinbündel und einer gewählten Spindarstellung zugeordnet ist; Spinorfelder sind Schnitte dieses Bündels. In flacher Raumzeit kann dieses Bündel trivialisiert werden, sodass Spinorfelder oft einfach als spinorwertige Funktionen auf der Raumzeit geschrieben werden.

Die gebräuchlichsten Spinorfelder in der Relativitätstheorie sind Dirac- , Weyl- und Majorana -Spinorfelder. Ein Dirac-Spinor ist ein Schnitt des vollständigen komplexen Spinorbündels. In geraden Dimensionen, wenn sich die Spindarstellung in chirale Hälften aufspaltet, werden Schnitte der beiden Summanden als Weyl-Spinoren bezeichnet . Ein Majorana-Spinor ist ein Spinor, der eine Realitätsbedingung erfüllt, sofern die entsprechende Spindarstellung eine solche Bedingung zulässt.

Spinorfelder finden Eingang in die Physik durch Gleichungen wie die Dirac-Gleichung und die Weyl-Gleichung , Differentialgleichungen erster Ordnung auf dem Spinorbündel. Diese Gleichungen beschreiben relativistische Felder mit Spin ½ und spielen eine zentrale Rolle in der Quantenfeldtheorie und der Differentialgeometrie. Weitere Details finden sich unter Dirac-Spinor , Weyl-Spinor , Majorana- Spinor und Spinorbündel .

Eine wichtige mathematische Anwendung der Konstruktion von Spinoren besteht darin, die explizite Konstruktion linearer Darstellungen der Lie-Algebren der speziellen orthogonalen Gruppen und folglich auch von Spinordarstellungen der Gruppen selbst zu ermöglichen. Auf einer tiefergehenden Ebene haben sich Spinoren als zentral für Ansätze zum Atiyah-Singer-Indexsatz erwiesen und liefern insbesondere Konstruktionen für diskrete Reihendarstellungen halbeinfacher Gruppen .

Die Spindarstellungen der speziellen orthogonalen Lie-Algebren unterscheiden sich von den Tensordarstellungen nach Weyl durch ihre Gewichte . Während die Gewichte der Tensordarstellungen ganzzahlige Linearkombinationen der Wurzeln der Lie-Algebra sind, sind die Gewichte der Spindarstellungen halbzahlige Linearkombinationen davon. Ausführliche Informationen finden sich im Artikel über Spindarstellungen .

Der Spinor kann, vereinfacht ausgedrückt, als „Vektoren eines Raumes, deren Transformationen in einer bestimmten Weise mit Rotationen im physikalischen Raum zusammenhängen“ beschrieben werden. ^{[ 3 ]} Anders formuliert:

Spinoren ... liefern eine lineare Darstellung der Rotationsgruppe in einem Raum mit beliebiger Dimensionalität, wobei jeder Spinor Komponenten besitzt, wobei oder . ^{[ 4 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{\nu }}$${\displaystyle n=2\nu +1}$${\displaystyle 2\nu }$

Es wurden verschiedene Möglichkeiten formuliert, um alltägliche Analogien anhand des Tellertricks , Tangloiden und anderer Beispiele für Orientierungsverschränkung zu veranschaulichen .

Dennoch gilt das Konzept allgemein als notorisch schwer verständlich, wie die Aussage von Michael Atiyah verdeutlicht, die von Diracs Biografen Graham Farmelo wiedergegeben wird:

Spinoren sind noch nicht vollständig verstanden. Ihre Algebra ist formal bekannt, ihre allgemeine Bedeutung jedoch rätselhaft. In gewisser Weise beschreiben sie die „Quadratwurzel“ der Geometrie, und so wie das Verständnis der Quadratwurzel aus −1 Jahrhunderte dauerte, könnte dies auch für Spinoren gelten. ^{[ 5 ]}

Die allgemeinste mathematische Form der Spinoren wurde 1913 von Élie Cartan entdeckt. ^{[ 6 ]} Der Begriff „Spinor“ wurde von Paul Ehrenfest in seiner Arbeit zur Quantenphysik geprägt . ^{[ 7 ]}

Spinoren wurden erstmals 1927 von Wolfgang Pauli in der mathematischen Physik angewendet, als er seine Spinmatrizen einführte . ^{[ 8 ]} Im darauffolgenden Jahr entdeckte Paul Dirac die vollständig relativistische Theorie des Elektronenspins , indem er den Zusammenhang zwischen Spinoren und der Lorentzgruppe aufzeigte . ^{[ 9 ]} In den 1930er Jahren entwickelten Dirac, Piet Hein und andere am Niels-Bohr-Institut (damals bekannt als Institut für Theoretische Physik der Universität Kopenhagen) Modelle wie die Tangloide , um die Spinorenrechnung zu lehren und zu veranschaulichen.

Spinorräume wurden 1930 von Gustave Juvett ^{[ 10 ]} und Fritz Sauter ^{[ 11 , 12 ]} als Linksideale einer Matrixalgebra dargestellt . Genauer gesagt, stellten sie Spinoren nicht wie Pauli als komplexwertige zweidimensionale Spaltenvektoren dar, sondern als komplexwertige 2×2 ^{- Matrizen ,} in denen nur die Elemente der linken Spalte ungleich null sind. Dadurch wurde der Spinorraum zu einem minimalen Linksideal in Mat(2, ℂ) . ^{[ d , 14 ]}

1947 konstruierte Marcel Riesz Spinorräume als Elemente eines minimalen linken Ideals von Clifford-Algebren . 1966/1967 ersetzte David Hestenes [ 15 ] [ 16 ] die Spinorräume durch die gerade Unteralgebra Cℓ 0  ( 1,3 ) der Raumzeitalgebra Cℓ 1,3 ( ). [ 12 ] [ 14 ] Seit den 1980er Jahren entwickelt die Arbeitsgruppe für theoretische Physik am Birkbeck College um David Bohm und Basil Hiley algebraische Ansätze zur Quantentheorie , die auf Sauters und Riesz’ Identifizierung von Spinoren mit minimalen linken Idealen aufbauen. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Einige einfache Beispiele für Spinoren in niedrigen Dimensionen ergeben sich aus der Betrachtung der geradgraduierten Unteralgebren der Clifford-Algebra Cℓ_{_{p , q}} ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Diese Algebra ist aus einer Orthonormalbasis von n = p + q zueinander orthogonalen Vektoren bezüglich Addition und Multiplikation aufgebaut, wobei p die Norm +1 und q die Norm −1 haben und die Produktregel für die Basisvektoren gilt. $${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$$

Die Clifford-Algebra Cℓ _2,0 ( ) basiert auf einem Einheitsskalar 1, zwei orthogonalen Einheitsvektoren σ ₁ und σ ₂ und einem Einheitspseudoskalar i = σ ₁ σ ₂ . Aus den obigen Definitionen geht hervor, dass ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 und ( σ ₁ σ ₂ )( σ ₁ σ ₂ ) = − σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = −1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Die gerade Unteralgebra Cℓ ⁰ _2,0 ( ), aufgespannt von geraden Basiselementen von Cℓ _2,0 ( ), bestimmt den Raum der Spinoren über ihre Darstellungen. Sie besteht aus reellen Linearkombinationen von 1 und σ ₁ σ ₂ . Als reelle Algebra ist Cℓ ⁰ _2,0 ( ) isomorph zum Körper der komplexen Zahlen . Daher besitzt sie eine Konjugationsoperation (analog zur komplexen Konjugation ), die manchmal als Umkehrung eines Clifford-Elements bezeichnet wird und durch definiert ist. Mithilfe der Clifford-Relationen lässt sie sich schreiben als ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}}$$$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

Die Wirkung eines geraden Clifford-Elements γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$ auf Vektoren, die als 1-graduierte Elemente von Cℓ _2,0 ( ) betrachtet werden, wird bestimmt, indem ein allgemeiner Vektor u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ auf den Vektor abgebildet wird, wobei der konjugierte Vektor von ist , und das Produkt die Clifford-Multiplikation darstellt. In diesem Fall ist ein Spinor ^{[ e ]} eine gewöhnliche komplexe Zahl. Die Wirkung von auf einen Spinor ist durch die gewöhnliche komplexe Multiplikation gegeben: ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

Ein wichtiges Merkmal dieser Definition ist die Unterscheidung zwischen gewöhnlichen Vektoren und Spinoren, die sich darin manifestiert, wie die Elemente geraden Grades auf die jeweiligen Vektoren unterschiedlich wirken. Im Allgemeinen zeigt eine kurze Überprüfung der Clifford-Relationen, dass Elemente geraden Grades mit gewöhnlichen Vektoren konjugiert kommutieren. $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

Andererseits erscheint die Wirkung von auf gewöhnliche Vektoren im Vergleich zu ihrer Wirkung auf Spinoren als das Quadrat ihrer Wirkung auf Spinoren. ${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$${\displaystyle \gamma }$

Betrachten wir beispielsweise die Auswirkungen auf ebene Drehungen. Die Drehung eines Vektors um den Winkel ^θ entspricht γ² = exp( θσ₁σ₂ ) , sodass die entsprechende Wirkung auf Spinoren über γ = ± exp( θσ₁σ₂ _/ 2 ₎ erfolgt . Im Allgemeinen ist es aufgrund der logarithmischen Verzweigung unmöglich, ein Vorzeichen konsistent zu wählen. Daher ist _{die Darstellung ebener Drehungen} auf Spinoren zweiwertig.

Bei Anwendungen von Spinoren in zwei Dimensionen nutzt man häufig die Tatsache, dass die Algebra der Elemente geraden Grades (also der Ring der komplexen Zahlen) mit dem Raum der Spinoren identisch ist. Daher werden die beiden oft – etwas ungenau – gleichgesetzt. Man spricht dann beispielsweise von der „Wirkung eines Spinors auf einen Vektor“. Im Allgemeinen sind solche Aussagen bedeutungslos. In zwei und drei Dimensionen (wie sie etwa in der Computergrafik Anwendung finden ) sind sie jedoch sinnvoll.

• Das Element mit geradem Grad entspricht einer Vektordrehung von 90° von σ ₁ um in Richtung σ ₂ , was sich überprüfen lässt, indem man bestätigt, dass es einer Spinordrehung von nur 45° entspricht:$${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Das geradzahlige Element γ = − σ ₁ σ ₂ entspricht analog einer Vektordrehung von 180°, aber einer Spinordrehung von nur 90°.$${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$$$${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• Weiterhin entspricht das geradzahlige Element γ = −1 einer Vektorrotation von 360°, aber einer Spinorrotation von 180°.$${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$$

Die Clifford-Algebra Cℓ _3,0 ( ) basiert auf einem Einheitsskalar 1, drei orthogonalen Einheitsvektoren σ ₁ , σ ₂ und σ ₃ , den drei Einheitsbivektoren σ ₁ σ ₂ , σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ und dem Pseudoskalar i = σ ₁ σ ₂ σ ₃ . Es ist einfach zu zeigen, dass ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 und ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Die Unteralgebra der geradgradigen Elemente besteht aus Skalardilatationen und Vektorrotationen , wobei $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$$${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$

$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}\gamma &=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-iv\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}\right\}}$$

1

entspricht einer Vektorrotation um einen Winkel θ um eine Achse, die durch einen Einheitsvektor v = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ + a ₃ σ ₃ definiert ist .

Als Spezialfall lässt sich leicht erkennen, dass, wenn v = σ ₃ , dies die im vorherigen Abschnitt betrachtete σ ₁ σ _{2 Rotation reproduziert; und dass eine solche Rotation die Koeffizienten der Vektoren in} σ ₃ Richtung invariant lässt, da

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

Die Bivektoren σ ₂ σ ₃ , σ ₃ σ ₁ und σ ₁ σ ₂ sind in Wirklichkeit Hamiltonsche Quaternionen i , j , und k , die 1843 entdeckt wurden:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

Bei der Identifizierung der Elemente geraden Grades mit der Algebra der Quaternionen, wie im zweidimensionalen Fall, ist die einzige Darstellung der Algebra der Elemente geraden Grades auf sich selbst. ^{[ f ]} Somit sind die (reellen ^{[ g ]} ) Spinoren im dreidimensionalen Raum Quaternionen, und die Wirkung eines Elements geraden Grades auf einen Spinor ist durch die gewöhnliche quaternionische Multiplikation gegeben. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Beachten Sie, dass im Ausdruck (1) für eine Vektorrotation um den Winkel θ der in γ auftretende Winkel halbiert wurde . Daher rotiert die Spinorrotation γ ( ψ ) = γψ (gewöhnliche quaternionische Multiplikation) den Spinor ψ um einen Winkel, der der Hälfte des Winkels der entsprechenden Vektorrotation entspricht. Das Problem der Transformation einer Vektorrotation in eine Spinorrotation ist somit zweideutig: Der Ausdruck (1) mit (180° + θ /2) anstelle von θ /2 liefert dieselbe Vektorrotation, jedoch das Negative der Spinorrotation.

Die Spinor-/Quaternionendarstellung von Rotationen im 3D-Raum gewinnt in der Computergeometrie und anderen Anwendungen zunehmend an Bedeutung, da die entsprechende Spinmatrix bemerkenswert kurz ist und sich die Spinmatrix einfach miteinander multiplizieren lässt, um die kombinierte Wirkung aufeinanderfolgender Rotationen um verschiedene Achsen zu berechnen.

Ein Spinorenraum lässt sich explizit mit konkreten und abstrakten Konstruktionen erstellen. Die Äquivalenz dieser Konstruktionen folgt aus der Eindeutigkeit der Spinordarstellung der komplexen Clifford-Algebra. Ein vollständiges Beispiel in Dimension 3 findet sich unter Spinoren in drei Dimensionen .

Bei einem gegebenen Vektorraum V und einer quadratischen Form g kann eine explizite Matrixdarstellung der Clifford-Algebra Cℓ( V , g ) wie folgt definiert werden. Wählen Sie eine Orthonormalbasis e 1 ... e n für V , dh g ( e μ e ν ) = η μν, wobei η μμ = ±1 und η μν = 0 für μ ≠ ν . Sei k = ⌊ n /2⌋ . Legen Sie einen Satz von 2 k × 2 k- Matrizen γ 1 ... γ n fest , so dass γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μν 1 (d. h. legen Sie eine Konvention für die Gammamatrizen fest ). Die Zuordnung e μ → γ μ  lässt sich eindeutig zu einem Algebrahomomorphismus Cℓ( V , g ) → Mat(2 k , ℂ) fortsetzen , indem man das Monom e μ 1  ⋅⋅⋅ e μ  k  der Clifford-Algebra auf das Produkt γ μ 1  ⋅⋅⋅ γ μ  k von Matrizen abbildet und linear fortsetzt. Der Raum, auf dem die Gammamatrizen wirken, ist nun ein Spinorraum. Diese Matrizen müssen jedoch explizit konstruiert werden. In drei Dimensionen führt die Definition der Gammamatrizen als Pauli-Sigmamatrizen zu den bekannten zweikomponentigen Spinoren, die in der nichtrelativistischen Quantenmechanik verwendet werden . Ebenso ergeben sich durch die Verwendung der 4 × 4 Dirac-Gamma-Matrizen die vierkomponentigen Dirac-Spinoren, die in der (3+1)-dimensionalen relativistischen Quantenfeldtheorie verwendet werden . Im Allgemeinen kann man zur Definition von Gamma-Matrizen der benötigten Art die Weyl-Brauer-Matrizen verwenden . ${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$

In dieser Konstruktion hängen die Darstellung der Clifford-Algebra Cℓ( V , g ) , der Lie-Algebra so ( V , g ) und der Spingruppe Spin( V , g ) von der Wahl der Orthonormalbasis und der Gamma-Matrizen ab. Dies kann zu Verwirrung hinsichtlich der Konventionen führen, Invarianten wie Spuren sind jedoch unabhängig von diesen Wahlen. Insbesondere müssen alle physikalisch beobachtbaren Größen unabhängig von solchen Wahlen sein. In dieser Konstruktion kann ein Spinor als Vektor von 2^{^k} komplexen Zahlen dargestellt und mit Spinorindizes (üblicherweise α , β , γ ) bezeichnet werden . In der Physikliteratur werden solche Indizes häufig auch dann zur Bezeichnung von Spinoren verwendet, wenn eine abstrakte Spinorkonstruktion zum Einsatz kommt.

Es gibt mindestens zwei verschiedene, aber im Wesentlichen äquivalente Möglichkeiten, Spinoren abstrakt zu definieren. Ein Ansatz sucht nach den minimalen Idealen für die Linksoperation von Cℓ( V , g ) auf sich selbst. Dies sind Unterräume der Clifford-Algebra der Form Cℓ( V , g ) ω , die die offensichtliche Operation von Cℓ( V , g ) durch Linksmultiplikation zulassen: c : xω → cxω . Es gibt zwei Varianten dieses Ansatzes: Man findet entweder ein primitives Element ω , das ein nilpotentes Element der Clifford-Algebra ist , oder ein idempotentes . Die Konstruktion über nilpotente Elemente ist fundamentaler, da sich daraus ein idempotentes Element erzeugen lässt. ^{[ 17 ]} Auf diese Weise werden die Spinordarstellungen mit bestimmten Unterräumen der Clifford-Algebra selbst identifiziert. Der zweite Ansatz besteht darin, einen Vektorraum mithilfe eines ausgezeichneten Unterraums von V zu konstruieren und dann die Wirkung der Clifford-Algebra außerhalb dieses Vektorraums zu spezifizieren.

Beide Ansätze basieren auf dem Grundgedanken eines isotropen Unterraums W. Jede Konstruktion beruht auf der anfänglichen Freiheit bei der Wahl dieses Unterraums. Physikalisch bedeutet dies, dass es kein Messprotokoll gibt, das eine Basis des Spinraums festlegen kann, selbst wenn eine bevorzugte Basis von V gegeben ist.

Wie oben sei ( V , g ) ein n- dimensionaler komplexer Vektorraum mit einer nicht-ausgearteten Bilinearform. Ist V ein reeller Vektorraum, ersetzen wir V durch seine Komplexifizierung und bezeichnen die induzierte Bilinearform mit g . W sei ein maximaler isotroper Unterraum, d. h. ein maximaler Unterraum von V mit g | _W = 0. Ist n = 2k gerade, so sei W ′ ein zu W komplementärer isotroper Unterraum . Ist n = 2k + 1 ungerade, so sei W ′ ein maximaler isotroper Unterraum mit W ∩ W ′ = 0 , und U sei das orthogonale Komplement von W ⊕ W ′ . Sowohl im geraden als auch im ungeraden Fall haben W und W ′ die Dimension k . Im ungeraden Fall ist U eindimensional und wird vom Einheitsvektor u aufgespannt . ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

Da W ′ isotrop ist, ist die Multiplikation von Elementen aus W ′ innerhalb von Cℓ( V , g ) schief . Daher sind Vektoren in W ′ antikommutativ, und Cℓ( W ′ , g | W ′ ) = Cℓ( W ′ , 0) ist genau die äußere Algebra Λ * W ′ . Folglich ist das k -fache Produkt von W ′ mit sich selbst, W ′ k , eindimensional. Sei ω ein Erzeuger von W ′ k . Bezüglich einer Basis w ′ 1 , ..., w ′ k von W ′ besteht eine Möglichkeit darin, zu setzen $${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

Man beachte , dass ω² = 0 ( d. h. ω ist nilpotent von der Ordnung 2) und außerdem w′ω = 0 für alle w ′ ∈ W ′ ^gilt . Die folgenden Tatsachen lassen sich leicht beweisen:

1. Falls n = 2 k , dann ist das linke Ideal Δ = Cℓ( V , g ) ω ein minimales linkes Ideal. Dieses zerfällt bei Einschränkung auf die Wirkung der geraden Clifford-Algebra in die beiden Spinräume Δ ₊ = Cℓ ^gerade ω und Δ ₋ = Cℓ ^ungerade ω .
2. Wenn n = 2 k + 1 , dann zerlegt die Wirkung des Einheitsvektors u auf das linke Ideal Cℓ( V , g ) ω den Raum in ein Paar isomorpher irreduzibler Eigenräume (beide mit Δ bezeichnet), die den jeweiligen Eigenwerten +1 und −1 entsprechen.

Nehmen wir beispielsweise an, n sei gerade. Sei I ein von Null verschiedenes Linksideal, das in Cℓ( V , g ) ω enthalten ist . Wir zeigen, dass I gleich Cℓ( V , g ) ω sein muss , indem wir beweisen, dass es ein von Null verschiedenes skalares Vielfaches von ω enthält .

Wähle eine Basis w _i von W und eine komplementäre Basis w _i ′ von W ′ so, dass

Beachten Sie, dass jedes Element von I die Form αω haben muss , aufgrund unserer Annahme, dass I ⊂ Cℓ( V , g ) ω . Sei αω ∈ I ein solches Element. Mit der gewählten Basis können wir schreiben, wobei die a _{i 1 ... i p} Skalare und die B _j Hilfselemente der Clifford-Algebra sind. Man beachte nun, dass das Produkt ein von Null verschiedenes Monom a in der Entwicklung von α mit maximalem homogenen Grad in den Elementen w _i ist ( ohne Summation) , wie gefordert. $${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$$${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$$${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$$${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$

Man beachte, dass diese Berechnung für gerades n auch zeigt, dass es sich um einen Vektorraum handelt. In der letzten Gleichung haben wir erneut die Isotropie von W verwendet. Physikalisch gesehen zeigt dies, dass Δ wie ein Fock-Raum aufgebaut ist, indem Spinoren mithilfe antikommutierender Erzeugungsoperatoren in W erzeugt werden , die auf ein Vakuum ω wirken . $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$

Die Berechnungen mit der minimalen Idealkonstruktion legen nahe, dass eine Spinordarstellung auch direkt mithilfe der äußeren Algebra Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W des isotropen Unterraums W definiert werden kann . Sei Δ = Λ ^∗ W die äußere Algebra von W, betrachtet als reiner Vektorraum. Dies ist die Spindarstellung, und ihre Elemente werden als Spinoren bezeichnet. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Die Wirkung der Clifford-Algebra auf Δ wird zunächst definiert, indem die Wirkung eines Elements von V auf Δ angegeben wird. Anschließend wird gezeigt, dass diese Wirkung die Clifford-Relation respektiert und sich somit aufgrund der universellen Eigenschaft von Clifford-Algebren zu einem Homomorphismus der vollen Clifford-Algebra in den Endomorphismenring End(Δ) fortsetzen lässt . Die Details unterscheiden sich geringfügig, je nachdem, ob die Dimension von V gerade oder ungerade ist.

Wenn dim( V ) gerade ist, gilt V = W ⊕ W ′, wobei W ′ das gewählte isotrope Komplement ist. Daher zerfällt jedes v ∈ V eindeutig in v = w + w ′ mit w ∈ W und w ′ ∈ W ′ . Die Wirkung von v auf einen Spinor ist gegeben durch, wobei i ( w ′ ) das innere Produkt mit w ′ ist, wobei V mithilfe der nicht-ausgearteten quadratischen Form mit V ^* identifiziert wird , und ε ( w ) das äußere Produkt bezeichnet . Diese Wirkung wird manchmal auch Clifford-Produkt genannt . Man kann zeigen, dass und somit die Clifford-Relationen respektiert und sich zu einem Homomorphismus von der Clifford-Algebra nach End(Δ) fortsetzen lässt. $${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$$${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$

Die Spin-Darstellung Δ zerfällt weiterhin in ein Paar irreduzibler komplexer Darstellungen der Spin-Gruppe ^{[ 20 ]} (die Halbspin-Darstellungen oder Weyl-Spinoren) über $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

Wenn dim( V ) ungerade ist, gilt V = W ⊕ U ⊕ W ′ , wobei U von einem zu W orthogonalen Einheitsvektor u aufgespannt wird . Die Clifford-Wirkung c auf W ⊕ W ′ ist wie zuvor definiert , während die Clifford-Wirkung von (Vielfachen von) u wie zuvor definiert ist . Man kann nachprüfen, dass c die Clifford-Relationen respektiert und somit einen Homomorphismus induziert. $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$

Besitzt der Vektorraum V eine zusätzliche Struktur, die eine Zerlegung seiner Komplexifizierung in zwei maximale isotrope Unterräume ermöglicht, so wird die Definition von Spinoren (mit beiden Methoden) auf natürliche Weise.

Das Hauptbeispiel ist der Fall, dass der reelle Vektorraum V ein hermitescher Vektorraum ( V , g ) ist , d. h., V ist mit einer komplexen Struktur J ausgestattet , die eine orthogonale Transformation bezüglich des Skalarprodukts g auf V ist . Dann zerfällt V in die ± i Eigenräume von J. Diese Eigenräume sind isotrop bezüglich der Komplexifizierung von g und können mit dem komplexen Vektorraum ( V , J ) und seinem komplex Konjugierten ( V , −J ) identifiziert werden . Daher ist für einen hermiteschen Vektorraum ( V , g ) der Vektorraum (sowie sein komplex Konjugierter ) ein Spinorraum des zugrunde liegenden reellen euklidischen Vektorraums. ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$

Mit der Clifford-Wirkung wie oben, jedoch mit Kontraktion unter Verwendung der hermiteschen Form, liefert diese Konstruktion einen Spinorraum an jedem Punkt einer fast-hermiteschen Mannigfaltigkeit und ist der Grund dafür, dass jede fast-komplexe Mannigfaltigkeit (insbesondere jede symplektische Mannigfaltigkeit ) eine Spin- ^c- Struktur besitzt . Ebenso trägt jedes komplexe Vektorbündel auf einer Mannigfaltigkeit eine Spin- ^c- Struktur. ^{[ 21 ]}

Für das Tensorprodukt zweier Spindarstellungen sind verschiedene Clebsch-Gordan-Zerlegungen möglich . ^{[ 22 ]} Diese Zerlegungen drücken das Tensorprodukt mithilfe der alternierenden Darstellungen der orthogonalen Gruppe aus.

Im reellen oder komplexen Fall lauten die alternierenden Darstellungen:

• Γ _r = Λ ^r V , die Darstellung der orthogonalen Gruppe auf schiefen Tensoren vom Rang r .

Darüber hinaus gibt es für die reellen orthogonalen Gruppen drei Charaktere (eindimensionale Darstellungen).

• σ ₊ : O( p , q ) → {−1, +1} gegeben durch σ ₊ (R) = −1 , falls R die räumliche Orientierung von V umkehrt , +1, falls R die räumliche Orientierung von V beibehält . ( Der räumliche Charakter .)
• σ ₋ : O( p , q ) → {−1, +1} gegeben durch σ ₋ (R) = −1 , falls R die zeitliche Orientierung von V umkehrt , +1, falls R die zeitliche Orientierung von V beibehält . ( Der zeitliche Charakter .)
• σ = σ ₊ σ ₋ . ( Das Orientierungszeichen .)

Die Clebsch-Gordan-Zerlegung erlaubt es unter anderem, Folgendes zu definieren:

• Eine Wirkung von Spinoren auf Vektoren.
• Eine hermitesche Metrik auf den komplexen Darstellungen der reellen Spingruppen.
• Ein Dirac-Operator auf jeder Spin-Darstellung.

Ist n = 2 k gerade, so zerfällt das Tensorprodukt von Δ mit der Kontragredientendarstellung wie folgt, was man explizit sehen kann, indem man (in der expliziten Konstruktion) die Wirkung der Clifford-Algebra auf zerlegbare Elemente αω ⊗ βω ′ betrachtet . Die Formulierung ganz rechts folgt aus den Transformationseigenschaften des Hodge-Sternoperators . Man beachte, dass die paarigen Summanden Γ _p ⊕ σ Γ _p bei Einschränkung auf die gerade Clifford-Algebra isomorph sind, nicht aber unter der vollen Clifford-Algebra. $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$

Es besteht eine natürliche Identifizierung von Δ mit seiner kontragredienten Darstellung mittels Konjugation in der Clifford-Algebra: Somit zerfällt Δ ⊗ Δ ebenfalls auf die obige Weise. Darüber hinaus zerfallen die Halbspin-Darstellungen unter der geraden Clifford-Algebra. $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

Für die komplexen Darstellungen der reellen Clifford-Algebren lässt sich die zugehörige Realitätsstruktur auf der komplexen Clifford-Algebra in den Raum der Spinoren ableiten (etwa durch die explizite Konstruktion mittels minimaler Ideale). Auf diese Weise erhalten wir die komplex Konjugierte Δ der Darstellung Δ, und es gilt der folgende Isomorphismus: $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

Beachten Sie insbesondere, dass die Darstellung Δ der orthochronen Spingruppe eine unitäre Darstellung ist . Im Allgemeinen existieren Clebsch-Gordan-Zerlegungen. $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

In der metrischen Signatur ( p , q ) gelten die folgenden Isomorphismen für die konjugierten Halbspin-Darstellungen.

• Wenn q gerade ist, dann gilt und${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• Wenn q ungerade ist, dann gilt und${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

Mithilfe dieser Isomorphismen lassen sich analoge Zerlegungen für die Tensorprodukte der Halbspin-Darstellungen Δ _± ⊗ Δ _± ableiten .

Wenn n = 2k + 1 ungerade ist, dann gilt im reellen Fall erneut der Isomorphismus. Daher gibt es eine Clebsch-Gordan-Zerlegung (wiederum unter Verwendung des Hodge-Sterns zur Dualisierung), die gegeben ist durch $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$$${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$$${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

Die Clebsch-Gordan-Zerlegungen der Spinorräume haben viele weitreichende Konsequenzen. Die grundlegendsten betreffen Diracs Theorie des Elektrons, zu deren Grundvoraussetzungen gehören:

• Eine Methode, das Produkt zweier Spinoren ϕ ψ als Skalar zu betrachten. Physikalisch gesehen sollte ein Spinor eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Quantenzustand bestimmen .
• Eine Methode, das Produkt ψ ϕ als Vektor zu betrachten. Dies ist ein wesentliches Merkmal der Diracschen Theorie, die den Spinorformalismus mit der Geometrie des physikalischen Raums verbindet.
• Eine Methode, einen Spinor als auf einen Vektor wirkend zu betrachten, etwa durch einen Ausdruck wie ψv ψ . Physikalisch gesehen stellt dies einen elektrischen Strom der Maxwellschen elektromagnetischen Theorie oder allgemeiner einen Wahrscheinlichkeitsstrom dar .

• In einer Dimension (ein triviales Beispiel) ist die Darstellung eines einzelnen Spinors formal eine Majorana-Darstellung, eine reelle eindimensionale Darstellung, die sich nicht transformiert.
• In zwei euklidischen Dimensionen sind der linkshändige und der rechtshändige Weyl-Spinor einkomponentige komplexe Darstellungen , d. h. komplexe Zahlen, die bei einer Drehung um den Winkel φ mit e ^{± iφ /2} multipliziert werden .
• In drei euklidischen Dimensionen ist die Darstellung eines einzelnen Spinors zweidimensional und quaternionisch . Die Existenz von Spinoren in drei Dimensionen folgt aus dem Isomorphismus der Gruppen SU(2) ≅ Spin(3) , der es uns erlaubt, die Wirkung von Spin(3) auf eine komplexe zweikomponentige Spalte (einen Spinor) zu definieren; die Erzeuger von SU(2) können als Pauli-Matrizen geschrieben werden .
• In vier euklidischen Dimensionen ist der entsprechende Isomorphismus Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) . Es gibt zwei nichtäquivalente quaternionische 2-Komponenten-Weyl-Spinoren, von denen jeder nur unter einem der SU(2)-Faktoren transformiert wird.
• In 5 euklidischen Dimensionen ist der relevante Isomorphismus Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2), woraus folgt, dass die Darstellung des einzelnen Spinors 4-dimensional und quaternionisch ist.
• In 6 euklidischen Dimensionen garantiert der Isomorphismus Spin(6) ≅ SU(4) , dass es zwei 4-dimensionale komplexe Weyl-Darstellungen gibt, die zueinander komplex konjugiert sind.
• In 7 euklidischen Dimensionen ist die Darstellung eines einzelnen Spinors 8-dimensional und reell; ab dieser Dimension existieren keine Isomorphismen von einer anderen Reihe (A oder C) zu einer Lie-Algebra.
• In 8 euklidischen Dimensionen gibt es zwei reelle Weyl-Majorana-Darstellungen in 8 Dimensionen, die mit der reellen Vektordarstellung in 8 Dimensionen durch eine spezielle Eigenschaft von Spin(8) namens Trialität in Beziehung stehen .
• In d + 8 Dimensionen entspricht die Anzahl der verschiedenen irreduziblen Spinordarstellungen und ihre Realität (ob sie reell, pseudoreell oder komplex sind) der Struktur in d Dimensionen, jedoch sind ihre Dimensionen 16-mal größer; dies ermöglicht es, alle verbleibenden Fälle zu verstehen. Siehe Bott-Periodizität .
• In Raumzeiten mit p räumlichen und q zeitartigen Richtungen stimmen die Dimensionen, betrachtet als Dimensionen über den komplexen Zahlen, mit dem Fall des ( p + q ) -dimensionalen euklidischen Raums überein, während die Realitätsprojektionen die Struktur in | p − q | euklidischen Dimensionen nachbilden. Beispielsweise existieren in 3 + 1 Dimensionen zwei nicht-äquivalente Weyl-Komplexe (wie in 2 Dimensionen) mit 2 Komponenten (wie in 4 Dimensionen), was aus dem Isomorphismus SL(2, ℂ) ≅ Spin(3,1) folgt .

Eine Quelle der Verwirrung besteht darin, dass die Begriffe reell , komplex und quaternionisch in zwei eng verwandten, aber nicht identischen Bedeutungen verwendet werden: Sie können sich auf das Grundfeld eines gewählten Clifford-Moduls oder auf den Typ (auch Schur-Typ genannt ) einer irreduziblen Spindarstellung beziehen. Für die Spingruppe ist die zweite Bedeutung die nützlichere.

Sei eine irreduzible komplexe Spin-Darstellung von . Dann heißt . ${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$${\displaystyle S}$

• vom reellen Typ , wenn es eine -äquivariante antilineare Abbildung mit gibt ;${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$${\displaystyle J:S\to S}$${\displaystyle J^{2}=+1}$
• vom quaternionischen Typ (oder pseudoreellen Typ ), falls es eine solche Abbildung mit gibt ;${\displaystyle J^{2}=-1}$
• von komplexem Typ , wenn keine solche äquivariante antilineare Abbildung existiert, äquivalent dazu, wenn und ihre komplex Konjugierte nicht äquivalent sind.${\displaystyle S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$

Wenn vom reellen Typ ist, liefert die Fixpunktmenge von eine reelle Form der Darstellung; dies ist der algebraische Ursprung der Majorana- Bedingungen. Wenn vom quaternionischen Typ ist, trägt die Darstellung eine invariante quaternionische Struktur, aber keine invariante reelle Struktur auf einem irreduziblen komplexen Modul. ^{[ 23 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle J}$${\displaystyle S}$

Der Grund für das Mod-8-Muster liegt darin, dass Spinoren natürliche Moduln der geraden Clifford-Algebra sind . Ist ein irreduzibler reeller -Modul, so ist seine kommutierende Algebra nach dem Lemma von Schur eine endlichdimensionale reelle Divisionsalgebra. Nach dem Satz von Frobenius ist sie daher isomorph zu genau einem der drei möglichen Typen: reell, komplex und quaternionisch. Unter Verwendung der üblichen Identifizierung gerader Clifford-Algebren mit Clifford-Algebren in einer Dimension niedriger, zusammen mit der Bott-Periodizität , findet man, dass der Typ nur von abhängt . ^{[ 24 ]}${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}$$${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathrm {C} \ell _{p,q}^{0}}(S)}$$$${\displaystyle \mathbb {R} ,\qquad \mathbb {C} ,\qquad \mathbb {H} .}$$${\displaystyle p-q{\pmod {8}}}$

Realitätstyp irreduzibler Spindarstellungen

Dimension${\displaystyle n=p+q}$	${\displaystyle p-q{\pmod {8}}}$	Irreduzible komplexe Spin-Darstellung(en)	Typ	Folge
seltsam	1, 7	${\displaystyle S}$	real	${\displaystyle S}$weist eine invariante reelle Struktur auf
seltsam	3, 5	${\displaystyle S}$	quaternionisch	${\displaystyle S}$weist eine invariante quaternionische Struktur auf
sogar	0	${\displaystyle S^{+},S^{-}}$	real	Jede Weyl-Darstellung besitzt eine reelle Struktur; Majorana-Weyl- Spinoren sind möglich.
sogar	2, 6	${\displaystyle S^{+},S^{-}}$	Komplex	${\displaystyle S^{-}\cong {\overline {S^{+}}}}$Eine einzelne Weyl-Darstellung ist weder reell noch quaternionisch.
sogar	4	${\displaystyle S^{+},S^{-}}$	quaternionisch	Jede Weyl-Darstellung besitzt eine invariante quaternionische Struktur

So sind beispielsweise Spinoren im dreidimensionalen euklidischen Raum quaternionisch, Weyl-Spinoren im vierdimensionalen euklidischen Raum sind quaternionisch, Weyl-Spinoren in Lorentzscher Signatur sind zueinander komplex konjugiert, Weyl-Spinoren in Split-Signatur sind reell und achtdimensionale euklidische Weyl-Spinoren sind reell. ${\displaystyle (3,1)}$${\displaystyle (1,1)}$

Eine häufige Ursache für scheinbare Unstimmigkeiten zwischen Tabellen in der Literatur liegt darin, dass einige Autoren irreduzible Moduln für die volle reelle Clifford-Algebra klassifizieren , während andere Spin-Darstellungen von klassifizieren . Da die Spin-Gruppe in der geraden Clifford-Algebra liegt, unterscheiden sich diese beiden Tabellen durch eine Verschiebung um eine Stufe im Modulo-8-Muster. ${\displaystyle \mathrm {C} \ell _{p,q}}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (p,q)}$

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