Höherdimensionale Gamma-Matrizen

In der mathematischen Physik verallgemeinern höherdimensionale Gamma-Matrizen die vierdimensionalen Dirac-Gamma-Matrizen auf beliebige Dimensionen . Diese Matrizen sind ein Grundpfeiler der relativistischen Quantenmechanik . Sie werden in relativistisch invarianten Wellengleichungen für Fermionen (wie Spinoren) in beliebigen Raumzeitdimensionen verwendet, insbesondere in der Stringtheorie und der Supergravitation . Die Weyl-Brauer-Matrizen liefern eine explizite Konstruktion höherdimensionaler Gamma-Matrizen für Weyl-Spinoren . Gamma-Matrizen treten auch in allgemeinen Kontexten der Riemannschen Geometrie auf , insbesondere wenn eine Spinstruktur definiert werden kann.

Betrachten wir eine Raumzeit der Dimension d mit der flachen Minkowski-Metrik ,

${\displaystyle \eta =\|\eta _{ab}\|={\text{diag}}(+1,\dots ,+1,-1,\dots ,-1)~,}$

mit positiven Einträgen, negativen Einträgen und a , b = 0, 1, ..., d − 1 . Setze N = 2 ^{⌊ ⁠}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p+q=d}$^{1/2⁠ d ⌋} . Die Standard-Dirac-Matrizenentsprechen der Wahl von d = N = 4und p , q = 1, 3oder3, 1.

In höheren (und niedrigeren) Dimensionen lässt sich eine Gruppe , die Gammagruppe , definieren, die sich analog zu den Dirac-Matrizen verhält. ^{[ 1 ]} Genauer gesagt: Wählt man eine Basis der (komplexifizierten) Clifford-Algebra , so ist die von erzeugte Gammagruppe isomorph zur multiplikativen Untergruppe, die von den Basiselementen erzeugt wird (wobei der additive Aspekt der Clifford-Algebra außer Acht gelassen wird). ${\displaystyle \{e_{a}\}}$${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )\cong \mathrm {Cl} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$${\displaystyle \{\Gamma _{a}\}}$${\displaystyle e_{a}}$

Konventionsgemäß wird die Gammagruppe als eine Sammlung von Matrizen, den Gammamatrizen, realisiert, obwohl die Gruppendefinition dies nicht erfordert. Insbesondere benötigen viele wichtige Eigenschaften, darunter die C- , P- und T-Symmetrien , keine spezifische Matrixdarstellung, und man erhält auf diese Weise eine klarere Definition der Chiralität . ^{[ 1 ]} Es sind verschiedene Matrixdarstellungen möglich, einige werden im Folgenden und weitere im Artikel über die Weyl-Brauer-Matrizen beschrieben. In der Matrixdarstellung sind die Spinoren n-dimensional, wobei die Gammamatrizen auf die Spinoren wirken. Eine detaillierte Konstruktion von Spinoren findet sich im Artikel über die Clifford-Algebra . Jost liefert ein Standardwerk für Spinoren im allgemeinen Kontext der Riemmannschen Geometrie. ^{[ 2 ]}${\displaystyle N}$

Die meisten Eigenschaften der Gamma-Matrizen lassen sich durch eine Gruppe , die Gamma-Gruppe , beschreiben . Diese Gruppe kann ohne Bezugnahme auf die reellen oder komplexen Zahlen oder gar die Clifford-Algebra definiert werden . ^{[ 1 ]} Die Matrixdarstellungen dieser Gruppe liefern dann eine konkrete Realisierung, mit der die Wirkung der Gamma-Matrizen auf Spinoren spezifiziert werden kann . Für Dimensionen verhalten sich die Matrixprodukte genau wie die herkömmlichen Dirac-Matrizen . Die Pauli-Gruppe ist eine Darstellung der Gamma-Gruppe für , obwohl die Pauli-Gruppe mehr Beziehungen aufweist ( weniger frei ist ); siehe dazu die Anmerkung zum chiralen Element weiter unten. Die Quaternionen liefern eine Darstellung für .${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$${\displaystyle (p,q)=(3,0)}$${\displaystyle (p,q)=(0,3).}$

Die Darstellung der Gamma-Gruppe ist wie folgt. ${\displaystyle G=G_{p,q}}$

• Ein neutrales Element wird mit . bezeichnet .${\displaystyle I}$
• Das Element mit ist ein Stellvertreter für die komplexe Zahl ; es kommutiert mit allen anderen Elementen .${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{4}=I}$${\displaystyle i}$
• Es gibt eine Sammlung von Generatoren, die mit indiziert sind.${\displaystyle \Gamma _{a}}$${\displaystyle a=0,\ldots ,p-1}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{2}=I~,}$
• Die verbleibenden Generatoren gehorchen${\displaystyle \Gamma _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{2}=i^{2}~,}$
• Der Antikommutator ist wie folgt definiert:${\displaystyle \Gamma _{a}\Gamma _{b}=i^{2}\Gamma _{b}\Gamma _{a}}$${\displaystyle a\neq b~.}$

Diese Erzeuger definieren die Gammagruppe vollständig. Es lässt sich zeigen, dass für alle und somit jedes Element eindeutig als Produkt einer endlichen Anzahl von Erzeugern in kanonischer Ordnung geschrieben werden kann als ${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle x^{4}=I}$${\displaystyle x^{-1}=x^{3}~.}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle x=i^{n}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

mit den Indizes in aufsteigender Reihenfolge

${\displaystyle a<b<\cdots <c}$

Die Gammagruppe ist endlich und enthält höchstens Elemente. ${\displaystyle 0\leq n\leq 3.}$${\displaystyle 2^{p+q+2}}$

Die Gammagruppe ist eine 2-Gruppe , aber keine reguläre p-Gruppe . Die Kommutatoruntergruppe (abgeleitete Untergruppe) ist daher keine mächtige p-Gruppe . Im Allgemeinen besitzen 2-Gruppen eine große Anzahl von Involutionen ; dies gilt auch für die Gammagruppe. Drei dieser Involutionen werden im Folgenden näher erläutert, da sie im Kontext von Clifford-Algebren , im Kontext der Darstellungen der Gammagruppe (wo Transposition und hermitesche Konjugation den entsprechenden Operationen auf Matrizen entsprechen) und in der Physik eine spezifische Interpretation haben , wobei die „Hauptinvolution“ einer kombinierten P-Symmetrie und T-Symmetrie entspricht . ${\displaystyle [G,G]=\left\{I,i^{2}\right\}~,}$${\displaystyle \alpha }$

Gegeben seien Elemente der Erzeugendenmenge der Gammagruppe. Die Transposition oder Umkehrung ist gegeben durch ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle (\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\Gamma _{c}\cdots \Gamma _{b}\Gamma _{a}}$

Wenn es Elemente gibt , die alle verschieden sind, dann ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle (\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\left(i^{2}\right)^{{\frac {1}{2}}k(k-1)}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}}$

Ein weiterer Automorphismus der Gammagruppe ist die Konjugation, definiert auf den Erzeugern als

${\displaystyle \Gamma _{a}^{\dagger }={\begin{cases}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{for }}p\leq a<p+q\\\end{cases}}}$

ergänzt durch und Für allgemeine Elemente in der Gruppe nimmt man die Transponierte: Aus den Eigenschaften der Transposition folgt, dass für alle Elemente, die entweder oder dass , das heißt, alle Elemente entweder hermitesch oder unitär sind. ${\displaystyle i^{\dagger }=i^{3}}$${\displaystyle I^{\dagger }=I.}$${\displaystyle (ab)^{\dagger }=b^{\dagger }a^{\dagger }~.}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=I}$${\displaystyle xx^{\dagger }=x^{\dagger }x=i^{2}~,}$

Interpretiert man die Dimensionen als „zeitartig“ und die Dimensionen als „raumartig“, so entspricht dies der P-Symmetrie in der Physik. Dass dies die „korrekte“ Identifizierung ist, folgt aus den konventionellen Dirac-Matrizen, wobei die zeitartige Richtung und die räumlichen Richtungen mit der „konventionellen“ (+−−−)-Metrik assoziiert sind. Andere Metriken und Darstellungsweisen legen andere Interpretationen nahe. ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Die Hauptinvolution ist die Abbildung, die die Generatoren "umkehrt", aber die anderen unverändert lässt: Diese Abbildung entspricht der kombinierten P-Symmetrie und T-Symmetrie in der Physik; alle Richtungen werden umgekehrt. ${\displaystyle \alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha (i)=i~.}$

Definiere das chirale Element als ${\displaystyle \omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }}$

${\displaystyle \omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _{d-1}}$

wobei . Das chirale Element kommutiert mit den Generatoren wie ${\displaystyle d=p+q}$

${\displaystyle \Gamma _{a}\omega =\left(i^{2}\right)^{d-1}\omega \Gamma _{a}}$

Es ergibt

${\displaystyle \omega ^{2}=\left(i^{2}\right)^{q+{\frac {1}{2}}d(d-1)}}$

Bei den Dirac-Matrizen entspricht das chirale Element seinem Namen, da es eine wichtige Rolle bei der Unterscheidung der Chiralität von Spinoren spielt. ${\displaystyle \gamma _{5}~,}$

Für die Pauli-Gruppe ist das chirale Element , wohingegen man für die Gamma-Gruppe keine andere Beziehung als die zu ableiten kann . Dies ist ein Beispiel dafür, dass eine Darstellung mehr neutrale Elemente als die dargestellte Gruppe haben kann. Für die Quaternionen , die eine Darstellung des chiralen Elements liefern, ist${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i}$${\displaystyle G_{3,0}}$${\displaystyle \Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}}$${\displaystyle i^{2}~.}$${\displaystyle G_{0,3}}$${\displaystyle ijk=i^{2}~.}$

Keiner der oben genannten Automorphismen (Transponierung, Konjugation, Hauptinvolution) ist ein innerer Automorphismus ; das heißt, sie lassen sich nicht in der oben dargestellten Form für ein existierendes Element der Gammagruppe wiedergeben . Die Ladungskonjugation erfordert die Erweiterung der Gammagruppe um zwei neue Elemente; per Konvention sind dies die folgenden: ${\displaystyle CxC^{-1}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{\textsf {t}}}$

Und

${\displaystyle C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{\textsf {t}}}$

Die obigen Beziehungen reichen nicht aus, um eine Gruppe zu definieren; und andere Produkte sind unbestimmt. ${\displaystyle C^{2}}$

Die Gammagruppe besitzt eine Matrixdarstellung, die durch komplexe Matrizen mit und und der Abrundungsfunktion gegeben ist , wobei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ist. Die Gruppendarstellung für die Matrizen kann kompakt mithilfe der Antikommutatorrelation aus der Clifford-Algebra Cℓ _{p , q} ( R ) geschrieben werden.${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N=2^{\left\lfloor {\frac {1}{2}}d\right\rfloor }}$${\displaystyle d=p+q}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,}$

wobei die Matrix I _N die Einheitsmatrix in N Dimensionen ist. Transposition und hermitesche Konjugation entsprechen ihrer üblichen Bedeutung bei Matrizen.

Im Folgenden wird angenommen, dass und somit . Das heißt, die Clifford-Algebra Cℓ _{1 , d −1} ( R ) wird vorausgesetzt. ^{[ a ]} ​​In diesem Fall besitzen die Gamma-Matrizen unter hermitescher Konjugation die folgende Eigenschaft : ${\displaystyle p=1}$${\displaystyle q=d-1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}^{\dagger }&=+\Gamma _{0}~,&\Gamma _{a}^{\dagger }&=-\Gamma _{a}~(a=1,\dots ,d-1)~.\end{aligned}}}$

Die Transposition wird mit einer kleinen Änderung der Notation bezeichnet, indem man eine Abbildung erstellt, bei der das Element auf der linken Seite das abstrakte Gruppenelement und das Element auf der rechten Seite die buchstäbliche Matrixtransponierte ist . ${\displaystyle \Gamma _{a}^{\textsf {t}}\mapsto \Gamma _{a}^{\textsf {T}}}$

As before, the generators Γ_a, −Γ_a^T, Γ_a^T all generate the same group (the generated groups are all isomorphic; the operations are still involutions). However, since the Γ_a are now matrices, it becomes plausible to ask whether there is a matrix that can act as a similarity transformation that embodies the automorphisms. In general, such a matrix can be found. By convention, there are two of interest; in the physics literature, both referred to as charge conjugation matrices. Explicitly, these are

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}&=+\Gamma _{a}^{\textsf {T}}\\C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}&=-\Gamma _{a}^{\textsf {T}}~.\end{aligned}}}$

They can be constructed as real matrices in various dimensions, as the following table shows. In even dimension both ${\displaystyle C_{\pm }}$ exist, in odd dimension just one.

d	${\displaystyle C_{(+)}^{*}=C_{(+)}}$	${\displaystyle C_{(-)}^{*}=C_{(-)}}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 3}$		${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 7}$		${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1}$	${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$
${\displaystyle 11}$		${\displaystyle C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1}$

Note that ${\displaystyle C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}}$ is a basis choice.

We denote a product of gamma matrices by

${\displaystyle \Gamma _{abc\dotsm }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\cdots {}}$

and note that the anti-commutation property allows us to simplify any such sequence to one in which the indices are distinct and increasing. Since distinct ${\displaystyle \Gamma _{a}}$ anti-commute this motivates the introduction of an anti-symmetric "average". We introduce the anti-symmetrised products of distinct n-tuples from 0, ..., d − 1:

${\displaystyle \Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}}~,}$

where π runs over all the permutations of n symbols, and ϵ is the alternating character. There are 2^d such products, but only N² are independent, spanning the space of N×N matrices.

Typically, Γ_ab provide the (bi)spinor representation of the ⁠1/2⁠d(d − 1) generators of the higher-dimensionalLorentz group, SO⁺(1, d − 1), generalizing the 6 matrices σ^μν of the spin representation of the Lorentz group in four dimensions.

For even d, one may further define the hermitian chiral matrix

${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}=i^{{\frac {d}{2}}-1}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d-1}~,}$

such that {Γ_chir, Γ_a} = 0 and Γ_chir² = 1. (In odd dimensions, such a matrix would commute with all Γ_as and would thus be proportional to the identity, so it is not considered.)

A Γ matrix is called symmetric if

${\displaystyle (C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})^{\textsf {T}}=+(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})~;}$

otherwise, for a − sign, it is called antisymmetric.

Im vorherigen Ausdruck kann C entweder oder sein . In ungerader Dimension besteht keine Mehrdeutigkeit, in gerader Dimension ist es jedoch vorteilhafter, denjenigen Wert von oder zu wählen , der Majorana-Spinoren ermöglicht. In d = 6 existiert kein solches Kriterium, daher betrachten wir beide Werte. ${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$

D	C	Symmetrisch	Antisymmetrisch
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \gamma _{a}}$	${\displaystyle I_{2}}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \gamma _{a}~,~\gamma _{a_{1}a_{2}}}$	${\displaystyle I_{4}~,~\gamma _{\text{chir}}~,~\gamma _{\text{chir}}\gamma _{a}}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a_{1}a_{2}}}$	${\displaystyle I_{4}~,~\Gamma _{a}}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle I_{8}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle I_{8}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4}}}$	${\displaystyle \Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{(+)}}$	${\displaystyle I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}}$	${\displaystyle \Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}}$	${\displaystyle I_{32}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle C_{(-)}}$	${\displaystyle \Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}}$	${\displaystyle I_{32}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}}$

Die Beweise der Spuridentitäten für Gammamatrizen gelten für alle geraden Dimensionen. Man muss sich daher nur den 4D-Fall in Erinnerung rufen und dann den Gesamtfaktor 4 durch ersetzen . Für andere Identitäten (solche, die eine Kontraktion beinhalten) ergeben sich explizite Funktionen von . ${\displaystyle \operatorname {tr} (I_{N})}$${\displaystyle d}$

Selbst wenn die Anzahl der physikalischen Dimensionen vier beträgt, sind diese allgemeineren Identitäten aufgrund der Dimensionsregularisierung in Schleifenberechnungen allgegenwärtig .

Die Γ -Matrizen können rekursiv konstruiert werden, zuerst in allen geraden Dimensionen, d = 2 k , und dann in den ungeraden, 2 k + 1.

Unter Verwendung der Pauli-Matrizen , nehmen Sie

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&=\sigma _{1},&\gamma _{1}&=-i\sigma _{2}\end{aligned}}}$

und man kann leicht überprüfen, dass die Ladungskonjugationsmatrizen

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(2,+)}&=+1\\C_{(-)}=i\sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(2,-)}&=-1~.\end{aligned}}}$

Man kann schließlich das hermitesche chirale γ _chir wie folgt definieren:

${\displaystyle \gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dagger }~.}$

Man kann nun die Γ _a , ( a = 0, ... , d + 1) , Matrizen und die Ladungskonjugationen C _(±) in d + 2 Dimensionen konstruieren, ausgehend von den γ _a' , ( a' = 0, ... , d − 1 ), und c _(±) Matrizen in d Dimensionen.

Ausdrücklich,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{a'}&=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~\left(a'=0,\dots ,d-1\right)~,&\Gamma _{d}&=I\otimes (i\sigma _{1})~,&\Gamma _{d+1}&=I\otimes (i\sigma _{2})~.\end{aligned}}}$

Man kann dann die Ladungskonjugationsmatrizen konstruieren.

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}&=c_{(-)}\otimes \sigma _{1}~,&C_{(-)}&=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,\end{aligned}}}$

mit folgenden Eigenschaften,

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(d+2,+)}&=s_{(d,-)}\\C_{(-)}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{-1}&s_{(d+2,-)}&=-s_{(d,+)}~.\end{aligned}}}$

Ausgehend von den Vorzeichenwerten für d = 2, s _(2,+) = +1 und s _(2,−) = −1, lassen sich alle nachfolgenden Vorzeichen s _{( d ,±)} mit Periodizität 8 festlegen; explizit findet man

	${\displaystyle d=8k}$	${\displaystyle d=8k+2}$	${\displaystyle d=8k+4}$	${\displaystyle d=8k+6}$
${\displaystyle s_{(d,+)}}$	+1	+1	-1	-1
${\displaystyle s_{(d,-)}}$	+1	-1	-1	+1

Man kann die hermitesche chirale Matrix in d + 2 Dimensionen wiederum definieren als

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\text{chir}}&=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{3}~,&\alpha _{d}&=i^{{\frac {1}{2}}d-1}~,\end{aligned}}}$

welche aufgrund ihrer Konstruktion diagonal ist und sich unter Ladungskonjugation transformiert als

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}&=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~,&\beta _{d}&=(-)^{{\frac {1}{2}}d(d-1)}~.\end{aligned}}}$

Es ist daher offensichtlich, dass {Γ _chir , Γ _a } = 0. Sobald eine Permutation angewendet wird, um die +1 und -1 Eigenwerte der chiralen Matrix aufeinanderfolgend zu machen, wird diese Wahl zum direkten Analogon der chiralen Basis in vier Dimensionen.

Betrachten wir die vorherige Konstruktion für d − 1 (das gerade ist) und nehmen wir einfach alle Γ _a ( a = 0, ..., d − 2) Matrizen, denen wir ihr i Γ _chir ≡ Γ _{d −1} anhängen . (Das i ist erforderlich, um eine antihermitesche Matrix zu erhalten und in die raumartige Metrik zu erweitern).

Berechne abschließend die Ladungskonjugationsmatrix: Wähle zwischen und so, dass sich Γ_{_{d- 1}} wie alle anderen Γ- Matrizen transformiert. Explizit fordern: ${\displaystyle C_{(+)}}$${\displaystyle C_{(-)}}$

${\displaystyle C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}=s\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~.}$

Bei Variation der Dimension d wiederholen sich die Muster typischerweise mit einer Periode von 8. (vgl. die Clifford-Algebra-Uhr .)

• Weyl-Brauer-Matrizen
• Dirac-Spinor
• Clifford-Modul

• Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935). „Spinoren in n Dimensionen“. Bin. J. Mathe . 57 (2): 425–449 . doi : 10.2307/2371218 . JFM  61.1025.06 . JSTOR  2371218 . Zbl  0011.24401 .
• Pais, Abraham (1962). „Über Spinoren in n Dimensionen“ . Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1135–1139 . Bibcode : 1962JMP.....3.1135P . doi : 10.1063/1.1703856 .
• Gliozzi, F.; Scherk, Joel; Olive, D. (1977). „Supersymmetrie, Supergravitationstheorien und das duale Spinormodell“ (PDF) . Nuclear Physics B. 122 ( 2): 253. Bibcode : 1977NuPhB.122..253G . doi : 10.1016/0550-3213(77)90206-1 .
• Kennedy, A. D. (1981). „Clifford-Algebren in 2ω Dimensionen“. Journal of Mathematical Physics . 22 (7): 1330–1337 . Bibcode : 1981JMP....22.1330K . doi : 10.1063/1.525069 .
• de Wit, Bryce und Smith, J. (1986). Feldtheorie in der Teilchenphysik (North-Holland Personal Library), Band 1, Taschenbuch, Anhang E ( Archiviert vom Original ), ISBN 978-0444869999
• Murayama, H. (2007). „Anmerkungen zur Clifford-Algebra und Spin(N)-Darstellungen“
• Pietro Giuseppe Frè (2012). „Gravitation, ein geometrischer Kurs: Band 1: Entwicklung der Theorie und grundlegende physikalische Anwendungen.“ Springer-Verlag. ISBN 9400753608Siehe S. 315ff .