Niederländische Buchargumente

In der Entscheidungstheorie , der Ökonomie und der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnen die sogenannten „Dutch Book“-Argumente eine Reihe von Ergebnissen , die zeigen, dass Akteure die Axiome rationaler Wahl erfüllen müssen , um einen Selbstwiderspruch, das sogenannte „Dutch Book“, zu vermeiden. Ein „Dutch Book“ , manchmal auch „ Money Pump“ genannt , ist eine Reihe von Wetten, die einen garantierten Verlust zur Folge hat; der Spieler verliert also in jedem Fall Geld. ^{[ 1 ]} Eine Reihe von Wetten heißt kohärent , wenn sie nicht zu einem „Dutch Book“ führen kann.

Die Argumente des niederländischen Buches werden verwendet, um den Grad der Gewissheit in Überzeugungen zu untersuchen und zu zeigen, dass rationale Wettende Bayesianer sein müssen ; ^{[ 2 ]} mit anderen Worten, ein rationaler Wettende muss Ereigniswahrscheinlichkeiten zuweisen, die sich gemäß den Axiomen der Wahrscheinlichkeit verhalten , und muss Präferenzen haben, die mit Hilfe der von Neumann-Morgenstern-Axiome modelliert werden können .

In der Wirtschaftswissenschaft dienen sie dazu, Verhalten zu modellieren, indem sie Situationen ausschließen, in denen Akteure Geld ohne realen Nutzen „verbrennen“. Modelle, die auf der Annahme rationalen Handelns basieren, werden als Modelle rationaler Wahl bezeichnet. Diese Annahme ist in verhaltensökonomischen Entscheidungsmodellen weniger streng .

Das Gedankenexperiment wurde erstmals, offenbar unabhängig voneinander, von dem italienischen Wahrscheinlichkeitstheoretiker Bruno de Finetti und dem englischen Universalgelehrten Frank P. Ramsey vorgeschlagen , um die Bayes'sche Wahrscheinlichkeitstheorie zu begründen . ^{[ 1 ] [ 3 ]} Leonard Savage untersuchte es eingehender und entwickelte daraus ein vollständiges Modell rationaler Entscheidungen.

Angenommen, wir haben zwei Spieler, A und B. Spieler A legt den Preis für ein Versprechen fest, 1 Dollar zu zahlen, falls John Smith die morgige Wahl gewinnt. Spieler B kann entweder das Versprechen von A zum festgelegten Preis kaufen oder von A verlangen, das Versprechen ebenfalls zum gleichen Preis zu kaufen. Anders ausgedrückt: Spieler A bestimmt die Gewinnchancen, aber Spieler B entscheidet, welche Seite der Wette er eingeht. Der von A festgelegte Preis wird als „operative subjektive Wahrscheinlichkeit“ bezeichnet.

Wenn Spieler A die Gewinnwahrscheinlichkeit von John Smith auf 12,5 % schätzt, könnte er beispielsweise eine Quote von 7:1 gegen ihn festlegen. Diese willkürliche Einschätzung – die „operative subjektive Wahrscheinlichkeit“ – bestimmt die Auszahlung einer erfolgreichen Wette. Ein Einsatz von 1 € bei dieser Quote führt entweder zu einem Verlust von 1 € (wenn Smith verliert) oder zu einem Gewinn von 7 € (wenn Smith gewinnt). In diesem Beispiel erhält der Wettende im Erfolgsfall seinen Einsatz von 1 € zurück.

Das gängige niederländische Argument kommt zu dem Schluss, dass rationale Akteure subjektive Wahrscheinlichkeiten für Zufallsereignisse haben müssen und dass diese Wahrscheinlichkeiten den Standardaxiomen der Wahrscheinlichkeit genügen müssen. Anders ausgedrückt: Jede rationale Person muss bereit sein, verschiedenen Ereignissen eine (quantitative) subjektive Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.

Es sei darauf hingewiesen, dass die Argumentation nicht impliziert, dass die Akteure bereit sind, im herkömmlichen Sinne zu spielen . Der Begriff „Wette“ bezieht sich hier auf jede Art von Entscheidung unter Unsicherheit . Beispielsweise ist der Kauf eines unbekannten Produkts im Supermarkt eine Art „Wette“ (der Käufer „wettet“, dass das Produkt gut ist), ebenso wie das Einsteigen in ein Auto („die Wette, dass der Fahrer keinen Unfall verursacht“).

Das Argument der niederländischen Buchmacher lässt sich umkehren, indem man die Perspektive des Buchmachers betrachtet. In diesem Fall zeigen die Argumente der niederländischen Buchmacher, dass jeder rationale Akteur bereit sein muss, gewisse Risiken einzugehen, d. h. unsichere Wetten abzuschließen, da er andernfalls gelegentlich „Gratisgeschenke“ oder „tschechische Bücher“ ablehnen wird – eine Reihe von Wetten, die ihm mit hundertprozentiger Sicherheit einen höheren Gewinn bescheren.

In einem Beispiel bot ein Buchmacher die folgenden Quoten an und erhielt jeweils eine Wette auf jedes Pferd, deren relative Größe das Ergebnis irrelevant macht. Die impliziten Wahrscheinlichkeiten, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Pferd gewinnt, ergeben zusammen eine Zahl größer als 1, was das Unitaritätsaxiom verletzt :

Pferdenummer	Angebotene Quoten	Implizite Wahrscheinlichkeit	Wettpreis	Der Buchmacher zahlt, wenn das Pferd gewinnt.
1	Sogar	${\displaystyle {\frac {1}{1+1}}=0,5}$	100 US-Dollar	100 $ Einsatz + 100 $
2	3 zu 1 gegen	${\displaystyle {\frac {1}{3+1}}=0,25}$	50 US-Dollar	50 $ Einsatz + 150 $
3	4 zu 1 gegen	${\displaystyle {\frac {1}{4+1}}=0,2}$	40 US-Dollar	40 $ Einsatz + 160 $
4	9 zu 1 gegen	${\displaystyle {\frac {1}{9+1}}=0,1}$	20 Dollar	20 $ Einsatz + 180 $
		Gesamt: 1,05	Gesamt: 210 $	Immer: 200 $

Welches Pferd in diesem Beispiel auch immer gewinnt, der Buchmacher zahlt 200 Dollar aus (einschließlich der Rückzahlung des Gewinneinsatzes) – der Wettende hat aber 210 Dollar gesetzt und macht somit einen Verlust von 10 Dollar bei dem Rennen.

Wenn jedoch Pferd Nr. 4 zurückgezogen wird und der Buchmacher die anderen Quoten nicht anpasst, ergeben die impliziten Wahrscheinlichkeiten insgesamt 0,95. In diesem Fall könnte ein Spieler stets einen Gewinn von 10 $ erzielen, indem er jeweils 100 $, 50 $ und 40 $ auf die verbleibenden drei Pferde setzt und nicht 20 $ auf das zurückgezogene Pferd setzen muss, das nun nicht mehr gewinnen kann.

Andere Formen von „Dutch Books“ können verwendet werden, um die übrigen Axiome der Wahrscheinlichkeit zu beweisen, manchmal auch komplexere Wetten wie die Vorhersage der Reihenfolge, in der Pferde ins Ziel kommen . In der Bayes’schen Wahrscheinlichkeitstheorie forderten Frank P. Ramsey und Bruno de Finetti , dass die persönlichen Überzeugungsgrade kohärent sein müssen, damit kein „Dutch Book“ gegen sie abgeschlossen werden kann, unabhängig davon, wie die Wetten platziert werden. Notwendige und hinreichende Bedingungen hierfür sind, dass ihre Überzeugungsgrade alle Axiome der Wahrscheinlichkeit erfüllen .

Wer bei einer Reihe von Wetten die Quoten so festlegt, dass er unabhängig vom Ergebnis einen Nettogewinn erzielt, betreibt ein sogenanntes „Dutch Book“. Bei einem „Dutch Book“ verliert der Gegner immer. Wer Quoten so festlegt, dass sein Gegner ein „Dutch Book“ erhält, handelt irrational.

Die Regeln verbieten keinen festgelegten Preis über 1 Dollar, doch ein umsichtiger Gegner kann einem anderen einen überteuerten Wettschein verkaufen, sodass er unabhängig vom Ausgang der Wette einen Gewinn erzielt. Auch negative Preise sind nicht verboten, aber ein Gegner kann sich vom Wettenden eine Vorauszahlung auf spätere Zahlung für den Fall eines bestimmten Ereignisses auszahlen lassen. In beiden Fällen verliert derjenige, der den Preis festlegt. Diese Situationen, in denen beide Seiten verlieren, spiegeln die Tatsache wider, dass eine Wahrscheinlichkeit weder größer als 1 (Gewissheit) noch kleiner als 0 (keine Gewinnchance) sein kann.

Angenommen, man legt den Preis für das Versprechen fest, 1 Dollar zu zahlen, falls die Boston Red Sox die World Series im nächsten Jahr gewinnen, und ebenso den Preis für das Versprechen, 1 Dollar zu zahlen, falls die New York Yankees gewinnen, und schließlich den Preis für das Versprechen, 1 Dollar zu zahlen, falls entweder die Red Sox oder die Yankees gewinnen. Man kann die Preise so festlegen, dass

$${\displaystyle {\text{Preis}}({\text{Red Sox}})+{\text{Preis}}({\text{Yankees}})\neq {\text{Preis}}({\text{Red Sox oder Yankees}}).}$$

Setzt man den Preis des dritten Tickets niedriger an als die Summe der Preise der ersten beiden, wird ein kluger Gegner dieses Ticket kaufen und die anderen beiden an den Preisfestsetzer verkaufen. Betrachtet man die drei möglichen Ergebnisse (Red Sox, Yankees, ein anderes Team), so stellt man fest, dass man unabhängig vom Ausgang verliert. Ein analoges Schicksal erwartet einen, wenn man den Preis des dritten Tickets höher ansetzt als die Summe der Preise der beiden anderen. Dies entspricht der Tatsache, dass sich die Wahrscheinlichkeiten sich gegenseitig ausschließender Ereignisse addieren (siehe Wahrscheinlichkeitsaxiome ).

Stellen Sie sich nun ein komplizierteres Szenario vor. Man muss die Preise für drei Versprechen festlegen:

• Der Käufer dieses Versprechens zahlt 1 Dollar, wenn die Red Sox das morgige Spiel gewinnen: Der Käufer verliert seine Wette, wenn die Red Sox nicht gewinnen, unabhängig davon, ob die Niederlage auf den Verlust eines bereits beendeten Spiels oder auf die Absage des Spiels zurückzuführen ist, und
• 1 Dollar zu zahlen, wenn die Red Sox gewinnen, und den Preis des Versprechens zurückzuerstatten, wenn das Spiel abgesagt wird, und
• 1 Dollar zu zahlen, wenn das Spiel beendet ist, unabhängig davon, wer gewinnt.

Drei Ergebnisse sind möglich: Das Spiel wird abgesagt; das Spiel findet statt und die Red Sox verlieren; das Spiel findet statt und die Red Sox gewinnen. Man kann die Preise so festlegen, dass

$${\displaystyle {\text{Preis}}({\text{abgeschlossenes Spiel}})\times {\text{Preis}}({\text{Sieg der Red Sox}}\mid {\text{abgeschlossenes Spiel}})\neq {\text{Preis}}({\text{Sieg der Red Sox und abgeschlossenes Spiel}})}$$

(Der zweite Preis oben ist der Preis der Wette inklusive Rückerstattung im Falle einer Stornierung.) (Hinweis: Die Preise sind dimensionslose Zahlen, die durch Division durch 1 $ entstehen, der Auszahlung in allen drei Fällen.) Ein umsichtiger Gegner formuliert drei lineare Ungleichungen mit drei Variablen. Die Variablen geben die Beträge an, die er in jedes der drei Versprechen investiert; der Wert einer dieser Variablen ist negativ, wenn er den Preissetzer dazu bringt, dieses Versprechen zu kaufen, und positiv, wenn er es kauft. Jede Ungleichung entspricht einem der drei möglichen Ergebnisse. Jede Ungleichung besagt, dass der Nettogewinn des Gegners größer als null ist. Eine Lösung existiert, wenn die Determinante der Matrix ungleich null ist. Diese Determinante ist:

$${\displaystyle {\text{Price}}({\text{completed game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{completed game}})-{\text{Price}}({\text{Red Sox win and completed game}}).}$$

Ein umsichtiger Gegner kann also denjenigen, der den Preis festlegt, zum sicheren Verlierer machen, es sei denn, er legt seine Preise so fest, dass sie der einfachsten herkömmlichen Charakterisierung der bedingten Wahrscheinlichkeit entsprechen .

Beim Kentucky Derby 2015 lag die Quote für den Favoriten („American Pharaoh“) bei 5:2, für den zweiten Favoriten bei 3:1 und für den dritten Favoriten bei 8:1. Alle anderen Pferde hatten Quoten von 12:1 oder höher. Bei diesen Quoten hätte ein Einsatz von 10 Dollar auf alle 18 Starter zu einem Nettoverlust geführt, selbst wenn der Favorit oder der zweite Favorit gewonnen hätte.

Geht man jedoch davon aus, dass kein Pferd mit einer Quote von 12:1 oder höher gewinnt, und setzt man jeweils 10 $ auf die drei Favoriten, ist einem zumindest ein kleiner Gewinn sicher. Der Favorit (der tatsächlich gewann) brachte eine Auszahlung von 25 $ plus den zurückerhaltenen Einsatz von 10 $, was einen Endbetrag von 35 $ ergab (ein Nettogewinn von 5 $). Ein Sieg des zweiten Favoriten brachte eine Auszahlung von 30 $ plus den ursprünglichen Einsatz von 10 $, also einen Nettogewinn von 10 $. Ein Sieg des dritten Favoriten brachte 80 $ plus die ursprünglichen 10 $ ein, was einen Nettogewinn von 60 $ bedeutete.

Diese Strategie, soweit sie sich nur auf die ersten drei Plätze bezieht, entspricht einem sogenannten „Dutch Book“. Betrachtet man jedoch alle achtzehn Teilnehmer, so existiert für dieses Rennen kein „Dutch Book“.

In der Wirtschaftswissenschaft ist ein klassisches Beispiel für eine Situation, in der ein Konsument „Dutch-Booking“ betreiben kann, die intransitive Präferenzierung . Die klassische Wirtschaftstheorie geht davon aus, dass Präferenzen transitiv sind : Wenn jemand A für besser als B und B für besser als C hält, dann muss er auch A für besser als C halten. Darüber hinaus kann es keine Präferenzzyklen geben.

Das Geldpumpen-Argument besagt, dass jemand mit intransitiven Präferenzen ausgenutzt werden kann, bis er gezwungen ist, den Markt zu verlassen. Stellen wir uns vor, Jane hat 20 Dollar, um Obst zu kaufen. Sie kann ihren Korb entweder mit Orangen oder Äpfeln füllen. Jane würde einen Dollar einem Apfel, einen Apfel einer Orange und eine Orange einem Dollar vorziehen. Da Jane lieber eine Orange als einen Dollar hätte, ist sie bereit, eine Orange für etwas mehr als einen Dollar (vielleicht 1,10 Dollar) zu kaufen. Dann tauscht sie ihre Orange gegen einen Apfel, weil sie lieber einen Apfel als eine Orange hätte. Schließlich verkauft sie ihren Apfel für einen Dollar, weil sie lieber einen Dollar als einen Apfel hätte. An diesem Punkt bleiben Jane 19,90 Dollar übrig, sie hat 10 Cent verloren und nichts dazugewonnen. Dieser Prozess kann wiederholt werden, bis Jane kein Geld mehr hat. (Anmerkung: Wenn Jane diese Präferenzen tatsächlich vertritt, würde sie nichts Verwerfliches an diesem Prozess finden; bei jedem Schritt stimmt Jane zu, dass es ihr dadurch besser geht.) Nachdem ihr das Geld ausgegangen ist, muss Jane den Markt verlassen, und ihre Präferenzen und Handlungen verlieren ihre wirtschaftliche Relevanz.

Experimente in der Verhaltensökonomie zeigen, dass Probanden die Voraussetzung transitiver Präferenzen beim Vergleich von Wetten verletzen können. ^{[ 4 ]} Die meisten Probanden treffen diese Entscheidungen jedoch nicht bei Vergleichen innerhalb derselben Person, bei denen der Widerspruch deutlich sichtbar wird (mit anderen Worten: Die Probanden haben keine wirklich intransitiven Präferenzen, sondern machen Fehler bei Entscheidungen mithilfe von Heuristiken ).

Ökonomen argumentieren üblicherweise, dass Menschen mit Präferenzen wie denen von Jane ihr gesamtes Vermögen auf dem Markt verlieren würden. In diesem Fall wären Präferenzen mit Intransitivitäten oder anderen Merkmalen, die ein Dutch-Booking ermöglichen, nicht zu beobachten. Sind Menschen jedoch in Bezug auf ihre Intransitivitäten einigermaßen differenziert und/oder treibt der Wettbewerb durch Arbitrageure den Wert von ε gegen null, könnten nicht-standardmäßige Präferenzen dennoch beobachtbar sein.

Es lässt sich zeigen, dass die Menge der Preise kohärent ist, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsaxiome und verwandte Ergebnisse wie das Inklusions-Exklusions-Prinzip erfüllt .

Das sogenannte „Dutch Book“-Argument lässt sich auf Gedankenexperimente der Wahrscheinlichkeitstheorie , wie beispielsweise das Dornröschen-Problem, anwenden . Philosophen wie Christopher Hitchcock argumentierten, dass Dornröschen dem „Dutch Book“-Argument unterliegt, wenn sie einer Sache eine Glaubwürdigkeit von 1/2 zuweist. ^{[ 5 ]} Es wurde argumentiert, dass man „Halfers“ durch die Anwendung der evidenzbasierten Entscheidungstheorie entgehen kann . Vincent Conitzer hingegen argumentiert, dass „Halfers“ auch nach Anwendung der evidenzbasierten Entscheidungstheorie weiterhin von „Dutch Books“ beeinflusst werden. ^{[ 6 ]}

• "Bayesianische Erkenntnistheorie"
• Niederländische Buchargumente in der Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Wahrscheinlichkeiten als Wettquoten, Bericht von C. Caves.
• Anmerkungen zum niederländischen Buchargument von D. A. Freedman.