Von Neumann-Morgensterns Nutzensatz

In der Entscheidungstheorie zeigt das Nutzentheorem von Neumann-Morgenstern ( VNM-Theorem ) , dass rationale Entscheidungen unter Unsicherheit darin bestehen, den Erwartungswert einer kardinalen Nutzenfunktion zu maximieren . Das Theorem bildet die Grundlage der Erwartungsnutzentheorie .

1947 bewiesen John von Neumann und Oskar Morgenstern , dass jedes Individuum, dessen Präferenzen vier Axiome erfüllen, eine Nutzenfunktion besitzt , wobei sich die Präferenzen dieses Individuums auf einer Intervallskala darstellen lassen und es stets Handlungen bevorzugt, die den erwarteten Nutzen maximieren. ^{[ 1 ]} Das heißt, sie bewiesen, dass ein Akteur (VNM-)rational ist, genau dann, wenn eine reellwertige Funktion u existiert , die durch mögliche Ergebnisse definiert ist, sodass jede Präferenz des Akteurs durch die Maximierung des Erwartungswerts von u charakterisiert ist. Dieser Erwartungswert kann dann als der VNM-Nutzen des Akteurs definiert werden (er ist bis auf positive affine Transformationen, d. h. Addition einer Konstanten und Multiplikation mit einem positiven Skalar, eindeutig). Es wird nicht behauptet, dass der Akteur ein „bewusstes Verlangen“ zur Maximierung von u hat , sondern lediglich, dass u existiert.

Der VNM-Nutzen ist ein Entscheidungsnutzen, da er zur Beschreibung von Entscheidungen verwendet wird . Er ist verwandt mit dem Nutzen des Benthamschen Utilitarismus, aber nicht notwendigerweise mit ihm gleichzusetzen . ^{[ 2 ]}

Im Theorem steht ein einzelner Akteur vor Optionen, die als Lotterien bezeichnet werden . Bei gegebenen sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ist eine Lotterie ein Szenario, in dem jedes Ergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt , wobei sich alle Wahrscheinlichkeiten zu eins addieren. Zum Beispiel für zwei Ergebnisse A und B :

${\displaystyle L=0.25A+0.75B}$

bezeichnet ein Szenario, in dem P ( A ) = 25 % die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A und P ( B ) = 75 % ist (und genau eines von beiden eintritt). Allgemeiner schreiben wir für eine Lotterie mit vielen möglichen Ergebnissen A _{_i}:

${\displaystyle L=\sum p_{i}A_{i},}$

wobei die Summe der s gleich 1 ist. ${\displaystyle p_{i}}$

Die Ergebnisse einer Lotterie können selbst Lotterien zwischen anderen Ergebnissen sein, und der erweiterte Ausdruck wird als äquivalente Lotterie betrachtet: 0,5(0,5 A  + 0,5 B ) + 0,5 C = 0,25 A  + 0,25 B  + 0,50 C .

Wird Lotterie M gegenüber Lotterie L bevorzugt , schreiben wir , oder äquivalent . Ist der Akteur zwischen L und  M indifferent , schreiben wir die Indifferenzrelation ^{[ 3 ].} Wird M entweder gegenüber L bevorzugt oder mit Indifferenz gegenüber L betrachtet , schreiben wir${\displaystyle M\succ L}$${\displaystyle L\prec M}$${\displaystyle L\sim M.}$${\displaystyle L\preceq M.}$

Die vier Axiome der VNM-Rationalität sind Vollständigkeit , Transitivität , Stetigkeit und Unabhängigkeit . Diese Axiome, mit Ausnahme der Stetigkeit, werden häufig mithilfe der niederländischen Buchsätze begründet (wobei die Stetigkeit dazu dient, lexikographische oder infinitesimale Nutzenfunktionen auszuschließen ).

Vollständigkeit setzt voraus, dass eine Person klar definierte Präferenzen hat:

Axiom 1 (Vollständigkeit) Für beliebige Lotterien und , entweder oder .${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \,L\succeq M}$${\displaystyle \,M\succeq L}$

(Das Individuum muss eine Präferenz oder Gleichgültigkeit zum Ausdruck bringen ^{[ 4 ]} ). Beachten Sie, dass dies Reflexivität impliziert .

Transitivität setzt voraus, dass die Präferenzen über drei beliebige Optionen hinweg konsistent sind:

Axiom 2 (Transitivität) Wenn und , dann .${\displaystyle \,L\succeq M}$${\displaystyle \,M\succeq N}$${\displaystyle \,L\succeq N}$

Axiom 1 and Axiom 2 together can be restated as the statement that the individual's preference is a total preorder.

Continuity assumes that there is a "tipping point" between being better than and worse than a given middle option:

Axiom 3 (Continuity): If ${\displaystyle \,L\preceq M\preceq N}$, then there exists a probability ${\displaystyle \,p\in [0,1]}$ such that

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\,\sim \,M}$

where the notation on the left side refers to a situation in which L is received with probability p and N is received with probability (1–p).

Instead of continuity, an alternative axiom can be assumed that does not involve a precise equality, called the Archimedean property.^[3] It says that any separation in preference can be maintained under a sufficiently small deviation in probabilities:

Axiom 3′ (Archimedean property): If ${\displaystyle \,L\prec M\prec N}$, then there exists a probability ${\displaystyle \,\varepsilon \in (0,1)}$ such that

${\displaystyle \,(1-\varepsilon )L+\varepsilon N\,\prec \,M\,\prec \,\varepsilon L+(1-\varepsilon )N.}$

Only one of (3) or (3′) need to be assumed, and the other will be implied by the theorem.

Independence assumes that a preference holds independently of the probability of another outcome.

Axiom 4 (Independence): For any ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle p\in [0,1)}$ (with the "irrelevant" part of the lottery underlined):

${\displaystyle L\preceq N\quad {\text{genau dann, wenn}}\quad \,(1-p)\,L+{\underline {pM}}\preceq (1-p)\,N+{\underline {pM}}}$

In other words, the probabilities involving ${\displaystyle M}$ cancel out and don't affect our decision, because the probability of ${\displaystyle M}$ is the same in both lotteries.

Note that the "if" direction is necessary for the theorem to work. Without that, we have this counterexample: there are only two outcomes ${\displaystyle A,B}$, and the agent is indifferent on ${\displaystyle \{pA+(1-p)B:p\in [0,1)\}}$, and strictly prefers all of them over ${\displaystyle A}$. This would violate the conclusion of the theorem. But using the "if" direction, we can argue that ${\displaystyle {\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}B\succeq {\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{2}}B}$ implies ${\displaystyle A\succeq B}$, thus excluding this counterexample.

The independence axiom implies the axiom on reduction of compound lotteries:^[5]

Axiom 4′ (Reduction of compound lotteries): For any lotteries ${\displaystyle L,L',N,N'}$ and any ${\displaystyle p,q\in [0,1]}$,

${\displaystyle {\text{if}}\qquad L\sim qL'+(1-q)N',}$

${\displaystyle {\text{then}}\quad pL+(1-p)N\sim pqL'+p(1-q)N'+(1-p)N.}$

To see how Axiom 4 implies Axiom 4', interchange ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle 1-p}$ and replace ${\displaystyle N\to qL'+(1-q)N'}$ and ${\displaystyle M\to N}$ in the expression in Axiom 4, and expand.

For any VNM-rational agent (i.e. satisfying axioms 1–4), there exists a function u which assigns to each outcome A a real number u(A) such that for any two lotteries,

${\displaystyle L\prec M\qquad \mathrm {if\,and\,only\,if} \qquad E(u(L))<E(u(M)),}$

where E(u(L)), or more briefly Eu(L) is given by

${\displaystyle Eu(p_{1}A_{1}+\cdots +p_{n}A_{n})=p_{1}u(A_{1})+\cdots +p_{n}u(A_{n}).}$

Somit lässt sich u (bis auf Addition einer Konstanten und Multiplikation mit einem positiven Skalar) eindeutig durch Präferenzen zwischen einfachen Lotterien bestimmen , also solchen der Form pA  + (1 −  p ) B mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Umgekehrt genügen die Präferenzen eines jeden Akteurs, der die Erwartung einer Funktion u maximiert, den Axiomen 1–4. Eine solche Funktion wird als von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion (VNM-Nutzenfunktion) des Akteurs bezeichnet .

Der Beweis ist konstruktiv: Er zeigt, wie die gewünschte Funktion konstruiert werden kann. Hier skizzieren wir den Konstruktionsprozess für den Fall, dass die Anzahl der sicheren Ergebnisse endlich ist. ^{[ 6 ] : 132–134} ${\displaystyle u}$

Angenommen, es gibt n sichere Ergebnisse . Jedes sichere Ergebnis kann als Lotterie betrachtet werden: Es handelt sich um eine degenerierte Lotterie, bei der das Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit 1 ausgewählt wird. Daher ist es aufgrund der Vollständigkeits- und Transitivitätsaxiome möglich, die Ergebnisse vom schlechtesten zum besten zu ordnen: ${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

Wir nehmen an, dass mindestens eine der Ungleichungen strikt ist (andernfalls wäre die Nutzenfunktion trivial – eine Konstante). Daher verwenden wir diese beiden Extremwerte – den schlechtesten und den besten – als Skalierungseinheit unserer Nutzenfunktion und definieren: ${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$

${\displaystyle u(A_{1})=0}$Und${\displaystyle u(A_{n})=1}$

Definiere für jede Wahrscheinlichkeit eine Lotterie, die mit der Wahrscheinlichkeit das beste Ergebnis und ansonsten das schlechteste Ergebnis auswählt: ${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

Beachten Sie, dass und . ${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$

Nach dem Stetigkeitsaxiom gibt es für jedes sichere Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit, sodass: ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$Die

Dann

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$Die

Für jedes ist die Nutzenfunktion für das Ergebnis wie folgt definiert: ${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

Der Nutzen jeder Lotterie entspricht also dem Erwartungswert von u : ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

Um zu verstehen, warum diese Nutzenfunktion mit den gegebenen Präferenzen übereinstimmt, betrachten wir eine Lotterie , die mit Wahrscheinlichkeit p ein Ergebnis auswählt . Laut unserer Annahme ist der Entscheidungsträger jedoch indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis und der Lotterie . Gemäß dem Reduktionsaxiom ist er daher indifferent zwischen der Lotterie und der folgenden Lotterie: ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_{i})\right)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

Bei einer Lotterie handelt es sich im Grunde um eine Lotterie, bei der mit der Wahrscheinlichkeit p das beste Ergebnis erzielt wird und ansonsten das schlechteste. ${\displaystyle M'}$${\displaystyle u(M)}$

Wenn also , würde ein rationaler Entscheidungsträger die Lotterie der Lotterie vorziehen , da sie ihm eine größere Chance auf das beste Ergebnis bietet. ${\displaystyle u(M)>u(L)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$

Somit:

${\displaystyle L\prec M\;}$nur dann, wenn${\displaystyle E(u(L))<E(u(M)).}$

Von Neumann und Morgenstern rechneten mit Überraschung über die Stärke ihrer Schlussfolgerung. Doch ihrer Ansicht nach funktioniert ihre Nutzenfunktion genau deshalb, weil sie so konstruiert ist, dass sie die Rolle von etwas erfüllt, dessen Erwartungswert maximiert wird:

"Many economists will feel that we are assuming far too much ... Have we not shown too much? ... As far as we can see, our postulates [are] plausible ... We have practically defined numerical utility as being that thing for which the calculus of mathematical expectations is legitimate." – VNM 1953, § 3.1.1 p.16 and § 3.7.1 p. 28^[1]

Thus, the content of the theorem is that the construction of u is possible, and they claim little about its nature.

It is often the case that a person, faced with real-world gambles with money, does not act to maximize the expected value of their dollar assets. For example, a person who only possesses $1000 in savings may be reluctant to risk it all for a 20% chance odds to win $10,000, even though

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

However, if the person is VNM-rational, such facts are automatically accounted for in their utility function u. In this example, we could conclude that

${\displaystyle 20\%u(\$10\,000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

where the dollar amounts here really represent outcomes (cf. "value"), the three possible situations the individual could face. In particular, u can exhibit properties like u($1)+u($1) ≠ u($2) without contradicting VNM-rationality at all. This leads to a quantitative theory of monetary risk aversion.

In 1738, Daniel Bernoulli published a treatise^[7] in which he posits that rational behavior can be described as maximizing the expectation of a function u, which in particular need not be monetary-valued, thus accounting for risk aversion. This is the expected utility hypothesis. As stated, the hypothesis may appear to be a bold claim. The aim of the expected utility theorem is to provide "modest conditions" (i.e. axioms) describing when the expected utility hypothesis holds, which can be evaluated directly and intuitively:

"The axioms should not be too numerous, their system is to be as simple and transparent as possible, and each axiom should have an immediate intuitive meaning by which its appropriateness may be judged directly. In a situation like ours this last requirement is particularly vital, in spite of its vagueness: we want to make an intuitive concept amenable to mathematical treatment and to see as clearly as possible what hypotheses this requires." – VNM 1953 § 3.5.2, p. 25^[1]

Behauptungen, die Erwartungsnutzenhypothese charakterisiere Rationalität nicht, müssen daher eines der Axiome des VNM ablehnen. Es sind verschiedene verallgemeinerte Erwartungsnutzentheorien entstanden, von denen die meisten das Unabhängigkeitsaxiom aufgeben oder abschwächen.

Da das Theorem keine Annahmen über die Art der möglichen Ergebnisse von Glücksspielen trifft, können diese moralisch bedeutsame Ereignisse sein, beispielsweise solche, die Leben, Tod, Krankheit oder Gesundheit anderer betreffen. Durch die Konstruktion/Definition einer geeigneten Nutzenfunktion kann ein nach dem Von-Neumann-Morgenstern-Theorem rational handelnder Akteur solche Ergebnisse berücksichtigen und persönlichen Wohlstand oder persönliches Wohlergehen zum Wohle der Gemeinschaft opfern. Anders ausgedrückt: Sowohl das, was gemeinhin als „persönlicher Gewinn“ wahrgenommen wird, als auch das, was gemeinhin als „Altruismus“ wahrgenommen wird, können in die Nutzenfunktion eines solchen Individuums einfließen. Daher ist mit verschiedenen Nutzenfunktionen das gesamte Spektrum von akteurszentrierten bis hin zu akteursneutralen Verhaltensweisen möglich.

Wenn der Nutzen von A dem von B entspricht , muss ein rationaler Agent nach von Neumann-Morgenstern zwischen A und B indifferent sein . Ein agentenorientierter rationaler Agent nach von Neumann-Morgenstern kann daher keine gleichmäßigeren oder „faireren“ Nutzenverteilungen zwischen seinen möglichen zukünftigen Selbst bevorzugen. ${\displaystyle N}$${\displaystyle pM}$${\displaystyle 1N}$${\displaystyle pM+(1-p)0}$

Einige utilitaristische Moraltheorien befassen sich mit Größen wie dem „Gesamtnutzen“ und dem „durchschnittlichen Nutzen“ von Kollektiven und charakterisieren Moral dadurch, dass sie den Nutzen oder das Glück anderer unter Missachtung des eigenen Nutzens oder Glücks bevorzugt. Diese Konzepte können mit dem VNM-Nutzen in Verbindung gebracht werden, sind aber von ihm zu unterscheiden.

• 1) Der VNM-Nutzen ist ein Entscheidungsnutzen : ^{[ 2 ]} Er ist das, wonach man entscheidet, und kann daher definitionsgemäß nicht etwas sein, das man außer Acht lässt.
• 2) Der VNM-Nutzen ist nicht kanonisch additiv über mehrere Individuen hinweg (siehe Einschränkungen), daher sind „Gesamt-VNM-Nutzen“ und „durchschnittlicher VNM-Nutzen“ nicht unmittelbar aussagekräftig (eine Art Normalisierungsannahme ist erforderlich).

Der Begriff E-Nutzen für „Erfahrungsnutzen“ wurde geprägt ^{[ 2 ]} , um hedonistische Nutzenformen wie Benthams Prinzip des größten Glücks zu bezeichnen . Da Moral Entscheidungen beeinflusst, wirken sich die Moralvorstellungen eines VNM-rationalen Akteurs auf die Definition seiner eigenen Nutzenfunktion aus (siehe oben). Die Moral eines VNM-rationalen Akteurs lässt sich daher unter anderem durch die Korrelation seines VNM-Nutzens mit dem VNM-Nutzen, dem E-Nutzen oder dem „Glück“ anderer charakterisieren, jedoch nicht durch die Missachtung des eigenen VNM-Nutzens – ein Widerspruch in sich.

Da, wenn L und M Lotterien sind, pL  + (1 −  p ) M einfach „ausgeweitet“ und selbst als Lotterie betrachtet wird, ignoriert der VNM-Formalismus das, was als „verschachteltes Glücksspiel“ erlebt werden kann. Dies hängt mit dem Ellsberg-Problem zusammen, bei dem Menschen die Wahrnehmung von Risiken vermeiden . Von Neumann und Morgenstern erkannten diese Einschränkung.

„…Konzepte wie der spezifische Nutzen des Glücksspiels lassen sich auf dieser Ebene nicht widerspruchsfrei formulieren. Dies mag paradox erscheinen. Doch jeder, der ernsthaft versucht hat, diesen schwer fassbaren Begriff zu axiomatisieren, wird ihm wohl zustimmen.“ – VNM 1953 § 3.7.1, S. 28. ^{[ 1 ]}

Da die VNM-Nutzenfunktionen u_{_X} und u_Y zweier VNM-Agenten X und _Y nur bis auf additive Konstanten und multiplikative positive Skalare bestimmt sind, liefert der Satz keine kanonische Vergleichsmöglichkeit. Daher sind Ausdrücke wie u _{_X} ( L ) + u _{_Y} ( L ) und u _{_X} ( L ) −  u_{_Y} ( L ) nicht kanonisch definiert, und Vergleiche wie u _{_X} ( L ) <  u _{_Y} ( L ) sind weder kanonisch wahr noch falsch. Insbesondere sind die zuvor erwähnten „Gesamt-VNM-Nutzen“ und „durchschnittlichen VNM-Nutzen“ einer Population ohne Normalisierungsannahmen nicht kanonisch sinnvoll.

Es hat sich gezeigt, dass die Hypothese des erwarteten Nutzens in einer Reihe von empirischen Laborexperimenten, wie beispielsweise dem Allais-Paradoxon , keine perfekte Vorhersagegenauigkeit aufweist .

• Savages subjektives Erwartungsnutzenmodell
• Anscombe-Aumann-Modell des subjektiven erwarteten Nutzens
• Mischungsraumsatz