Von Neumann-Morgensterns Nutzensatz

In der Entscheidungstheorie zeigt das Nutzentheorem von Neumann-Morgenstern ( VNM-Theorem ) , dass rationale Entscheidungen unter Unsicherheit darin bestehen, den Erwartungswert einer kardinalen Nutzenfunktion zu maximieren . Das Theorem bildet die Grundlage der Erwartungsnutzentheorie .

1947 bewiesen John von Neumann und Oskar Morgenstern , dass jedes Individuum, dessen Präferenzen vier Axiome erfüllen, eine Nutzenfunktion besitzt , wobei sich die Präferenzen dieses Individuums auf einer Intervallskala darstellen lassen und es stets Handlungen bevorzugt, die den erwarteten Nutzen maximieren. ^{[ 1 ]} Das heißt, sie bewiesen, dass ein Akteur (VNM-)rational ist, genau dann, wenn eine reellwertige Funktion u existiert , die durch mögliche Ergebnisse definiert ist, sodass jede Präferenz des Akteurs durch die Maximierung des Erwartungswerts von u charakterisiert ist. Dieser Erwartungswert kann dann als der VNM-Nutzen des Akteurs definiert werden (er ist bis auf positive affine Transformationen, d. h. Addition einer Konstanten und Multiplikation mit einem positiven Skalar, eindeutig). Es wird nicht behauptet, dass der Akteur ein „bewusstes Verlangen“ zur Maximierung von u hat , sondern lediglich, dass u existiert.

Der VNM-Nutzen ist ein Entscheidungsnutzen, da er zur Beschreibung von Entscheidungen verwendet wird . Er ist verwandt mit dem Nutzen des Benthamschen Utilitarismus, aber nicht notwendigerweise mit ihm gleichzusetzen . ^{[ 2 ]}

Im Theorem steht ein einzelner Akteur vor Optionen, die als Lotterien bezeichnet werden . Bei gegebenen sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ist eine Lotterie ein Szenario, in dem jedes Ergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt , wobei sich alle Wahrscheinlichkeiten zu eins addieren. Zum Beispiel für zwei Ergebnisse A und B :

${\displaystyle L=0.25A+0.75B}$

bezeichnet ein Szenario, in dem P ( A ) = 25 % die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A und P ( B ) = 75 % ist (und genau eines von beiden eintritt). Allgemeiner schreiben wir für eine Lotterie mit vielen möglichen Ergebnissen A _{_i}:

${\displaystyle L=\sum p_{i}A_{i},}$

wobei die Summe der s gleich 1 ist. ${\displaystyle p_{i}}$

Die Ergebnisse einer Lotterie können selbst Lotterien zwischen anderen Ergebnissen sein, und der erweiterte Ausdruck wird als äquivalente Lotterie betrachtet: 0,5(0,5 A  + 0,5 B ) + 0,5 C = 0,25 A  + 0,25 B  + 0,50 C .

Wird Lotterie M gegenüber Lotterie L bevorzugt , schreiben wir , oder äquivalent . Ist der Akteur zwischen L und  M indifferent , schreiben wir die Indifferenzrelation ^{[ 3 ].} Wird M entweder gegenüber L bevorzugt oder mit Indifferenz gegenüber L betrachtet , schreiben wir${\displaystyle M\succ L}$${\displaystyle L\prec M}$${\displaystyle L\sim M.}$${\displaystyle L\preceq M.}$

Die vier Axiome der VNM-Rationalität sind Vollständigkeit , Transitivität , Stetigkeit und Unabhängigkeit . Diese Axiome, mit Ausnahme der Stetigkeit, werden häufig mithilfe der niederländischen Buchsätze begründet (wobei die Stetigkeit dazu dient, lexikographische oder infinitesimale Nutzenfunktionen auszuschließen ).

Vollständigkeit setzt voraus, dass eine Person klar definierte Präferenzen hat:

Axiom 1 (Vollständigkeit) Für beliebige Lotterien und , entweder oder .${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \,L\succeq M}$${\displaystyle \,M\succeq L}$

(Das Individuum muss eine Präferenz oder Gleichgültigkeit zum Ausdruck bringen ^{[ 4 ]} ). Beachten Sie, dass dies Reflexivität impliziert .

Transitivität setzt voraus, dass die Präferenzen über drei beliebige Optionen hinweg konsistent sind:

Axiom 2 (Transitivität) Wenn und , dann .${\displaystyle \,L\succeq M}$${\displaystyle \,M\succeq N}$${\displaystyle \,L\succeq N}$

Axiom 1 und Axiom 2 lassen sich zusammenfassen als die Aussage, dass die Präferenz des Individuums eine totale Präordnung ist .

Die Theorie der Kontinuität setzt voraus, dass es einen „Wendepunkt“ gibt, an dem eine Option besser oder schlechter als eine gegebene mittlere Option ist:

Axiom 3 (Stetigkeit): Wenn , dann existiert eine Wahrscheinlichkeit , sodass ${\displaystyle \,L\preceq M\preceq N}$${\displaystyle \,p\in [0,1]}$

${\displaystyle \,pL+(1-p)N\,\sim \,M}$

wobei die Notation auf der linken Seite sich auf eine Situation bezieht, in der L mit Wahrscheinlichkeit p empfangen wird und N mit Wahrscheinlichkeit (1– p ) empfangen wird .

Anstelle der Stetigkeit kann ein alternatives Axiom angenommen werden, das keine exakte Gleichheit beinhaltet, die sogenannte archimedische Eigenschaft . ^{[ 3 ]} Sie besagt, dass jede Trennung in den Präferenzen bei einer hinreichend kleinen Abweichung der Wahrscheinlichkeiten aufrechterhalten werden kann:

Axiom 3′ (Archimedische Eigenschaft): Wenn , dann existiert eine Wahrscheinlichkeit , sodass${\displaystyle \,L\prec M\prec N}$${\displaystyle \,\varepsilon \in (0,1)}$

${\displaystyle \,(1-\varepsilon )L+\varepsilon N\,\prec \,M\,\prec \,\varepsilon L+(1-\varepsilon )N.}$

Es genügt, eine der beiden Bedingungen (3) oder (3′) anzunehmen; die andere ergibt sich aus dem Theorem.

Unabhängigkeit setzt voraus, dass eine Präferenz unabhängig von der Wahrscheinlichkeit eines anderen Ergebnisses gilt.

Axiom 4 (Unabhängigkeit): Für jedes und (wobei der "irrelevante" Teil der Lotterie unterstrichen ist):${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in [0,1)}$

${\displaystyle L\preceq N\quad {\text{genau dann, wenn}}\quad \,(1-p)\,L+{\underline {pM}}\preceq (1-p)\,N+{\underline {pM}}}$

Anders ausgedrückt: Die Wahrscheinlichkeiten heben sich auf und haben keinen Einfluss auf unsere Entscheidung, da die Wahrscheinlichkeit von in beiden Lotterien gleich ist. ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Beachten Sie, dass die „Wenn“-Richtung für die Gültigkeit des Theorems notwendig ist. Ohne sie ergibt sich folgendes Gegenbeispiel: Es gibt nur zwei Ergebnisse , und der Akteur ist indifferent zwischen den beiden und bevorzugt alle drei strikt gegenüber dem ersten . Dies würde die Aussage des Theorems verletzen. Mithilfe der „Wenn“-Richtung lässt sich jedoch argumentieren, dass dies die zweite Option impliziert , wodurch dieses Gegenbeispiel ausgeschlossen wird. ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \{pA+(1-p)B:p\in [0,1)\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}A+{\frac {1}{2}}B\succeq {\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{2}}B}$${\displaystyle A\succeq B}$

Das Unabhängigkeitsaxiom impliziert das Reduktionsaxiom zusammengesetzter Lotterien: ^{[ 5 ]}

Axiom 4′ (Reduktion zusammengesetzter Lotterien): Für beliebige Lotterien und beliebige ,${\displaystyle L,L',N,N'}$${\displaystyle p,q\in [0,1]}$

${\displaystyle {\text{if}}\qquad L\sim qL'+(1-q)N',}$

${\displaystyle {\text{then}}\quad pL+(1-p)N\sim pqL'+p(1-q)N'+(1-p)N.}$

Um zu sehen, wie Axiom 4 Axiom 4' impliziert, vertauschen Sie und und ersetzen Sie und im Ausdruck in Axiom 4 und erweitern Sie. ${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle N\to qL'+(1-q)N'}$${\displaystyle M\to N}$

Für jeden VNM-rationalen Agenten (d. h. der die Axiome 1–4 erfüllt) existiert eine Funktion u , die jedem Ergebnis A eine reelle Zahl u(A) zuordnet , so dass für je zwei Lotterien gilt:

${\displaystyle L\prec M\qquad \mathrm {if\,and\,only\,if} \qquad E(u(L))<E(u(M)),}$

wobei E(u(L)) , oder kürzer Eu ( L ), gegeben ist durch

${\displaystyle Eu(p_{1}A_{1}+\cdots +p_{n}A_{n})=p_{1}u(A_{1})+\cdots +p_{n}u(A_{n}).}$

Somit lässt sich u (bis auf Addition einer Konstanten und Multiplikation mit einem positiven Skalar) eindeutig durch Präferenzen zwischen einfachen Lotterien bestimmen , also solchen der Form pA  + (1 −  p ) B mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Umgekehrt genügen die Präferenzen eines jeden Akteurs, der die Erwartung einer Funktion u maximiert, den Axiomen 1–4. Eine solche Funktion wird als von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion (VNM-Nutzenfunktion) des Akteurs bezeichnet .

Der Beweis ist konstruktiv: Er zeigt, wie die gewünschte Funktion konstruiert werden kann. Hier skizzieren wir den Konstruktionsprozess für den Fall, dass die Anzahl der sicheren Ergebnisse endlich ist. ^{[ 6 ] : 132–134} ${\displaystyle u}$

Angenommen, es gibt n sichere Ergebnisse . Jedes sichere Ergebnis kann als Lotterie betrachtet werden: Es handelt sich um eine degenerierte Lotterie, bei der das Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit 1 ausgewählt wird. Daher ist es aufgrund der Vollständigkeits- und Transitivitätsaxiome möglich, die Ergebnisse vom schlechtesten zum besten zu ordnen: ${\displaystyle A_{1}\dots A_{n}}$

${\displaystyle A_{1}\preceq A_{2}\preceq \cdots \preceq A_{n}}$

Wir nehmen an, dass mindestens eine der Ungleichungen strikt ist (andernfalls wäre die Nutzenfunktion trivial – eine Konstante). Daher verwenden wir diese beiden Extremwerte – den schlechtesten und den besten – als Skalierungseinheit unserer Nutzenfunktion und definieren: ${\displaystyle A_{1}\prec A_{n}}$

${\displaystyle u(A_{1})=0}$Und${\displaystyle u(A_{n})=1}$

Definiere für jede Wahrscheinlichkeit eine Lotterie, die mit der Wahrscheinlichkeit das beste Ergebnis und ansonsten das schlechteste Ergebnis auswählt: ${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle L(p)=p\cdot A_{n}+(1-p)\cdot A_{1}}$

Beachten Sie, dass und . ${\displaystyle L(0)\sim A_{1}}$${\displaystyle L(1)\sim A_{n}}$

Nach dem Stetigkeitsaxiom gibt es für jedes sichere Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit, sodass: ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle L(q_{i})\sim A_{i}}$Die

Dann

${\displaystyle 0=q_{1}\leq q_{2}\leq \cdots \leq q_{n}=1}$Die

Für jedes ist die Nutzenfunktion für das Ergebnis wie folgt definiert: ${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle u(A_{i})=q_{i}}$

Der Nutzen jeder Lotterie entspricht also dem Erwartungswert von u : ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$

${\displaystyle u(M)=u\left(\sum _{i}p_{i}A_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}u(A_{i})=\sum _{i}p_{i}q_{i}}$

Um zu verstehen, warum diese Nutzenfunktion mit den gegebenen Präferenzen übereinstimmt, betrachten wir eine Lotterie , die mit Wahrscheinlichkeit p ein Ergebnis auswählt . Laut unserer Annahme ist der Entscheidungsträger jedoch indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis und der Lotterie . Gemäß dem Reduktionsaxiom ist er daher indifferent zwischen der Lotterie und der folgenden Lotterie: ${\displaystyle M=\sum _{i}p_{i}A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'=\sum _{i}p_{i}[q_{i}\cdot A_{n}+(1-q_{i})\cdot A_{1}]}$

${\displaystyle M'=\left(\sum _{i}p_{i}q_{i}\right)\cdot A_{n}+\left(\sum _{i}p_{i}(1-q_{i})\right)\cdot A_{1}}$

${\displaystyle M'=u(M)\cdot A_{n}+(1-u(M))\cdot A_{1}}$

Bei einer Lotterie handelt es sich im Grunde um eine Lotterie, bei der mit der Wahrscheinlichkeit p das beste Ergebnis erzielt wird und ansonsten das schlechteste. ${\displaystyle M'}$${\displaystyle u(M)}$

Wenn also , würde ein rationaler Entscheidungsträger die Lotterie der Lotterie vorziehen , da sie ihm eine größere Chance auf das beste Ergebnis bietet. ${\displaystyle u(M)>u(L)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$

Somit:

${\displaystyle L\prec M\;}$nur dann, wenn${\displaystyle E(u(L))<E(u(M)).}$

Von Neumann und Morgenstern rechneten mit Überraschung über die Stärke ihrer Schlussfolgerung. Doch ihrer Ansicht nach funktioniert ihre Nutzenfunktion genau deshalb, weil sie so konstruiert ist, dass sie die Rolle von etwas erfüllt, dessen Erwartungswert maximiert wird:

„Viele Ökonomen werden der Ansicht sein, dass wir viel zu viel annehmen … Haben wir nicht zu viel gezeigt? … Soweit wir sehen können, sind unsere Postulate plausibel … Wir haben den numerischen Nutzen praktisch als das definiert, wofür die Berechnung mathematischer Erwartungswerte legitim ist.“ – VNM 1953, § 3.1.1 S. 16 und § 3.7.1 S. 28 ^{[ 1 ]}

Der Inhalt des Theorems besteht also darin, dass die Konstruktion von u möglich ist, und es wird wenig über dessen Natur ausgesagt.

Es kommt häufig vor, dass Menschen, die im realen Leben mit Geld spielen , nicht so handeln, dass sie den erwarteten Wert ihres Vermögens maximieren. Beispielsweise wird jemand, der nur 1000 Dollar Ersparnisse besitzt, zögern, alles für eine 20%ige Gewinnchance von 10.000 Dollar zu riskieren, obwohl…

${\displaystyle 20\%(\$10\,000)+80\%(\$0)=\$2000>100\%(\$1000)}$

Wenn die Person jedoch VNM-rational handelt, werden solche Fakten automatisch in ihrer Nutzenfunktion u berücksichtigt . In diesem Beispiel könnten wir schlussfolgern, dass

${\displaystyle 20\%u(\$10\,000)+80\%u(\$0)<u(\$1000)}$

Die Dollarbeträge repräsentieren hier tatsächlich Ergebnisse (vgl. „ Wert “), nämlich die drei möglichen Situationen, denen sich das Individuum gegenübersehen kann. Insbesondere kann u Eigenschaften wie u (1) + u (1) ≠ u (2) aufweisen, ohne der VNM-Rationalität zu widersprechen. Dies führt zu einer quantitativen Theorie der monetären Risikoaversion.

1738 veröffentlichte Daniel Bernoulli eine Abhandlung ^{[ 7 ],} in der er postuliert, dass rationales Verhalten als Maximierung des Erwartungswerts einer Funktion u beschrieben werden kann , die insbesondere keinen monetären Wert haben muss, wodurch die Risikoaversion erklärt wird. Dies ist die Erwartungsnutzenhypothese . Wie bereits erwähnt, mag die Hypothese eine gewagte Behauptung sein. Ziel des Erwartungsnutzentheorems ist es, „bescheidene Bedingungen“ (d. h. Axiome) anzugeben, die beschreiben, wann die Erwartungsnutzenhypothese gilt und die direkt und intuitiv überprüft werden können.

„Die Axiome sollten nicht zu zahlreich sein, ihr System so einfach und transparent wie möglich, und jedes Axiom sollte eine unmittelbare intuitive Bedeutung haben, anhand derer seine Angemessenheit direkt beurteilt werden kann. In einer Situation wie der unseren ist diese letzte Anforderung trotz ihrer Unbestimmtheit besonders wichtig: Wir wollen einen intuitiven Begriff mathematisch handhabbar machen und möglichst klar erkennen, welche Hypothesen dies erfordert.“ – VNM 1953 § 3.5.2, S. 25 ^{[ 1 ]}

Behauptungen, die Erwartungsnutzenhypothese charakterisiere Rationalität nicht, müssen daher eines der Axiome des VNM ablehnen. Es sind verschiedene verallgemeinerte Erwartungsnutzentheorien entstanden, von denen die meisten das Unabhängigkeitsaxiom aufgeben oder abschwächen.

Da das Theorem keine Annahmen über die Art der möglichen Ergebnisse von Glücksspielen trifft, können diese moralisch bedeutsame Ereignisse sein, beispielsweise solche, die Leben, Tod, Krankheit oder Gesundheit anderer betreffen. Durch die Konstruktion/Definition einer geeigneten Nutzenfunktion kann ein nach dem Von-Neumann-Morgenstern-Theorem rational handelnder Akteur solche Ergebnisse berücksichtigen und persönlichen Wohlstand oder persönliches Wohlergehen zum Wohle der Gemeinschaft opfern. Anders ausgedrückt: Sowohl das, was gemeinhin als „persönlicher Gewinn“ wahrgenommen wird, als auch das, was gemeinhin als „Altruismus“ wahrgenommen wird, können in die Nutzenfunktion eines solchen Individuums einfließen. Daher ist mit verschiedenen Nutzenfunktionen das gesamte Spektrum von akteurszentrierten bis hin zu akteursneutralen Verhaltensweisen möglich.

Wenn der Nutzen von A dem von B entspricht , muss ein rationaler Agent nach von Neumann-Morgenstern zwischen A und B indifferent sein . Ein agentenorientierter rationaler Agent nach von Neumann-Morgenstern kann daher keine gleichmäßigeren oder „faireren“ Nutzenverteilungen zwischen seinen möglichen zukünftigen Selbst bevorzugen. ${\displaystyle N}$${\displaystyle pM}$${\displaystyle 1N}$${\displaystyle pM+(1-p)0}$

Einige utilitaristische Moraltheorien befassen sich mit Größen wie dem „Gesamtnutzen“ und dem „durchschnittlichen Nutzen“ von Kollektiven und charakterisieren Moral dadurch, dass sie den Nutzen oder das Glück anderer unter Missachtung des eigenen Nutzens oder Glücks bevorzugt. Diese Konzepte können mit dem VNM-Nutzen in Verbindung gebracht werden, sind aber von ihm zu unterscheiden.

• 1) Der VNM-Nutzen ist ein Entscheidungsnutzen : ^{[ 2 ]} Er ist das, wonach man entscheidet, und kann daher definitionsgemäß nicht etwas sein, das man außer Acht lässt.
• 2) Der VNM-Nutzen ist nicht kanonisch additiv über mehrere Individuen hinweg (siehe Einschränkungen), daher sind „Gesamt-VNM-Nutzen“ und „durchschnittlicher VNM-Nutzen“ nicht unmittelbar aussagekräftig (eine Art Normalisierungsannahme ist erforderlich).

Der Begriff E-Nutzen für „Erfahrungsnutzen“ wurde geprägt ^{[ 2 ]} , um hedonistische Nutzenformen wie Benthams Prinzip des größten Glücks zu bezeichnen . Da Moral Entscheidungen beeinflusst, wirken sich die Moralvorstellungen eines VNM-rationalen Akteurs auf die Definition seiner eigenen Nutzenfunktion aus (siehe oben). Die Moral eines VNM-rationalen Akteurs lässt sich daher unter anderem durch die Korrelation seines VNM-Nutzens mit dem VNM-Nutzen, dem E-Nutzen oder dem „Glück“ anderer charakterisieren, jedoch nicht durch die Missachtung des eigenen VNM-Nutzens – ein Widerspruch in sich.

Da, wenn L und M Lotterien sind, pL  + (1 −  p ) M einfach „ausgeweitet“ und selbst als Lotterie betrachtet wird, ignoriert der VNM-Formalismus das, was als „verschachteltes Glücksspiel“ erlebt werden kann. Dies hängt mit dem Ellsberg-Problem zusammen, bei dem Menschen die Wahrnehmung von Risiken vermeiden . Von Neumann und Morgenstern erkannten diese Einschränkung.

„…Konzepte wie der spezifische Nutzen des Glücksspiels lassen sich auf dieser Ebene nicht widerspruchsfrei formulieren. Dies mag paradox erscheinen. Doch jeder, der ernsthaft versucht hat, diesen schwer fassbaren Begriff zu axiomatisieren, wird ihm wohl zustimmen.“ – VNM 1953 § 3.7.1, S. 28. ^{[ 1 ]}

Da die VNM-Nutzenfunktionen u_{_X} und u_Y zweier VNM-Agenten X und _Y nur bis auf additive Konstanten und multiplikative positive Skalare bestimmt sind, liefert der Satz keine kanonische Vergleichsmöglichkeit. Daher sind Ausdrücke wie u _{_X} ( L ) + u _{_Y} ( L ) und u _{_X} ( L ) −  u_{_Y} ( L ) nicht kanonisch definiert, und Vergleiche wie u _{_X} ( L ) <  u _{_Y} ( L ) sind weder kanonisch wahr noch falsch. Insbesondere sind die zuvor erwähnten „Gesamt-VNM-Nutzen“ und „durchschnittlichen VNM-Nutzen“ einer Population ohne Normalisierungsannahmen nicht kanonisch sinnvoll.

Es hat sich gezeigt, dass die Hypothese des erwarteten Nutzens in einer Reihe von empirischen Laborexperimenten, wie beispielsweise dem Allais-Paradoxon , keine perfekte Vorhersagegenauigkeit aufweist .

• Savages subjektives Erwartungsnutzenmodell
• Anscombe-Aumann subjektives Erwartungsnutzenmodell
• Mischungsraumsatz