Komplexe Analyse

Die komplexe Analysis , traditionell als Funktionentheorie komplexer Variablen bekannt , ist der Teilbereich der Analysis , der Funktionen komplexer Variablen oder komplexer Zahlen untersucht . Sie ist in vielen Bereichen der Mathematik hilfreich, darunter Funktionalanalysis , algebraische Geometrie , Zahlentheorie , analytische Kombinatorik und angewandte Mathematik , sowie in der Physik , insbesondere in den Bereichen Hydrodynamik , Thermodynamik , Quantenmechanik und Twistortheorie . Darüber hinaus findet die komplexe Analysis auch Anwendung in Ingenieurwissenschaften wie der Kerntechnik , der Luft- und Raumfahrttechnik , dem Maschinenbau und der Elektrotechnik . ^{[ 1 ]}

Auf den ersten Blick ist die komplexe Analysis die Untersuchung holomorpher Funktionen , also differenzierbarer Funktionen einer komplexen Variablen. Im Gegensatz zur reellen Analysis ist eine holomorphe Funktion stets unendlich oft differenzierbar und gleich der Summe ihrer Taylorreihe in einer Umgebung jedes Punktes ihres Definitionsbereichs . Dies führt dazu, dass sich Methoden und Ergebnisse der komplexen Analysis wesentlich von denen der reellen Analysis unterscheiden. Auch bei der Konturintegration verhalten sich komplexe Funktionen ganz anders : Das Integral einer holomorphen Funktion entlang einer Kontur in der komplexen Ebene hängt nicht von den Details der Kontur ab, sondern nur davon, wie sie die Singularitäten der Funktion umschließt. Die Möglichkeit, eine gegebene Kontur durch eine geeignetere zu ersetzen, führt oft zu erheblichen Vereinfachungen in Beweisen.

Die Theorie mehrerer komplexer Variablen verallgemeinert die Theorie komplexer Funktionen einer Variablen auf mehr als eine komplexe Dimension. Während viele Techniken der Theorie einer komplexen Variablen in diesem Kontext verwendet und verallgemeinert werden, nutzt die Theorie mehrerer komplexer Variablen zusätzliche Techniken wie Banachalgebren und Garbentheorie . Sie befasst sich häufig mit Fragestellungen der algebraischen Geometrie und symmetrischer Räume .

Die komplexe Analysis zählt zu den klassischen Zweigen der Mathematik und hat ihre Wurzeln im 18. Jahrhundert und davor. Zu den bedeutenden Mathematikern, die sich mit komplexen Zahlen befassten, gehören Euler , Gauß , Riemann , Cauchy , Weierstrass und viele weitere im 20. Jahrhundert. Die komplexe Analysis, insbesondere die Theorie der konformen Abbildungen , findet zahlreiche physikalische Anwendungen und ist auch in der analytischen Zahlentheorie weit verbreitet. In der Neuzeit hat sie durch die komplexe Dynamik und die Darstellung von Fraktalen, die durch die Iteration holomorpher Funktionen entstehen, einen neuen Aufschwung erlebt . Eine weitere wichtige Anwendung der komplexen Analysis findet sich in der Stringtheorie , die konforme Invarianten in der Quantenfeldtheorie untersucht .

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion von komplexen Zahlen in komplexe Zahlen. Anders ausgedrückt: Sie ist eine Funktion, deren Definitionsbereich eine Teilmenge der komplexen Zahlen und deren Wertebereich die komplexen Zahlen selbst sind. Im Allgemeinen wird angenommen, dass der Definitionsbereich komplexer Funktionen eine nichtleere offene Teilmenge der komplexen Ebene enthält .

Bei jeder komplexen Funktion können die Werte aus dem Definitionsbereich und ihre Bilder im Wertebereich in Real- und Imaginärteil zerlegt werden : ${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ und }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

wobei alle Werte reellwertig sind. ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

Mit anderen Worten, eine komplexe Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen ( , ) zweier reeller Variablen ( , ) zerlegt werden: ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$Und${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$

Eine komplexe Funktion ist genau dann stetig , wenn ihre zugehörige vektorwertige Funktion zweier Variablen ebenfalls stetig ist. Diese Gleichsetzung lässt sich jedoch nicht auf die Differenzierbarkeit übertragen . Die Definition der Ableitung einer komplexen Funktion ähnelt zwar derjenigen einer reellen Funktion, aber die Differenzierbarkeit der zugehörigen reellen Funktion zweier Variablen impliziert nicht die Existenz der Ableitung der komplexen Funktion. Insbesondere besitzt eine komplexe Funktion Ableitungen jeder Ordnung, und diese Ableitungen entsprechen der Summe ihrer Taylorreihe in einer Umgebung jedes Punktes ihres Definitionsbereichs.

Daraus folgt, dass zwei differenzierbare Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes gleich sind, auch auf dem Schnittpunkt ihrer Definitionsbereiche gleich sind, sofern die Definitionsbereiche zusammenhängend sind . Diese Eigenschaft bildet die Grundlage des Prinzips der analytischen Fortsetzung , welches es erlaubt, jede reelle oder komplexe analytische Funktion auf eindeutige Weise zu einer komplexen analytischen Funktion fortzusetzen, deren Definitionsbereich die gesamte komplexe Ebene abzüglich einer endlichen Anzahl entfernter Kurvenbögen ist . Viele grundlegende und spezielle komplexe Funktionen sind auf diese Weise definiert, darunter die komplexe Exponentialfunktion , komplexe Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen .

Komplexe Funktionen, die in jedem Punkt einer offenen Teilmenge der komplexen Ebene differenzierbar sind , heißen holomorph auf . Im Kontext der komplexen Analysis ist die Ableitung von an der Stelle definiert als ^{[ 2 ].}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Oberflächlich betrachtet ist diese Definition formal analog zu der der Ableitung einer reellen Funktion. Komplexe Ableitungen und differenzierbare Funktionen verhalten sich jedoch deutlich anders als ihre reellen Pendants. Insbesondere muss der Wert des Differenzenquotienten für die Existenz dieses Grenzwerts unabhängig von der Art der Annäherung in der komplexen Ebene gegen dieselbe komplexe Zahl konvergieren. Folglich hat die komplexe Differenzierbarkeit wesentlich stärkere Implikationen als die reelle Differenzierbarkeit. Beispielsweise sind holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar , während die Existenz der n- ten Ableitung bei reellen Funktionen nicht zwangsläufig die Existenz der ( n +1)-ten Ableitung impliziert. Darüber hinaus erfüllen alle holomorphen Funktionen die stärkere Bedingung der Analytizität , was bedeutet, dass die Funktion an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass holomorphe Funktionen auf beliebig gut durch Polynome in einer Umgebung jedes Punktes in approximiert werden können . Dies steht im deutlichen Gegensatz zu differenzierbaren reellen Funktionen. Es gibt unendlich viele reelle Funktionen, die nirgends analytisch sind; siehe Nicht-analytische glatte Funktion § Eine glatte Funktion, die nirgends reell analytisch ist . ${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

Die meisten elementaren Funktionen, einschließlich der Exponentialfunktion , der trigonometrischen Funktionen und aller Polynomfunktionen , die mit geeigneten komplexen Argumenten als Funktionen erweitert werden , sind holomorph über der gesamten komplexen Ebene und somit ganze Funktionen . Rationale Funktionen hingegen , wobei p und q Polynome sind, sind holomorph auf Definitionsbereichen, die Punkte ausschließen, für die q gleich null ist. Solche Funktionen, die überall außer in einer Menge isolierter Punkte holomorph sind, werden als meromorphe Funktionen bezeichnet . Die Funktionen , , und sind hingegen nirgendwo in der komplexen Ebene holomorph, wie man daran erkennen kann, dass sie die Cauchy-Riemann-Bedingungen nicht erfüllen (siehe unten). ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle z\mapsto \Re(z)}$${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

Eine wichtige Eigenschaft holomorpher Funktionen ist die Beziehung zwischen den partiellen Ableitungen ihrer Real- und Imaginärteile, bekannt als die Cauchy-Riemann-Bedingungen . Wenn eine Funktion, definiert durch , wobei , auf einem Gebiet holomorph ist , dann gilt für alle , ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{wobei }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

Bezogen auf den Real- und Imaginärteil der Funktion, u und v , entspricht dies dem Gleichungspaar u = u + v und v = v + v, wobei die Indizes partielle Differentiationen bezeichnen. Allerdings charakterisieren die Cauchy-Riemann-Bedingungen holomorphe Funktionen nicht ohne zusätzliche Stetigkeitsbedingungen (siehe Satz von Looman-Menchoff ). ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

Holomorphe Funktionen weisen einige bemerkenswerte Eigenschaften auf. So besagt beispielsweise der Satz von Picard , dass der Bildbereich einer ganzen Funktion nur drei mögliche Formen annehmen kann: , oder für ein bestimmtes . Anders ausgedrückt: Wenn zwei verschiedene komplexe Zahlen und nicht im Bildbereich einer ganzen Funktion liegen , dann ist eine Funktion konstant. Darüber hinaus ist eine holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Menge durch ihre Einschränkung auf eine beliebige nichtleere offene Teilmenge bestimmt. ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$${\displaystyle \{z_{0}\}}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

In der Mathematik ist eine konforme Abbildung eine Funktion , die lokal Winkel erhält , aber nicht notwendigerweise Längen.

Formaler ausgedrückt: Seien und offene Teilmengen von . Eine Funktion heißt konform (oder winkelerhaltend) in einem Punkt , wenn sie Winkel zwischen gerichteten Kurven durch erhält und gleichzeitig die Orientierung bewahrt. Konforme Abbildungen erhalten sowohl Winkel als auch die Form infinitesimal kleiner Figuren, aber nicht notwendigerweise deren Größe oder Krümmung . ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle u_{0}\in U}$${\displaystyle u_{0}}$

Die Konformitätseigenschaft lässt sich mithilfe der Jacobi- Ableitungsmatrix einer Koordinatentransformation beschreiben . Die Transformation ist konform, wenn die Jacobi-Matrix an jedem Punkt das Produkt eines positiven Skalars und einer Rotationsmatrix ( orthogonal zur Determinante eins) ist. Einige Autoren definieren Konformität auch für orientierungsumkehrende Abbildungen, deren Jacobi-Matrizen als Produkt eines beliebigen Skalars und einer beliebigen orthogonalen Matrix dargestellt werden können. ^{[ 3 ]}

Für Abbildungen in zwei Dimensionen sind die (orientierungserhaltenden) konformen Abbildungen genau die lokal invertierbaren komplex-analytischen Funktionen. In drei und höheren Dimensionen schränkt der Satz von Liouville die konformen Abbildungen stark auf wenige Typen ein.

Der Begriff der Konformität lässt sich auf natürliche Weise auf Abbildungen zwischen Riemannschen oder semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten verallgemeinern .

Eines der zentralen Werkzeuge der komplexen Analysis ist das Kurvenintegral . Das Kurvenintegral einer Funktion, die innerhalb des von ihr begrenzten Bereichs überall holomorph ist, ist entlang eines geschlossenen Pfades stets null, wie der Cauchysche Integralsatz besagt . Die Werte einer solchen holomorphen Funktion innerhalb einer Kreisscheibe lassen sich durch ein Pfadintegral über den Rand der Kreisscheibe berechnen (siehe Cauchysche Integralformel ). Pfadintegrale in der komplexen Ebene werden häufig zur Bestimmung komplizierter reeller Integrale verwendet, wobei unter anderem die Residuentheorie Anwendung findet (siehe Methoden der Konturintegration ). Ein Pol (oder eine isolierte Singularität ) einer Funktion ist ein Punkt, an dem der Funktionswert unbeschränkt wird oder „explodiert“. Besitzt eine Funktion einen solchen Pol, so lässt sich dort das Residuum der Funktion berechnen, welches wiederum zur Berechnung von Pfadintegralen mit der Funktion verwendet werden kann; dies ist der Inhalt des mächtigen Residuensatzes . Das bemerkenswerte Verhalten holomorpher Funktionen in der Nähe wesentlicher Singularitäten wird durch den Satz von Picard beschrieben . Funktionen, die nur Pole, aber keine wesentlichen Singularitäten besitzen, werden als meromorph bezeichnet . Laurentreihen sind das komplexwertige Äquivalent zu Taylorreihen und können verwendet werden, um das Verhalten von Funktionen in der Nähe von Singularitäten durch unendliche Summen besser verstandener Funktionen, wie beispielsweise Polynome, zu untersuchen.

Eine beschränkte Funktion , die in der gesamten komplexen Ebene holomorph ist, muss konstant sein; dies ist der Satz von Liouville . Er liefert einen natürlichen und kurzen Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist .

Ist eine Funktion in einem zusammenhängenden Gebiet holomorph, so sind ihre Werte vollständig durch ihre Werte auf jedem kleineren Teilgebiet bestimmt. Man sagt, die Funktion auf dem größeren Gebiet sei eine analytische Fortsetzung ihrer Werte auf dem kleineren Gebiet. Dies ermöglicht die Erweiterung der Definition von Funktionen wie der Riemannschen Zetafunktion , die ursprünglich als unendliche Summen definiert wurden, die nur auf begrenzten Gebieten konvergieren, auf nahezu die gesamte komplexe Ebene. Manchmal, wie im Fall des natürlichen Logarithmus , ist es unmöglich, eine holomorphe Funktion analytisch auf ein nicht einfach zusammenhängendes Gebiet in der komplexen Ebene fortzusetzen. Es ist jedoch möglich, sie auf eine eng verwandte Fläche, die sogenannte Riemannsche Fläche, zu erweitern .

All dies bezieht sich auf die komplexe Analysis in einer Variablen. Es existiert auch eine sehr umfangreiche Theorie der komplexen Analysis in mehrdimensionalen komplexen Systemen, in der analytische Eigenschaften wie die Potenzreihenentwicklung erhalten bleiben, während die meisten geometrischen Eigenschaften holomorpher Funktionen aus einer Dimension (wie die Konformität ) nicht mehr gelten. Der Riemannsche Abbildungssatz über die konforme Beziehung bestimmter Bereiche in der komplexen Ebene, der wohl wichtigste Satz der eindimensionalen Theorie, versagt in höheren Dimensionen gravierend.

Eine wichtige Anwendung bestimmter komplexer Räume findet sich in der Quantenmechanik als Wellenfunktionen .

• Komplexe Geometrie
• Hyperkomplexanalyse
• Liste der Themen der komplexen Analysis
• Monodromiesatz
• Satz von Riemann-Roch
• Satz von Runge
• Vektorrechnung

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