Quasikonforme Kartierung

In der komplexen Analysis ist eine quasikonforme Abbildung ein (schwach differenzierbarer) Homöomorphismus zwischen ebenen Gebieten, der in erster Ordnung kleine Kreise auf kleine Ellipsen beschränkter Exzentrizität abbildet . Quasikonforme Abbildungen sind eine Verallgemeinerung konformer Abbildungen , die eine beschränkte lokale Verzerrung von Winkeln erlauben. Sie wurden von Grötzsch (1928) eingeführt und von Ahlfors (1935) benannt .

Anschaulich gesprochen sei f  : D  →  D ′ ein orientierungserhaltender Homöomorphismus zwischen offenen Mengen in der Ebene. Wenn f stetig differenzierbar ist , heißt es K -quasikonform, wenn seine Ableitung in jedem Punkt Kreise auf Ellipsen abbildet, deren Verhältnis von Haupt- zu Nebenachse durch K beschränkt ist .

Sei f  : D  →  D ′ eine Funktion, wobei D und D ′ zwei Gebiete in C sind . Es gibt verschiedene äquivalente Definitionen, je nachdem, welche Glattheit von f gefordert wird . Setzt man voraus, dass f stetige partielle Ableitungen besitzt , so ist f quasikonform, sofern sie die Beltrami-Gleichung erfüllt.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial f}{\partial z}},}$

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für eine komplexwertige Lebesgue-messbare Funktion μ, die ( Bers 1977 ) erfüllt . Diese Gleichung lässt eine geometrische Interpretation zu. Statten wir D mit dem metrischen Tensor aus${\displaystyle \sup |\mu |<1}$

${\displaystyle ds^{2}=\Omega (z)^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},}$

wobei Ω( z ) > 0. Dann erfüllt f genau dann ( 1 ), wenn es sich um eine konforme Transformation von D mit dieser Metrik in das Gebiet D ′ mit der Standard-Euklidischen Metrik handelt. Die Funktion f heißt dann μ -konform . Allgemeiner kann die stetige Differenzierbarkeit von f durch die schwächere Bedingung ersetzt werden, dass f im Sobolev-Raum W ^_1,2 ( D ) der Funktionen liegt, deren distributionelle Ableitungen erster Ordnung in L ^² ( D ) liegen . In diesem Fall muss f eine schwache Lösung von ( 1 ) sein. Wenn μ fast überall null ist, ist jeder Homöomorphismus in W ^_1,2 ( D ), der eine schwache Lösung von ( 1 ) ist, konform.

Ohne Verwendung einer Hilfsmetrik betrachten wir den Effekt des Rückzugs der üblichen euklidischen Metrik unter f . Die resultierende Metrik ist dann gegeben durch

${\displaystyle \left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}}$

welche, relativ zur zugrunde liegenden euklidischen Metrik , Eigenwerte hat${\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}$

${\displaystyle (1+|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2},\qquad (1-|\mu |)^{2}\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}.}$

Die Eigenwerte stellen jeweils das Quadrat der Länge der Haupt- und Nebenachse der Ellipse dar, die durch Zurückziehen entlang f des Einheitskreises in der Tangentialebene entsteht.

Demnach ist die Dilatation von f an einem Punkt z definiert durch

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}$

Das (essentielle) Supremum von K ( z ) ist gegeben durch

${\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}}$

und wird als Dilatation von  f bezeichnet . Wenn f für ein endliches K K -quasikonform ist , dann ist f quasikonform.

Eine Definition, die auf dem Begriff der Extremallänge basiert, lautet wie folgt: Wenn es ein endliches K gibt , sodass für jede Menge Γ von Kurven in D die Extremallänge von Γ höchstens das K- fache der Extremallänge von { f  o γ : γ ∈  Γ } beträgt, dann ist f K -quasikonform.

Wenn K > 1 , dann sind die Abbildungen x + iy ↦ Kx + iy und x + iy ↦ x + iKy beide quasikonform und haben eine konstante Dilatation K.

Für s > −1 ist die Abbildung quasikonform (hier ist z eine komplexe Zahl ) und hat konstante Dilatation . Für s ≠ 0 handelt es sich um einen nicht-glatten quasikonformen Homöomorphismus. Für s = 0 ist dies die Identitätsabbildung. ${\displaystyle z\mapsto z\,|z|^{s}}$${\displaystyle \max(1+s,{\frac {1}{1+s}})}$

Ein Homöomorphismus heißt 1-quasikonform genau dann, wenn er konform ist. Ist f  : D → D ′ K- quasikonform und g  : D ′ → D ″ K′ -quasikonform, so ist g  von  f KK′ -quasikonform. Die Umkehrung eines K -quasikonformen Homöomorphismus ist K- quasikonform. Da K -quasikonforme Abbildungen unter Komposition mit konformen Abbildungen erhalten bleiben, lässt sich der Begriff der K- quasikonformen Abbildungen auf allgemeine Riemannsche Flächen erweitern .

Der Raum der K-quasikonformen Abbildungen von der komplexen Ebene in sich selbst, die drei verschiedene Punkte auf drei gegebene Punkte abbilden, ist kompakt.

Von zentraler Bedeutung in der Theorie quasikonformer Abbildungen in zwei Dimensionen ist der messbare Riemannsche Abbildungssatz , bewiesen von Lars Ahlfors und Lipman Bers. Dieser Satz verallgemeinert den Riemannschen Abbildungssatz von konformen auf quasikonforme Homöomorphismen und lautet wie folgt: Sei D ein einfach zusammenhängendes Gebiet in C , das nicht gleich C ist , und sei μ  : D → C Lebesgue -messbar und erfülle die Bedingung (1) . Dann existiert ein quasikonformer Homöomorphismus f von D in die Einheitskreisscheibe, der im Sobolev-Raum W ^{^1,2} ( D ) liegt und die zugehörige Beltrami-Gleichung ( 1 ) im distributionellen Sinne erfüllt . Wie beim Riemannschen Abbildungssatz ist dieser Homöomorphismus f bis auf drei reelle Parameter eindeutig. ${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

In jüngster Zeit hat die quasikonforme Geometrie in verschiedenen Bereichen wie der angewandten Mathematik, der Computer Vision und der medizinischen Bildgebung Aufmerksamkeit erregt. Es wurde die computergestützte quasikonforme Geometrie entwickelt, die die quasikonforme Theorie auf einen diskreten Rahmen erweitert. Sie hat verschiedene wichtige Anwendungen in der medizinischen Bildanalyse, der Computer Vision und der Computergrafik gefunden. ^{[ 1 ]}

• Isotherme Koordinaten
• Quasireguläre Karte
• Pseudoanalytische Funktion
• Teichmüller-Raum
• Tissots Indikator

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