Condorcet-Paradoxon

In der Theorie der sozialen Wahl ist das Condorcet-Paradoxon ( auch Condorcet- Paradoxon genannt ) eine grundlegende Entdeckung des Marquis de Condorcet : Mehrheitsentscheidungen sind in sich widersprüchlich . Daraus folgt, dass kein Wahlsystem logisch garantieren kann, dass ein Gewinner die Unterstützung der Mehrheit der Wähler erhält. Beispielsweise kann es bei Schere-Stein-Papier- Szenarien vorkommen, dass eine Mehrheit der Wähler A gegenüber B, B gegenüber C und auch C gegenüber A bevorzugt, selbst wenn die individuellen Präferenzen jedes Wählers rational sind und Widersprüche vermeiden. Beispiele für das Condorcet-Paradoxon sind Condorcet-Zyklen oder zyklische Unentschieden .

In einem solchen Zyklus wird jede mögliche Option von den Wählern zugunsten einer anderen Alternative abgelehnt, die von mehr als der Hälfte aller Wähler bevorzugt wird. Daher muss jeder Versuch, soziale Entscheidungsfindung auf Mehrheitsentscheidungen zu gründen , solche Widersprüche (allgemein als Spoiler-Effekte bezeichnet ) in Kauf nehmen. Systeme, die dies versuchen und gleichzeitig die Häufigkeit solcher Widersprüche minimieren, werden Condorcet-Methoden genannt .

Das Condorcet-Paradoxon ist ein Spezialfall des Arrow-Paradoxons , welches zeigt, dass jede Art von sozialem Entscheidungsprozess entweder in sich widersprüchlich ist, eine Diktatur darstellt oder Informationen über die Stärke der Präferenzen verschiedener Wähler einbezieht (z. B. kardinale Nutzenfunktion oder Bewertungsabstimmung ).

Das Condorcet-Paradoxon wurde erstmals im 13. Jahrhundert von dem katalanischen Philosophen und Theologen Ramon Llull im Rahmen seiner Untersuchungen zur Kirchenleitung entdeckt , doch seine Arbeit geriet bis ins 21. Jahrhundert in Vergessenheit. Der Mathematiker und politische Philosoph Marquis de Condorcet entdeckte das Paradoxon Ende des 18. Jahrhunderts wieder. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Condorcets Entdeckung bedeutet, dass er wohl das Schlüsselergebnis von Arrows Unmöglichkeitstheorem identifiziert hat , wenn auch unter stärkeren Bedingungen als von Arrow gefordert: Condorcet-Zyklen schaffen Situationen, in denen jedes Rangwahlsystem, das Mehrheiten respektiert, einen Spoiler-Effekt haben muss .

Angenommen, wir haben drei Kandidaten, A, B und C, und es gibt drei Wähler mit folgenden Präferenzen:

Wird C als Gewinner gewählt, könnte man argumentieren, dass stattdessen B gewinnen sollte, da zwei Wähler (1 und 2) B gegenüber C bevorzugen und nur ein Wähler (3) C gegenüber B bevorzugt. Nach demselben Argument wird jedoch A gegenüber B und C gegenüber A bevorzugt, und zwar jeweils im Verhältnis zwei zu eins. Die Präferenzen der Gesellschaft zeigen somit einen zyklischen Verlauf: A wird gegenüber B bevorzugt, B gegenüber C und C gegenüber A.

Folglich führt jeder Versuch, sich auf das Mehrheitsprinzip zu berufen, zu einem logischen Selbstwiderspruch . Unabhängig davon, welche Alternative wir wählen, können wir eine andere finden, die von den meisten Wählern bevorzugt würde.

Die Wähler im Cactus County bevorzugen den amtierenden Landrat Alex von der Bauernpartei gegenüber seiner Konkurrentin Beatrice von der Solarpartei mit einem Verhältnis von etwa 2 zu 1. In diesem Jahr tritt mit Charlie ein dritter Kandidat als Unabhängiger an. Charlie ist ein wohlhabender und meinungsstarker Geschäftsmann, über den die Wähler geteilter Meinung sind.

Die Wähler teilen sich in drei Gruppen auf:

• Gruppe 1 verehrt Charlie dafür, dass er die Highschool-Footballmannschaft gerettet hat. Sie stufen Charlie an erste Stelle und Alex wie üblich über Beatrice ( CAB ).
• Gruppe 2 verachtet Charlie wegen seiner fragwürdigen Geschäftspraktiken. Sie stufen Charlie auf den letzten Platz ein , und Alex wie üblich auf über Beatrice ( ABC ).
• Gruppe 3 besteht aus Beatrices Kernwählerschaft. Sie wollen die Bauernpartei zugunsten der Solarpartei abwählen und betrachten Charlies Kandidatur als Nebensache. Wie üblich rangieren Beatrice auf Platz eins und Alex auf Platz eins, Charlie hingegen automatisch auf Platz zwei ( BCA ).

Daher bevorzugt die Mehrheit der Wähler Alex gegenüber Beatrice (A > B), wie schon immer. Eine Mehrheit der Wähler ist entweder Beatrice-Fan oder Charlie-Gegner und bevorzugt daher Beatrice gegenüber Charlie (B > C). Und eine Mehrheit der Wähler ist entweder Charlie-Fan oder Alex-Gegner und bevorzugt daher Charlie gegenüber Alex (C > A). Die Kombination dieser drei Präferenzen ergibt A > B > C > A, einen Condorcet-Zyklus.

Es ist möglich, die Wahrscheinlichkeit des Paradoxons durch Extrapolation von realen Wahldaten oder mithilfe mathematischer Modelle des Wählerverhaltens abzuschätzen, wobei die Ergebnisse stark davon abhängen, welches Modell verwendet wird.

Wir können die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Paradoxons für den Spezialfall berechnen, in dem die Wählerpräferenzen gleichmäßig auf die Kandidaten verteilt sind. (Dies ist das Modell der „ unparteiischen Kultur “, das als „Worst-Case-Szenario“ bekannt ist ^{[ 4 ] [ 5 ] : 40 [ 6 ] : 320 [ 7 ] –} die meisten Modelle zeigen deutlich niedrigere Wahrscheinlichkeiten für Condorcet-Zyklen.)

Für Wähler, die eine Präferenzliste mit drei Kandidaten A, B und C angeben, bezeichnen wir die Zufallsvariable mit der Anzahl der Wähler, die A vor B (bzw. B vor C, C vor A) gesetzt haben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist ( wir verdoppeln , da auch der symmetrische Fall A > C > B > A existiert). Wir zeigen, dass für ungerades gilt , wobei man nur die gemeinsame Verteilung von und kennen muss . ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$

Setzen wir , so zeigen wir die Beziehung, die es ermöglicht, diese Verteilung rekursiv zu berechnen: ${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$

$${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}.}$$

Es werden dann folgende Ergebnisse erzielt:

${\displaystyle n}$	3	101	201	301	401	501	601
${\displaystyle p_{n}}$	5,556 %	8,690 %	8,732 %	8,746 %	8,753 %	8,757 %	8,760 %

Die Folge scheint gegen einen endlichen Grenzwert zu tendieren.

Mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes zeigen wir, dass gegen strebt, wobei eine Variable ist, die einer Cauchy-Verteilung folgt , was ergibt ${\displaystyle q_{n}}$${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$$(Konstante gemäß OEIS ).

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, auf das Condorcet-Paradoxon zu stoßen, beträgt daher , was den Wert 8,77 % ergibt. ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$

Für den Fall von mehr als drei Kandidaten wurden einige Ergebnisse berechnet ^{[ 10 ]} und simuliert ^{[ 11 ]} . Die simulierte Likelihood für ein unparteiisches Kulturmodell mit 25 Wählern steigt mit der Anzahl der Kandidaten: ^{[ 11 ] : 28}

Die Wahrscheinlichkeit eines Condorcet-Zyklus für verwandte Modelle nähert sich diesen Werten für Drei-Kandidaten-Wahlen mit großen Wählerschaften an: ^{[ 9 ]}

• Unparteiische anonyme Kultur (IAC): 6,25 %
• Einheitliche Kultur (UC): 6,25 %
• Maximale Kulturbedingungen (MC): 9,17 %

Alle diese Modelle sind unrealistisch, können aber untersucht werden, um eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit eines Zyklus festzulegen. ^{[ 9 ]}

Bei Berücksichtigung realistischerer Wählerpräferenzen treten Condorcet-Paradoxien bei Wahlen mit wenigen Kandidaten und vielen Wählern sehr selten auf. ^{[ 5 ] : 78}

Eine Studie zu Wahlen mit drei Kandidaten analysierte zwölf verschiedene Modelle des Wählerverhaltens und fand heraus, dass das räumliche Wahlmodell die realen Daten von Ranglistenwahlen am besten abbildet . Die Analyse dieses räumlichen Modells ergab, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wahlzyklus fehlschlägt, mit steigender Wählerzahl gegen null sinkt: 5 % bei 100 Wählern, 0,5 % bei 1000 Wählern und 0,06 % bei 10.000 Wählern. ^{[ 12 ]}

Ein weiteres räumliches Modell ermittelte Wahrscheinlichkeiten von 2 % oder weniger in allen Simulationen mit 201 Wählern und 5 Kandidaten, unabhängig davon, ob es sich um zwei- oder vierdimensionale Simulationen handelte, ob eine Korrelation zwischen den Dimensionen bestand oder nicht und ob zwei verschiedene Verteilungen der Kandidaten berücksichtigt wurden. ^{[ 11 ] : 31}

Es wurden zahlreiche Versuche unternommen, empirische Beispiele für das Paradoxon zu finden. ^{[ 13 ]} Die empirische Identifizierung eines Condorcet-Paradoxons setzt umfangreiche Daten über die Präferenzen der Entscheidungsträger hinsichtlich aller Alternativen voraus – etwas, das nur sehr selten verfügbar ist.

Während Beispiele für das Paradoxon gelegentlich in kleineren Kontexten (z. B. Parlamenten) auftreten, wurden in größeren Gruppen (z. B. Wählerschaften) nur sehr wenige Beispiele gefunden, obwohl einige identifiziert wurden. ^{[ 14 ]}

Eine Zusammenfassung von 37 Einzelstudien mit insgesamt 265 realen Wahlen unterschiedlicher Größe fand 25 Fälle eines Condorcet-Paradoxons, was einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 9,4 % entspricht ^{[ 6 ] : 325} (wobei dies eine zu hohe Schätzung sein könnte, da Fälle mit dem Paradoxon eher gemeldet werden als Fälle ohne). ^{[ 5 ] : 47}

Eine Analyse von 883 Drei-Kandidaten-Wahlen, die aus 84 realen Wahlen mit Präferenzwahlsystem der Electoral Reform Society extrahiert wurden , ergab eine Wahrscheinlichkeit für einen Condorcet-Zyklus von 0,7 %. Diese abgeleiteten Wahlen umfassten zwischen 350 und 1.957 Wähler. ^{[ 12 ]} Eine ähnliche Analyse von Daten der American National Election Studies ( 1970–2004 ) ergab eine Wahrscheinlichkeit für einen Condorcet-Zyklus von 0,4 %. Diese abgeleiteten Wahlen umfassten zwischen 759 und 2.521 Wähler. ^{[ 12 ]}

Andrew Myers, Betreiber des Condorcet Internet Voting Service , analysierte 10.354 nichtpolitische CIVS-Wahlen und stellte bei 17 % der Wahlen mit mindestens 10 Stimmen einen Wahlzyklus fest. Dieser Wert sank auf 2,1 % bei Wahlen mit mindestens 100 Stimmen und auf 1,2 % bei ≥ 300 Stimmen. ^{[ 15 ]}

Eine Datenbank mit 189 US-Wahlen von 2004 bis 2022 enthielt nur einen Condorcet-Zyklus: die Stadtratswahl 2021 in Minneapolis (Wahlbezirk 2 ) mit einem knappen Kopf-an-Kopf-Rennen zwischen den Kandidaten der Grünen ( Cam Gordon ), der Minnesota Democratic–Farmer–Labor Party (Yusra Arab) und einem unabhängigen demokratischen Sozialisten ( Robin Wonsley ). ^{[ 16 ]} Die Präferenzen der Wähler waren nicht transitiv: Arab wurde Gordon vorgezogen, Gordon Wonsley und Wonsley Arab, wodurch ein zyklisches Muster ohne klaren Sieger entstand. Darüber hinaus wies die Wahl ein Paradoxon der fallenden Monotonie sowie ein Paradoxon auf, das dem Simpson-Paradoxon ähnelt .

Ein zweites Beispiel für einen Condorcet-Zyklus zeigte sich bei der Wahl des Schulrats des 4. Bezirks in Oakland, Kalifornien, im Jahr 2022. Manigo wurde Hutchinson vorgezogen, Hutchinson Resnick und Resnick Manigo. Ähnlich wie in Minneapolis waren die Ergebnisse sehr knapp: So bevorzugten beispielsweise 11.370 Wähler Manigo gegenüber Hutchinson, während 11.322 Wähler Hutchinson gegenüber Manigo bevorzugten. ^{[ 17 ]}

Ein weiteres Beispiel für einen Condorcet-Zyklus war der Wahlkreis Prahran bei den Parlamentswahlen 2014 in Victoria . Dort herrschte ein knappes Kopf-an-Kopf-Rennen zwischen den Kandidaten der Grünen , der Liberalen und der Labour-Partei . Der Kandidat der Grünen, der zunächst auf dem dritten Platz der Erststimmen lag, besiegte den Kandidaten der Liberalen mit weniger als 300 Stimmen Vorsprung. Wäre es jedoch zu einem Duell zwischen Labour und den Liberalen gekommen, hätte der liberale Kandidat mit 25 Stimmen gewonnen. Obwohl keine separate Auszählung der Stimmen zwischen Grünen und Labour durchgeführt wurde, tendieren die Präferenzen der Liberalen in anderen Fällen eher zu Labour als zu den Grünen ( so auch im Wahlkreis Richmond bei derselben Wahl ). Das bedeutet, dass Labour mit hoher Wahrscheinlichkeit gegenüber den Grünen bevorzugt worden wäre. Somit ergab sich ein Kreislauf: Die Grünen wurden gegenüber den Liberalen bevorzugt, diese wiederum gegenüber Labour, die schließlich die Grünen bevorzugten.

Wird das Condorcet-Verfahren zur Bestimmung eines Wahlsiegers eingesetzt, führt das Wahlparadoxon zyklischer gesellschaftlicher Präferenzen dazu, dass es keinen Condorcet-Sieger gibt : keinen Kandidaten, der in einer direkten Wahl gegen jeden anderen Kandidaten gewinnen kann. Es existiert jedoch eine kleinste Gruppe von Kandidaten, die sogenannte Smith-Menge , sodass jeder Kandidat dieser Gruppe in einer direkten Wahl gegen jeden Kandidaten außerhalb der Gruppe gewinnen kann. Die verschiedenen Varianten des Condorcet-Verfahrens unterscheiden sich darin, wie sie diese Mehrdeutigkeiten bei der Bestimmung eines Wahlsiegers auflösen. ^{[ 18 ]} Condorcet-Verfahren, die stets einen Kandidaten aus der Smith-Menge wählen, wenn es keinen Condorcet-Sieger gibt, werden als Smith-effizient bezeichnet . Es ist anzumerken, dass es bei alleiniger Verwendung von Ranglisten keine faire und deterministische Lösung für das zuvor genannte triviale Beispiel gibt, da sich jeder Kandidat in einer exakt symmetrischen Situation befindet.

Situationen, in denen das Wahlparadoxon auftritt, können dazu führen, dass Wahlmechanismen das Axiom der Unabhängigkeit irrelevanter Alternativen verletzen – die Wahl des Gewinners durch einen Wahlmechanismus könnte davon beeinflusst werden, ob ein unterlegener Kandidat zur Wahl steht oder nicht.

Eine wichtige Konsequenz des möglichen Abstimmungsparadoxons in der Praxis ist, dass bei einem paarweisen Abstimmungsverfahren wie dem üblichen parlamentarischen Verfahren der letztendliche Gewinner von der Reihenfolge der Mehrheitsstimmen abhängt. Angenommen, ein populäres Gesetz steht kurz vor der Verabschiedung, bevor eine andere Gruppe einen Änderungsantrag einbringt; dieser Änderungsantrag wird mit Mehrheit angenommen. Dies kann dazu führen, dass die Mehrheit des Parlaments das Gesetz als Ganzes ablehnt, wodurch ein Paradoxon entsteht (ein populärer Änderungsantrag zu einem populären Gesetz hat dieses unbeliebt gemacht). Diese logische Inkonsistenz ist der Ursprung des Giftpillen-Änderungsantrags , der absichtlich einen falschen Condorcet-Zyklus herbeiführt, um ein Gesetz zu Fall zu bringen. Ebenso kann die Reihenfolge der Abstimmungen in einem Parlament von der Person, die sie anordnet, manipuliert werden, um sicherzustellen, dass das gewünschte Ergebnis erzielt wird.

Trotz häufiger Einwände von Sozialwahltheoretikern gegen die logisch inkohärenten Ergebnisse solcher Verfahren und die Existenz besserer Alternativen zur Auswahl zwischen mehreren Versionen eines Gesetzesentwurfs ist das Verfahren der paarweisen Mehrheitsentscheidung weit verbreitet und in den Statuten oder parlamentarischen Verfahren fast jeder Art von deliberativer Versammlung kodifiziert .

Condorcet-Paradoxien implizieren, dass Mehrheitsentscheidungen bei irrelevanten Alternativen scheitern. Bezeichnen wir die drei Kandidaten in einem Wettlauf als Stein , Papier und Schere . In direkten Duellen verliert Stein gegen Papier, Papier gegen Schere und Schere gegen Stein.

Angenommen, Stein gewinnt die Wahl mit einer bestimmten Methode. Dann ist Schere ein Störkandidat für Papier; sollte Schere ausscheiden, würde Papier das einzige direkte Duell gewinnen (Papier besiegt Stein). Dieselbe Argumentation gilt unabhängig vom Wahlsieger .

Dieses Beispiel zeigt auch, warum Condorcet-Wahlen selten (wenn überhaupt) durch einen Wahlsieger beeinflusst werden; Wahlsieger können nur dann durch einen Wahlsieger beeinflusst werden, wenn es keinen Condorcet-Sieger gibt. Condorcet-Zyklen sind bei großen Wahlen selten ^{[ 19 , 20 ]} , und das Medianwählertheorem zeigt, dass Zyklen unmöglich sind, wenn die Kandidaten auf einem ^Links -Rechts-Spektrum angeordnet sind .

• Arrows Unmöglichkeitssatz
• Diskursives Dilemma
• Spoiler-Effekt
• Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen
• McKelvey-Schofield-Chaos-Theorem
• Nakamura-Nummer
• Quadratische Abstimmung
• Schere, Stein, Papier
• Smith-Set

• Garman, MB; Kamien, MI (1968). „Das Paradoxon des Wählens: Wahrscheinlichkeitsberechnungen“. Behavioral Science . 13 (4): 306–316 . doi : 10.1002/bs.3830130405 . PMID  5663897 .
• Niemi, RG; Weisberg, H. (1968). „Eine mathematische Lösung für die Wahrscheinlichkeit des Wahlparadoxons“. Behavioral Science . 13 (4): 317–323 . doi : 10.1002/bs.3830130406 . PMID  5663898 .
• Niemi, RG; Wright, JR (1987) . „Wahlzyklen und die Struktur individueller Präferenzen“. Social Choice and Welfare . 4 (3): 173–183 . doi : 10.1007/BF00433943 . JSTOR  41105865. S2CID  145654171 .