Freiheitsgrade (Mechanik)

In der Physik bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade ( DOF ) eines mechanischen Systems die Anzahl der unabhängigen Parameter, die zur vollständigen Beschreibung seiner Konfiguration oder seines Zustands erforderlich sind. Diese Zahl ist eine wichtige Eigenschaft bei der Analyse von Körpersystemen im Maschinenbau , Bauingenieurwesen , der Luft- und Raumfahrttechnik , der Robotik und anderen Bereichen.

Beispielsweise besitzt die Position eines einzelnen Triebwagens (einer Lokomotive), der sich auf einem Gleis bewegt, nur einen Freiheitsgrad, da die Position des Wagens vollständig durch eine einzige Zahl bestimmt werden kann, die seinen Abstand entlang des Gleises von einem gewählten Ausgangspunkt angibt. Auch ein Zug aus starren Wagen, die über Gelenke mit einer Lokomotive verbunden sind, besitzt nur einen Freiheitsgrad, da die Positionen der Wagen hinter der Lokomotive durch die Form des Gleises vorgegeben sind.

Ein zweites Beispiel: Ein Auto mit sehr straffer Federung kann als starrer Körper betrachtet werden, der sich in einer Ebene (einem flachen, zweidimensionalen Raum) bewegt. Dieser Körper besitzt drei unabhängige Freiheitsgrade: zwei translatorische Komponenten (die zusammen seine Position bestimmen) und einen Drehwinkel (der seine Orientierung bestimmt). Schleudern oder Driften ist ein gutes Beispiel für die drei unabhängigen Freiheitsgrade eines Autos.

Die Position und Orientierung eines starren Körpers im Raum werden durch drei Translationskomponenten und drei Rotationskomponenten definiert , was bedeutet, dass der Körper sechs Freiheitsgrade besitzt.

Um sicherzustellen, dass die Freiheitsgrade eines mechanischen Bauteils weder zu wenig noch zu viel einschränken, kann dessen Konstruktion mithilfe der exakten Zwangsbedingungenmethode gesteuert werden . ^{[ 1 ]}

Die Position eines n- dimensionalen starren Körpers wird durch die starre Transformation [ T ] = [ A ,  d ] definiert, wobei d eine n- dimensionale Translation und A eine n  ×  n- Rotationsmatrix mit n translatorischen und n ( n  − 1)/2 rotatorischen Freiheitsgraden ist. Die Anzahl der rotatorischen Freiheitsgrade ergibt sich aus der Dimension der Rotationsgruppe  SO(n) .

Ein nicht-starrer oder verformbarer Körper kann als Ansammlung vieler winziger Partikel (unendlich viele Freiheitsgrade) betrachtet werden; dies wird häufig durch ein System mit endlichen Freiheitsgraden approximiert. Wenn Bewegungen mit großen Verschiebungen im Vordergrund der Untersuchung stehen (z. B. bei der Analyse der Bewegung von Satelliten), kann ein verformbarer Körper zur Vereinfachung der Analyse als starrer Körper (oder sogar als Partikel) angenähert werden.

Der Freiheitsgrad eines Systems kann als die minimale Anzahl an Koordinaten betrachtet werden, die zur Beschreibung einer Konfiguration erforderlich sind. Gemäß dieser Definition gilt:

1. Für ein einzelnes Teilchen in einer Ebene definieren zwei Koordinaten seinen Ort, sodass es zwei Freiheitsgrade besitzt;
2. Ein einzelnes Teilchen im Raum benötigt drei Koordinaten und hat daher drei Freiheitsgrade;
3. Zwei Teilchen im Raum besitzen zusammen sechs Freiheitsgrade;
4. Sind zwei Teilchen im Raum so eingeschränkt, dass sie einen konstanten Abstand zueinander einhalten, wie beispielsweise bei einem zweiatomigen Molekül, so müssen die sechs Koordinaten einer einzigen, durch die Abstandsformel definierten Nebenbedingung genügen. Dadurch reduziert sich der Freiheitsgrad des Systems auf fünf, da die Abstandsformel zur Berechnung der verbleibenden Koordinate verwendet werden kann, sobald die anderen fünf bekannt sind.

Ein einzelner starrer Körper besitzt höchstens sechs Freiheitsgrade (6 DOF) 3T3R, bestehend aus drei Translationen 3T und drei Rotationen 3R .

Siehe auch Euler-Winkel .

Zum Beispiel besitzt die Bewegung eines Schiffes auf See die sechs Freiheitsgrade eines starren Körpers und wird wie folgt beschrieben: ^{[ 2 ].}

Translation und Rotation:

1. Gehen (oder Stoßen ): Vorwärts- und Rückwärtsbewegung;
2. Seitwärtsbewegung (oder Schwanken ): Bewegung nach links und rechts;
3. Heben (oder Heben ): Auf- und Abwärtsbewegung;
4. Rollrotation : Schwenkt sich von Seite zu Seite;
5. Nickrotation : Neigt sich nach vorne und hinten;
6. Gierrotation : Schwenkt nach links und rechts;

Beispielsweise hat die Flugbahn eines Flugzeugs im Flug drei Freiheitsgrade und seine Lage entlang der Flugbahn hat drei Freiheitsgrade, insgesamt also sechs Freiheitsgrade.

• Informationen zur Rollbewegung im Flug und zur Schiffsdynamik finden Sie unter roll (Luftfahrt) bzw. roll (Schiffsbewegung) .
  • Eine wichtige Ableitung ist die Rollrate (oder Rollgeschwindigkeit), die die Winkelgeschwindigkeit ist, mit der ein Flugzeug seine Rolllage ändern kann und typischerweise in Grad pro Sekunde angegeben wird.
• Informationen zur Nickbewegung im Flug und zur Schiffsdynamik finden Sie unter Nickbewegung (Luftfahrt) bzw. Nickbewegung (Schiffsbewegung) .
• Informationen zum Gieren im Flug und zur Schiffsdynamik finden Sie unter Gieren (Luftfahrt) bzw. Gieren (Schiffsbewegung) .
  • Eine wichtige Ableitung ist die Gierrate (oder Giergeschwindigkeit), die Winkelgeschwindigkeit der Gierrotation, gemessen mit einem Gierratensensor .
  • Eine weitere wichtige Ableitung ist das Gierdrehmoment, der Drehimpuls einer Gierrotation, der für das negative Gieren in der Flugzeugdynamik von Bedeutung ist.

Physikalische Beschränkungen können die Anzahl der Freiheitsgrade eines einzelnen starren Körpers begrenzen. Beispielsweise besitzt ein Block, der auf einem flachen Tisch gleitet, 3 Freiheitsgrade (2T1R) , bestehend aus zwei Translationen (2T) und einer Rotation (1R) . Ein XYZ-Positionierungsroboter wie SCARA hat hingegen 3 Freiheitsgrade (3T) mit geringerer Beweglichkeit.

Die Mobilitätsformel zählt die Anzahl der Parameter, die die Konfiguration einer Menge starrer Körper definieren, welche durch Gelenke, welche diese Körper verbinden, eingeschränkt sind. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Ein System aus n starren Körpern, die sich im Raum bewegen, besitzt 6n Freiheitsgrade , gemessen relativ zu einem festen Bezugssystem. Um die Freiheitsgrade dieses Systems zu bestimmen, wird der feste Körper mitgezählt, sodass die Beweglichkeit unabhängig von der Wahl des Körpers im Bezugssystem ist. Dann beträgt der Freiheitsgrad des unbeschränkten Systems mit N  =  n  + 1

${\displaystyle M=6n=6(N-1),\!}$

weil der fixierte Körper relativ zu sich selbst null Freiheitsgrade besitzt.

Gelenke, die Körper in diesem System verbinden, reduzieren die Bewegungsfreiheit. Insbesondere Scharniere und Gleitgelenke führen jeweils zu fünf Zwangsbedingungen und eliminieren somit fünf Freiheitsgrade. Es ist zweckmäßig, die Anzahl der Zwangsbedingungen c eines Gelenks anhand seines Freiheitsgrades f zu definieren , wobei c  = 6 −  f gilt. Im Fall eines Scharniers oder Gleitgelenks, die jeweils nur einen Freiheitsgrad besitzen, ist f  = 1 und somit c  = 6 − 1 = 5.

Das Ergebnis ist, dass die Beweglichkeit eines Systems, das aus n beweglichen Gliedern und j Gelenken mit jeweils dem Freiheitsgrad f _i , i  = 1, ..., j, besteht, gegeben ist durch

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Beachten Sie, dass N die feste Verbindung einschließt.

Es gibt zwei wichtige Sonderfälle: (i) eine einfache offene Kette und (ii) eine einfache geschlossene Kette. Eine einzelne offene Kette besteht aus n beweglichen Gliedern, die durch n Gelenke an ihren Enden verbunden sind , wobei ein Ende mit einem Grundglied verbunden ist. In diesem Fall gilt also N  =  j  + 1, und die Beweglichkeit der Kette beträgt

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

Bei einer einfachen geschlossenen Kette sind n bewegliche Glieder durch n + 1 Gelenke so miteinander verbunden  , dass die beiden Enden mit dem Grundglied eine Schleife bilden. In diesem Fall gilt N  =  j , und die Beweglichkeit der Kette beträgt

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

Ein Beispiel für eine einfache offene Kette ist ein serieller Robotermanipulator. Diese Robotersysteme bestehen aus einer Reihe von Gliedern, die durch sechs Dreh- oder Schubgelenke mit jeweils einem Freiheitsgrad verbunden sind, sodass das System sechs Freiheitsgrade aufweist.

Ein Beispiel für eine einfache geschlossene Kette ist das RSSR-Viergelenkgetriebe. Die Summe der Freiheitsgrade dieser Gelenke beträgt acht, die Beweglichkeit des Getriebes also zwei, wobei einer der Freiheitsgrade die Drehung des Koppelglieds um die Verbindungslinie der beiden S-Gelenke ist.

Üblicherweise wird ein Gelenksystem so konstruiert, dass sich alle Körper in parallelen Ebenen bewegen – ein sogenanntes planares Gelenk . Alternativ lässt sich das Gelenksystem auch so konstruieren, dass sich alle Körper auf konzentrischen Kugeln bewegen – ein sphärisches Gelenk . In beiden Fällen beträgt der Freiheitsgrad der Glieder in jedem System nun drei statt sechs, und die durch die Gelenke bedingten Zwangsbedingungen sind nun c  = 3 −  f .

In diesem Fall lautet die Mobilitätsformel:

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

und die Sonderfälle werden

• planare oder sphärische einfache offene Kette,$${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$$
• planare oder sphärische einfache geschlossene Kette,$${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}$$

Ein Beispiel für eine planare einfache geschlossene Kette ist das planare Viergelenkgetriebe , das eine Viergelenkschleife mit vier Gelenken mit jeweils einem Freiheitsgrad ist und daher eine Beweglichkeit von  M  = 1 aufweist.

Ein System mit mehreren Körpern besitzt einen kombinierten Freiheitsgrad, der der Summe der Freiheitsgrade der einzelnen Körper abzüglich der internen Beschränkungen ihrer Relativbewegung entspricht. Ein Mechanismus oder ein Gestänge mit mehreren verbundenen starren Körpern kann mehr Freiheitsgrade aufweisen als ein einzelner starrer Körper. Der Begriff „ Freiheitsgrade“ beschreibt hier die Anzahl der Parameter, die zur Festlegung der räumlichen Position eines Gestänges erforderlich sind. Er wird auch im Kontext des Konfigurationsraums, des Aufgabenraums und des Arbeitsraums eines Roboters definiert.

Eine spezielle Art von Kopplung ist die offene kinematische Kette , bei der mehrere starre Glieder über Gelenke verbunden sind . Ein Gelenk kann einen Freiheitsgrad (Scharnier/Gleitgelenk) oder zwei (zylindrisches Gelenk) ermöglichen. Solche Ketten kommen häufig in der Robotik , der Biomechanik sowie bei Satelliten und anderen Weltraumstrukturen vor. Ein menschlicher Arm besitzt sieben Freiheitsgrade. Die Schulter ermöglicht Nick-, Gier- und Rollbewegungen, der Ellbogen Nickbewegungen und das Handgelenk Nick-, Gier- und Rollbewegungen. Nur drei dieser Bewegungen wären nötig, um die Hand an einen beliebigen Punkt im Raum zu bewegen, doch Menschen könnten so keine Gegenstände aus verschiedenen Winkeln oder Richtungen greifen. Ein Roboter (oder Objekt), der Mechanismen zur Steuerung aller sechs physikalischen Freiheitsgrade besitzt, wird als holonom bezeichnet . Ein Objekt mit weniger steuerbaren Freiheitsgraden als Gesamtfreiheitsgraden gilt als nicht-holonom, und ein Objekt mit mehr steuerbaren Freiheitsgraden als Gesamtfreiheitsgraden (wie der menschliche Arm) wird als redundant bezeichnet. Man sollte jedoch bedenken, dass die Bewegung im menschlichen Arm nicht redundant ist, da die beiden Freiheitsgrade – Handgelenk und Schulter –, die dieselbe Bewegung (Rolle) darstellen, sich gegenseitig ergänzen, da sie keine vollständige 360°-Drehung ausführen können. Die Freiheitsgrade entsprechen verschiedenen möglichen Bewegungen.

In der mobilen Robotik kann ein fahrzeugähnlicher Roboter jede beliebige Position und Orientierung im zweidimensionalen Raum erreichen. Daher benötigt er drei Freiheitsgrade (DOF), um seine Lage zu beschreiben. Er kann jedoch zu jedem Zeitpunkt nur durch Vorwärtsbewegung und Lenkung bewegt werden. Somit verfügt er über zwei Steuerfreiheitsgrade und drei repräsentative Freiheitsgrade; er ist also nicht holonom. Ein Starrflügelflugzeug mit drei bis vier Steuerfreiheitsgraden (Vorwärtsbewegung, Rollen, Nicken und in begrenztem Umfang Gieren) im dreidimensionalen Raum ist ebenfalls nicht holonom, da es sich nicht direkt nach oben/unten oder links/rechts bewegen kann.

Eine Zusammenfassung der Formeln und Methoden zur Berechnung der Freiheitsgrade in mechanischen Systemen wurde von Pennestri, Cavacece und Vita gegeben. ^{[ 5 ]}

In der Elektrotechnik beschreibt der Begriff „Freiheitsgrade“ häufig die Anzahl der Richtungen, in denen eine Phased-Array -Antenne entweder Strahlen oder Nullstellen bilden kann . Sie entspricht eins minus der Anzahl der Elemente im Array, da ein Element als Referenz dient, gegen die mit jedem der übrigen Antennenelemente konstruktive oder destruktive Interferenz angewendet werden kann. In der Radar- und Kommunikationstechnik wird häufig Strahlsteuerung eingesetzt, während in der Radartechnik zur Interferenzunterdrückung die Nullstellensteuerung häufiger Anwendung findet.

• Kardanblockierung  – Verlust eines Freiheitsgrades in einem dreidimensionalen Drei-Kardan-Mechanismus
• Kinematik  – Teilgebiet der Physik, das die Bewegung von Objekten ohne Berücksichtigung von Kräften beschreibt.
• Kinematisches Paar  – Verbindung zwischen zwei physikalischen Objekten, die deren relative Bewegung einschränkt
• XR-2  – Bildungsroboter