Elektrischer Widerstand und Leitfähigkeit

Leitfähigkeit
Gebräuchliche Symbole	σ, κ, γ
SI-Einheit	Siemens pro Meter (S/m)
Andere Einheiten	${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}}$(Gaussian/ESU)
Ableitungen aus anderen Größen	${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}}$
Dimension	${\displaystyle {\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-3}{\mathsf {T}}^{3}{\mathsf {I}}^{2}}$

Der spezifische elektrische Widerstand (auch Volumenwiderstand oder elektrischer Widerstand genannt ) ist eine fundamentale Materialeigenschaft , die seinen elektrischen Widerstand bzw. seinen Widerstand gegen elektrischen Strom misst. Ein niedriger spezifischer Widerstand bedeutet, dass das Material elektrischen Strom gut leitet. Der spezifische Widerstand wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben ρ  ( Rho ) bezeichnet . Die SI- Einheit des spezifischen elektrischen Widerstands ist das Ohm - Meter (Ω·m). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Zum Beispiel, wenn einEin 1 m³ ^großer, massiver Würfel aus diesem Material weist auf zwei gegenüberliegenden Flächen flächige Kontakte auf, und der Widerstand zwischen diesen Kontakten beträgt1 Ω , dann beträgt der spezifische Widerstand des Materials1 Ω⋅m .

Die elektrische Leitfähigkeit (oder spezifische Leitfähigkeit ) ist der Kehrwert des spezifischen elektrischen Widerstands. Sie beschreibt die Fähigkeit eines Materials, elektrischen Strom zu leiten. Üblicherweise wird sie mit dem griechischen Buchstaben σ  ( Sigma ) bezeichnet, gelegentlich werden aber auch κ  ( Kappa ) (insbesondere in der Elektrotechnik) und γ  ( Gamma ) verwendet. Die SI-Einheit der elektrischen Leitfähigkeit ist Siemens pro Meter (S/m). Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit sind intensive Materialeigenschaften, die den Widerstand eines standardisierten Materialwürfels gegen den Stromfluss beschreiben. Elektrischer Widerstand und Leitfähigkeit sind entsprechende extensive Eigenschaften , die den Widerstand eines bestimmten Objekts gegen den elektrischen Stromfluss beschreiben.

Im Idealfall sind Querschnitt und physikalische Zusammensetzung des untersuchten Materials über die gesamte Probe hinweg einheitlich, und sowohl das elektrische Feld als auch die Stromdichte verlaufen parallel und sind überall konstant. Viele Widerstände und Leiter weisen tatsächlich einen einheitlichen Querschnitt mit gleichmäßigem Stromfluss auf und bestehen aus einem einzigen Material, sodass dies ein gutes Modell darstellt. (Siehe nebenstehende Abbildung.) In diesem Fall ist der Widerstand des Leiters direkt proportional zu seiner Länge und umgekehrt proportional zu seiner Querschnittsfläche, wobei der spezifische elektrische Widerstand ρ  (griechisch: rho ) die Proportionalitätskonstante ist. Dies lässt sich wie folgt schreiben:

$${\displaystyle R\propto {\frac {\ell }{A}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\rho {\frac {\ell }{A}}\\[3pt]{}\Leftrightarrow \rho &=R{\frac {A}{\ell }},\end{aligned}}}$$

Wo

Der spezifische Widerstand kann mit der SI- Einheit Ohm  Meter (Ω⋅m) ausgedrückt werden – d. h. Ohm multipliziert mit Quadratmetern (für die Querschnittsfläche) und dann dividiert durch Meter (für die Länge).

Sowohl Widerstand als auch spezifischer Widerstand beschreiben, wie schwer es ist, elektrischen Strom durch ein Material fließen zu lassen. Im Gegensatz zum Widerstand ist der spezifische Widerstand jedoch eine intrinsische Eigenschaft und hängt nicht von den geometrischen Eigenschaften eines Materials ab. Das bedeutet, dass alle reinen Kupferdrähte (Cu), deren Kristallstruktur nicht verändert wurde, unabhängig von ihrer Form und Größe denselben spezifischen Widerstand aufweisen . Ein langer, dünner Kupferdraht hat jedoch einen deutlich höheren Widerstand als ein dicker, kurzer Kupferdraht. Jedes Material hat seinen eigenen charakteristischen spezifischen Widerstand. Beispielsweise hat Gummi einen wesentlich höheren spezifischen Widerstand als Kupfer.

In einer hydraulischen Analogie ist das Leiten von Strom durch ein Material mit hohem spezifischem Widerstand vergleichbar mit dem Durchdrücken von Wasser durch ein mit Sand gefülltes Rohr – während das Leiten von Strom durch ein Material mit niedrigem spezifischem Widerstand dem Durchdrücken von Wasser durch ein leeres Rohr entspricht. Sind die Rohre gleich groß und geformt, bietet das mit Sand gefüllte Rohr einen höheren Strömungswiderstand. Der Widerstand hängt jedoch nicht allein vom Vorhandensein oder Fehlen von Sand ab. Er ist auch von der Länge und Breite des Rohrs abhängig: Kurze oder weite Rohre weisen einen geringeren Widerstand auf als schmale oder lange Rohre.

Die obige Gleichung kann umgestellt werden, um das Pouilletsche Gesetz (benannt nach Claude Pouillet ) zu erhalten:

$${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}.}$$Der Widerstand eines gegebenen Elements ist proportional zu seiner Länge, aber umgekehrt proportional zu seiner Querschnittsfläche. Zum Beispiel, wenn A  =1 ^m² ,  =${\displaystyle \ell }$Wenn man einen Würfel mit perfekt leitfähigen Kontakten auf gegenüberliegenden Flächen bildet, dann ist der Widerstand dieses Elements in Ohm numerisch gleich dem spezifischen Widerstand des Materials, aus dem es besteht, in Ω⋅m.

Die Leitfähigkeit, σ , ist der Kehrwert des spezifischen Widerstands:

$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\rho }}.}$$

Die Leitfähigkeit hat die SI-Einheit Siemens pro Meter (S/m).

Die Leitfähigkeit ist direkt proportional zu${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n\mu _{n}+p\mu _{p}}$

$${\displaystyle \sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})}$$

Dabei gilt: = Elektronenladung, = Elektronenkonzentration, = Lochkonzentration, = Elektronenbeweglichkeit, = Lochbeweglichkeit. ${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{p}}$

Bei komplexeren Geometrien oder wenn der spezifische Widerstand innerhalb des Materials von Punkt zu Punkt variiert, sind Stromstärke und elektrisches Feld ortsabhängig. Dann ist ein allgemeinerer Ausdruck erforderlich, in dem der spezifische Widerstand an einem bestimmten Punkt als das Verhältnis der elektrischen Feldstärke zur Stromdichte definiert wird , die er an diesem Punkt erzeugt.

$${\displaystyle \rho (x)={\frac {E(x)}{J(x)}},}$$

Wo

Die Stromdichte verläuft notwendigerweise parallel zum elektrischen Feld.

Die Leitfähigkeit ist der Kehrwert des spezifischen Widerstands. Sie ist hier gegeben durch:

$${\displaystyle \sigma (x)={\frac {1}{\rho (x)}}={\frac {J(x)}{E(x)}}.}$$

Gummi ist beispielsweise ein Material mit hohem spezifischem Widerstand (ρ) und niedrigem spezifischem Widerstand (σ  ), da selbst ein sehr starkes elektrisches Feld in Gummi nahezu keinen Stromfluss bewirkt. Kupfer hingegen ist ein Material mit niedrigem spezifischem Widerstand (ρ) und hohem spezifischem Widerstand (σ  ), da selbst ein schwaches elektrisches Feld einen hohen Stromfluss bewirkt.

Dieser Ausdruck vereinfacht sich zur oben unter „Idealfall“ angegebenen Formel, wenn der spezifische Widerstand des Materials konstant ist und die Geometrie einen gleichmäßigen Querschnitt aufweist. In diesem Fall sind das elektrische Feld und die Stromdichte konstant und parallel.

Herleitung des konstanten Falls aus dem allgemeinen Fall

Wir werden drei Gleichungen kombinieren. Angenommen, die Geometrie besitzt einen gleichmäßigen Querschnitt und der spezifische Widerstand des Materials ist konstant. Dann sind das elektrische Feld und die Stromdichte konstant und parallel, und gemäß der allgemeinen Definition des spezifischen Widerstands erhalten wir $${\displaystyle \rho ={\frac {E}{J}},}$$ Da das elektrische Feld konstant ist, ergibt es sich aus der Gesamtspannung V am Leiter geteilt durch die Länge ℓ des Leiters: $${\displaystyle E={\frac {V}{\ell }}.}$$ Da die Stromdichte konstant ist, entspricht sie dem Gesamtstrom geteilt durch die Querschnittsfläche: $${\displaystyle J={\frac {I}{A}}.}$$ Setzt man die Werte für E und J in den ersten Ausdruck ein, erhält man: $${\displaystyle \rho ={\frac {VA}{I\ell }}.}$$ Schließlich wenden wir das Ohmsche Gesetz an, V / I = R : $${\displaystyle \rho =R{\frac {A}{\ell }}.}$$

Besitzt der spezifische Widerstand eines Materials eine Richtungsabhängigkeit, muss die allgemeinste Definition des spezifischen Widerstands verwendet werden. Sie basiert auf der Tensor-Vektor-Form des Ohmschen Gesetzes , welches das elektrische Feld im Inneren eines Materials mit dem Stromfluss verknüpft. Diese Gleichung ist absolut allgemein gültig und somit in allen Fällen anwendbar, auch in den oben genannten. Da diese Definition jedoch die komplexeste ist, wird sie nur in anisotropen Fällen direkt verwendet, in denen die einfacheren Definitionen nicht anwendbar sind. Ist das Material isotrop, kann die Tensor-Vektor-Definition vernachlässigt und stattdessen ein einfacherer Ausdruck verwendet werden.

Anisotropie bedeutet hier , dass das Material in verschiedenen Richtungen unterschiedliche Eigenschaften aufweist. Beispielsweise besteht ein Graphitkristall mikroskopisch aus einem Stapel von Schichten, und Strom fließt sehr leicht durch jede Schicht, aber viel weniger leicht von einer Schicht zur benachbarten. ^{[ 4 ]} In solchen Fällen fließt der Strom nicht exakt in der gleichen Richtung wie das elektrische Feld. Daher werden die entsprechenden Gleichungen auf die dreidimensionale Tensorform verallgemeinert: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {E} \,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} ={\boldsymbol {\rho }}\mathbf {J} ,}$$

Dabei sind die Leitfähigkeit σ und der spezifische Widerstand ρ Tensoren zweiter Stufe , das elektrische Feld E und die Stromdichte J Vektoren. Diese Tensoren lassen sich durch 3×3-Matrizen, die Vektoren durch 3×1-Matrizen darstellen, wobei auf der rechten Seite der Gleichungen eine Matrixmultiplikation verwendet wird. In Matrixform lautet die Beziehung für den spezifischen Widerstand:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{xx}&\rho _{xy}&\rho _{xz}\\\rho _{yx}&\rho _{yy}&\rho _{yz}\\\rho _{zx}&\rho _{zy}&\rho _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}},}$$

Wo

Äquivalent dazu kann der spezifische Widerstand in der kompakteren Einstein-Notation angegeben werden :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{i}={\boldsymbol {\rho }}_{ij}\mathbf {J} _{j}~.}$$

In beiden Fällen lautet der resultierende Ausdruck für jede Komponente des elektrischen Feldes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=\rho _{xx}J_{x}+\rho _{xy}J_{y}+\rho _{xz}J_{z},\\E_{y}&=\rho _{yx}J_{x}+\rho _{yy}J_{y}+\rho _{yz}J_{z},\\E_{z}&=\rho _{zx}J_{x}+\rho _{zy}J_{y}+\rho _{zz}J_{z}.\end{aligned}}}$$

Da die Wahl des Koordinatensystems frei ist, vereinfacht man den Ausdruck üblicherweise, indem man eine x -Achse parallel zur aktuellen Richtung wählt, also J _y = J _z = 0. Daraus ergibt sich:

$${\displaystyle \rho _{xx}={\frac {E_{x}}{J_{x}}},\quad \rho _{yx}={\frac {E_{y}}{J_{x}}},{\text{ and }}\rho _{zx}={\frac {E_{z}}{J_{x}}}.}$$

Die Leitfähigkeit wird analog definiert: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}}$$

oder

$${\displaystyle \mathbf {J} _{i}={\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\mathbf {E} _{j},}$$

beides führt zu Folgendem:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{x}&=\sigma _{xx}E_{x}+\sigma _{xy}E_{y}+\sigma _{xz}E_{z}\\J_{y}&=\sigma _{yx}E_{x}+\sigma _{yy}E_{y}+\sigma _{yz}E_{z}\\J_{z}&=\sigma _{zx}E_{x}+\sigma _{zy}E_{y}+\sigma _{zz}E_{z}\end{aligned}}.}$$

Betrachtet man die beiden Ausdrücke, so sind sie die Inversen der jeweils anderen Matrix . Im allgemeinsten Fall sind die einzelnen Matrixelemente jedoch nicht notwendigerweise reziprok; beispielsweise ist σ _{_xx} nicht gleich 1/ ρ _{_xx} . Dies zeigt sich beim Hall-Effekt , wo σ_xx ungleich null ist. Aufgrund der Rotationsinvarianz um die z -Achse gilt beim Hall-Effekt σ_xx = σ_xx , sodass sich die Beziehung zwischen spezifischem Widerstand und Leitfähigkeit vereinfacht zu: ^{[ 8 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \rho _{xy}}$${\displaystyle \rho _{yy}=\rho _{xx}}$${\displaystyle \rho _{yx}=-\rho _{xy}}$

$${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {\rho _{xx}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}},\quad \sigma _{xy}={\frac {-\rho _{xy}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}}.}$$

Wenn das elektrische Feld parallel zum angelegten Strom verläuft, sind die Größen null. In diesem Fall genügt eine einzige Zahl, , um den elektrischen Widerstand zu beschreiben. Er lässt sich dann einfach als schreiben , was sich zu dem einfacheren Ausdruck vereinfacht. ${\displaystyle \rho _{xy}}$${\displaystyle \rho _{xz}}$${\displaystyle \rho _{xx}}$${\displaystyle \rho }$

Elektrischer Strom ist die geordnete Bewegung elektrisch geladener Teilchen . ^{[ 2 ]} Genauer gesagt wird die Beziehung zwischen Stromdichte und Geschwindigkeit geladener Teilchen durch die Gleichung beschrieben, wobei die Stromdichte , die Ladung des Ladungsträgers, die Dichte der Teilchen und ihre Driftgeschwindigkeit , ein zeitlich gemitteltes Maß für ihre langfristige Bewegung, ist .$${\displaystyle {\vec {J}}=qn{\vec {v}}_{d}}$$${\textstyle {\vec {J}}}$${\textstyle q}$${\textstyle n}$${\textstyle {\vec {v}}_{d}}$

Gemäß den Grundlagen der Quantenmechanik kann ein Elektron in einem Atom oder Kristall nur bestimmte, präzise definierte Energieniveaus einnehmen; Energien zwischen diesen Niveaus sind unmöglich. Wenn eine große Anzahl solcher erlaubter Niveaus eng beieinanderliegende Energiewerte aufweist – d. h. sich ihre Energien nur minimal unterscheiden –, werden diese eng beieinanderliegenden Energieniveaus zusammen als „Energieband“ bezeichnet. In einem Material können viele solcher Energiebänder existieren, abhängig von der Ordnungszahl der Atome ^{[ a ]} und ihrer Verteilung im Kristall. ^{[ b ]}

Die Elektronen eines Materials streben danach, die Gesamtenergie zu minimieren, indem sie sich in Energiezustände niedriger Energie begeben. Aufgrund des Pauli-Prinzips kann sich jedoch in jedem dieser Zustände nur ein Elektron befinden. Daher füllen die Elektronen die Bandstruktur von unten nach oben auf. Das charakteristische Energieniveau, bis zu dem die Elektronen die Bandstruktur besetzt haben, wird Fermi-Niveau genannt . Die Lage des Fermi-Niveaus innerhalb der Bandstruktur ist für die elektrische Leitfähigkeit von großer Bedeutung: Nur Elektronen in Energieniveaus nahe oder oberhalb des Fermi-Niveaus können sich innerhalb der Bandstruktur frei bewegen, da sie in diesem Bereich leicht zwischen den teilweise besetzten Zuständen wechseln können. Im Gegensatz dazu sind die Zustände niedriger Energie stets vollständig mit einer festen Anzahl von Elektronen besetzt, während die Zustände hoher Energie stets leer sind.

Elektrischer Strom besteht aus einem Fluss von Elektronen. In Metallen gibt es viele Elektronenenergieniveaus nahe dem Fermi-Niveau, sodass viele Elektronen beweglich sind. Dies ist die Ursache für die hohe elektrische Leitfähigkeit von Metallen.

Ein wichtiger Aspekt der Bandtheorie ist die Existenz verbotener Energiebänder: Energieintervalle ohne Energieniveaus. In Isolatoren und Halbleitern ist die Anzahl der Elektronen genau so groß, dass eine bestimmte Anzahl von Energiebändern niedriger Energie bis zur Bandgrenze vollständig besetzt ist. In diesem Fall liegt das Fermi-Niveau innerhalb einer Bandlücke. Da in der Nähe des Fermi-Niveaus keine Zustände verfügbar sind und die Elektronen nicht frei beweglich sind, ist die elektrische Leitfähigkeit sehr gering.

Ein Metall besteht aus einem Atomgitter , dessen Atome jeweils eine äußere Elektronenschale besitzen. Diese Elektronen können sich frei von ihren Atomen lösen und durch das Gitter wandern. Man spricht hier auch von einem positiv geladenen Ionengitter. ^{[ 9 ]} Dieses „Meer“ dissoziierbarer Elektronen ermöglicht dem Metall die Leitfähigkeit von elektrischem Strom. Wird an das Metall eine elektrische Potenzialdifferenz (eine Spannung ) angelegt, bewirkt das entstehende elektrische Feld, dass Elektronen zum positiven Pol driften. Die tatsächliche Driftgeschwindigkeit der Elektronen ist typischerweise gering und liegt in der Größenordnung von Metern pro Stunde. Aufgrund der großen Anzahl bewegter Elektronen führt jedoch selbst eine geringe Driftgeschwindigkeit zu einer hohen Stromdichte . ^{[ 10 ]} Der Mechanismus ähnelt der Impulsübertragung von Kugeln in einem Newtonschen Pendel ^{[ 11 ]} , aber die schnelle Ausbreitung elektrischer Energie entlang eines Drahtes beruht nicht auf mechanischen Kräften, sondern auf der Ausbreitung eines energiereichen elektromagnetischen Feldes, das vom Draht geführt wird.

Metalle besitzen einen elektrischen Widerstand ungleich null, der jedoch deutlich geringer ist als der von Halbleitern und Isolatoren. In einfacheren Modellen (nicht-quantenmechanischen Modellen) lässt sich dies erklären, indem man Elektronen und das Kristallgitter durch eine wellenartige Struktur ersetzt. Wenn sich die Elektronenwelle durch das Gitter ausbreitet, interferieren die Wellen , was zu Widerstand führt. Je regelmäßiger das Gitter ist, desto geringer sind die Störungen und somit der Widerstand. Die Höhe des Widerstands wird daher hauptsächlich durch zwei Faktoren bestimmt. Erstens durch die Temperatur und die damit verbundene Schwingungsstärke des Kristallgitters. Höhere Temperaturen verursachen stärkere Schwingungen, die als Unregelmäßigkeiten im Gitter wirken. Zweitens ist die Reinheit des Metalls relevant, da auch eine Mischung verschiedener Ionen eine Unregelmäßigkeit darstellt. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Der geringe Abfall der Leitfähigkeit beim Schmelzen reiner Metalle ist auf den Verlust der Fernordnung zurückzuführen. Die Nahordnung bleibt erhalten, und die starke Korrelation zwischen den Positionen der Ionen führt zu Kohärenz zwischen den von benachbarten Ionen gebeugten Wellen. ^{[ 14 ]}

In Metallen liegt das Fermi-Niveau im Leitungsband (siehe Bandtheorie oben), wodurch freie Leitungselektronen entstehen. In Halbleitern hingegen liegt das Fermi-Niveau innerhalb der Bandlücke, etwa auf halbem Weg zwischen dem Leitungsbandminimum (dem unteren Rand des ersten Bandes unbesetzter Elektronenniveaus) und dem Valenzbandmaximum (dem oberen Rand des Bandes unterhalb des Leitungsbandes mit besetzten Elektronenniveaus). Dies gilt für intrinsische (undotierte) Halbleiter. Das bedeutet, dass bei absolutem Nullpunkt keine freien Leitungselektronen existieren und der Widerstand unendlich groß ist. Der Widerstand sinkt jedoch mit zunehmender Ladungsträgerdichte (d. h., ohne weitere Komplikationen einzuführen, mit zunehmender Elektronendichte) im Leitungsband. In extrinsischen (dotierten) Halbleitern erhöhen Dotieratome die Majoritätsladungsträgerkonzentration, indem sie Elektronen in das Leitungsband abgeben oder Löcher im Valenzband erzeugen. (Ein „Loch“ ist eine Position, an der ein Elektron fehlt; solche Löcher können sich ähnlich wie Elektronen verhalten.) Bei beiden Arten von Donator- oder Akzeptoratomen verringert eine Erhöhung der Dotierungskonzentration den Widerstand. Daher verhalten sich hochdotierte Halbleiter metallisch. Bei sehr hohen Temperaturen überwiegt der Beitrag der thermisch erzeugten Ladungsträger den Beitrag der Dotierungsatome, und der Widerstand nimmt exponentiell mit der Temperatur ab.

In Elektrolyten erfolgt die elektrische Leitung nicht durch Elektronen oder Löcher in den Elektronengruppen, sondern durch die Bewegung ganzer Atomarten ( Ionen ), die jeweils eine elektrische Ladung tragen. Der spezifische Widerstand ionischer Lösungen (Elektrolyte) variiert stark mit der Konzentration – während destilliertes Wasser nahezu ein Isolator ist, leitet Salzwasser Strom recht gut. Auch in ionischen Flüssigkeiten wird die Leitfähigkeit durch die Bewegung von Ionen bestimmt, wobei es sich hier jedoch um geschmolzene Salze und nicht um gelöste Ionen handelt. In biologischen Membranen werden Ströme durch ionische Salze transportiert. Kleine Öffnungen in Zellmembranen, sogenannte Ionenkanäle , sind selektiv für bestimmte Ionen und bestimmen den Membranwiderstand.

Die Konzentration von Ionen in einer Flüssigkeit (z. B. in einer wässrigen Lösung) hängt vom Dissoziationsgrad der gelösten Substanz ab, der durch einen Dissoziationskoeffizienten charakterisiert wird . Dieser ist das Verhältnis der Ionenkonzentration zur Konzentration der Moleküle der gelösten Substanz : ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{0}}$

$${\displaystyle N=\alpha N_{0}~.}$$

Die spezifische elektrische Leitfähigkeit ( ) einer Lösung ist gleich: ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma =q\left(b^{+}+b^{-}\right)\alpha N_{0}~,}$$

wobei : Betrag der Ionenladung, und : Mobilität der positiv und negativ geladenen Ionen, : Konzentration der Moleküle der gelösten Substanz, : Dissoziationskoeffizient. ${\displaystyle q}$${\displaystyle b^{+}}$${\displaystyle b^{-}}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle \alpha }$

Der elektrische Widerstand eines metallischen Leiters nimmt mit sinkender Temperatur allmählich ab. In normalen (d. h. nicht supraleitenden) Leitern wie Kupfer oder Silber wird diese Abnahme durch Verunreinigungen und andere Defekte begrenzt. Selbst nahe dem absoluten Nullpunkt weist eine reale Probe eines normalen Leiters einen gewissen Widerstand auf. In einem Supraleiter sinkt der Widerstand abrupt auf null, wenn das Material unter seine kritische Temperatur abgekühlt wird. In einem normalen Leiter wird der Strom durch einen Spannungsgradienten angetrieben, während in einem Supraleiter kein Spannungsgradient existiert und der Strom stattdessen mit dem Phasengradienten des supraleitenden Ordnungsparameters zusammenhängt. ^{[ 15 ]} Eine Folge davon ist, dass ein elektrischer Strom in einer supraleitenden Leiterschleife ohne Stromquelle unbegrenzt fließen kann. ^{[ 16 ]}

Bei einer Klasse von Supraleitern, den sogenannten Typ-II-Supraleitern , zu denen alle bekannten Hochtemperatursupraleiter gehören , tritt bei Temperaturen nahe der nominellen supraleitenden Übergangstemperatur ein extrem niedriger, aber von null verschiedener spezifischer Widerstand auf, wenn ein elektrischer Strom in Verbindung mit einem starken Magnetfeld angelegt wird, das möglicherweise durch den elektrischen Strom verursacht wird. Dies ist auf die Bewegung magnetischer Wirbel in der elektronischen Supraflüssigkeit zurückzuführen, die einen Teil der vom Strom transportierten Energie dissipieren. Der durch diesen Effekt verursachte Widerstand ist im Vergleich zu dem von nicht-supraleitenden Materialien winzig, muss aber in empfindlichen Experimenten berücksichtigt werden. Sinkt die Temperatur jedoch weit genug unter die nominelle supraleitende Übergangstemperatur, können diese Wirbel einfrieren, sodass der Widerstand des Materials tatsächlich null wird.

Plasmen sind sehr gute Leiter, und elektrische Potenziale spielen eine wichtige Rolle.

Das im Raum zwischen geladenen Teilchen gemittelte Potenzial, unabhängig von seiner Messmethode, wird als Plasmapotenzial oder Raumpotenzial bezeichnet . Wird eine Elektrode in ein Plasma eingeführt, liegt ihr Potenzial aufgrund der sogenannten Debye-Schicht im Allgemeinen deutlich unter dem Plasmapotenzial . Die gute elektrische Leitfähigkeit von Plasmen führt zu sehr kleinen elektrischen Feldern. Daraus ergibt sich das wichtige Konzept der Quasineutralität , das besagt, dass die Dichte negativer Ladungen über große Plasmavolumina annähernd gleich der Dichte positiver Ladungen ist ( n _{_e} = ⟨Z⟩ >  n_{_i} ). Auf der Skala der Debye-Länge kann es jedoch zu einem Ladungsungleichgewicht kommen. Im Spezialfall der Bildung von Doppelschichten kann sich die Ladungstrennung über mehrere zehn Debye-Längen erstrecken.

Die Stärke der Potenziale und elektrischen Felder muss auf andere Weise als durch einfache Bestimmung der Nettoladungsdichte ermittelt werden . Ein gängiges Beispiel ist die Annahme, dass die Elektronen der Boltzmann-Gleichung genügen : $${\displaystyle n_{\text{e}}\propto \exp \left(e\Phi /k_{\text{B}}T_{\text{e}}\right).}$$

Durch Differenzieren dieser Beziehung lässt sich das elektrische Feld aus der Dichte berechnen: $${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {k_{\text{B}}T_{\text{e}}}{e}}{\frac {\nabla n_{\text{e}}}{n_{\text{e}}}}.}$$

(∇ ist der Vektorgradientenoperator; siehe Nabla-Symbol und Gradient für weitere Informationen.)

Es ist möglich, ein nicht-quasineutrales Plasma zu erzeugen. Ein Elektronenstrahl beispielsweise besitzt ausschließlich negative Ladungen. Die Dichte eines nicht-neutralen Plasmas muss im Allgemeinen sehr gering sein. Andernfalls wird es durch die abstoßende elektrostatische Kraft aufgelöst.

In astrophysikalischen Plasmen verhindert die Debye-Abschirmung , dass elektrische Felder das Plasma über große Entfernungen, d. h. größer als die Debye-Länge , direkt beeinflussen. Die Existenz geladener Teilchen führt jedoch dazu, dass das Plasma Magnetfelder erzeugt und von diesen beeinflusst wird . Dies kann äußerst komplexe Phänomene hervorrufen, wie beispielsweise die Entstehung von Plasma-Doppelschichten, die Ladungen über mehrere zehn Debye-Längen trennen. Die Dynamik von Plasmen, die mit externen und selbst erzeugten Magnetfeldern wechselwirken, wird im Forschungsgebiet der Magnetohydrodynamik untersucht .

Plasma wird oft als vierter Aggregatzustand nach fest, flüssig und gasförmig bezeichnet. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Es unterscheidet sich von diesen und anderen niederenergetischen Aggregatzuständen . Obwohl es eng mit der Gasphase verwandt ist, da es ebenfalls keine feste Form oder kein festes Volumen besitzt, unterscheidet es sich in vielerlei Hinsicht, unter anderem in folgenden Punkten:

• Ein Leiter wie beispielsweise ein Metall besitzt eine hohe Leitfähigkeit und einen niedrigen spezifischen Widerstand.
• Ein Isolator wie Glas hat eine geringe Leitfähigkeit und einen hohen spezifischen Widerstand.
• Die Leitfähigkeit eines Halbleiters ist im Allgemeinen mittelgroß, variiert jedoch stark unter verschiedenen Bedingungen, wie z. B. der Einwirkung elektrischer Felder oder bestimmter Lichtfrequenzen auf das Material und, was am wichtigsten ist, mit der Temperatur und der Zusammensetzung des Halbleitermaterials.

Der Dotierungsgrad von Halbleitern hat einen großen Einfluss auf die Leitfähigkeit. Bis zu einem gewissen Grad führt eine höhere Dotierung zu einer höheren Leitfähigkeit. Die Leitfähigkeit von Wasser bzw. wässrigen Lösungen hängt stark von der Konzentration gelöster Salze und anderer chemischer Spezies ab, die in der Lösung ionisieren . Die elektrische Leitfähigkeit von Wasserproben dient als Indikator für deren Reinheit (Salz-, Ionen- und Verunreinigungsfreiheit): Je reiner das Wasser, desto geringer die Leitfähigkeit (und desto höher der spezifische Widerstand). Leitfähigkeitsmessungen in Wasser werden häufig als spezifische Leitfähigkeit relativ zur Leitfähigkeit von reinem Wasser angegeben.25 °C . Ein EC-Meter wird üblicherweise zur Messung der Leitfähigkeit einer Lösung verwendet. Eine kurze Zusammenfassung folgt:

Diese Tabelle zeigt den spezifischen Widerstand ( ρ ), die Leitfähigkeit und den Temperaturkoeffizienten verschiedener Materialien bei 20 °C (68 °F; 293 K).

Der effektive Temperaturkoeffizient variiert mit der Temperatur und dem Reinheitsgrad des Materials. Der Wert bei 20 °C ist bei anderen Temperaturen nur ein Näherungswert. Beispielsweise sinkt der Koeffizient bei Kupfer mit steigender Temperatur, und der Wert 0,00427 wird üblicherweise angegeben.0 °C . ^{[ 53 ]}

Der extrem niedrige spezifische Widerstand (die hohe Leitfähigkeit) von Silber ist charakteristisch für Metalle. George Gamow fasste die Art und Weise, wie Metalle mit Elektronen umgehen, in seinem populärwissenschaftlichen Buch „ Eins, Zwei, Drei…Unendlich “ (1947) prägnant zusammen:

Metallische Stoffe unterscheiden sich von allen anderen Materialien dadurch, dass die äußeren Elektronenschalen ihrer Atome relativ schwach gebunden sind und oft ein Elektron frei abgeben. So ist das Innere eines Metalls mit einer großen Anzahl ungebundener Elektronen gefüllt, die sich wie eine Schar heimatloser Menschen ziellos bewegen. Wird ein Metalldraht an seinen gegenüberliegenden Enden einer elektrischen Kraft ausgesetzt, strömen diese freien Elektronen in Richtung der Kraft und bilden so den elektrischen Strom.

Genauer gesagt liefert das Modell der freien Elektronen eine grundlegende Beschreibung des Elektronenflusses in Metallen.

Holz gilt allgemein als ein extrem guter Isolator, aber sein spezifischer Widerstand hängt stark vom Feuchtigkeitsgehalt ab, wobei feuchtes Holz einen Faktor von mindestens10 ¹⁰ schlechtere Isolierung als ofentrockenes Holz. ^{[ 46 ]} In jedem Fall kann eine ausreichend hohe Spannung – wie sie beispielsweise bei Blitzeinschlägen oder einigen Hochspannungsleitungen auftritt – selbst bei scheinbar trockenem Holz zu Isolationsdurchschlägen und Stromschlaggefahr führen.

Der elektrische Widerstand der meisten Materialien ändert sich mit der Temperatur. Wenn die Temperatur T nicht allzu stark variiert, wird typischerweise eine lineare Näherung verwendet: $${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})],}$$

Hierbei ist der Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstands , eine feste Referenztemperatur (üblicherweise Raumtemperatur) und der spezifische Widerstand bei der Temperatur . Der Parameter ist ein empirischer Parameter, der aus Messdaten ermittelt wird und gleich 1/ ist . Da die lineare Näherung nur eine Näherung darstellt, ist für verschiedene Referenztemperaturen unterschiedlich. Daher wird üblicherweise die bei gemessene Temperatur mit einem Suffix wie z. B. angegeben , und die Beziehung gilt nur in einem Temperaturbereich um die Referenztemperatur. ^{[ 54 ]} Bei großen Temperaturschwankungen ist die lineare Näherung unzureichend, und eine detailliertere Analyse ist erforderlich. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{15}}$

Im Allgemeinen steigt der elektrische Widerstand von Metallen mit der Temperatur. Elektron- Phonon- Wechselwirkungen spielen dabei eine entscheidende Rolle. Bei hohen Temperaturen steigt der Widerstand eines Metalls linear mit der Temperatur. Mit sinkender Temperatur folgt die Temperaturabhängigkeit des Widerstands einer Potenzfunktion der Temperatur. Mathematisch lässt sich die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands ρ eines Metalls näherungsweise durch die Bloch-Grüneisen-Formel beschreiben: ^{[ 55 ]}

$${\displaystyle \rho (T)=\rho (0)+A\left({\frac {T}{\Theta _{R}}}\right)^{n}\int _{0}^{\Theta _{R}/T}{\frac {x^{n}}{(e^{x}-1)(1-e^{-x})}}\,dx,}$$

Hierbei ist der Restwiderstand aufgrund von Defektstreuung, A eine Konstante, die von der Geschwindigkeit der Elektronen an der Fermi-Fläche , dem Debye-Radius und der Elektronendichte im Metall abhängt. ist die Debye-Temperatur , die aus Widerstandsmessungen ermittelt wird und sehr gut mit den Werten der Debye-Temperatur übereinstimmt, die aus spezifischen Wärmekapazitätsmessungen gewonnen werden. n ist eine ganze Zahl, die von der Art der Wechselwirkung abhängt. ${\displaystyle \rho (0)}$${\displaystyle \Theta _{R}}$

• n  = 5 bedeutet, dass der Widerstand auf die Streuung von Elektronen an Phononen zurückzuführen ist (wie es bei einfachen Metallen der Fall ist).
• n  = 3 bedeutet, dass der Widerstand auf sd-Elektronenstreuung zurückzuführen ist (wie es bei Übergangsmetallen der Fall ist).
• n  = 2 bedeutet, dass der Widerstand auf die Wechselwirkung zwischen Elektronen zurückzuführen ist.

Die Bloch-Grüneisen-Formel ist eine Näherung, die unter der Annahme gewonnen wird, dass das untersuchte Metall eine sphärische Fermi-Fläche besitzt, die in die erste Brillouin-Zone eingeschrieben ist , und ein Debye-Phononenspektrum aufweist . ^{[ 56 ]}

Sind gleichzeitig mehr als eine Streuquelle vorhanden, so besagt die Matthiessen-Regel (erstmals formuliert von Augustus Matthiessen in den 1860er Jahren) ^{[ 57 ] [ 58 ]} , dass der Gesamtwiderstand durch die Addition mehrerer verschiedener Terme angenähert werden kann, wobei jeder Term den entsprechenden Wert von n hat  .

Wird die Temperatur des Metalls ausreichend gesenkt (um alle Phononen „einzufrieren“), erreicht der spezifische Widerstand üblicherweise einen konstanten Wert, den sogenannten Restwiderstand . Dieser Wert hängt nicht nur von der Metallart, sondern auch von seiner Reinheit und seiner thermischen Vorgeschichte ab. Der Restwiderstand eines Metalls wird durch seine Verunreinigungskonzentration bestimmt. Einige Materialien verlieren bei ausreichend niedrigen Temperaturen aufgrund eines Effekts, der als Supraleitung bekannt ist, ihren gesamten elektrischen Widerstand .

Die Untersuchung des Tieftemperaturwiderstands von Metallen war die Motivation für Heike Kamerlingh Onnes ' Experimente, die 1911 zur Entdeckung der Supraleitung führten . Weitere Informationen finden Sie unter Geschichte der Supraleitung .

Das Wiedemann-Franz-Gesetz besagt, dass bei Materialien, bei denen der Wärme- und Ladungstransport von Elektronen dominiert wird, das Verhältnis von thermischer zu elektrischer Leitfähigkeit proportional zur Temperatur ist:

$${\displaystyle {\kappa \over \sigma }={\pi ^{2} \over 3}\left({\frac {k}{e}}\right)^{2}T,}$$

Dabei ist die Wärmeleitfähigkeit , die Boltzmann-Konstante , die Elementarladung, die Temperatur und die elektrische Leitfähigkeit . Das Verhältnis auf der rechten Seite wird als Lorenz-Zahl bezeichnet. ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle k}$${\displaystyle e}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma }$

Im Allgemeinen nimmt der intrinsische Widerstand von Halbleitern mit steigender Temperatur ab. Die Elektronen werden durch thermische Energie in das Leitungsband angeregt , wo sie sich frei bewegen können. Dabei hinterlassen sie Löcher im Valenzband , die sich ebenfalls frei bewegen können. Der elektrische Widerstand eines typischen intrinsischen (undotierten) Halbleiters nimmt exponentiell mit der Temperatur gemäß dem Arrhenius-Modell ab .

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{\frac {E_{A}}{k_{B}T}}.}$$

Eine noch bessere Näherung für die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands eines Halbleiters liefert die Steinhart-Hart-Gleichung :

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln \rho +C(\ln \rho )^{3},}$$

wobei A , B und C die sogenannten Steinhart-Hart-Koeffizienten sind .

Diese Gleichung wird zur Kalibrierung von Thermistoren verwendet .

Extrinsische (dotierte) Halbleiter weisen ein deutlich komplexeres Temperaturprofil auf. Mit steigender Temperatur, ausgehend vom absoluten Nullpunkt, sinkt ihr Widerstand zunächst steil ab, da die Ladungsträger die Donatoren oder Akzeptoren verlassen. Nachdem die meisten Donatoren oder Akzeptoren ihre Ladungsträger abgegeben haben, steigt der Widerstand aufgrund der abnehmenden Ladungsträgerbeweglichkeit (ähnlich wie in einem Metall) wieder leicht an. Bei höheren Temperaturen verhalten sie sich wie intrinsische Halbleiter, da die Ladungsträger aus den Donatoren/Akzeptoren im Vergleich zu den thermisch erzeugten Ladungsträgern vernachlässigbar werden. ^{[ 59 ]}

In nichtkristallinen Halbleitern kann die Leitfähigkeit durch Quantentunneln von Ladungen von einem lokalisierten Ort zum anderen erfolgen. Dies wird als variable Reichweitenübergänge bezeichnet und hat die charakteristische Form von $${\displaystyle \rho =A\exp \left((T_{0}/T)^{1/n}\right),}$$

wobei n = 2, 3, 4, abhängig von der Dimensionalität des Systems, und eine charakteristische Temperaturskala ist. ${\displaystyle T_{0}}$

Kondo-Isolatoren sind Materialien, deren spezifischer Widerstand der Formel folgt.

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}+aT^{2}+bT^{5}+c_{m}\ln {\frac {\mu }{T}}}$

wobei , , und konstante Parameter sind, der Restwiderstand, der Fermi- Flüssigkeitsbeitrag, ein Gitterschwingungsterm und der Kondo-Effekt . ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle T^{5}}$${\displaystyle \ln {\frac {1}{T}}}$

Bei der Analyse der Reaktion von Materialien auf Wechselfelder ( dielektrische Spektroskopie ) ^{[ 60 ]} , beispielsweise in der elektrischen Impedanztomographie [ ^{61 ],} ist es zweckmäßig, den spezifischen Widerstand durch eine komplexe Größe, die ^Impedanz ( analog zur elektrischen Impedanz ), zu ersetzen. Die Impedanz ist die Summe aus einem Realteil, dem spezifischen Widerstand, und einem Imaginärteil, der Reaktivität (analog zur Reaktanz ). Der Betrag der Impedanz entspricht der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate von spezifischem Widerstand und Reaktivität.

Umgekehrt muss in solchen Fällen die Leitfähigkeit als komplexe Zahl (oder bei anisotropen Materialien sogar als Matrix komplexer Zahlen) ausgedrückt werden, die als Admittivität bezeichnet wird . Die Admittivität ist die Summe einer Realkomponente, der Leitfähigkeit, und einer Imaginärkomponente, der Suszeptibilität .

Eine alternative Beschreibung des Verhaltens gegenüber Wechselströmen verwendet eine reelle (aber frequenzabhängige) Leitfähigkeit sowie eine reelle Permittivität . Je größer die Leitfähigkeit ist, desto schneller wird das Wechselstromsignal vom Material absorbiert (d. h., desto undurchsichtiger ist das Material). Einzelheiten hierzu finden Sie unter „Mathematische Beschreibungen der Opazität“ .

Selbst wenn der spezifische Widerstand des Materials bekannt ist, kann die Berechnung des Widerstands eines daraus gefertigten Bauteils in manchen Fällen deutlich komplizierter sein als mit der obigen Formel. Ein Beispiel hierfür ist die Widerstandsmessung mittels Ausbreitungsprofilierung , bei der das Material inhomogen ist (unterschiedliche spezifische Widerstände an verschiedenen Stellen) und die genauen Stromwege nicht offensichtlich sind. ${\displaystyle R=\rho \ell /A}$

In solchen Fällen gelten die Formeln $${\displaystyle J=\sigma E\,\,\rightleftharpoons \,\,E=\rho J}$$

muss ersetzt werden durch $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )=\sigma (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )\,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\rho (\mathbf {r} )\mathbf {J} (\mathbf {r} ),}$$

Hierbei sind E und J nun Vektorfelder . Diese Gleichung bildet zusammen mit der Kontinuitätsgleichung für J und der Poisson-Gleichung für E ein System partieller Differentialgleichungen . In speziellen Fällen lässt sich eine exakte oder näherungsweise Lösung dieser Gleichungen von Hand finden; für sehr genaue Ergebnisse in komplexen Fällen sind jedoch computergestützte Methoden wie die Finite-Elemente-Analyse erforderlich.

In manchen Anwendungen, bei denen das Gewicht eines Bauteils eine wichtige Rolle spielt, ist das Produkt aus spezifischem Widerstand und Dichte wichtiger als ein absolut niedriger spezifischer Widerstand. Oft lässt sich ein höherer spezifischer Widerstand durch eine größere Leiterdicke ausgleichen; in solchen Fällen ist ein Material mit einem niedrigen Produkt aus spezifischem Widerstand und Dichte (oder äquivalent dazu ein hohes Verhältnis von Leitfähigkeit zu Dichte) vorteilhaft. Beispielsweise wird für Freileitungen über große Entfernungen häufig Aluminium anstelle von Kupfer ( Cu ) verwendet, da es bei gleicher Leitfähigkeit leichter ist.

Silber ist zwar das Metall mit dem geringsten spezifischen Widerstand, besitzt aber eine hohe Dichte und weist in dieser Hinsicht ähnliche Eigenschaften wie Kupfer auf, ist jedoch deutlich teurer. Calcium und die Alkalimetalle weisen die besten spezifischen Widerstands-Dichte-Produkte auf, werden aber aufgrund ihrer hohen Reaktivität mit Wasser und Sauerstoff sowie ihrer geringen Festigkeit selten für Leiter verwendet. Aluminium ist wesentlich stabiler. Beryllium scheidet aufgrund seiner Toxizität aus; ^{[ 62 ]} reines Beryllium ist zudem spröde. Daher ist Aluminium in der Regel das Metall der Wahl, wenn Gewicht oder Kosten eines Leiters ausschlaggebend sind.

In einem Brief aus dem Jahr 1774 an den in den Niederlanden geborenen britischen Wissenschaftler Jan Ingenhousz berichtet Benjamin Franklin von einem Experiment eines anderen britischen Wissenschaftlers, John Walsh , das angeblich diese erstaunliche Tatsache bewies: Obwohl verdünnte Luft Elektrizität besser leitet als gewöhnliche Luft, leitet ein Vakuum Elektrizität überhaupt nicht. ^{[ 63 ]}

Herr Walsh hat soeben eine bemerkenswerte Entdeckung auf dem Gebiet der Elektrizität gemacht. Bekanntlich fließt elektrischer Strom in verdünnter Luft freier und überwindet größere Distanzen als in dichter Luft; daraus schloss man, dass er in einem perfekten Vakuum jede beliebige Strecke ungehindert zurücklegen könnte. Nachdem er jedoch mithilfe von siedendem Quecksilber in einem langen, bogenförmigen Rohr, dessen Enden in mit Quecksilber gefüllte Becher getaucht waren, ein perfektes Vakuum erzeugt hatte, stellte er fest, dass das Vakuum überhaupt nicht leitet, sondern den Durchtritt der elektrischen Flüssigkeit absolut behindert.

Allerdings wurde dieser Aussage von den Herausgebern der Webseite, auf der der Brief veröffentlicht wurde, ein (auf der Grundlage des heutigen Wissensstandes) Hinweis hinzugefügt: ^{[ 63 ]}

Wir können nur vermuten, dass Walshs Ergebnisse fehlerhaft waren. … Zwar steigt die Leitfähigkeit eines Gases beim Annähern an ein Vakuum bis zu einem gewissen Punkt an und sinkt dann wieder, doch dieser Punkt liegt weit jenseits dessen, was mit der beschriebenen Methode hätte erreicht werden können. Beim Sieden wurde die Luft durch Quecksilberdampf ersetzt, der beim Abkühlen ein Vakuum erzeugte, das kaum ausreichte, um die Leitfähigkeit des Dampfes zu verringern, geschweige denn zu eliminieren.

Das Barlowsche Gesetz wurde 1825 veröffentlicht. Das Ohmsche Gesetz wurde 1827 veröffentlicht. Beide waren empirische Anpassungen an Messdaten.

Die erste wissenschaftliche Erklärung für dieses Verhalten der Elektronen ist das Drude-Modell , das erstmals im Jahr 1900 vorgeschlagen wurde.

• Paul Tipler (2004). Physik für Naturwissenschaftler und Ingenieure: Elektrizität, Magnetismus, Licht und elementare moderne Physik (5. Aufl.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0810-0Die
• Messung des elektrischen Widerstands und der Leitfähigkeit

• „Elektrische Leitfähigkeit“ . Sechzig Symbole . Brady Haran für die Universität Nottingham . 2010.
• Vergleich der elektrischen Leitfähigkeit verschiedener Elemente in WolframAlpha
• Partielle und totale Leitfähigkeit. „Elektrische Leitfähigkeit“ (PDF) . Archiviert vom Original (PDF) am 17. April 2020. Abgerufen am 21. Dezember 2019 .

• https://edu-physics.com/2021/01/07/resistivity-of-the-material-of-a-wire-physics-practical/