Euklidische Distanz

In der Mathematik ist der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten im euklidischen Raum die Länge der Verbindungsstrecke zwischen ihnen. Er lässt sich aus den kartesischen Koordinaten der Punkte mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen und wird daher gelegentlich auch als pythagoreischer Abstand bezeichnet .

Diese Namen gehen auf die antiken griechischen Mathematiker Euklid und Pythagoras zurück . In der griechischen deduktiven Geometrie , wie sie beispielsweise in Euklids Elementen zum Ausdruck kommt , wurden Entfernungen nicht als Zahlen, sondern als gleich lange Strecken dargestellt, die als „gleich“ galten. Der Begriff der Entfernung ist dem Zirkel , mit dem man einen Kreis zeichnet , inhärent ; alle seine Punkte haben denselben Abstand zu einem gemeinsamen Mittelpunkt . Die Verbindung vom Satz des Pythagoras zur Entfernungsberechnung wurde erst im 18. Jahrhundert hergestellt.

Der Abstand zwischen zwei Objekten, die keine Punkte sind, ist üblicherweise als der kleinste Abstand zwischen zwei Punkten definiert, die von diesen beiden Objekten ausgehen. Es gibt Formeln zur Berechnung von Abständen zwischen verschiedenen Objekttypen, beispielsweise dem Abstand eines Punktes zu einer Geraden . In der höheren Mathematik wurde der Abstandsbegriff auf abstrakte metrische Räume verallgemeinert , und es wurden neben dem euklidischen Abstand auch andere Abstandsmaße untersucht. In einigen Anwendungen der Statistik und Optimierung wird anstelle des euklidischen Abstands dessen Quadrat verwendet.

Der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Zahlengeraden ist der Betrag der numerischen Differenz ihrer Koordinaten, ihre absolute Differenz . Sind also und zwei Punkte auf der Zahlengeraden, so ist der Abstand zwischen ihnen gegeben durch: ^{[ 1 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|pq|.}$$

Eine kompliziertere Formel, die denselben Wert liefert, sich aber leichter auf höhere Dimensionen verallgemeinern lässt, lautet: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(pq)^{2}}}.}$$

Bei dieser Formel bleibt durch Quadrieren und anschließendes Wurzelziehen jede positive Zahl unverändert, während jede negative Zahl durch ihren Absolutbetrag ersetzt wird. ^{[ 1 ]}

In der euklidischen Ebene seien die kartesischen Koordinaten des Punktes und die Koordinaten des Punktes gegeben . Dann ist der Abstand zwischen und gegeben durch: ^{[ 2 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$$

Dies lässt sich anhand des Satzes des Pythagoras auf ein rechtwinkliges Dreieck mit horizontalen und vertikalen Seiten und der Strecke von A nach B als Hypotenuse veranschaulichen . Die beiden Quadrate unter der Wurzel ergeben die Flächeninhalte der Quadrate über den horizontalen und vertikalen Seiten, und die äußere Wurzel wandelt den Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse in die Länge der Hypotenuse um. ^{[ 3 ]} Mit der pythagoreischen Addition , die in vielen Softwarebibliotheken als pythagoreische Addition verfügbar ist , lässt sich dieselbe Formel wie folgt ausdrücken: ^{[ 4 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \oplus }$hypot

$${\displaystyle d(p,q)=(p_{1}-q_{1})\oplus (p_{2}-q_{2})={\mathsf {hypot}}(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2}).}$$

Es ist auch möglich, den Abstand zwischen Punkten zu berechnen, die durch Polarkoordinaten gegeben sind . Wenn die Polarkoordinaten von und die Polarkoordinaten von sind , dann ist ihr Abstand ^{[ 2 ]} gegeben durch den Kosinussatz : ${\displaystyle p}$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle (s,\psi )}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

Wenn und als komplexe Zahlen in der komplexen Ebene ausgedrückt werden , kann die gleiche Formel wie für eindimensionale Punkte, die als reelle Zahlen ausgedrückt werden, verwendet werden, wobei hier das Betragszeichen die komplexe Norm angibt : ^{[ 5 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|pq|.}$$

Im dreidimensionalen Raum beträgt der Abstand zwischen Punkten, die durch ihre kartesischen Koordinaten gegeben sind,

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

Im Allgemeinen ist für Punkte, die durch kartesische Koordinaten im -dimensionalen euklidischen Raum gegeben sind, der Abstand ^{[ 6 ].}${\displaystyle n}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

Der euklidische Abstand kann auch kompakter durch die euklidische Norm der euklidischen Vektordifferenz ausgedrückt werden: ^{[ 7 ].}

$${\displaystyle d(p,q)=\|pq\|.}$$

Bei Objektpaaren, die nicht beide Punkte sind, lässt sich der Abstand am einfachsten als der kleinste Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten der beiden Objekte definieren. Allerdings werden auch komplexere Verallgemeinerungen von Punkten auf Mengen, wie beispielsweise der Hausdorff-Abstand, häufig verwendet. ^{[ 8 ]} Formeln zur Berechnung von Abständen zwischen verschiedenen Objekttypen umfassen:

• Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden in der euklidischen Ebene ^{[ 9 ]}
• Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene im dreidimensionalen euklidischen Raum ^{[ 9 ]}
• Der Abstand zwischen zwei Geraden im dreidimensionalen euklidischen Raum ^{[ 10 ]}

Der Abstand eines Punktes zu einer Kurve kann verwendet werden, um ihre Parallelkurve zu definieren , eine andere Kurve, deren Punkte alle den gleichen Abstand zur gegebenen Kurve haben. ^{[ 11 ]}

Die euklidische Distanz ist das prototypische Beispiel für die Distanz in einem metrischen Raum , ^{[ 12 ]} und erfüllt alle definierenden Eigenschaften eines metrischen Raums: ^{[ 13 ].}

• Es ist symmetrisch , d. h. für alle Punkte und gilt . Das heißt (anders als bei Straßenentfernungen in Einbahnstraßen) hängt die Entfernung zwischen zwei Punkten nicht davon ab, welcher der beiden Punkte der Start- und welcher der Zielpunkt ist. ^{[ 13 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$
• Es ist positiv , was bedeutet, dass der Abstand zwischen je zwei verschiedenen Punkten eine positive Zahl ist , während der Abstand eines beliebigen Punktes zu sich selbst null ist. ^{[ 13 ]}
• Es erfüllt die Dreiecksungleichung : Für je drei Punkte , , und , gilt . Intuitiv kann der Weg von nach über nicht kürzer sein als der direkte Weg von nach . ^{[ 13 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$

Eine weitere Eigenschaft, die Ptolemäus-Ungleichung , betrifft die euklidischen Abstände zwischen vier Punkten , , , und . Sie besagt, dass ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

Für Punkte in der Ebene lässt sich dies so formulieren, dass in jedem Viereck die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten mindestens so groß ist wie das Produkt seiner Diagonalen. Die Ptolemäus-Ungleichung gilt jedoch allgemeiner für Punkte in euklidischen Räumen beliebiger Dimension, unabhängig von ihrer Anordnung. ^{[ 14 ]} Für Punkte in metrischen Räumen, die keine euklidischen Räume sind, ist diese Ungleichung möglicherweise nicht gültig. Die Geometrie euklidischer Distanzen untersucht Eigenschaften euklidischer Distanzen wie die Ptolemäus-Ungleichung und deren Anwendung, um zu prüfen, ob gegebene Distanzmengen von Punkten in einem euklidischen Raum stammen. ^{[ 15 ]}

Nach dem Satz von Beckman-Quarles muss jede Transformation der euklidischen Ebene oder eines höherdimensionalen euklidischen Raums, die Einheitsabstände erhält, eine Isometrie sein , die alle Abstände erhält. ^{[ 16 ]}

Ein Kegel , der Graph der euklidischen Abstände vom Ursprung in der Ebene

Ein Paraboloid , der Graph des quadrierten euklidischen Abstands vom Ursprung

In vielen Anwendungen, insbesondere beim Vergleich von Distanzen, kann es praktischer sein, die letzte Quadratwurzel bei der Berechnung euklidischer Distanzen wegzulassen, da die Quadratwurzel die Reihenfolge nicht verändert ( genau dann, wenn ). Der sich daraus ergebende Wert ist das Quadrat der euklidischen Distanz und wird als quadrierte euklidische Distanz bezeichnet . ^{[ 17 ]} Beispielsweise kann der euklidische minimale Spannbaum allein anhand der Reihenfolge der Distanzen und nicht anhand ihrer numerischen Werte bestimmt werden. Der Vergleich quadrierter Distanzen liefert dasselbe Ergebnis, vermeidet aber eine unnötige Quadratwurzelberechnung und umgeht Probleme der numerischen Genauigkeit. ^{[ 18 ]} Als Gleichung lässt sich die quadrierte Distanz als Summe von Quadraten ausdrücken : ${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Neben ihrer Anwendung im Distanzvergleich ist die quadrierte euklidische Distanz von zentraler Bedeutung in der Statistik . Sie wird in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet , einem Standardverfahren zur Anpassung statistischer Schätzwerte an Daten durch Minimierung des Mittelwerts der quadrierten Distanzen zwischen beobachteten und geschätzten Werten ^{[ 19 ]} . Zudem dient sie als einfachste Form der Divergenz zum Vergleich von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ^{[ 20 ]} . Die Addition quadrierter Distanzen, wie sie bei der Anpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate erfolgt, entspricht einer Operation mit (nicht quadrierten) Distanzen, der sogenannten pythagoreischen Addition ^{[ 21 ]} . In der Clusteranalyse können quadrierte Distanzen verwendet werden, um die Wirkung größerer Distanzen zu verstärken ^{[ 17 ] .}

Das Quadrat des euklidischen Abstands bildet keinen metrischen Raum, da es die Dreiecksungleichung nicht erfüllt. ^{[ 22 ]} Es ist jedoch eine glatte, streng konvexe Funktion der beiden Punkte, im Gegensatz zum Abstand, der nicht glatt (bei nahe beieinander liegenden, gleichen Punkten) und konvex, aber nicht streng konvex ist. Daher wird das Quadrat des Abstands in der Optimierungstheorie bevorzugt, da es die Anwendung konvexer Analysis ermöglicht . Da das Quadrieren eine monotone Funktion nichtnegativer Werte ist, ist die Minimierung des Quadrats des Abstands äquivalent zur Minimierung des euklidischen Abstands. Somit ist das Optimierungsproblem in beiden Fällen äquivalent, lässt sich aber mit dem Quadrat des Abstands leichter lösen. ^{[ 23 ]}

Die Menge aller quadrierten Abstände zwischen Paaren von Punkten aus einer endlichen Menge kann in einer euklidischen Distanzmatrix gespeichert werden und wird in dieser Form in der Distanzgeometrie verwendet. ^{[ 24 ]}

In fortgeschrittenen Bereichen der Mathematik wird der euklidische Raum als Vektorraum betrachtet . Seine Distanz wird mit einer Norm, der sogenannten euklidischen Norm , assoziiert, die als Abstand jedes Vektors vom Ursprung definiert ist . Eine wichtige Eigenschaft dieser Norm im Vergleich zu anderen Normen ist, dass sie unter beliebigen Drehungen des Raums um den Ursprung unverändert bleibt. ^{[ 25 ]} Nach dem Satz von Dvoretzky besitzt jeder endlichdimensionale normierte Vektorraum einen hochdimensionalen Unterraum, auf dem die Norm annähernd euklidisch ist; die euklidische Norm ist die einzige Norm mit dieser Eigenschaft. ^{[ 26 ]} Sie lässt sich auf unendlichdimensionale Vektorräume als L² ^- Norm oder L² ^- Distanz erweitern. ^{[ 27 ]} Die euklidische Distanz verleiht dem euklidischen Raum die Struktur eines topologischen Raums , der euklidischen Topologie , wobei die offenen Kugeln (Teilmengen von Punkten, die weniger als einen gegebenen Abstand von einem gegebenen Punkt haben) seine Umgebungen bilden . ^{[ 28 ]}

Weitere gebräuchliche Distanzen in reellen Koordinatenräumen und Funktionenräumen : ^{[ 29 ]}

• Die Tschebyscheff-Distanz ( L∞ ^- Distanz) misst die Distanz als das Maximum der Distanzen in jeder Koordinate.
• Taxidistanz ( L1 ^- Distanz), auch Manhattan-Distanz genannt, misst die Entfernung als Summe der Entfernungen in jeder Koordinate.
• Die Minkowski-Distanz ( Lp ^- Distanz) ist eine Verallgemeinerung, die die euklidische Distanz, die Taxicab-Distanz und die Tschebyscheff-Distanz vereint.

Für Punkte auf Flächen im dreidimensionalen Raum ist die euklidische Distanz von der geodätischen Distanz zu unterscheiden, der Länge der kürzesten Kurve, die zur Fläche gehört. Insbesondere zur Messung von Großkreisdistanzen auf der Erde oder anderen sphärischen oder nahezu sphärischen Flächen wurden unter anderem die Haversine-Distanz, die Großkreisdistanzen zwischen zwei Punkten auf einer Kugel anhand ihrer Längen- und Breitengrade angibt, und die Vincenty-Formel , auch bekannt als „Vincent-Distanz“, für Distanzen auf einem Sphäroid verwendet. ^{[ 30 ]}

Die euklidische Distanz ist die Distanz im euklidischen Raum . Beide Konzepte sind nach dem antiken griechischen Mathematiker Euklid benannt , dessen „Elemente“ über viele Jahrhunderte ein Standardlehrbuch der Geometrie waren. ^{[ 31 ]} Längen- und Distanzbegriffe sind in vielen Kulturen weit verbreitet und lassen sich bis zu den ältesten erhaltenen „protoliterarischen“ bürokratischen Dokumenten aus Sumer im vierten Jahrtausend v. Chr. (weit vor Euklid) zurückverfolgen. ^{[ 32 ]} Es wird angenommen, dass sie sich bei Kindern früher entwickeln als die verwandten Konzepte von Geschwindigkeit und Zeit. ^{[ 33 ]} Der Begriff der Distanz als Zahl, definiert durch zwei Punkte, taucht jedoch in Euklids „ Elementen“ nicht auf . Stattdessen nähert sich Euklid diesem Konzept implizit durch die Kongruenz von Strecken, durch den Vergleich von Streckenlängen und durch das Konzept der Proportionalität . ^{[ 34 ]}

Der Satz des Pythagoras ist ebenfalls uralt, konnte aber erst nach der Erfindung der kartesischen Koordinaten durch René Descartes im Jahr 1637 seine zentrale Rolle in der Entfernungsmessung einnehmen. Die Distanzformel selbst wurde erstmals 1731 von Alexis Clairaut veröffentlicht . ^{[ 35 ]} Aufgrund dieser Formel wird die euklidische Distanz auch manchmal als pythagoreische Distanz bezeichnet. ^{[ 36 ]} Obwohl genaue Messungen großer Entfernungen auf der Erdoberfläche, die nicht dem euklidischen System entsprechen, bereits seit der Antike in vielen Kulturen untersucht wurden (siehe Geschichte der Geodäsie ), entstand die Idee, dass die euklidische Distanz nicht die einzige Möglichkeit zur Messung von Abständen zwischen Punkten in mathematischen Räumen sein könnte, erst später, mit der Formulierung der nichteuklidischen Geometrie im 19. Jahrhundert . ^{[ 37 ]} Die Definition der euklidischen Norm und des euklidischen Abstands für Geometrien mit mehr als drei Dimensionen tauchte ebenfalls erstmals im 19. Jahrhundert in der Arbeit von Augustin-Louis Cauchy auf . ^{[ 38 ]}