Taxigeometrie

Die Taxigeometrie , auch Manhattan-Geometrie genannt, verwendet nicht die übliche euklidische Distanz . Stattdessen wird der Abstand zwischen zwei Punkten als Summe der absoluten Differenzen ihrer jeweiligen kartesischen Koordinaten definiert – eine Distanzfunktion (oder Metrik ) , die als Taxidistanz , Manhattandistanz oder Stadtblockdistanz bezeichnet wird . Der Name bezieht sich auf die Insel Manhattan oder allgemein auf jede geplante Stadt mit einem rechteckigen Straßenraster, in der Taxis nur entlang dieser Rasterrichtungen fahren können. In der Taxigeometrie entspricht der Abstand zwischen zwei Punkten der Länge ihres kürzesten Rasterweges. Diese abweichende Definition des Abstands führt auch zu einer anderen Definition der Kurvenlänge: Die Länge einer Strecke zwischen zwei Punkten entspricht der Länge eines Rasterweges zwischen diesen Punkten und nicht ihrer euklidischen Länge.

Die Taxidistanz wird auch als geradlinige Distanz oder L1 ^- Distanz bezeichnet (siehe Lp ^- Raum ). ^{[ 1 ]} Diese Geometrie wird seit dem 18. Jahrhundert in der Regressionsanalyse verwendet und ist unter dem Namen LASSO bekannt . Ihre geometrische Interpretation geht auf die nichteuklidische Geometrie des 19. Jahrhunderts zurück und ist Hermann Minkowski zu verdanken .

Im zweidimensionalen reellen Koordinatenraum ist die Taxidistanz zwischen zwei Punkten und gleich . Das heißt, sie ist die Summe der Absolutbeträge der Differenzen in beiden Koordinaten. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|}$

Der Taxiabstand d zwischen zwei Punkten a und b in einem n- dimensionalen reellen Koordinatenraum mit festem kartesischen Koordinatensystem (x, y ) ist die Summe der Längen der Projektionen der Verbindungsstrecke zwischen den Punkten auf die Koordinatenachsen (x, y) . Formaler ausgedrückt: d = d. Beispielsweise ist in n der Taxiabstand zwischen a und b gleich d = d.${\displaystyle d_{\text{T}}}$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|_{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})}$${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})}$${\displaystyle \left|p_{1}-q_{1}\right|+\left|p_{2}-q_{2}\right|.}$

Die L¹ ^- Metrik wurde 1757 von Roger Joseph Boscovich in der Regressionsanalyse als Gütemaß für Anpassungsmodelle verwendet . ^{[ 2 ]} Ihre Interpretation als Abstand zwischen Punkten in einem geometrischen Raum geht auf das späte 19. Jahrhundert und die Entwicklung nichteuklidischer Geometrien zurück . Insbesondere tauchte sie 1910 in den Arbeiten von Frigyes Riesz und Hermann Minkowski auf . Die Formalisierung von L¹ ^- Räumen , zu denen auch die Taxigeometrie als Spezialfall gehört, wird Riesz zugeschrieben. ^{[ 3 ]} Hermann Minkowski bekräftigte in der Entwicklung der Geometrie der Zahlen seine Minkowski-Ungleichung , die besagt, dass diese Räume normierte Vektorräume definieren . ^{[ 4 ]}

Der Begriff „Taxisgeometrie“ wurde 1952 von Karl Menger in einer Broschüre mit dem Titel „ You Will Like Geometry“ eingeführt , die eine für die breite Öffentlichkeit bestimmte Geometrieausstellung im Museum für Wissenschaft und Industrie in Chicago begleitete. ^{[ 5 ]}

Die Taxidistanz, die als zusätzliche Struktur des euklidischen Raums betrachtet wird, hängt von der Orientierung des Koordinatensystems ab und ändert sich durch euklidische Rotation des Raums, bleibt aber von Translationen oder achsenparallelen Spiegelungen unbeeinflusst . Die Taxidistanzgeometrie erfüllt alle Hilbertschen Axiome (eine Formalisierung der euklidischen Geometrie ), mit der Ausnahme, dass die Kongruenz von Winkeln nicht exakt dem euklidischen Konzept entspricht und dass bei plausiblen Definitionen kongruenter Taxidistanzwinkel das SWS-Axiom nicht erfüllt ist, da Dreiecke mit zwei Taxidistanz-kongruenten Seiten und einem Taxidistanz-kongruenten Winkel im Allgemeinen keine kongruenten Dreiecke sind .

In jedem metrischen Raum ist eine Kugel eine Menge von Punkten, die von einem bestimmten Mittelpunkt einen festen Abstand, den Radius , haben. Während eine euklidische Kugel rund und rotationssymmetrisch ist, entspricht die Form einer Kugel unter dem Taxiabstand einem Kreuzpolytop , der n- dimensionalen Verallgemeinerung eines regulären Oktaeders , dessen Punkte die Gleichung erfüllen: ${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-c_{i}\right|=r,}$$

wobei der Mittelpunkt und r der Radius ist. Punkte auf der Einheitskugel , einer Kugel mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung , erfüllen die Gleichung${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

In der zweidimensionalen Taxigeometrie ist die Kugel ( Kreis ) ein Quadrat , das diagonal zu den Koordinatenachsen orientiert ist. Die Abbildung rechts zeigt in Rot die Menge aller Punkte auf einem quadratischen Gitter mit festem Abstand vom blauen Mittelpunkt. Mit zunehmender Verfeinerung des Gitters mehren sich die roten Punkte und bilden im Grenzfall ein durchgehendes, geneigtes Quadrat. Jede Seite hat die Taxilänge 2r , der Umfang beträgt also 8r . Daher ist in der Taxigeometrie der Wert des Analogons der Kreiskonstante π , das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser , gleich 4.

Eine abgeschlossene Kugel (bzw. im zweidimensionalen Fall eine abgeschlossene Scheibe ) ist eine ausgefüllte Kugel, die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem bestimmten Mittelpunkt kleiner oder gleich dem Radius ist. Bei zellulären Automaten auf einem quadratischen Gitter ist eine Taxischeibe die von-Neumann-Umgebung mit der Entfernung r um ihren Mittelpunkt.

Ein Kreis mit Radius r für die Tschebyscheff-Distanz ( L∞ _- Metrik ) in der Ebene ist ebenfalls ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r parallel zu den Koordinatenachsen. Daher kann die planare Tschebyscheff-Distanz durch Rotation und Skalierung als äquivalent zur planaren Taxicab-Distanz betrachtet werden. Diese Äquivalenz zwischen L₁- und L∞-Metriken lässt sich jedoch _nicht auf _höhere Dimensionen verallgemeinern.

Wenn jedes Paar in einer Menge dieser Kreise einen nichtleeren Schnittpunkt hat, dann existiert ein Schnittpunkt für die gesamte Menge; daher bildet die Manhattan-Distanz einen injektiven metrischen Raum .

Sei f eine stetig differenzierbare Funktion. Sei l die Taxibogenlänge des Graphen von f auf einem Intervall . Wir zerlegen das Intervall in gleich große infinitesimale Teilintervalle und seien l_i die Taxibogenlänge des -ten Teilbogens. Dann gilt ^{[ 6 ]}${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \Delta s_{i}}$${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

Nach dem Mittelwertsatz existiert ein Punkt zwischen und , sodass . ^{[ 7 ]} Dann lässt sich die vorherige Gleichung wie folgt schreiben ${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i-1}}$${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}$

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\,\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

Dann ergibt sich die Summe aller Partitionen von , wenn diese beliebig klein werden : Um dies zu testen, betrachten wir den Taxikreis mit Radius und Mittelpunkt im Ursprung. Seine Kurve im ersten Quadranten ist gegeben durch , deren Länge ist ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx.\end{aligned}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(x)=-x+r}$

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+\left|-1\right|\,dx=2r.}$$

Multipliziert man diesen Wert mit , um die verbleibenden Quadranten zu berücksichtigen, erhält man , was mit dem Umfang eines Taxikreises übereinstimmt . ^{[ 8 ]} Betrachten wir nun den euklidischen Kreis mit Radius , dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, gegeben durch . Seine Bogenlänge im ersten Quadranten ist gegeben durch ${\displaystyle 4}$${\displaystyle 8r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+\left|{\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right|\,dx\\[6pt]&=\left.x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\vphantom {\frac {1}{1}}}\right|_{0}^{r}\\[6pt]&=r-(-r)\\[6pt]&=2r\end{aligned}}}$$

Die Berücksichtigung der verbleibenden Quadranten ergibt erneut . Daher sind der Umfang des Taxikreises und des euklidischen Kreises in der Taximetrik gleich . ^{[ 9 ]} Tatsächlich ist für jede Funktion , die monoton und differenzierbar mit einer stetigen Ableitung über einem Intervall ist , die Bogenlänge von über . ^{[ 10 ]}${\displaystyle 4\times 2r=8r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (b-a)+\left|f(b)-f(a)\right|}$

Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn drei entsprechende Seiten gleich lang und drei entsprechende Winkel gleich groß sind. In der euklidischen Geometrie gibt es mehrere Kongruenzsätze für Dreiecke , nämlich Winkel-Winkel-Seite (WWS), Winkel-Seite-Winkel (WSW), Seite-Winkel-Seite (WSW) und Seite-Seite-Seite (SSS). In der Taxigeometrie hingegen garantiert nur der Satz WSW die Kongruenz von Dreiecken. ^{[ 11 ]}

Betrachten wir beispielsweise zwei rechtwinklige, gleichschenklige Taxidreiecke mit Winkeln von 45°, 90° und 45°. Die beiden Katheten beider Dreiecke haben die Taxilänge 2, die Hypotenusen sind jedoch nicht kongruent. Dieses Gegenbeispiel schließt die Kongruenzsätze WSW, WSW und SWS aus. Auch WSW, WSW und sogar WSW scheiden aus. Drei kongruente Winkel und zwei kongruente Seiten garantieren in der Taxigeometrie keine Dreieckskongruenz. Daher ist der Kongruenzsatz SWSWS der einzige gültige Satz für Dreiecke in der Taxigeometrie. Demnach müssen alle drei entsprechenden Seiten und mindestens zwei entsprechende Winkel kongruent sein. ^{[ 12 ]} Dieses Ergebnis beruht hauptsächlich darauf, dass die Länge einer Strecke in der Taxigeometrie von ihrer Orientierung abhängt.

Bei der Lösung eines unterbestimmten linearen Gleichungssystems wird der Regularisierungsterm für den Parametervektor durch die Norm (Taxicab-Geometrie) des Vektors ausgedrückt. ^{[ 13 ]} Dieser Ansatz findet Anwendung im Signalrekonstruktionsverfahren des sogenannten Compressed Sensing . ${\displaystyle \ell _{1}}$

Die Taxicab-Geometrie kann zur Beurteilung von Unterschieden in diskreten Häufigkeitsverteilungen verwendet werden. Beispielsweise lassen sich bei RNA-Splicing die Positionsverteilungen von Hexameren , die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens jedes Hexamers an einem bestimmten Nukleotid in der Nähe einer Spleißstelle darstellen, mit der L1-Distanz vergleichen. Jede Positionsverteilung kann als Vektor dargestellt werden, dessen Einträge die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Hexamers an einem bestimmten Nukleotid repräsentieren. Eine große L1-Distanz zwischen den beiden Vektoren deutet auf einen signifikanten Unterschied in der Art der Verteilungen hin, während eine kleine Distanz auf ähnlich geformte Verteilungen schließen lässt. Dies entspricht der Messung der Fläche zwischen den beiden Verteilungskurven, da die Fläche jedes Segments der absoluten Differenz der Wahrscheinlichkeiten der beiden Kurven an diesem Punkt entspricht. Die Summe aller Segmente liefert dasselbe Maß wie die L1-Distanz. ^{[ 14 ]}

• Tschebyscheff-Distanz
• Hamming-Distanz – Die Anzahl der unterschiedlichen Bits zwischen zwei Binärziffernfolgen
• Lee-Distanz
• Orthogonale konvexe Hülle  – Minimale Obermenge, die jede achsenparallele Gerade in einem Intervall schneidet
• Treppenparadoxon – Das Paradoxon, dass die Längengrenze immer feinerer „Treppenkurven“ nicht gegen die Länge des diagonalen Liniensegments strebt, gegen das sich die Kurven tendieren.

• Gardner, Martin (1997). „10. Taxigeometrie“ . Die letzten Erholungen . Copernicus. S.  159–176 . ISBN 0-387-94929-1Die
• Krause, Eugene F. (1975). Taxigeometrie . Addison-Wesley. ISBN 0201039346DieNachdruck bei Dover (1986), ISBN 0-486-25202-7Die
• Strogatz, Steven (09.06.2025). „Taxicab Geometry“ . The New York Times .

• Weisstein, Eric W. „Taxicab Metric“ . MathWorld .
• Malkevitch, Joe (1. Oktober 2007). „Taxi!“ . American Mathematical Society . Abgerufen am 6. Oktober 2019 .
• Taxi mit Ampeln
• Erstellung einer Bushaltestelle in Taxicab Geometry , interaktive, dynamische Skizze