Sierpiński-Teppich – Unendlicher Umfang und Fläche Null
Stark vergrößerter Bereich an der Grenze der Mandelbrotmenge
Die Mandelbrot-Menge : Ihre Grenze ist eine fraktale Kurve mit Hausdorff-Dimension 2. (Anmerkung: Die farbigen Abschnitte des Bildes sind nicht tatsächlich Teil der Mandelbrot-Menge, sondern basieren darauf, wie schnell die Funktion, die sie erzeugt, divergiert.)
Mandelbrotmenge mit 12 Umrandungen

Hineinzoomen in die Grenze der Mandelbrotmenge

In der Mathematik ist ein Fraktal eine geometrische Form mit detaillierter Struktur auf beliebig kleinen Skalen, deren fraktale Dimension üblicherweise die topologische Dimension übersteigt . Viele Fraktale weisen auf verschiedenen Skalen Ähnlichkeit auf, wie die sukzessiven Vergrößerungen der Mandelbrot-Menge veranschaulichen . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] Dieses Auftreten ähnlicher Muster auf immer kleineren Skalen wird als Selbstähnlichkeit bezeichnet , auch bekannt als expandierende oder entfaltende Symmetrie. Ist diese Replikation auf jeder Skala exakt gleich, wie beim Menger-Schwamm , spricht man von affiner Selbstähnlichkeit. [ 5 ] Die fraktale Geometrie ist über ihre Hausdorff-Dimension mit der Maßtheorie verwandt .

Ein Unterschied zwischen Fraktalen und anderen geometrischen Figuren liegt in ihrer Skalierung . Verdoppelt man die Kantenlängen eines gefüllten Polygons, so vervierfacht sich seine Fläche. Dies entspricht dem Faktor 2 (Verhältnis der neuen zur alten Seitenlänge) hoch 2 (der herkömmlichen Dimension des gefüllten Polygons). Verdoppelt man den Radius einer gefüllten Kugel, so skaliert ihr Volumen um den Faktor 8. Dies entspricht dem Faktor 2 (Verhältnis des neuen zum alten Radius) hoch 3 (der herkömmlichen Dimension der gefüllten Kugel). Verdoppelt man jedoch alle eindimensionalen Längen eines Fraktals, so skaliert dessen räumlicher Inhalt mit einem Exponenten, der nicht notwendigerweise eine ganze Zahl ist und im Allgemeinen größer als seine herkömmliche Dimension. [ 1 ] Dieser Exponent wird als fraktale Dimension des geometrischen Objekts bezeichnet , um ihn von der herkömmlichen Dimension (formal: topologische Dimension ) zu unterscheiden. [ 6 ]

Analytisch betrachtet sind viele Fraktale nirgends differenzierbar . [ 1 ] [ 4 ] Eine unendliche fraktale Kurve kann man sich so vorstellen, als schlängele sie sich anders durch den Raum als eine gewöhnliche Gerade – obwohl sie topologisch immer noch eindimensional ist , zeigt ihre fraktale Dimension an, dass sie den Raum lokal effizienter ausfüllt als eine gewöhnliche Gerade. [ 1 ] [ 6 ]

Sierpinski-Teppich (bis Ebene 6), ein Fraktal mit einer topologischen Dimension von 1 und einer Hausdorff-Dimension von 1,893
Eine Liniensegment ähnelt einem echten Teil von sich selbst, ist aber kaum ein Fraktal .

Ausgehend von Rekursionskonzepten im 17. Jahrhundert durchliefen Fraktale eine zunehmend strenge mathematische Behandlung. Im 19. Jahrhundert führte die bahnbrechende Arbeit von Bernard Bolzano , Bernhard Riemann und Karl Weierstrass [ 7 ] zur Untersuchung stetiger , aber nicht differenzierbarer Funktionen und schließlich im 20. Jahrhundert zur Prägung des Begriffs „Fraktal“ , was ein starkes Interesse an Fraktalen und computergestützter Modellierung zur Folge hatte. [ 8 ] [ 9 ]

Unter Mathematikern herrscht Uneinigkeit darüber, wie der Begriff des Fraktals formal definiert werden sollte. Mandelbrot selbst fasste ihn so zusammen: „Schön, verdammt schwierig, zunehmend nützlich. Das sind Fraktale.“ [ 10 ] Formaler definierte Mandelbrot 1982 ein Fraktal wie folgt: „Ein Fraktal ist per Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besicovitch-Dimension die topologische Dimension strikt übersteigt .“ [ 11 ] Später, da ihm diese Definition zu restriktiv erschien, vereinfachte und erweiterte er sie zu: „Ein Fraktal ist eine unregelmäßige oder fragmentierte geometrische Form , die in Teile zerlegt werden kann, von denen jeder (zumindest annähernd) eine verkleinerte Kopie des Ganzen ist.“ [ 1 ] Noch später schlug Mandelbrot vor, „den Begriff Fraktal ohne pedantische Definition zu verwenden und die fraktale Dimension als Oberbegriff für alle Varianten zu nutzen.“ [ 12 ]

Mathematiker sind sich einig, dass theoretische Fraktale unendlich viele, iterierte und detaillierte mathematische Konstrukte mit ähnlicher Selbstähnlichkeit sind , von denen zahlreiche Beispiele formuliert und untersucht wurden. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Fraktale beschränken sich nicht auf geometrische Muster, sondern können auch zeitliche Prozesse beschreiben. [ 5 ] [ 4 ] [ 13 ] Fraktale Muster mit unterschiedlichem Grad an Selbstähnlichkeit wurden in visuellen, physikalischen und auditiven Medien dargestellt oder untersucht [ 14 ] und finden sich in der Natur [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] , in der Technologie [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] , in der Kunst [ 23 ] [ 24 ] und in der Architektur . [ 25 ] Fraktale sind im Bereich der Chaostheorie von besonderer Bedeutung , da sie in den geometrischen Darstellungen der meisten chaotischen Prozesse auftreten (typischerweise entweder als Attraktoren oder als Grenzen zwischen Einzugsgebieten). [ 26 ]

Etymologie

Der Begriff „Fraktal“ wurde 1975 von dem Mathematiker Benoît Mandelbrot geprägt. [ 27 ] Mandelbrot leitete ihn vom lateinischen frāctus ab , was „gebrochen“ oder „zerbrochen“ bedeutet, und nutzte ihn, um das Konzept theoretischer fraktionaler Dimensionen auf geometrische Muster in der Natur auszudehnen . [ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]

Einführung

Ein einfacher fraktaler Baum
Ein fraktaler "Baum" bis elf Iterationen

Der Begriff „Fraktal“ hat für Mathematiker und die breite Öffentlichkeit oft unterschiedliche Bedeutungen. Letztere ist eher mit fraktaler Kunst als mit dem mathematischen Konzept vertraut . Das mathematische Konzept ist selbst für Mathematiker schwer formal zu definieren, doch lassen sich die wichtigsten Merkmale mit etwas mathematischem Hintergrundwissen verstehen.

Das Merkmal der „Selbstähnlichkeit“ lässt sich beispielsweise leicht anhand der Analogie zum Vergrößern digitaler Bilder mit einer Linse oder einem anderen Vergrößerungsgerät verstehen, um feinere, zuvor unsichtbare Strukturen sichtbar zu machen. Wendet man dies jedoch auf Fraktale an, erscheinen keine neuen Details; nichts ändert sich, und dasselbe Muster wiederholt sich immer wieder, oder bei manchen Fraktalen erscheint nahezu dasselbe Muster immer wieder. Selbstähnlichkeit an sich ist nicht unbedingt kontraintuitiv (z. B. wurde Selbstähnlichkeit informell im Zusammenhang mit dem unendlichen Regress in Parallelspiegeln oder dem Homunkulus , dem kleinen Mann im Kopf des kleinen Mannes im Kopf, betrachtet). Der Unterschied bei Fraktalen besteht darin, dass das reproduzierte Muster detailliert sein muss. [ 1 ] : 166, 18 [ 2 ] [ 28 ]

Diese Detailgenauigkeit hängt mit einem weiteren Merkmal zusammen, das auch ohne tiefergehende mathematische Kenntnisse verständlich ist: Eine fraktale Dimension, die größer ist als ihre topologische Dimension, beschreibt beispielsweise, wie sich ein Fraktal im Vergleich zur üblichen Wahrnehmung geometrischer Formen skaliert . Eine gerade Linie gilt beispielsweise als eindimensional; zerlegt man sie in Abschnitte, die jeweils ein Drittel ihrer Länge haben, erhält man stets drei gleich große Abschnitte. Ein Quadrat gilt als zweidimensional; zerlegt man es in Abschnitte, die jeweils um den Faktor 1/3 in beiden Dimensionen verkleinert sind, erhält man insgesamt 3² = 9 Abschnitte.

Wir sehen, dass bei gewöhnlichen selbstähnlichen Objekten n-dimensional bedeutet, dass sie, wenn sie in jeweils um den Faktor 1/ r verkleinerte Teile zerlegt werden , insgesamt r <sup>n</sup> Teile ergeben. Betrachten wir nun die Koch-Kurve . Sie lässt sich in vier Unterkopien zerlegen, die jeweils um den Faktor 1/3 verkleinert werden. Daher können wir, rein analog, die „Dimension“ der Koch-Kurve als die eindeutige reelle Zahl D betrachten, die 3<sup> D</sup> = 4 erfüllt. Diese Zahl wird als fraktale Dimension der Koch-Kurve bezeichnet; sie entspricht nicht der üblicherweise verstandenen Dimension einer Kurve. Generell ist eine Schlüsseleigenschaft von Fraktalen, dass sich die fraktale Dimension von der konventionell verstandenen Dimension (formell topologische Dimension genannt) unterscheidet.

3D computergeneriertes Fraktal

Dies führt auch zum Verständnis eines dritten Merkmals: Fraktale als mathematische Gleichungen sind „nirgends differenzierbar “. Konkret bedeutet dies, dass Fraktale nicht auf herkömmliche Weise gemessen werden können. [ 1 ] [ 4 ] [ 30 ] Um die Länge einer gewellten, nicht-fraktalen Kurve zu bestimmen, könnte man gerade Segmente eines Messinstruments finden, die klein genug sind, um sie aneinanderzulegen. Die Segmente wären dann so klein, dass sie sich der Kurve wie beim normalen Messen mit einem Maßband anpassen würden. Bei der Messung einer unendlich „gewundenen“ fraktalen Kurve wie der Koch-Schneeflocke hingegen fände man niemals ein ausreichend kleines gerades Segment, das sich der Kurve anpasst. Das zackige Muster würde immer wieder in beliebig kleinen Maßstäben auftreten und das Maßband bei jedem Versuch, es enger an die Kurve anzulegen, quasi ein Stück weiter in die Gesamtlänge hineinziehen. Daher bräuchte man unendlich viel Maßband, um die gesamte Kurve perfekt abzudecken – die Schneeflocke hat also einen unendlichen Umfang. [ 1 ]

Geschichte

Eine Koch-Schneeflocke ist ein Fraktal, das mit einem gleichseitigen Dreieck beginnt und dann das mittlere Drittel jeder Liniensegment durch ein Paar von Liniensegmenten ersetzt, die eine gleichseitige Ausbuchtung bilden.
Cantor (ternärer) Satz

Die Geschichte der Fraktale zeichnet einen Weg von vorwiegend theoretischen Studien zu modernen Anwendungen in der Computergrafik nach , wobei mehrere bedeutende Persönlichkeiten im Laufe der Zeit kanonische Fraktalformen beigesteuert haben. [ 8 ] [ 9 ] Ein häufiges Merkmal traditioneller afrikanischer Architektur ist die Verwendung fraktaler Skalierung, wodurch kleine Teile der Struktur größeren Teilen ähneln, wie beispielsweise ein kreisförmiges Dorf aus kreisförmigen Häusern. [ 31 ] Laut Pickover begannen die mathematischen Grundlagen der Fraktale im 17. Jahrhundert Gestalt anzunehmen, als der Mathematiker und Philosoph Gottfried Leibniz über rekursive Selbstähnlichkeit nachdachte (wobei er fälschlicherweise annahm, dass nur die gerade Linie in diesem Sinne selbstähnlich sei). [ 32 ]

In seinen Schriften verwendete Leibniz den Begriff „gebrochene Exponenten“, beklagte aber, dass die Geometrie diese noch nicht kannte. [ 1 ] : 405 Tatsächlich befassten sich laut verschiedenen historischen Berichten danach nur wenige Mathematiker mit diesem Thema, und die Arbeiten derjenigen, die es taten, blieben weitgehend unbeachtet, vor allem aufgrund des Widerstands gegen diese ungewohnten, aufkommenden Konzepte, die mitunter als mathematische „Monster“ bezeichnet wurden. [ 30 ] [ 8 ] [ 9 ] So dauerte es zwei Jahrhunderte, bis Karl Weierstrass am 18. Juli 1872 an der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften die erste Definition einer Funktion mit einem Graphen vorstellte , der heute als Fraktal gelten würde und die nicht intuitive Eigenschaft besitzt, überall stetig , aber nirgends differenzierbar zu sein . [ 8 ] : 7 [ 9 ]

Darüber hinaus wird die Differenz der Quotienten beliebig groß, wenn der Summationsindex steigt. [ 33 ] Kurz darauf, im Jahr 1883, veröffentlichte Georg Cantor , der Vorlesungen von Weierstrass besucht hatte, [ 9 ] Beispiele von Teilmengen der reellen Zahlengeraden, die als Cantor-Mengen bekannt sind . Diese weisen ungewöhnliche Eigenschaften auf und werden heute als Fraktale bezeichnet. [ 8 ] : 11–24 Ebenfalls in der letzten Hälfte des Jahrhunderts führten Felix Klein und Henri Poincaré eine Kategorie von Fraktalen ein, die als „selbstinverse“ Fraktale bekannt wurden. [ 1 ] : 166

Die Julia-Menge der Mandelbrot-Abbildung mit dem Parameter -0,16-0,65i, die ein Fraktal ist
Ein Sierpinski-Dreieck kann durch einen fraktalen Baum erzeugt werden.

Ein weiterer Meilenstein wurde 1904 erreicht, als Helge von Koch , unzufrieden mit Weierstrass’ abstrakter und analytischer Definition und in Anlehnung an Poincarés Ideen, eine geometrischere Definition vorlegte, die auch handgezeichnete Darstellungen einer ähnlichen Funktion enthielt – die heute als Kochsche Schneeflocke bekannt ist . [ 8 ] : 25 [ 9 ] Ein weiterer Meilenstein folgte ein Jahrzehnt später, 1915, als Wacław Sierpiński sein berühmtes Dreieck und ein Jahr später seinen Teppich konstruierte . Bis 1918 gelangten die beiden französischen Mathematiker Pierre Fatou und Gaston Julia , wenn auch unabhängig voneinander, nahezu zeitgleich zu Ergebnissen, die das heute als fraktales Verhalten bekannte Verhalten bei der Abbildung komplexer Zahlen und iterativer Funktionen beschreiben. Dies führte zu weiteren Erkenntnissen über Attraktoren und Repelloren (d. h. Punkte, die andere Punkte anziehen oder abstoßen), die in der Fraktalforschung eine wichtige Rolle spielen. [ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]

Kurz nach Einreichung dieser Arbeit, im März 1918, erweiterte Felix Hausdorff die Definition von „Dimension“ – von großer Bedeutung für die Entwicklung der Definition von Fraktalen – um Mengen mit nicht-ganzzahligen Dimensionen zuzulassen. [ 9 ] Die Idee selbstähnlicher Kurven wurde von Paul Lévy weiterentwickelt , der in seiner 1938 erschienenen Arbeit „ Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole“ eine neue fraktale Kurve, die Lévy-C-Kurve , beschrieb . [ Anmerkung 1 ]

Ein seltsamer Attraktor , der multifraktale Skalierung aufweist
Dreiecksfraktal mit gleichmäßigem Massenschwerpunkt
2x 120 Grad rekursives IFS

Verschiedene Forscher haben die These aufgestellt, dass frühe Wissenschaftler ohne moderne Computergrafik auf das beschränkt waren, was sie in manuellen Zeichnungen darstellen konnten. Ihnen fehlten daher die Mittel, die Schönheit und die Tragweite vieler der von ihnen entdeckten Muster zu visualisieren (beispielsweise konnte die Julia-Menge nur durch wenige Iterationen als sehr einfache Zeichnungen dargestellt werden). [ 1 ] : 179 [ 30 ] [ 9 ] Dies änderte sich jedoch in den 1960er Jahren, als Benoit Mandelbrot in Arbeiten wie „ How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension “ [ 34 ] [ 35 ] über Selbstähnlichkeit schrieb und dabei auf früheren Arbeiten von Lewis Fry Richardson aufbaute .

1975 [ 28 ] fasste Mandelbrot die jahrhundertealten Erkenntnisse und mathematischen Entwicklungen zusammen, indem er den Begriff „Fraktal“ prägte und seine mathematische Definition mit eindrucksvollen, computergenerierten Visualisierungen veranschaulichte. Diese Bilder, wie beispielsweise die seiner kanonischen Mandelbrot-Menge , begeisterten die Öffentlichkeit; viele von ihnen basierten auf Rekursion, was zur heutigen Bedeutung des Begriffs „Fraktal“ beitrug. [ 36 ] [ 30 ] [ 8 ] [ 32 ]

1980 hielt Loren Carpenter auf der SIGGRAPH einen Vortrag, in dem er seine Software zur Generierung und Darstellung fraktal generierter Landschaften vorstellte. [ 37 ]

Definition und Merkmale

Eine häufig zitierte Beschreibung geometrischer Fraktale, die Mandelbrot veröffentlichte, lautet: „Eine raue oder fragmentierte geometrische Form , die in Teile zerlegt werden kann, von denen jeder (zumindest annähernd) eine verkleinerte Kopie des Ganzen ist.“ [ 1 ] Diese Beschreibung ist zwar im Allgemeinen hilfreich, aber begrenzt. Die Autoren sind sich über die genaue Definition von Fraktalen uneinig , erläutern aber meist die grundlegenden Ideen der Selbstähnlichkeit und die ungewöhnliche Beziehung von Fraktalen zu dem Raum, in den sie eingebettet sind. [ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 38 ]

Einigkeit besteht darin, dass fraktale Muster durch fraktale Dimensionen charakterisiert werden . Diese Zahlen quantifizieren zwar die Komplexität (d. h. die sich mit dem Maßstab ändernden Details), beschreiben aber weder eindeutig noch legen sie Details zur Konstruktion bestimmter fraktaler Muster fest. [ 39 ] Als Mandelbrot 1975 den Begriff „fraktal“ prägte, bezeichnete er damit ein Objekt, dessen Hausdorff-Besicovitch-Dimension größer als seine topologische Dimension ist . [ 28 ] Diese Bedingung wird jedoch von raumfüllenden Kurven wie der Hilbert-Kurve nicht erfüllt . [ Anmerkung 2 ]

Aufgrund der Schwierigkeiten, eine einheitliche Definition für Fraktale zu finden, argumentieren einige, dass Fraktale überhaupt nicht streng definiert werden sollten. Laut Falconer sollten Fraktale lediglich allgemein durch eine Gesamtheit der folgenden Merkmale charakterisiert werden; [ 2 ]

  • Selbstähnlichkeit, die Folgendes umfassen kann:
  • Exakte Selbstähnlichkeit: identisch auf allen Skalen, wie beispielsweise die Koch-Schneeflocke.
  • Quasi-Selbstähnlichkeit: nähert sich demselben Muster auf verschiedenen Skalen an; kann kleine Kopien des gesamten Fraktals in verzerrten und degenerierten Formen enthalten; z. B. sind die Satelliten der Mandelbrot-Menge Annäherungen an die gesamte Menge, aber keine exakten Kopien.
  • Statistische Selbstähnlichkeit: Ein Muster wiederholt sich stochastisch, sodass numerische oder statistische Maße über verschiedene Skalen hinweg erhalten bleiben; z. B. zufällig generierte Fraktale wie das bekannte Beispiel der Küstenlinie Großbritanniens, bei der man nicht erwarten würde, ein Segment zu finden, das so gleichmäßig skaliert und wiederholt wird wie die sich wiederholende Einheit, die Fraktale wie die Koch-Schneeflocke definiert. [ 4 ]
  • Qualitative Selbstähnlichkeit: wie in einer Zeitreihe [ 13 ]
  • Multifraktale Skalierung: gekennzeichnet durch mehr als eine fraktale Dimension oder Skalierungsregel

Zusammengenommen bilden diese Kriterien Richtlinien zum Ausschluss bestimmter Fälle, beispielsweise solcher, die selbstähnlich sind, aber keine weiteren typischen fraktalen Merkmale aufweisen. Eine Gerade ist beispielsweise selbstähnlich, aber nicht fraktal, da sie keine Details aufweist und sich leicht in euklidischer Sprache beschreiben lässt, ohne dass Rekursion erforderlich ist. [ 1 ] [ 4 ]

Als Mandelbrot den Begriff Fraktal einführte, schloss er den Vergrößerungsbereich als definierendes Merkmal aus, um physikalische Fraktale mit begrenzteren Bereichen als ihre mathematischen Pendants zu berücksichtigen. [ 41 ]

Gängige Techniken zur Erzeugung von Fraktalen

Selbstähnliches Verzweigungsmuster, modelliert in silico unter Verwendung von L-System -Prinzipien [ 18 ]

Bilder von Fraktalen können mithilfe von Fraktalgenerierungsprogrammen erzeugt werden . Aufgrund des Schmetterlingseffekts kann eine kleine Änderung einer einzelnen Variablen unvorhersehbare Folgen haben.

Ein durch eine endliche Unterteilungsregel für eine alternierende Verbindung erzeugtes Fraktal.

Anwendungen

Simulierte Fraktale

Fraktalkunst, erstellt aus einem Julia-Set

Fraktale Muster wurden bereits umfassend modelliert, allerdings aufgrund der praktischen Grenzen von Raum und Zeit nur in einem begrenzten Maßstab und nicht unendlich. Modelle können theoretische Fraktale oder Naturphänomene mit fraktalen Eigenschaften simulieren . Die Ergebnisse des Modellierungsprozesses können hochkünstlerische Darstellungen, Ergebnisse für Untersuchungen oder Referenzwerte für die Fraktalanalyse sein . Einige spezifische Anwendungen von Fraktalen in der Technologie sind an anderer Stelle aufgeführt . Bilder und andere Ergebnisse der Modellierung werden üblicherweise als „Fraktale“ bezeichnet, selbst wenn sie keine streng fraktalen Eigenschaften aufweisen, beispielsweise wenn man in einen Bereich des Fraktalbildes hineinzoomen kann, der keine fraktalen Eigenschaften zeigt. Auch Berechnungs- oder Darstellungsartefakte, die nicht charakteristisch für echte Fraktale sind, können darunter fallen .

Modellierte Fraktale können Klänge [ 14 ] , digitale Bilder, elektrochemische Muster, zirkadiane Rhythmen [ 47 ] usw. sein. Fraktale Muster wurden im physikalischen dreidimensionalen Raum [21]:10 und virtuell rekonstruiert , was oft als „ In-silico “-Modellierung bezeichnet wird. [ 44 ] Fraktalmodelle werden im Allgemeinen mithilfe von Fraktalgenerierungssoftware erstellt , die Techniken wie die oben beschriebenen implementiert. [ 4 ] [ 13 ] [ 21 ] Beispielsweise können Bäume, Farne, Zellen des Nervensystems [ 18 ] , Blut- und Lungengefäße [ 44 ] und andere Verzweigungsmuster in der Natur mithilfe rekursiver Algorithmen und L-System- Techniken am Computer modelliert werden. [ 18 ]

Die rekursive Natur mancher Muster wird in bestimmten Beispielen deutlich – ein Ast oder ein Farnblatt ist ein Miniaturabbild des Ganzen: nicht identisch, aber ähnlich. Ebenso wurden zufällige Fraktale verwendet , um viele stark unregelmäßige Objekte der realen Welt, wie Küstenlinien und Gebirge , zu beschreiben bzw. zu erzeugen. Eine Einschränkung der Fraktalmodellierung besteht darin, dass die Ähnlichkeit eines Fraktalmodells mit einem Naturphänomen nicht beweist, dass das modellierte Phänomen durch einen ähnlichen Prozess wie die Modellierungsalgorithmen entsteht.

Naturphänomene mit fraktalen Merkmalen

In der Natur vorkommende, approximative Fraktale weisen Selbstähnlichkeit über ausgedehnte, aber endliche Skalenbereiche auf. Der Zusammenhang zwischen Fraktalen und Blättern wird beispielsweise aktuell genutzt, um den Kohlenstoffgehalt von Bäumen zu bestimmen. [ 48 ] Zu den Phänomenen mit bekannten fraktalen Eigenschaften gehören:

Fraktale in der Zellbiologie

Fraktale treten häufig in lebenden Organismen auf, wo sie durch Verzweigungsprozesse und andere komplexe Musterbildungen entstehen. Richard Taylor und Mitarbeiter zeigten, dass die dendritischen Verzweigungen von Neuronen fraktale Muster bilden. [ 73 ] Ian Wong und Mitarbeiter wiesen nach, dass wandernde Zellen durch Clusterbildung und Verzweigung Fraktale ausbilden können . [ 74 ] Nervenzellen funktionieren durch Prozesse an ihrer Zelloberfläche, wobei Phänomene durch ein stark erhöhtes Verhältnis von Oberfläche zu Volumen verstärkt werden. Daher bilden Nervenzellen häufig fraktale Muster. [ 75 ] Diese Prozesse sind entscheidend für die Zellphysiologie und verschiedene Pathologien . [ 76 ]

Es wurde festgestellt, dass sich auch verschiedene subzelluläre Strukturen zu Fraktalen zusammenfügen. Diego Krapf zeigte, dass sich Aktinfilamente in menschlichen Zellen durch Verzweigungsprozesse zu fraktalen Mustern anordnen. [ 77 ] Matthias Weiss wies ähnliche fraktale Merkmale im endoplasmatischen Retikulum nach . [ 78 ] Man geht heute davon aus, dass Fraktale in der Zellbiologie allgegenwärtig sind – von Proteinen über Organellen bis hin zu ganzen Zellen.

In kreativen Werken

Der Begriff „fraktaler Expressionismus“ dient dazu, fraktale Kunst, die direkt von Künstlern erzeugt wird, von fraktaler Kunst zu unterscheiden, die mithilfe von Mathematik und/oder Computern erzeugt wird. [ 79 ]

Seit 1999 haben zahlreiche wissenschaftliche Gruppen über 50 Gemälde von Jackson Pollock , die er durch direktes Aufgießen der Farbe auf horizontale Leinwände schuf, mittels Fraktalanalyse untersucht (siehe z. B. [ 80 ] [ 81 ] [ 82 ] [ 83 ] [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ] [ 89 ] [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ]) . Im Jahr 2015 wurde mithilfe der Fraktalanalyse eine Trefferquote von 93 % bei der Unterscheidung von Originalen und Imitationen von Pollock erzielt. [ 93 ] Eine Studie aus dem Jahr 2024 erreichte mit einem auf Fraktalen basierenden Verfahren der künstlichen Intelligenz eine Trefferquote von 99 %. [ 94 ]

Die Decalcomanie , eine von Künstlern wie Max Ernst angewandte Technik , erzeugt fraktalartige Muster. [ 95 ] Dabei wird Farbe zwischen zwei Oberflächen gepresst und diese anschließend wieder auseinandergezogen.

Der Kybernetiker Ron Eglash vermutet, dass fraktale Geometrie und Mathematik in afrikanischer Kunst , Spielen, Wahrsagerei , Handel und Architektur weit verbreitet sind. Kreisförmige Häuser erscheinen in Kreisen, rechteckige Häuser in Rechtecken usw. Solche Skalierungsmuster finden sich auch in afrikanischen Textilien, Skulpturen und sogar in Cornrow-Frisuren. [ 24 ] [ 96 ] Hokky Situngkir vermutete ähnliche Eigenschaften in der traditionellen indonesischen Kunst, im Batik und in den Ornamenten traditioneller Häuser. [ 97 ] [ 98 ]

Der Ethnomathematiker Ron Eglash hat die geplante Stadtstruktur von Benin anhand von Fraktalen untersucht , und zwar nicht nur in der Stadt selbst und den Dörfern, sondern sogar in den einzelnen Wohnräumen. Er bemerkte dazu: „Als die Europäer zum ersten Mal nach Afrika kamen, hielten sie die Architektur für sehr unorganisiert und somit primitiv. Es kam ihnen nie in den Sinn, dass die Afrikaner möglicherweise eine Form der Mathematik anwandten, die sie selbst noch nicht entdeckt hatten.“ [ 99 ]

In einem Interview mit Michael Silverblatt aus dem Jahr 1996 erklärte David Foster Wallace , dass die Struktur des ersten Entwurfs von Infinite Jest , den er seinem Lektor Michael Pietsch gab, von Fraktalen, insbesondere dem Sierpinski-Dreieck (auch Sierpinski-Dreieck genannt), inspiriert war, der bearbeitete Roman aber eher einem „ungleichmäßigen Sierpinski-Dreieck“ gleiche. [ 23 ]

Einige Werke des niederländischen Künstlers MC Escher , wie zum Beispiel Circle Limit III , enthalten sich unendlich wiederholende Formen, die zum Rand hin immer kleiner werden, sodass das Muster auch bei Vergrößerung immer gleich aussieht.

  • Ein Fraktal, das die Oberfläche eines Berges modelliert (Animation)
    Ein Fraktal, das die Oberfläche eines Berges modelliert (Animation)
  • 3D rekursives Bild
    3D rekursives Bild
  • Rekursives fraktales Schmetterlingsbild
    Rekursives fraktales Schmetterlingsbild
  • Eine fraktale Flamme
    Eine fraktale Flamme

Biophile Fraktale sind Muster, die die gesundheitlichen Vorteile des Aufenthalts in der Natur fördern sollen. [ 100 ] Dazu gehören Stressabbau und eine gesteigerte kognitive Leistungsfähigkeit. Designer und Architekten integrieren biophile Fraktale in die gebaute Umwelt, um dem Umstand entgegenzuwirken, dass Menschen 92 % ihrer Zeit in Innenräumen und somit fernab der Natur verbringen.

Die von INNOCAD architecture entworfene Fraktalkapelle im Universitätsklinikum Graz, Österreich, ist ein herausragendes Beispiel und wurde sowohl mit dem IIDA (International Interior Design Association) Best of Competition 2025 Award als auch mit dem World Interior of the Year 2025 Award beim World Architecture Festival (WAF) ausgezeichnet.

Physiologische Reaktionen: Fraktale Flüssigkeit

Die fraktale Verarbeitungsflüssigkeit ist ein neurowissenschaftliches Modell, das besagt, dass sich das visuelle System des Menschen durch die Auseinandersetzung mit fraktalen Strukturen in der Natur so angepasst hat, dass es Fraktale effizient und mühelos verarbeiten kann. Diese Anpassung findet auf verschiedenen Ebenen des visuellen Systems statt, von der Augenbewegung bis hin zur Aktivierung bestimmter Hirnregionen. [ 101 ] Durch diese Verarbeitungsflüssigkeit fühlt sich der Betrachter wohl und erlebt ein ästhetisches Phänomen. Neurowissenschaftliche Experimente haben gezeigt, dass Jackson Pollocks fraktale Gemälde dieselben positiven physiologischen Reaktionen beim Betrachter hervorrufen wie natürliche und mathematische Fraktale. [ 102 ] Dies belegt, dass der fraktale Expressionismus mit der fraktalen Verarbeitungsflüssigkeit zusammenhängt, indem er Künstler wie Pollock dazu motiviert, den fraktalen Expressionismus in ihrer Kunst einzusetzen, um ein breiteres Publikum anzusprechen.

Der Mensch scheint besonders gut an die Verarbeitung fraktaler Muster mit einer fraktalen Dimension zwischen 1,3 und 1,5 angepasst zu sein. [ 103 ] Betrachtet der Mensch fraktale Muster mit fraktalen Dimensionen in diesem Bereich, reduzieren diese Fraktale physiologischen Stress und steigern die kognitiven Fähigkeiten. [ 104 ]

Anwendungen in der Technologie

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Die Originalarbeit, Lévy, Paul (1938). „Les Courbes planes ou gauches et les surface composées de partys semblables au tout“. Journal de l'École Polytechnique : 227–247 , 249–291 ., ist übersetzt in Edgar , Seiten 181–239.
  2. Die Hilbertkurvenabbildung ist kein Homöomorphismus und erhält daher nicht die topologische Dimension. Die topologische Dimension und die Hausdorff-Dimension des Bildes der Hilbertkurvenabbildung im ℝ² sind beide 2. Die topologische Dimension des Graphen der Hilbertkurvenabbildung (einer Menge im ℝ³ ) ist jedoch 1.

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