Verallgemeinerte Funktion

In der Mathematik sind verallgemeinerte Funktionen Objekte, die den Funktionsbegriff auf reellen oder komplexen Zahlen erweitern. Es gibt mehrere anerkannte Theorien, beispielsweise die Distributionentheorie . Verallgemeinerte Funktionen sind besonders nützlich, um unstetige Funktionen wie glatte Funktionen zu behandeln und diskrete physikalische Phänomene wie Punktladungen zu beschreiben . Sie finden breite Anwendung, insbesondere in Physik und Ingenieurwesen . Wichtige Motivationen hierfür waren die technischen Anforderungen von Theorien partieller Differentialgleichungen und Gruppendarstellungen .

Einigen Ansätzen ist gemeinsam, dass sie auf Operatoraspekten alltäglicher numerischer Funktionen aufbauen. Ihre Frühgeschichte ist mit Ideen der Operatorenrechnung verbunden , und einige zeitgenössische Entwicklungen stehen in engem Zusammenhang mit Mikio Satos algebraischer Analysis .

In der Mathematik des 19. Jahrhunderts traten Aspekte der verallgemeinerten Funktionentheorie auf, beispielsweise in der Definition der Greenschen Funktion , in der Laplace-Transformation und in Riemanns Theorie der trigonometrischen Reihen , die nicht notwendigerweise Fourierreihen einer integrierbaren Funktion waren . Dies waren damals voneinander unabhängige Bereiche der mathematischen Analysis .

Die intensive Anwendung der Laplace-Transformation in den Ingenieurwissenschaften führte zur heuristischen Verwendung symbolischer Methoden, der sogenannten Operatorenrechnung . Da Begründungen auf der Grundlage divergenter Reihen angeführt wurden , waren diese Methoden aus rein mathematischer Sicht fragwürdig . Sie sind typisch für spätere Anwendungen verallgemeinerter Funktionenmethoden. Ein einflussreiches Werk zur Operatorenrechnung war Oliver Heavisides „ Elektromagnetische Theorie“ von 1899.

Mit der Einführung des Lebesgue-Integrals entstand erstmals ein zentraler Begriff der verallgemeinerten Funktion in der Mathematik. Eine integrierbare Funktion ist in der Lebesgue-Theorie äquivalent zu jeder anderen Funktion, die fast überall gleich ist . Das bedeutet, dass ihr Wert an jedem Punkt (in gewissem Sinne) nicht ihr wichtigstes Merkmal ist. In der Funktionalanalysis wird die wesentliche Eigenschaft einer integrierbaren Funktion klar formuliert, nämlich die Art und Weise, wie sie ein lineares Funktional anderer Funktionen definiert. Dies ermöglicht die Definition der schwachen Ableitung .

In den späten 1920er und 1930er Jahren wurden weitere grundlegende Schritte unternommen. Die Dirac-Delta-Funktion wurde von Paul Dirac (als Teil seines wissenschaftlichen Formalismus ) eingeführt; damit sollten Maße , die als Dichten (wie die Ladungsdichte ) aufgefasst wurden, als echte Funktionen behandelt werden. Sergei Sobolev , der auf dem Gebiet der Theorie partieller Differentialgleichungen arbeitete , definierte die erste strenge Theorie verallgemeinerter Funktionen, um schwache Lösungen partieller Differentialgleichungen zu definieren (d. h. Lösungen, die verallgemeinerte Funktionen sind, aber keine gewöhnlichen Funktionen sein müssen). ^{[ 1 ]} Weitere Wissenschaftler, die zu dieser Zeit verwandte Theorien vorschlugen, waren Salomon Bochner und Kurt Friedrichs . Sobolevs Arbeit wurde von Laurent Schwartz erweitert . ^{[ 2 ]}

Die bedeutendste Weiterentwicklung war die Distributionentheorie von Laurent Schwartz , der das Dualitätsprinzip für topologische Vektorräume systematisch ausarbeitete . Ihr Hauptkonkurrent in der angewandten Mathematik ist die Mollifikatortheorie , die Folgen glatter Approximationen verwendet (die „ James-Lighthill -Erklärung“). ^{[ 3 ]}

Diese Theorie war sehr erfolgreich und findet noch immer weite Verbreitung, leidet aber unter dem entscheidenden Nachteil, dass Distributionen im Allgemeinen nicht multipliziert werden können: Anders als die meisten klassischen Funktionenräume bilden sie keine Algebra . Beispielsweise ist es sinnlos, die Dirac-Delta-Funktion zu quadrieren . Arbeiten von Schwartz aus dem Jahr 1954 zeigten, dass dies eine inhärente Schwierigkeit darstellt.

Es wurden einige Lösungsansätze für das Multiplikationsproblem vorgeschlagen. Einer davon basiert auf einer einfachen Definition von Yu. V. Egorov ^{[ 4 ]} (siehe auch seinen Artikel in Demidovs Buch in der unten stehenden Buchliste), die beliebige Operationen auf und zwischen verallgemeinerten Funktionen erlaubt.

Eine weitere Lösung, die Multiplikationen zulässt, bietet die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik . Da diese äquivalent zur Schrödinger -Theorie der Quantenmechanik sein muss, welche invariant unter Koordinatentransformationen ist, muss diese Eigenschaft auch für Pfadintegrale gelten. Dies legt alle Produkte verallgemeinerter Funktionen fest, wie H. Kleinert und A. Chervyakov gezeigt haben . ^{[ 5 ]} Das Ergebnis ist äquivalent zu dem, was sich aus der dimensionalen Regularisierung ableiten lässt . ^{[ 6 ]}

Es wurden verschiedene Konstruktionen von Algebren verallgemeinerter Funktionen vorgeschlagen, unter anderem von Yu. M. Shirokov ^{[ 7 ]} sowie von E. Rosinger, Y. Egorov und R. Robinson. Im ersten Fall wird die Multiplikation durch eine Regularisierung der verallgemeinerten Funktion bestimmt. Im zweiten Fall wird die Algebra als Multiplikation von Distributionen konstruiert . Beide Fälle werden im Folgenden diskutiert.

Die Algebra der verallgemeinerten Funktionen lässt sich durch ein geeignetes Verfahren der Projektion einer Funktion auf ihre glatten und singulären Anteile aufbauen . Das Produkt verallgemeinerter Funktionen und erscheint als ${\displaystyle F=F(x)}$${\displaystyle F_{\rm {smooth}}}$${\displaystyle F_{\rm {singular}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle FG~=~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {smooth}}~+~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {singular}}~+F_{\rm {singular}}~G_{\rm {smooth}}.}$

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Eine solche Regel gilt sowohl für den Raum der Hauptfunktionen als auch für den Raum der Operatoren, die auf den Raum der Hauptfunktionen wirken. Die Assoziativität der Multiplikation wird erreicht; und die Funktion Signum ist so definiert, dass ihr Quadrat überall (einschließlich des Koordinatenursprungs) gleich Eins ist. Man beachte, dass das Produkt singulärer Teile nicht auf der rechten Seite von ( 1 ) auftritt; insbesondere gilt: . Ein solcher Formalismus umfasst die herkömmliche Theorie der verallgemeinerten Funktionen (ohne deren Produkt) als Spezialfall. Die resultierende Algebra ist jedoch nicht kommutativ: Die verallgemeinerten Funktionen Signum und Delta antikommutieren. ^{[ 7 ]} Es wurden einige Anwendungen der Algebra vorgeschlagen. ^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \delta (x)^{2}=0}$

Das Problem der Multiplikation von Verteilungen , eine Einschränkung der Schwarzschen Verteilungstheorie, wird bei nichtlinearen Problemen zu einem ernsten Problem.

Various approaches are used today. The simplest one is based on the definition of generalized function given by Yu. V. Egorov.^[4] Another approach to construct associativedifferential algebras is based on J.-F. Colombeau's construction: see Colombeau algebra. These are factor spaces

${\displaystyle G=M/N}$

of "moderate" modulo "negligible" nets of functions, where "moderateness" and "negligibility" refers to growth with respect to the index of the family.

A simple example is obtained by using the polynomial scale on N, ${\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}}$. Then for any semi normed algebra (E,P), the factor space will be

${\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.}$

In particular, for (E, P)=(C,|.|) one gets (Colombeau's) generalized complex numbers (which can be "infinitely large" and "infinitesimally small" and still allow for rigorous arithmetics, very similar to nonstandard numbers). For (E, P) = (C^∞(R),{p_k}) (where p_k is the supremum of all derivatives of order less than or equal to k on the ball of radius k) one gets Colombeau's simplified algebra.

This algebra "contains" all distributions T of D' via the injection

j(T) = (φ_n ∗ T)_n + N,

where ∗ is the convolution operation, and

φ_n(x) = n φ(nx).

This injection is non-canonical in the sense that it depends on the choice of the mollifier φ, which should be C^∞, of integral one and have all its derivatives at 0 vanishing. To obtain a canonical injection, the indexing set can be modified to be N × D(R), with a convenient filter base on D(R) (functions of vanishing moments up to order q).

Ist ( E , P ) eine (Prä-) Garbe von halbnormierten Algebren auf einem topologischen Raum X , so besitzt auch G _{_s} ( E ,  P ) diese Eigenschaft. Dies bedeutet, dass der Begriff der Einschränkung definiert wird, der es ermöglicht, den Träger einer verallgemeinerten Funktion bezüglich einer Untergarbe zu definieren, insbesondere:

• Für die Untergarbe {0} erhält man den üblichen Träger (Komplement der größten offenen Teilmenge, in der die Funktion null ist).
• Für die Untergarbe E (eingebettet mittels kanonischer (konstanter) Injektion) erhält man den sogenannten singulären Träger , d. h., grob gesprochen, den Abschluss der Menge, für die die verallgemeinerte Funktion keine glatte Funktion ist (für E  =  C ^∞ ).

Da die Fourier-Transformation für verallgemeinerte Funktionen mit kompaktem Träger (komponentenweise) wohldefiniert ist, kann man die gleiche Konstruktion wie für Distributionen anwenden und Lars Hörmanders Wellenfrontmenge auch für verallgemeinerte Funktionen definieren.

Dies hat eine besonders wichtige Anwendung bei der Analyse der Ausbreitung von Singularitäten .

Dazu gehören: die Faltungsquotiententheorie von Jan Mikusinski , die auf dem Körper der Brüche von Faltungsalgebren basiert , welche Integritätsbereiche sind ; und die Theorien der Hyperfunktionen , die (in ihrer ursprünglichen Konzeption) auf Randwerten analytischer Funktionen basieren und nun die Garbentheorie verwenden .

Bruhat führte eine Klasse von Testfunktionen, die Schwartz-Bruhat-Funktionen , auf einer Klasse lokal kompakter Gruppen ein, die über die typischen Funktionsdomänen hinausgeht . Die Anwendungen liegen hauptsächlich in der Zahlentheorie , insbesondere bei adelischen algebraischen Gruppen . André Weil formulierte Tates Dissertation in dieser Sprache neu und charakterisierte die Zeta-Distribution auf der Idele-Gruppe ; er wandte sie auch auf die explizite Formel einer L-Funktion an .

Eine weitere Möglichkeit, die Theorie zu erweitern, besteht in der Betrachtung verallgemeinerter Schnitte eines glatten Vektorbündels . Dies basiert auf dem Schwartz-Muster und konstruiert Objekte, die dual zu den Testobjekten sind – glatte Schnitte eines Bündels mit kompaktem Träger . Die am weitesten entwickelte Theorie ist die der De-Rham-Ströme , die dual zu Differentialformen sind . Diese sind homologisch, da Differentialformen die De-Rham-Kohomologie induzieren . Sie können verwendet werden, um einen sehr allgemeinen Satz von Stokes zu formulieren .

• Beppo-Levi-Raum
• Dirac-Delta-Funktion
• Verallgemeinerte Eigenfunktion
• Verteilung (Mathematik)
• Hyperfunktion
• Laplace-Operator des Indikators
• Rigged Hilbert space
• Grenzwert einer Verteilung
• Verallgemeinerter Raum
• Ultradistribution

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