Einschränkung (Mathematik)

In der Mathematik ist die Einschränkung einer Funktion eine neue Funktion, die durch Wahl eines kleineren Definitionsbereichs für die ursprüngliche Funktion erhalten wird . Man sagt dann, die Funktion erweitere${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{A}}$${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{A}.}$

Sei eine Funktion von einer Menge in eine Menge . Wenn eine Menge eine Teilmenge von ist, dann ist die Einschränkung von auf die Funktion ^{[ 1 ]} gegeben durch für . Informell ist die Einschränkung von auf die gleiche Funktion wie , aber nur auf definiert . ${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$${\displaystyle x\in A.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle A}$

Wenn man die Funktion als eine Relation auf dem kartesischen Produkt betrachtet, dann kann die Einschränkung von auf durch ihren Graphen dargestellt werden . ${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle E\times F,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

wobei die Paare geordnete Paare im Graphen darstellen .${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle G.}$

Eine Funktion wird als eine Funktion bezeichnet.${\displaystyle F}$Erweiterung einer anderen Funktion,wenn immer wennim Definitionsbereich von liegt, dannauch im Definitionsbereich von liegt.Das heißt, wennund${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(x)=F(x).}$${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

Alineare Erweiterung (bzw.Eine stetige Fortsetzung usw. einer Funktionist eine Fortsetzung,die gleichzeitig einelineare Abbildung(bzw. einestetige Abbildungusw.) ist. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

1. Die Einschränkung der nicht-injektiven Funktion auf den Definitionsbereich ist die Injektion${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. Die Fakultätsfunktion ist die Einschränkung der Gammafunktion auf die positiven ganzen Zahlen, wobei das Argument um eins verschoben wird:${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

• Die Einschränkung einer Funktion auf ihren gesamten Definitionsbereich liefert die ursprüngliche Funktion zurück, d. h.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• Eine Funktion zweimal einzuschränken ist dasselbe wie sie einmal einzuschränken, das heißt, wenn dann${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• Die Einschränkung der Identitätsfunktion auf einer Menge auf eine Teilmenge von ist genau die Inklusionsabbildung von in ^{[ 2 ].}${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$
• Die Einschränkung einer stetigen Funktion ist stetig. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Damit eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, muss sie injektiv sein . Ist eine Funktion nicht injektiv, kann man unter Umständen eine partielle Umkehrfunktion definieren, indem man den Definitionsbereich einschränkt. Beispielsweise ist die auf dem gesamten Intervall definierte Funktion nicht injektiv, da für alle gilt. Die Funktion wird jedoch injektiv, wenn wir den Definitionsbereich auf den Bereich beschränken . ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$$${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(Beschränken wir uns stattdessen auf den Definitionsbereich, so ist die Umkehrfunktion das Negative der Quadratwurzel von ) Alternativ ist es nicht nötig, den Definitionsbereich einzuschränken, wenn wir zulassen, dass die Umkehrfunktion mehrwertig ist . ${\displaystyle (-\infty ,0],}$${\displaystyle y.}$

In der relationalen Algebra ist eine Selektion (manchmal auch Restriktion genannt, um Verwechslungen mit der Verwendung von SELECT in SQL zu vermeiden) eine unäre Operation, die wie folgt geschrieben wird : ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$und sind Attributnamen.${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$ist eine binäre Operation in der Menge${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$ist eine Wertkonstante,
• ${\displaystyle R}$ist eine Relation .

Die Auswahl wählt alle Tupel in aus , für die zwischen dem und dem Attribut gilt . ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Die Auswahl wählt alle Tupel in aus, für die zwischen dem Attribut und dem Wert gilt.${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle v.}$

Der Selektionsoperator beschränkt die Auswahl somit auf eine Teilmenge der gesamten Datenbank.

Das Lemma der Verklebung ist ein Ergebnis der Topologie , das die Stetigkeit einer Funktion mit der Stetigkeit ihrer Einschränkungen auf Teilmengen in Beziehung setzt.

Seien zwei abgeschlossene (oder zwei offene) Teilmengen eines topologischen Raums, sodass , und sei ebenfalls ein topologischer Raum. Wenn stetig ist, wenn man auf beide einschränkt , dann ist auch stetig. ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=X\cup Y,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f}$

Dieses Ergebnis erlaubt es, zwei stetige Funktionen, die auf abgeschlossenen (oder offenen) Teilmengen eines topologischen Raums definiert sind, zu nehmen und daraus eine neue Funktion zu erzeugen.

Garben bieten eine Möglichkeit, Einschränkungen nicht nur auf Funktionen, sondern auch auf Objekte zu verallgemeinern.

In der Garbentheorie ordnet man jeder offenen Menge eines topologischen Raums ein Objekt einer Kategorie zu und fordert, dass die Objekte bestimmte Bedingungen erfüllen. Die wichtigste Bedingung ist, dass zwischen jedem Paar von Objekten, die verschachtelten offenen Mengen zugeordnet sind, Restriktionsmorphismen existieren ; das heißt, wenn , dann existiert ein Morphismus , der die folgenden Eigenschaften erfüllt, welche die Restriktion einer Funktion nachbilden sollen: ${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V\subseteq U,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• Für jede offene Menge ist der Restriktionsmorphismus der Identitätsmorphismus auf${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$${\displaystyle F(U).}$
• Wenn wir drei offene Mengen haben, dann ist die zusammengesetzte Menge${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (Lokalität) Wenn eine offene Überdeckung einer offenen Menge ist und wenn so beschaffen sind, dass für jede Menge der Überdeckung gilt, dann gilt ; und${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle s,t\in F(U)}$${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle s=t}$
• (Verkleben) Sei eine offene Überdeckung einer offenen Menge und sei für jedes ein Schnitt gegeben, sodass für jedes Paar der Überdeckungsmengen die Einschränkungen von und bezüglich der Überlappungen übereinstimmen: dann gibt es einen Schnitt, sodass für jedes${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$${\displaystyle U_{i},U_{j}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$${\displaystyle s\in F(U)}$${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$${\displaystyle i.}$

Die Gesamtheit aller solcher Objekte wird als Garbe bezeichnet . Sind nur die ersten beiden Eigenschaften erfüllt, handelt es sich um eine Prägarbe .

Allgemeiner lässt sich die Einschränkung ( oder Domäneneinschränkung oder Linkseinschränkung ) einer binären Relation zwischen zwei Graphen als eine Relation mit Domäne ⊆ Zielbereich ⊆ Graph ...${\displaystyle A\triangleleft R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$${\displaystyle R\triangleright B.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E\times F}$

Die Definitionsbereichs-Antirestriktion (oder Definitionsbereichs-Subtraktion ) einer Funktion oder binären Relation (mit Definitionsbereich und Wertebereich ) durch eine Menge kann definiert werden als ; sie entfernt alle Elemente von aus dem Definitionsbereich. Sie wird manchmal mit  ⩤  bezeichnet ^{[ 5 ].} Analog dazu ist die Wertebereichs-Antirestriktion (oder Wertebereichs-Subtraktion ) einer Funktion oder binären Relation durch eine Menge definiert als ; sie entfernt alle Elemente von aus dem Wertebereich. Sie wird manchmal  mit ⩥  bezeichnet.${\displaystyle R}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B.}$

• Nebenbedingung  – Bedingung eines Optimierungsproblems, die die Lösung erfüllen muss
• Deformationsretraktion  – Stetige, positionserhaltende Abbildung von einem topologischen Raum in einen UnterraumPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lokales Eigentum
• Funktion (Mathematik) § Einschränkung und Erweiterung
• Binäre Relation § Einschränkung
• Relationale Algebra § Selektion (σ)