Messniveau

Das Messniveau bzw. die Messskala ist eine Klassifizierung, die die Art der Information in den Variablenwerten beschreibt . [ ^{1 ] Der} Psychologe Stanley Smith Stevens entwickelte die bekannteste Klassifizierung mit vier Messniveaus bzw. Skalen: Nominal- , Ordinal- , Intervall- und Verhältnisskala . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Dieses Rahmenwerk zur Unterscheidung von Messniveaus hat seinen Ursprung in der Psychologie und eine wechselvolle Geschichte. Es wurde in einigen Disziplinen und von einigen Wissenschaftlern übernommen und erweitert, von anderen jedoch kritisiert oder abgelehnt. ^{[ 3 ] Weitere} Klassifizierungen stammen von Mosteller und Tukey [ ^{4 ]} sowie von Chrisman. ^{[ 5 ]}

Stevens stellte seine Typologie 1946 in einem Artikel der Zeitschrift Science mit dem Titel „On the theory of scales of measurement“ vor. ^{[ 2 ]} Darin behauptete er, dass alle wissenschaftlichen Messungen mithilfe von vier verschiedenen Skalentypen durchgeführt würden: Nominal-, Ordinal-, Intervall- und Verhältnisskala. Diese vereinheitlichten sowohl „ qualitative “ (die durch seinen Nominalskalentyp beschrieben werden) als auch „ quantitative “ (in unterschiedlichem Maße alle übrigen Skalen). Das Konzept der Skalentypen erhielt später durch die Arbeiten der mathematischen Psychologen Theodore Alper (1985, 1987), Louis Narens (1981a, b) und R. Duncan Luce (1986, 1987, 2001) die mathematische Strenge, die ihm ursprünglich fehlte. Wie Luce (1997, S. 395) schrieb:

S. S. Stevens (1946, 1951, 1975) behauptete, dass es darauf ankomme, eine Intervall- oder Verhältnisskala zu haben. Nachfolgende Forschungen haben dieser Aussage Bedeutung verliehen, doch angesichts seiner Versuche, Skalentypen zu verwenden, ist es zweifelhaft, ob er sie selbst verstanden hat … Kein mir bekannter Messtheoretiker akzeptiert Stevens’ weite Definition von Messung …  [Hervorhebung hinzugefügt] Unserer Ansicht nach ist die einzig sinnvolle Bedeutung von „Regel“ empirisch überprüfbare Gesetze über das Attribut.

Eine Nominalskala besteht lediglich aus einer Anzahl unterschiedlicher Klassen oder Kategorien, zum Beispiel: [Katze, Hund, Kaninchen]. Im Gegensatz zu anderen Skalen lässt sich keine Beziehung zwischen den Klassen herstellen. Daher ist die Messung mit einer Nominalskala gleichbedeutend mit einer Klassifizierung .

Nominale Messungen können zwischen Objekten oder Subjekten allein anhand ihrer Bezeichnungen oder (Meta-)Kategorien und anderer qualitativer Klassifikationen, denen sie angehören, unterscheiden. Daher wurde argumentiert, dass selbst dichotome Daten auf einer konstruktivistischen Erkenntnistheorie beruhen . In diesem Fall kann die Entdeckung einer Ausnahme von einer Klassifikation als Fortschritt betrachtet werden.

Zur Darstellung der Variablen können Zahlen verwendet werden, die jedoch keinen numerischen Wert oder eine Beziehung zueinander haben: beispielsweise eine global eindeutige Kennung .

Beispiele für diese Klassifizierungen sind Geschlecht, Nationalität, ethnische Zugehörigkeit, Sprache, Genre, Stil, biologische Spezies und Form. ^{[ 6 ] [ 7 ]} An einer Universität könnten auch Wohnheim- oder Fakultätszugehörigkeit als Beispiele dienen. Weitere konkrete Beispiele sind

• In der Grammatik die Wortarten : Substantiv, Verb, Präposition, Artikel, Pronomen usw.
• In der Politik: Machtprojektion : harte Macht, weiche Macht usw.
• In der Biologie gibt es unterhalb der Domänen die taxonomischen Ränge : Reich, Stamm, Klasse usw.
• In der Softwareentwicklung : Fehlertypen : Spezifikationsfehler, Designfehler und Codefehler

Nominalskalen wurden oft als qualitative Skalen bezeichnet, und Messungen auf qualitativen Skalen wurden als qualitative Daten bezeichnet. Der Aufstieg der qualitativen Forschung hat diese Verwendung jedoch verwirrend gemacht. Werden Zahlen in nominalen Messungen als Bezeichnungen verwendet, haben sie keinen spezifischen numerischen Wert oder keine spezifische Bedeutung. Mit nominalen Messwerten sind keine arithmetischen Berechnungen (+, −, × usw.) zulässig.

Gleichheit und andere Operationen, die sich mithilfe von Gleichheit definieren lassen, wie etwa Ungleichung und Mengenzugehörigkeit , sind die einzigen nicht-trivialen Operationen , die allgemein auf Objekte vom nominalen Typ anwendbar sind.

Der Modus , d. h. der häufigste Wert, ist als Maß der zentralen Tendenz für nominale Daten zulässig. ^{[ 8 ]}

Ordinale Daten ermöglichen zwar eine Rangfolge (1., 2., 3. usw.), anhand derer Daten sortiert werden können, jedoch keine Angabe des relativen Unterschiedsgrades zwischen ihnen. Beispiele hierfür sind dichotome Daten mit dichotomen (oder dichotomisierten) Werten wie „krank“ vs. „gesund“ bei der Messung des Gesundheitszustands, „schuldig“ vs. „nicht schuldig“ bei Gerichtsurteilen oder „falsch/falsch“ vs. „richtig/wahr“ bei der Messung des Wahrheitswerts . Andererseits gibt es nicht-dichotome Daten, die ein Spektrum an Werten umfassen, wie beispielsweise „stimme voll und ganz zu“, „stimme größtenteils zu“, „stimme größtenteils nicht zu“ und „stimme überhaupt nicht zu“ bei der Messung von Meinungen .

Die Ordinalskala ordnet Ereignisse, ohne jedoch die Intervalle der Skala nach einer bestimmten Regel gleichzusetzen. Rangfolgen sind Beispiele für Ordinalskalen und werden häufig in der Forschung zu qualitativen Phänomenen verwendet. Die Platzierung eines Studenten in seinem Abschlussjahrgang ist ein Beispiel für eine Ordinalskala. Aussagen über Ergebnisse auf Basis von Ordinalskalen erfordern jedoch große Vorsicht. Befindet sich Devi beispielsweise auf Platz 10 und Ganga auf Platz 40, kann man nicht sagen, dass Devis Platzierung viermal so gut ist wie die von Ganga. Ordinalskalen erlauben lediglich die Rangfolge von Elementen vom höchsten zum niedrigsten Wert. Ordinale Messungen haben keine absoluten Werte, und die tatsächlichen Unterschiede zwischen benachbarten Rängen sind möglicherweise nicht gleich. Man kann lediglich feststellen, ob eine Person auf der Skala höher oder niedriger als eine andere steht; genauere Vergleiche sind nicht möglich. Die Verwendung einer Ordinalskala impliziert somit eine Aussage von „größer als“ oder „kleiner als“ (eine Gleichheitsaussage ist ebenfalls zulässig), ohne dass wir angeben können, wie viel größer oder kleiner. Der tatsächliche Unterschied zwischen Rang 1 und 2 kann beispielsweise größer oder kleiner sein als der Unterschied zwischen Rang 5 und 6.

Laut Stevens ist für Ordinaldaten der Median das geeignete Maß der zentralen Tendenz (der Modus ist ebenfalls zulässig, der Mittelwert jedoch nicht), und das geeignete Streuungsmaß ist das Perzentil oder Quartil (die Standardabweichung ist nicht zulässig). Diese Einschränkungen würden bedeuten, dass Korrelationen nur mit Rangordnungsverfahren und statistische Signifikanz nur mit nichtparametrischen Methoden bewertet werden können (R. M. Kothari, 2004). Diese Einschränkungen werden von Statistikern jedoch im Allgemeinen nicht befürwortet.

Stevens stellte 1946 fest, dass psychologische Messungen, wie beispielsweise Meinungserhebungen, üblicherweise auf Ordinalskalen basieren. Mittelwerte und Standardabweichungen besitzen daher nach seinen Regeln keine Validität , können aber Anregungen zur Verbesserung der Operationalisierung von Variablen in Fragebögen liefern . Tatsächlich sind die meisten psychologischen Daten, die mit psychometrischen Instrumenten und Tests zur Messung kognitiver und anderer Fähigkeiten erhoben werden, ordinal (Cliff, 1996; Cliff & Keats, 2003; Michell, 2008). ^{[ 9 ]} Insbesondere ^{[ 10 ]} spiegeln IQ-Werte eine Ordinalskala wider, auf der alle Werte nur im Vergleich sinnvoll sind. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Es gibt keinen Nullpunkt, der fehlende Intelligenz repräsentiert, und ein Unterschied von 10 Punkten kann an verschiedenen Stellen der Skala unterschiedliche Bedeutungen haben. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Der Intervalltyp ermöglicht die Definition des Unterschieds zwischen Messwerten, jedoch nicht deren Verhältnis. Beispiele hierfür sind Temperaturskalen mit der Celsius-Skala , Datumsangaben ausgehend von einer beliebigen Epoche (z. B. n. Chr.), Ortsangaben in kartesischen Koordinaten und Richtungsangaben in Grad von geografisch oder magnetisch Nord. Verhältnisse sind nicht aussagekräftig, da 20 °C nicht als „doppelt so heiß“ wie 10 °C bezeichnet werden können und auch keine direkte Multiplikation oder Division zwischen zwei beliebigen Daten möglich ist. Differenzverhältnisse lassen sich jedoch ausdrücken; beispielsweise kann eine Differenz doppelt so groß sein wie eine andere; so ist beispielsweise die Differenz von zehn Grad zwischen 15 °C und 25 °C doppelt so groß wie die Differenz von fünf Grad zwischen 17 °C und 22 °C.

Laut Stevens dürfen Modus , Median und arithmetisches Mittel zur Messung der zentralen Tendenz von Intervallvariablen verwendet werden, während Streuungsmaße wie Spannweite und Standardabweichung zulässig sind. Da man nur durch Differenzen dividieren kann , lassen sich keine Maße definieren, die Verhältnisse erfordern, wie beispielsweise der Variationskoeffizient . Genauer gesagt: Obwohl man Momente um den Ursprung definieren kann, sind nur zentrale Momente sinnvoll, da die Wahl des Ursprungs willkürlich ist. Standardisierte Momente lassen sich definieren , da Verhältnisse von Differenzen sinnvoll sind, aber der Variationskoeffizient lässt sich nicht definieren, da der Mittelwert ein Moment um den Ursprung ist, im Gegensatz zur Standardabweichung, die die Quadratwurzel eines zentralen Moments ist.

Siehe auch : Positive reelle Zahlen § Verhältnisskala

Die Verhältnisskala leitet ihren Namen von der Tatsache ab, dass eine Messung die Schätzung des Verhältnisses zwischen einer Größe einer kontinuierlichen Messgröße und einer Maßeinheit derselben Art darstellt (Michell, 1997, 1999). Die meisten Messungen in den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen erfolgen auf Verhältnisskalen. Beispiele hierfür sind Masse , Länge , Dauer , Winkel , Energie und elektrische Ladung . Im Gegensatz zu Intervallskalen können Verhältnisse durch Division verglichen werden . Verhältnisskalen werden häufig verwendet, um Größenordnungen auszudrücken , wie beispielsweise die Temperatur in Größenordnungen (Temperatur) .

Laut Stevens sind neben Modalwert, Median und arithmetischem Mittel auch das geometrische und das harmonische Mittel zur Messung der zentralen Tendenz zulässig. Die studentisierte Spannweite und der Variationskoeffizient können zur Messung der statistischen Streuung herangezogen werden. Alle statistischen Maße sind zulässig, da für die Verhältnisskala alle notwendigen mathematischen Operationen definiert sind.

Stevens’ Typologie ist zwar weit verbreitet, wird aber von anderen Theoretikern weiterhin in Frage gestellt, insbesondere im Hinblick auf die Nominal- und Ordinaltypen (Michell, 1986). ^{[ 16 ]} Duncan (1986) beispielsweise beanstandete die Verwendung des Begriffs „ Messung“ im Zusammenhang mit dem Nominaltyp, und Luce (1997) widersprach Stevens’ Definition von Messung.

Stevens (1975) hingegen sagte zu seiner Definition von Messung: „Die Zuordnung kann jede konsistente Regel sein. Die einzige unzulässige Regel wäre die zufällige Zuordnung, denn Zufälligkeit läuft faktisch auf eine Nicht-Regel hinaus.“ Hand erklärt: „Grundlegende Lehrbücher der Psychologie beginnen oft mit Stevens’ Rahmenwerk, und seine Ideen sind weit verbreitet. Tatsächlich wurde die grundlegende Stimmigkeit seiner Hierarchie von Mathematikern für die repräsentative Messung nachgewiesen, indem sie die Invarianzeigenschaften von Abbildungen von empirischen Systemen auf Kontinua reeller Zahlen bestimmten. Sicherlich wurden die Ideen überarbeitet, erweitert und ausgearbeitet, aber das Bemerkenswerte ist seine Erkenntnis angesichts des relativ begrenzten formalen Apparats, der ihm zur Verfügung stand, und der vielen Jahrzehnte, die seit ihrer Formulierung vergangen sind.“ ^{[ 17 ]}

Die Verwendung des Mittelwerts als Maß der zentralen Tendenz für Ordinaldaten ist unter Anhängern von Stevens' Typologie weiterhin umstritten. Viele Verhaltensforscher verwenden den Mittelwert dennoch für Ordinaldaten. Dies wird häufig damit begründet, dass Ordinaldaten in der Verhaltenswissenschaft tatsächlich zwischen echten Ordinal- und Intervallskalen liegen; obwohl der Abstand zwischen zwei Ordinalrängen nicht konstant ist, ist er oft von derselben Größenordnung.

Anwendungen von Messmodellen im Bildungsbereich zeigen beispielsweise häufig, dass Gesamtwerte in einem relativ linearen Verhältnis zu Messwerten über den gesamten Bereich einer Bewertung stehen. Daher argumentieren einige, dass Intervallskalenstatistiken wie Mittelwerte sinnvoll auf ordinalskalierte Variablen angewendet werden können, solange die unbekannte Intervalldifferenz zwischen den Rängen einer Ordinalskala nicht zu stark variiert. Statistiksoftware wie SPSS erfordert, dass der Benutzer für jede Variable die passende Messklasse auswählt. Dies stellt sicher, dass nachfolgende Benutzerfehler nicht versehentlich zu sinnlosen Analysen führen (z. B. Korrelationsanalysen mit einer nominalskalierten Variable).

L. L. Thurstone leistete Fortschritte bei der Entwicklung einer Begründung für die Gewinnung von Intervallskalen auf Grundlage des Gesetzes des vergleichenden Urteils . Eine gängige Anwendung dieses Gesetzes ist der analytische Hierarchieprozess . Weitere Fortschritte erzielte Georg Rasch (1960) mit der Entwicklung des probabilistischen Rasch-Modells , welches eine theoretische Grundlage und Begründung für die Gewinnung von Intervallskalenmessungen aus Zählungen von Beobachtungen, wie beispielsweise Gesamtpunktzahlen in Tests, liefert.

Neben Stevens' Typologie wurden weitere Typologien vorgeschlagen. So beschrieben beispielsweise Mosteller und Tukey (1977) sowie Nelder (1990) ^{[ 18 ]} kontinuierliche Zählungen, kontinuierliche Verhältnisse, Zählverhältnisse und kategoriale Datenmodi. Siehe auch Chrisman (1998) und van den Berg (1991). ^{[ 19 ]}

Mosteller und Tukey ^{[ 4 ]} stellten fest, dass die vier Ebenen nicht erschöpfend sind und schlugen stattdessen sieben vor:

1. Namen
2. Schwierigkeitsgrade (geordnete Bezeichnungen wie Anfänger, Mittelstufe, Fortgeschrittene)
3. Rangfolge (Reihenfolge, wobei 1 die kleinste bzw. größte Größe ist, 2 die nächstkleinere bzw. nächstgrößere usw.)
4. Gezählte Brüche (begrenzt durch 0 und 1)
5. Anzahl (nichtnegative ganze Zahlen)
6. Beträge (nichtnegative reelle Zahlen)
7. Salden (beliebige reelle Zahl)

Beispielsweise lassen sich Prozentsätze (eine Variante von Brüchen im Mosteller-Tukey-Modell) nicht gut in Stevens' Modell integrieren: Keine Transformation ist vollständig zulässig. ^{[ 16 ]}

Nicholas R. Chrisman ^{[ 5 ]} führte eine erweiterte Liste von Messniveaus ein, um verschiedene Messungen zu berücksichtigen, die nicht unbedingt mit den traditionellen Vorstellungen von Messniveaus übereinstimmen. Messungen, die an einen Bereich gebunden und periodisch sind (wie Grad in einem Kreis, Uhrzeit usw.), abgestufte Zugehörigkeitskategorien und andere Arten von Messungen passen nicht zu Stevens' ursprünglicher Arbeit, was zur Einführung von sechs neuen Messniveaus führte, sodass es nun insgesamt zehn gibt:

1. Nominal
2. Abstufung der Mitgliedschaft
3. Ordinal
4. Intervall
5. Logarithmisches Intervall
6. Umfangreiches Verhältnis
7. Zyklisches Verhältnis
8. Abgeleitetes Verhältnis
9. Zählt
10. Absolute

Während manche behaupten, die erweiterten Messebenen würden außerhalb der akademischen Geographie selten verwendet ^{[ 20 ]} , ist die abgestufte Zugehörigkeit zentral für die Fuzzy-Mengenlehre , während absolute Messungen Wahrscheinlichkeiten sowie Plausibilität und Unwissenheit in der Dempster-Shafer-Theorie umfassen . Zyklische Verhältnismessungen beinhalten Winkel und Zeiten. Zählungen scheinen Verhältnismessungen zu sein, doch die Skala ist nicht willkürlich, und Bruchteilszählungen sind üblicherweise bedeutungslos. Logarithmische Intervallmessungen werden häufig in Börsengrafiken dargestellt. All diese Messarten werden häufig außerhalb der akademischen Geographie verwendet und passen nicht gut zu Stevens’ ursprünglicher Arbeit.

Die Skalentheorie ist die intellektuelle Grundlage von Stevens’ „operationaler Messtheorie“, die in der Psychologie und den Verhaltenswissenschaften maßgeblich werden sollte , obwohl Michell sie als im Widerspruch zu Messungen in den Naturwissenschaften stehend charakterisierte (Michell, 1999). Im Wesentlichen war die operationale Messtheorie eine Reaktion auf die Schlussfolgerungen eines 1932 von der British Association for the Advancement of Science eingesetzten Komitees , das die Möglichkeit echter wissenschaftlicher Messung in den psychologischen und Verhaltenswissenschaften untersuchen sollte. Dieses Komitee, das als Ferguson-Komitee bekannt wurde , veröffentlichte einen Abschlussbericht (Ferguson et al., 1940, S. 245), in dem Stevens’ Sone- Skala (Stevens & Davis, 1938) kritisiert wurde.

…jedes Gesetz, das vorgibt, ein quantitatives Verhältnis zwischen Empfindungsintensität und Reizintensität auszudrücken, ist nicht nur falsch, sondern in der Tat bedeutungslos, solange dem Begriff der Addition in Bezug auf die Empfindung keine Bedeutung gegeben werden kann.

Das heißt, wenn Stevens’ Sone- Skala tatsächlich die Intensität auditiver Empfindungen maß, mussten Belege dafür erbracht werden, dass es sich bei diesen Empfindungen um quantitative Attribute handelte. Der benötigte Beleg war das Vorhandensein additiver Strukturen – ein Konzept, das der deutsche Mathematiker Otto Hölder (Hölder, 1901) umfassend behandelt hatte. Da der Physiker und Messtheoretiker Norman Robert Campbell die Beratungen des Ferguson-Komitees dominierte, kam das Komitee zu dem Schluss, dass Messungen in den Sozialwissenschaften aufgrund fehlender Verkettungsoperationen unmöglich seien . Diese Schlussfolgerung wurde später durch die Entdeckung der Theorie der gemeinsamen Messung durch Debreu (1960) und unabhängig davon durch Luce & Tukey (1964) widerlegt. Stevens’ Reaktion bestand jedoch nicht darin, Experimente zum Nachweis additiver Strukturen in Empfindungen durchzuführen, sondern die Schlussfolgerungen des Ferguson-Komitees durch die Entwicklung einer neuen Messtheorie zu widerlegen.

In Anlehnung an NR Campbell (Abschlussbericht, S. 340) lässt sich sagen, dass Messung im weitesten Sinne als die Zuordnung von Zahlen zu Objekten und Ereignissen nach festgelegten Regeln definiert wird (Stevens, 1946, S. 677).

Stevens wurde maßgeblich von den Ideen eines anderen Harvard-Professors beeinflusst, ^{[ 21 ]} des Physik- Nobelpreisträgers Percy Bridgman (1927), dessen Operationalismus Stevens zur Definition von Messung heranzog. In Stevens’ Definition beispielsweise definiert die Verwendung eines Maßbandes die Länge (das Messobjekt) als messbar (und damit implizit quantitativ). Kritiker des Operationalismus bemängeln, dass er die Beziehungen zwischen zwei Objekten oder Ereignissen mit Eigenschaften eines der Objekte oder Ereignisse verwechselt (Moyer, 1981a, b; Rogers, 1989). ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Der kanadische Messtheoretiker William Rozeboom war ein früher und scharfsinniger Kritiker von Stevens' Theorie der Skalentypen. ^{[ 24 ]}

Ein weiteres Problem besteht darin, dass ein und dieselbe Variable je nach Messmethode und Analyseziel einen anderen Skalentyp aufweisen kann. Beispielsweise wird Haarfarbe üblicherweise als nominale Variable betrachtet, da sie keine offensichtliche Ordnung aufweist. ^{[ 25 ]} Es ist jedoch möglich, Farben (einschließlich Haarfarben) auf verschiedene Weise zu ordnen, unter anderem nach ihrem Farbton; dies wird als Kolorimetrie bezeichnet . Der Farbton ist eine intervallskalierte Variable.

• Cohens Kappa
• Kohärenz (Maßeinheiten)
• Humes Prinzip
• Interrater-Reliabilität
• Logarithmische Skala
• Ramsey-Lewis-Methode
• Mengenlehre
• Statistischer Datentyp
• Transition (Linguistik)