Kirillov-Charakterformel

In der Mathematik liefert die Kirillov-Orbit-Methode für Lie-Gruppen ein heuristisches Verfahren in der Darstellungstheorie . Sie verknüpft die Fouriertransformierten koadjungierter Orbits , die im Dualraum der Lie-Algebra von G liegen , mit den infinitesimalen Charakteren der irreduziblen Darstellungen . Die Methode ist nach dem russischen Mathematiker Alexandre Kirillov benannt . ${\displaystyle G}$

Vereinfacht ausgedrückt besagt es, dass der Charakter einer Lie-Gruppe durch die Fouriertransformierte der Dirac-Delta-Funktion auf den koadjungierten Bahnen, gewichtet mit der Quadratwurzel der Jacobi- Determinante der Exponentialabbildung , gegeben ist . Dies gilt nicht für alle Lie-Gruppen, aber für eine Reihe von Klassen zusammenhängender Lie-Gruppen, darunter nilpotente Gruppen , einige halbeinfache Gruppen und kompakte Gruppen . ${\displaystyle j}$

Die Kirillov-Orbit-Methode hat zu einer Reihe wichtiger Entwicklungen in der Lie-Theorie geführt, darunter der Duflo-Isomorphismus und die Wrapping-Abbildung .

Sei das höchste Gewicht einer irreduziblen Darstellung , wobei die duale Lie - Algebra des maximalen Torus ist , und sei die Hälfte der Summe der positiven Wurzeln . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \rho }$

Wir bezeichnen mit die koadjungierte Bahn durch und mit das -invariante Maß auf mit Gesamtmasse , bekannt als Liouville-Maß . Ist der Charakter der Darstellung , so ist die Kirillov-Charakterformel für kompakte Lie-Gruppen gegeben durch ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$${\displaystyle \lambda +\rho \in {\mathfrak {t}}^{*}}$${\displaystyle \mu _{\lambda +\rho }}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$${\displaystyle \dim \pi =d_{\lambda }}$${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

${\displaystyle j^{1/2}(X)\chi _{\lambda }(\exp$,

wo ist die Jacobi- Matrix der Exponentialabbildung? ${\displaystyle j(X)}$

Im Fall von SU(2) sind die höchsten Gewichte die positiven halben ganzen Zahlen und . Die koadjungierten Orbits sind die zweidimensionalen Kugeln mit Radius , deren Mittelpunkt im Ursprung des dreidimensionalen Raums liegt. ${\displaystyle \rho =1/2}$${\displaystyle \lambda +1/2}$

Mithilfe der Theorie der Bessel-Funktionen lässt sich zeigen, dass

${\displaystyle \int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +1/2}}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +1/2}(\beta )={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{X/2}},\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}},}$

Und

${\displaystyle j(X)={\frac {\sin X/2}{X/2}}}$

Dadurch ergeben sich die Charaktere von SU (2):

${\displaystyle \chi _{\lambda }(\exp X)={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{\sin X/2}}}$

• Weyl-Charakterformel
• Lokalisierungsformel für äquivariante Kohomologie

• Kirillov, AA, Vorlesungen über die Orbitmethode , Graduate Studies in Mathematics , 64, AMS, Rhode Island, 2004.