Darstellungstheorie von SU(2)

In der Darstellungstheorie von Lie -Gruppen ist die Untersuchung von Darstellungen von SU(2) grundlegend für die Untersuchung von Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen . SU(2) ist der erste Fall einer Lie-Gruppe, die sowohl kompakt als auch nicht-abelsch ist . Die erste Bedingung impliziert, dass die Darstellungstheorie diskret ist: Darstellungen sind direkte Summen einer Menge von grundlegenden irreduziblen Darstellungen (gemäß dem Satz von Peter-Weyl ). Die zweite Bedingung bedeutet, dass es irreduzible Darstellungen in Dimensionen größer als 1 geben wird.

SU(2) ist die universelle Überlagerungsgruppe von SO(3) , und daher umfasst ihre Darstellungstheorie diejenige von SO(3) aufgrund eines surjektiven Homomorphismus . Dies begründet die Bedeutung von SU(2) für die Beschreibung nicht-relativistischer Spins in der theoretischen Physik ; siehe unten für weitere physikalische und historische Kontexte.

Wie unten gezeigt, werden die endlichdimensionalen irreduziblen Darstellungen von SU(2) durch eine nichtnegative ganze Zahl indiziert und haben die Dimension . In der physikalischen Literatur werden die Darstellungen mit der Größe bezeichnet , wobei dann entweder eine ganze Zahl oder eine halbe ganze Zahl ist und die Dimension ist . ${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle l=m/2}$${\displaystyle l}$${\displaystyle 2l+1}$

Die Darstellungen der Gruppe erhält man durch Betrachtung von Darstellungen der Lie-Algebra von SU(2) . Da die Gruppe SU(2) einfach zusammenhängend ist, lässt sich jede Darstellung ihrer Lie-Algebra zu einer Gruppendarstellung integrieren ; ^{[ 1 ]} wir werden im Folgenden eine explizite Konstruktion der Darstellungen auf Gruppenebene angeben. ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Die reelle Lie-Algebra hat eine Basis, die gegeben ist durch${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}},\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0&-i\end{bmatrix}}~,}$

(Diese Basismatrizen sind mit den Pauli-Matrizen durch und ) verknüpft.${\displaystyle u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}\;,}$${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

Die Matrizen stellen die Quaternionen dar :

${\displaystyle u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,}$

${\displaystyle u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,}$

${\displaystyle u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}~.}$

wobei I die herkömmliche 2×2- Einheitsmatrix ist :${\displaystyle ~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.}$

Folglich erfüllen die Kommutatorklammern der Matrizen die Bedingung

${\displaystyle [u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}~.}$

Dann ist es zweckmäßig, zur komplexifizierten Lie-Algebra überzugehen.

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)+i\,{\mathfrak {su}}(2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )~.}$

(Die Summe der selbstadjungierten Matrizen mit Spur Null und der selbstadjungierten Matrizen mit Spur Null ergibt alle Matrizen mit Spur Null.) Solange wir mit Darstellungen über der reellen Lie-Algebra arbeiten, ist dieser Übergang unproblematisch. ^{[ 3 ]} Der Grund für den Übergang zur Komplexifizierung liegt darin, dass sie es uns ermöglicht, eine geeignete Basis eines Typs zu konstruieren, der in der reellen Lie-Algebra nicht existiert . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

Die komplexifizierte Lie-Algebra wird von drei Elementen , , und aufgespannt , die gegeben sind durch ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad$

oder, explizit,

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.}$

Der nicht-triviale/nicht-identische Teil der Multiplikationstabelle der Gruppe ist

${\displaystyle HX~=~~~~X,\qquad HY~=-Y,\qquad XY~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),}$

${\displaystyle XH~=-X,\qquad YH~=~~~~Y,\qquad YX~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I-H\right),}$

${\displaystyle HH~=~~~I~,\qquad XX~=~~~~O,\qquad YY~=~~O,}$

wobei O die 2×2-Nullmatrix ist. Daher lauten ihre Kommutatorrelationen:

${\displaystyle [H,X]=2X,\qquad [H,Y]=-2Y,\qquad [X,Y]=H.}$

Bis auf einen Faktor 2 können die Elemente , und mit den Drehimpulsoperatoren , , und identifiziert werden . Der Faktor 2 stellt eine Diskrepanz zwischen den Konventionen in Mathematik und Physik dar; wir werden versuchen, beide Konventionen in den folgenden Ergebnissen zu berücksichtigen. ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{+}}$${\displaystyle J_{-}}$

In diesem Kontext werden die Eigenwerte von als Gewichte der Darstellung bezeichnet . Das folgende elementare Ergebnis ^{[ 4 ]} ist ein wichtiger Schritt in der Analyse. Sei ein Eigenvektor von mit Eigenwert ; das heißt, dann ${\displaystyle H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle Hv=\alpha v.}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}H(Xv)&=(XH+[H,X])v&&=(\alpha +2)Xv,\\[3pt]H(Yv)&=(YH+[H,Y])v&&=(\alpha -2)Yv.\end{alignedat}}}$

Mit anderen Worten ist entweder der Nullvektor oder ein Eigenvektor von mit Eigenwert und ist entweder Null oder ein Eigenvektor von mit Eigenwert . Somit wirkt der Operator als Erhöhungsoperator , der das Gewicht um 2 erhöht, während als Absenkungsoperator wirkt . ${\displaystyle Xv}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha +2}$${\displaystyle Yv}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha -2.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Angenommen, es handelt sich um eine irreduzible, endlichdimensionale Darstellung der komplexifizierten Lie-Algebra. Dann kann nur endlich viele Eigenwerte haben. Insbesondere muss es einen letzten Eigenwert geben, der kein Eigenwert ist . Sei ein Eigenvektor von mit diesem Eigenwert.${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda +2}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda :}$

${\displaystyle Hv_{0}=\lambda v_{0},}$

dann müssen wir haben

${\displaystyle Xv_{0}=0,}$

Andernfalls würde uns die obige Identität sagen, dass es sich um einen Eigenvektor mit Eigenwert handelt.${\displaystyle Xv_{0}}$${\displaystyle \lambda +2.}$

Definiere nun eine "Kette" von Vektoren durch ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots }$

${\displaystyle v_{k}=Y^{k}v_{0}}$Die

Ein einfacher Induktionsbeweis [ ^{5 ] zeigt} dann, dass

${\displaystyle Xv_{k}=k(\lambda -(k-1))v_{k-1}}$

Wenn nun nicht der Nullvektor ist, dann ist er ein Eigenvektor von mit Eigenwert . Da wiederum nur endlich viele Eigenvektoren hat, schließen wir, dass für ein (und dann für alle ) der Wert Null sein muss. ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda -2k.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle v_{k}=0}$${\displaystyle k>\ell }$

Sei der letzte von Null verschiedene Vektor in der Kette; das heißt, aber . Dann gilt natürlich und aufgrund der obigen Identität mit haben wir ${\displaystyle v_{m}}$${\displaystyle v_{m}\neq 0}$${\displaystyle v_{m+1}=0.}$${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$${\displaystyle k=m+1,}$

${\displaystyle 0=Xv_{m+1}=(m+1)(\lambda -m)v_{m}.}$

Da mindestens eins ist, schließen wir, dass gleich der nichtnegativen ganzen Zahl sein muss.${\displaystyle m+1}$${\displaystyle v_{m}\neq 0,}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m.}$

Wir erhalten somit eine Vektorkette , die als ${\displaystyle m+1}$${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m},}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Yv_{m}=0,\quad Yv_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)}$

und fungiert als ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Xv_{0}=0,\quad Xv_{k}=k(m-(k-1))v_{k-1}\quad (k\geq 1)}$

und fungiert als ${\displaystyle H}$

${\displaystyle Hv_{k}=(m-2k)v_{k}.}$

(Wir haben in den obigen Formeln durch den aktuell bekannten Wert von ersetzt.)${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle m}$

Da die Vektoren Eigenvektoren von mit verschiedenen Eigenwerten sind, müssen sie linear unabhängig sein. Darüber hinaus ist die lineare Hülle von offensichtlich invariant unter der Wirkung der komplexifizierten Lie-Algebra. Da angenommen wird, dass irreduzibel ist, muss diese lineare Hülle ganz von sein. Wir erhalten somit eine vollständige Beschreibung, wie eine irreduzible Darstellung aussehen muss; das heißt, eine Basis für den Raum und eine vollständige Beschreibung, wie die Erzeuger der Lie-Algebra wirken. Umgekehrt können wir für jedes eine Darstellung konstruieren, indem wir einfach die obigen Formeln verwenden und überprüfen, ob die Kommutatorrelationen gelten. Es kann dann gezeigt werden, dass diese Darstellung irreduzibel ist. ^{[ 6 ]}${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{m}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle m\geq 0}$

Schlussfolgerung : Zu jeder nichtnegativen ganzen Zahl existiert eine eindeutige irreduzible Darstellung mit höchstem Gewicht. Jede irreduzible Darstellung ist äquivalent zu einer dieser Darstellungen. Die Darstellung mit dem höchsten Gewicht hat eine Dimension, wobei jedes Gewicht die Vielfachheit eins besitzt. ${\displaystyle m,}$${\displaystyle m.}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

Wir führen nun das (quadratische) Casimir-Element ein , gegeben durch ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)}$Die

Wir können als Element der universellen einhüllenden Algebra oder als Operator in jeder irreduziblen Darstellung betrachten. Betrachtet man als Operator auf der Darstellung mit dem höchsten Gewicht , so lässt sich leicht berechnen, dass mit jedem kommutiert. Somit wirkt nach dem Lemma von Schur für jedes als skalares Vielfaches der Identität. Wir können mithilfe der Basis wie folgt schreiben: ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle u_{i}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle c_{m}}$${\displaystyle m.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \{H,X,Y\}}$

${\displaystyle C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2},}$

was sich reduzieren lässt auf

${\displaystyle C=4YX+H^{2}+2H.}$

Der Eigenwert von in der Darstellung mit dem höchsten Gewicht kann berechnet werden, indem man auf den Vektor mit dem höchsten Gewicht anwendet, der durch annulliert wird ; somit erhält man ${\displaystyle C}$${\displaystyle m}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X;}$

${\displaystyle c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2).}$

In der Physikliteratur wird die Casimir-Funktion wie folgt normiert: Die Bezeichnung von Größen anhand des Eigenwerts von wird dann wie folgt berechnet: ${\textstyle C'={\frac {1}{4}}C.}$${\textstyle \ell ={\frac {1}{2}}m,}$${\displaystyle d_{\ell }}$${\displaystyle C'}$

${\displaystyle d_{\ell }={\frac {1}{4}}(2\ell )(2\ell +2)=\ell (\ell +1).}$

Da SU(2) einfach zusammenhängend ist, zeigt ein allgemeines Ergebnis, dass jede Darstellung seiner (komplexifizierten) Lie-Algebra eine Darstellung von SU(2) selbst liefert. Es ist jedoch wünschenswert, eine explizite Realisierung der Darstellungen auf Gruppenebene anzugeben. Die Gruppendarstellungen lassen sich auf Räumen von Polynomen in zwei komplexen Variablen realisieren. ^{[ 7 ]} Das heißt, für jede nichtnegative ganze Zahl n bezeichnen wir mit ℝ den Raum der homogenen Polynome vom Grad n in zwei komplexen Variablen. Dann ist die Dimension von ℝ gleich n. Es gibt eine natürliche Operation von SU(2) auf jedem ℝ , gegeben durch ℝ = ℝⁿ .${\displaystyle m}$${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle V_{m}}$

${\displaystyle [U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},U\in \mathrm {SU} (2)}$Die

Die zugehörige Lie-Algebra-Darstellung ist genau die im vorherigen Abschnitt beschriebene. ( Eine explizite Formel für die Wirkung der Lie-Algebra auf den Raum der Polynome finden Sie hier .)

Der Charakter einer Darstellung ist die Funktion, die gegeben ist durch ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (g)=\operatorname {trace} (\Pi (g))}$Die

Charaktere spielen eine wichtige Rolle in der Darstellungstheorie kompakter Gruppen . Man kann leicht sehen, dass der Charakter eine Klassenfunktion ist, d. h. invariant unter Konjugation.

Im SU(2)-Fall bedeutet die Tatsache, dass der Charakter eine Klassenfunktion ist, dass er durch seinen Wert auf dem maximalen Torus der Diagonalmatrizen in SU(2) bestimmt wird, da die Elemente gemäß dem Spektralsatz orthogonal diagonalisierbar sind. ^{[ 8 ]} Da die irreduzible Darstellung mit dem höchsten Gewicht die Gewichte besitzt , ist leicht zu sehen, dass der zugehörige Charakter die Bedingung erfüllt. ${\displaystyle T}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

Dieser Ausdruck ist eine endliche geometrische Reihe , die sich vereinfachen lässt zu

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

Dieser letzte Ausdruck ist genau die Formulierung der Weyl-Charakterformel für den SU(2)-Fall. ^{[ 9 ]}

Tatsächlich lassen sich, Weyls ursprünglicher Analyse der Darstellungstheorie kompakter Gruppen folgend, die Darstellungen vollständig aus der Gruppenperspektive klassifizieren, ohne dabei Lie-Algebra-Darstellungen zu verwenden. In diesem Ansatz spielt die Weylsche Charakterformel zusammen mit dem Satz von Peter-Weyl eine wesentliche Rolle für die Klassifizierung . Der SU(2)-Fall wird hier beschrieben .

Beachten Sie, dass entweder alle Gewichte der Darstellung gerade sind (wenn gerade ist) oder alle Gewichte ungerade sind (wenn ungerade ist). Physikalisch ist diese Unterscheidung wichtig: Die Darstellungen mit geraden Gewichten entsprechen gewöhnlichen Darstellungen der Rotationsgruppe SO(3) . ^{[ 10 ]} Im Gegensatz dazu entsprechen die Darstellungen mit ungeraden Gewichten doppelwertigen (spinorialen) Darstellungen von SO(3), auch bekannt als projektive Darstellungen . ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

In der Physik entspricht ein gerader Wert einer ganzen Zahl , ein ungerader Wert einer halben ganzen Zahl. Diese beiden Fälle werden als ganzzahliger bzw. halbzahliger Spin bezeichnet . Darstellungen mit ungeraden, positiven Werten von sind getreue Darstellungen von SU(2), während Darstellungen von SU(2) mit nichtnegativen, geraden Werten nicht getreu sind. ^{[ 11 ]}${\displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

Siehe das Beispiel zum Satz von Borel–Weil–Bott .

Darstellungen von SU(2) beschreiben nicht-relativistischen Spin , da sie eine doppelte Überdeckung der Rotationsgruppe des euklidischen dreidimensionalen Raums darstellen . Relativistischer Spin wird durch die Darstellungstheorie von SL₂ ₍ C ) , einer Supergruppe von SU(2), beschrieben, die analog SO⁺ (1;3) , die relativistische Version der Rotationsgruppe, überdeckt. Die SU(2)-Symmetrie unterstützt auch die Konzepte des isobaren Spins und des schwachen Isospins , ^die zusammenfassend als Isospin bezeichnet werden .

Die Darstellung mit (d. h. gemäß der physikalischen Konvention) ist die 2- Darstellung, die fundamentale Darstellung von SU(2). Wenn ein Element von SU(2) als komplexe 2×2- Matrix geschrieben wird , entspricht es einfach der Multiplikation von Spaltenvektoren 2. In der Physik ist dies als Spin-1/2 und historisch als Multiplikation von Quaternionen (genauer: Multiplikation mit einem Einheitsquaternion ) bekannt. Diese Darstellung kann auch als doppelwertige projektive Darstellung der Rotationsgruppe SO(3) betrachtet werden. ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle l=1/2}$

Die Darstellung mit (d. h. ) ist die 3- Darstellung, die adjungierte Darstellung . Sie beschreibt dreidimensionale Rotationen , die Standarddarstellung von SO(3), weshalb reelle Zahlen ausreichen. Physiker verwenden sie zur Beschreibung massiver Spin-1-Teilchen wie Vektormesonen , doch ihre Bedeutung für die Spintheorie ist weitaus größer, da sie Spinzustände an die Geometrie des physikalischen dreidimensionalen Raums bindet . Diese Darstellung entstand zeitgleich mit der 2- Darstellung, als William Rowan Hamilton Versoren einführte , seinen Begriff für Elemente von SU(2). Es ist anzumerken, dass Hamilton nicht die übliche Terminologie der Gruppentheorie verwendete, da seine Arbeit vor den Entwicklungen der Lie-Gruppen entstand. ${\displaystyle m=2}$${\displaystyle l=1}$

Die (ie )-Darstellung wird in der Teilchenphysik für bestimmte Baryonen verwendet , wie zum Beispiel das Δ . ${\displaystyle m=3}$${\displaystyle l=3/2}$

• Rotationsoperator (Vektorraum)
• Rotationsoperator (Quantenmechanik)
• Darstellungstheorie von SO(3)
• Zusammenhang zwischen SO(3) und SU(2)
• Repräsentationstheorie von SL ₂ ( R )
• Elektroschwache Wechselwirkung
• Rotationsgruppe SO(3) § Eine Anmerkung zu Lie-Algebren

• Hall, Brian C. (2015), Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Darstellungen: Eine elementare Einführung , Graduate Texts in Mathematics, Band 222 (2. Aufl.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Lie-Gruppen in der Physik , Kapitel 5 „Leiteroperatoren“
• Iachello, Francesco (2006), Lie-Algebren und Anwendungen , Lecture Notes in Physics, Band 708, Springer, ISBN 3540362363