McKay-Vermutung

In der Mathematik , insbesondere auf dem Gebiet der Gruppentheorie , ist die McKay-Vermutung ein Satz über die Gleichheit zweier Zahlen: die Anzahl der irreduziblen komplexen Charaktere vom Grad, der nicht durch eine Primzahl teilbar ist , für eine gegebene endliche Gruppe und die gleiche Anzahl für den Normalisator in dieser Gruppe einer Sylow -Untergruppe . ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Sie ist nach dem kanadischen Mathematiker John McKay benannt , der 1971 eine eingeschränkte Version davon als Vermutung für den Spezialfall einfacher Gruppen formulierte . Die Vermutung wurde später von anderen Mathematikern zu einer allgemeineren Vermutung für beliebige Primzahlen und allgemeinere Gruppen verallgemeinert. ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$

Im Jahr 2023 wurde ein Beweis der allgemeinen Vermutung von Britta Späth und Marc Cabanes verkündet . ^{[ 1 ]}

Sei eine Primzahl, eine endliche Gruppe und eine Sylow -Untergruppe. Definiere . ${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\leq G}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\textrm {Irr}}_{p'}(G):=\{\chi \in {\textrm {Irr}}(G):p\nmid \chi (1)\}}$

wobei die Menge der komplexen irreduziblen Charaktere der Gruppe bezeichnet . Die McKay-Vermutung behauptet die Gleichheit ${\displaystyle {\textrm {Irr}}(G)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle |{\textrm {Irr}}_{p'}(G)|=|{\textrm {Irr}}_{p'}(N_{G}(P))|}$

Wo befindet sich der Normalisator von in ? ${\displaystyle N_{G}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$

Anders ausgedrückt: Für jede endliche Gruppe ist die Anzahl ihrer irreduziblen komplexen Darstellungen , deren Dimension nicht durch teilbar ist, gleich der Anzahl der Normalisatoren einer beliebigen ihrer Sylow- Untergruppen. ( Isomorphe Darstellungen werden hier als gleich gezählt .)${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

In McKays Originalarbeiten zu diesem Thema ^{[ 2 ] [ 3 ]} wurde die Aussage für Prim- und einfache Gruppen formuliert, es werden aber auch Berechnungsbeispiele für ungerade Primzahlen und symmetrische Gruppen erwähnt. Marty Isaacs überprüfte die Vermutung ebenfalls für die Primzahl 2 und auflösbare Gruppen ^{[ 4 ]} . Die Vermutung für beliebige Primzahlen wurde erstmals in einer Arbeit von Jon L. Alperin formuliert, der auch eine Version in der Blocktheorie angibt , die heute als Alperin-McKay-Vermutung bekannt ist ^{[ 5 ]} .${\displaystyle p=2}$${\displaystyle |{\textrm {Irr}}_{p'}(G)|}$${\displaystyle G}$

Im Jahr 2007 zeigten Martin Isaacs , Gunter Malle und Gabriel Navarro , dass sich die McKay-Vermutung auf die Überprüfung einer sogenannten induktiven McKay-Bedingung für jede endliche einfache Gruppe reduzieren lässt . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Dies ermöglicht einen Beweis der Vermutung mithilfe der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen .

Die Arbeit von Isaacs−Malle−Navarro war auch eine Inspiration für ähnliche Reduktionen für die Alperin-Gewichtsvermutung (benannt nach Jonathan Lazare Alperin ), ihre Blockversion, die Alperin−McKay-Vermutung, und die Dade-Vermutung (benannt nach Everett C. Dade ).

Die McKay-Vermutung für die Primzahl 2 wurde 2016 von Britta Späth und Gunter Malle bewiesen. ^{[ 8 ]}

Ein wichtiger Schritt beim Beweis der induktiven McKay-Bedingung für alle einfachen Gruppen besteht darin, die Wirkung der Automorphismengruppe auf der Menge für jede endliche quasieinfache Gruppe zu bestimmen. Die Lösung wurde von Späth ^{[ 9 ]} in Form einer -äquivarianten Jordan-Zerlegung von Charakteren für endliche quasieinfache Gruppen vom Lie-Typ angegeben .${\displaystyle {\textrm {Aut}}(G)}$${\displaystyle {\textrm {Irr}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\textrm {Aut}}(G)}$

Ein Beweis der McKay-Vermutung für alle Primzahlen und alle endlichen Gruppen wurde von Britta Späth und Marc Cabanes im Oktober 2023 auf verschiedenen Konferenzen angekündigt; ein Manuskript dazu ist später im Jahr 2024 verfügbar. ^{[ 10 ]}