Sylow-Sätze

In mathematics, specifically in the field of finite group theory, the Sylow theorems are a collection of theorems named after the Norwegian mathematician Peter Ludwig Sylow^[1] that give detailed information about the number of subgroups of fixed order that a given finite group contains. The Sylow theorems form a fundamental part of finite group theory and have very important applications in the classification of finite simple groups.

For a prime number $p$ , a p-group is a group whose cardinality is a power of $p;$ or equivalently, the order of each group element is some power of $p$ . A Sylow p-subgroup (sometimes p-Sylow subgroup) of a finite group $G$ is a maximal $p$ -subgroup of $G$ , i.e., a subgroup of $G$ that is a p-group and is not a proper subgroup of any other $p$ -subgroup of $G$ . The set of all Sylow $p$ -subgroups for a given prime $p$ is sometimes written ${\text{Syl}}_{p}(G)$ .

The Sylow theorems assert a partial converse to Lagrange's theorem. Lagrange's theorem states that for any finite group $G$ the order (number of elements) of every subgroup of $G$ divides the order of $G$ . The Sylow theorems state that for every prime factor $p$ of the order of a finite group $G$ , there exists a Sylow $p$ -subgroup of $G$ of order $p^{n}$ , the highest power of $p$ that divides the order of $G$ . Moreover, every subgroup of order $p^{n}$ is a Sylow $p$ -subgroup of $G$ , and the Sylow $p$ -subgroups of a group (for a given prime $p$ ) are conjugate to each other. Furthermore, the number of Sylow $p$ -subgroups of a group for a given prime $p$ is congruent to 1 (mod $p$ ).

Theorems

Motivation

Die Sylow-Sätze liefern wichtige Aussagen über die Struktur von Gruppen im Allgemeinen und sind besonders wirkungsvoll in Anwendungen der Theorie endlicher Gruppen. Sie ermöglichen es, mithilfe der Primzahlzerlegung der Kardinalität einer endlichen Gruppe Aussagen über die Struktur ihrer Untergruppen zu treffen: Im Wesentlichen bieten sie eine Technik, um grundlegende zahlentheoretische Informationen über eine Gruppe auf ihre Gruppenstruktur zu übertragen. Daraus ergibt sich, dass die Klassifizierung endlicher Gruppen zu einer Suche nach Kombinationen/Konstruktionen von Gruppen kleinerer Ordnung wird, die zur Konstruktion einer Gruppe verwendet werden können. Ein typisches Anwendungsbeispiel dieser Sätze ist die Klassifizierung endlicher Gruppen fester Kardinalität, z. B. [ ²^]^. $G$ $|G|=60$

Stellungnahme

Sammlungen von Untergruppen, die jeweils in irgendeiner Hinsicht maximal sind, sind in der Gruppentheorie häufig. Das überraschende Ergebnis ist, dass im Fall von alle Elemente isomorph zueinander sind und die größtmögliche Ordnung besitzen: Wenn mit $p$ ≠ m, wobei p kein Teiler von $m$ ist, dann hat jede Sylow $-p$ -Untergruppe $P$ die Ordnung . Das heißt, $P$ ist eine $p$ -Gruppe und . Diese Eigenschaften können genutzt werden, um die Struktur von $G$ weiter zu analysieren . $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ $|G|=p^{n}m$ $n>0$ $|P|=p^{n}$ ${\text{ggT}}(|G:P|,p)=1$

Die folgenden Theoreme wurden erstmals von Ludwig Sylow im Jahr 1872 vorgeschlagen und bewiesen und in den Mathematischen Annalen veröffentlicht .

Satz (1) — Zu jedem Primfaktor $p$ mit Vielfachheit $n$ der Ordnung einer endlichen Gruppe $G$ gibt es eine Sylow $p$ -Untergruppe von $G$ der Ordnung . $p^{n}$

Die folgende schwächere Version des Satzes 1 wurde zuerst von Augustin-Louis Cauchy bewiesen und ist als Satz von Cauchy bekannt .

Folgerung — Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und eine Primzahl $p$ ^, die die Ordnung von $G$ teilt , dann existiert ein Element (und somit eine von diesem Element erzeugte zyklische Untergruppe) der Ordnung $p$ in $G.$ [ ³^]

Satz (2) — Gegeben eine endliche Gruppe $G$ und eine Primzahl $p$ , so sind alle Sylow $-p-$ Untergruppen von $G$ zueinander konjugiert . Das heißt, wenn $H$ und $K Sylow$ $-p-$ Untergruppen von $G$ sind , dann existiert ein Element mit . $g\in G$ $g^{-1}Hg=K$

Satz (3) – Sei $p$ ein Primfaktor mit Vielfachheit $n$ der Ordnung einer endlichen Gruppe $G$ , sodass die Ordnung von $G$ als geschrieben werden kann , wobei p $nicht$ m teilt $.$ Sei die Anzahl der Sylow- $p$ -Untergruppen von $G.$ Dann gilt Folgendes: $p^{n}m$ $n>0$ $n_{p}$

$n_{p}$ teilt $m$ , den Index der Sylow $p$ -Untergruppe in $G.$
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ , wobei $P eine beliebige Sylow$ $-p$ -Untergruppe von $G$ ist und den Normalisator bezeichnet . $N_{G}$

Konsequenzen

Ist eine beliebige Primzahlpotenz eine Teilerzahl der Ordnung von , so existiert eine Untergruppe von der Ordnung . Dies lässt sich leicht für p- Gruppen zeigen , und der erste Satz von Sylow garantiert die Existenz einer hinreichend großen p- Untergruppe von . $p^{m}$ $G$ $G$ $p^{m}$ $G$

Die Sylow-Sätze implizieren, dass für eine Primzahl alle Sylow- Untergruppen von die gleiche Ordnung haben, nämlich die höchste Potenz, durch die die Ordnung von teilbar ist . Umgekehrt sind alle Untergruppen der Ordnung Sylow- Untergruppen und somit alle zueinander konjugiert. Aufgrund der Maximalitätsbedingung ist außerdem jede -Untergruppe von eine -Untergruppe einer -Untergruppe von der Ordnung . $p$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $p$ $G$ $p$ $G$ $p^{n}$

Eine wichtige Konsequenz von Satz 2 ist, dass die Bedingung äquivalent zu der Bedingung ist, dass die Sylow -Untergruppe von ein Normalteiler ist (Satz 3 kann oft verwendet werden, um dies zu zeigen ). Es gibt jedoch Gruppen, die echte, nicht-triviale Normalteiler, aber keine normalen Sylow-Untergruppen besitzen, wie beispielsweise . Gruppen von Primzahlpotenzordnung besitzen keine echten Sylow- Untergruppen. $n_{p}=1$ $p$ $G$ $n_{p}=1$ $S_{4}$ $p$

Der dritte Punkt des dritten Theorems hat als unmittelbare Konsequenz, dass teilt . $n_{p}$ $|G|$

Sylow-Sätze für unendliche Gruppen

Es gibt ein Analogon zu den Sylow-Sätzen für unendliche Gruppen. Man definiert eine Sylow- $p$ -Untergruppe in einer unendlichen Gruppe als eine p -Untergruppe (d. h., jedes Element in ihr hat die Ordnung $p ), die unter allen$ $p-$ Untergruppen der Gruppe maximal bezüglich der Inklusion ist . Sei die Menge der Konjugierten einer Untergruppe . $\operatorname {Cl} (K)$ $K\subset G$

Satz — Wenn $K$ eine Sylow $-p-$ Untergruppe von $G$ ist und endlich ist, dann ist jede Sylow- $p-$ Untergruppe konjugiert zu $K$ , und . $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$

Beispiele

_{Ein einfaches Beispiel für Sylow -} Untergruppen und die Sylow-Sätze ist die Diedergruppe des n -Ecks, D₂ₙ . Für ungerades n ist 2ₙ = 2₁ ^die höchste Zweierpotenz, die die Ordnung teilt, und somit sind Untergruppen der Ordnung 2₂ Sylow-Untergruppen. Dies sind die durch eine Spiegelung erzeugten Gruppen, von denen es n gibt _,und sie sind alle konjugiert unter Drehungen; geometrisch verlaufen die Symmetrieachsen durch eine Ecke und eine Seite.

Im Gegensatz dazu teilt 4 die Ordnung der Gruppe, wenn n gerade ist, und die Untergruppen der Ordnung 2 sind keine Sylow-Untergruppen mehr. Sie gehören vielmehr zwei Konjugationsklassen an, geometrisch danach, ob sie durch zwei Ecken oder zwei Flächen verlaufen. Diese sind durch einen äußeren Automorphismus miteinander verbunden , der durch eine Drehung um π/ n dargestellt werden kann , der halben minimalen Drehung in der Diedergruppe.

Ein weiteres Beispiel sind die Sylow-p-Untergruppen von GL₂ ( Fq ₎ , wobei p und q Primzahlen ≥ 3 sind und $p$ $\equiv 1 (mod$ $q$ $)$ _gilt . Diese sind alle abelsch . Die Ordnung von GL₂( Fq ₎ist ₍ q² $-$ $1$ $)$ $($ $q²$ $-$ $q$ $) = ($ $q$ $)($ $q$ $+ 1)($ $q$ $- 1)$ $²$ . Da $q$ $=$ $p$ $$ $nm$ $+ 1$ $,$ $ist$ die Ordnung von $GL₂$ $($ $Fq$ $) =$ $p$ $$ $2nm$ $'$ $$ $.$ Nach Satz 1 ist die Ordnung der Sylow- p- Untergruppen somit p ^2n^ .

Eine solche Untergruppe P ist die Menge der Diagonalmatrizen , wobei x eine beliebige primitive Wurzel von F _q ist . Da die Ordnung von F _{q gleich} $q$ $- 1$ ist , haben auch ihre primitiven Wurzeln die Ordnung q − 1, woraus folgt, dass $x$ $($ $q$ $- 1)/$ $p$ $n$ oder x ^m und alle ihre Potenzen eine Ordnung haben, die eine Potenz von p ist . Somit ist P eine Untergruppe, deren Elemente alle Ordnungen haben, die Potenzen von p sind . Es gibt p ^n Möglichkeiten für a und b , sodass $|$ $P$ $| =$ $p$ $2$ $n$ gilt . Dies bedeutet, dass P eine Sylow- p- Untergruppe ist, welche abelsch ist, da alle Diagonalmatrizen kommutieren und Satz 2 besagt, dass alle Sylow -p- Untergruppen zueinander konjugiert sind. Daher sind die Sylow- p- Untergruppen von GL _2 ( F _q ) alle abelsch. ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$

Anwendungsbeispiele

Da der Satz von Sylow die Existenz von p-Untergruppen einer endlichen Gruppe sicherstellt, lohnt es sich, Gruppen mit Primzahlpotenzordnung genauer zu untersuchen. Die meisten Beispiele verwenden den Satz von Sylow, um zu beweisen, dass eine Gruppe einer bestimmten Ordnung nicht einfach ist . Für Gruppen kleiner Ordnung genügt oft die Kongruenzbedingung des Satzes von Sylow, um die Existenz eines Normalteilers zu erzwingen . Der Satz von Burnside ( p ^a q ^b) besagt, dass eine Gruppe, deren Ordnung das Produkt einer oder zweier Primzahlpotenzen ist, auflösbar und somit nicht einfach ist (außer wenn sie zyklisch von Primzahlordnung ist).

Zyklische Gruppenbestellungen

Es gibt einige Nichtprimzahlen n , für die jede Gruppe der Ordnung n zyklisch ist. Man kann mithilfe der Sylow-Sätze zeigen, dass n = 15 eine solche Zahl ist: Sei G eine Gruppe der Ordnung 15 = 3 · 5 und n  ₃ die Anzahl der Sylow-3-Untergruppen. Dann gilt n _3 ≡ 5 und n _3 ≡ 1 (mod 3). Der einzige Wert, der diese Bedingungen erfüllt, ist 1; daher gibt es nur eine Untergruppe der Ordnung 3, und diese muss normal sein (da sie keine verschiedenen Konjugierten besitzt). Analog muss n _5 ein Teiler von 3 sein, und n _5 muss gleich 1 sein (mod 5). Daher muss sie auch einen einzigen Normalteiler der Ordnung 5 besitzen. Da 3 und 5 teilerfremd sind , ist der Schnitt dieser beiden Untergruppen trivial, und somit muss G das innere direkte Produkt von Gruppen der Ordnung 3 und 5 sein, also die zyklische Gruppe der Ordnung 15. Daher gibt es ( bis auf Isomorphie) nur eine Gruppe der Ordnung 15. $\mid$

Allgemeiner lässt sich mit einem ähnlichen Argument zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung n zyklisch ist, wenn n = pq , wobei p und q verschiedene Primzahlen sind, sodass p nicht q-1 teilt. Die Bedingung, dass p nicht q-1 teilt, ist notwendig: Beispielsweise hat die Diedergruppe D _p , wobei p eine ungerade Primzahl ist, die Ordnung 2p, ist aber nicht zyklisch.

Kleine Gruppen sind nicht einfach

Eine kompliziertere Anwendung besteht darin, die Ordnung der kleinsten einfachen Gruppe zu finden , die nicht zyklisch ist . Der Satz von Burnside ( p ^a q ^b) schließt alle Gruppen bis zur Ordnung 30 = 2 · 3 · 5 aus .

Wenn | G | = 30 und G einfach wäre, dann _{müsste n₃}> 1 sein _, um eine normale 3-Untergruppe zu vermeiden. n₃ müsste sowohl 10 = 2 · 5 teilen als auch 1 (mod 3) ergeben, also n₃ = 10. Die Gruppe hätte dann 10 verschiedene zyklische Untergruppen der Ordnung 3, jede mit 2 Elementen der Ordnung 3. Das bedeutet, _Ghätte mindestens 20 verschiedene Elemente der Ordnung 3. Analog wäre _n₅= ₆ , da n₅ > 1 6 = 2 · 3 teilen und n₅ ₁ (mod 5) ergeben müsste. Somit hätte G ebenfalls 24 verschiedene Elemente der Ordnung 5. Da die Ordnung von G aber nur 30 beträgt, kann keine einfache Gruppe der Ordnung 30 existieren.

Angenommen, | G | = 42 = 2 · 3 · 7 und G wäre einfach. Dann müsste n₇ > 1 die Zahl 6 = 2 · 3 teilen und _n₇_müsstegleich 1 (mod 7) sein, was unmöglich ist.

Andererseits ist es durchaus möglich, dass _n³= 10 und n⁵ = ₆ gelten , wenn | G | = 60 = 2² ^· 3 · 5. Tatsächlich ist die kleinste einfache nicht-zyklische Gruppe A₅ , die alternierende Gruppe über ₅ Elementen. Sie hat die Ordnung 60 und 24 zyklische Permutationen der Ordnung 5 sowie 20 der Ordnung 3. Wenn | G | = 60 und n⁵ > ₁ , dann ist G einfach.

Satz von Wilson

Ein Teil des Wilson-Theorems besagt, dass

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

für jede Primzahl p . Man kann diesen Satz leicht mit dem dritten Satz von Sylow beweisen. Man beachte nämlich, dass die Anzahl n p _ der Sylow- p -Untergruppen in der symmetrischen Gruppe Sp gleich _⁠1/p − 1Das Produkt aus der Anzahl der p-Zyklen in Sp, also (p − 2)!, ist gleich der Anzahl der p-Zyklen in Sp , d. $h . ($ p ₋ $2$ $)$ !. Andererseits gilt $np \equiv 1 (mod p$ ). Daher ist $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . Also ist $(p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .

Fusionsergebnisse

Frattinis Argument zeigt, dass eine Sylow-Untergruppe eines Normalteilers eine Faktorisierung einer endlichen Gruppe liefert. Eine leichte Verallgemeinerung, bekannt als Burnsides Fusionssatz, besagt: Ist G eine endliche Gruppe mit Sylow -p -Untergruppe P und zwei durch P normalisierte Teilmengen A und B , so sind A und B genau dann G -konjugiert , wenn sie N _G ( P )-konjugiert sind. Der Beweis ist eine einfache Anwendung des Satzes von Sylow: Ist B = Ag , so enthält der Normalisator von B nicht nur P ^, sondern auch P ^g (da P ^g im Normalisator von Ag enthalten ist ). Nach dem Satz von Sylow sind P und P ^g^ nicht nur in G , sondern auch im Normalisator von B konjugiert . Daher normalisiert gh ^{− 1}die Gruppe P für ein h , das die Gruppe B normalisiert , und dann gilt A ^gh^{^{− 1}} = B ^h^{^{− 1}} = B , sodass A und B N _G ( P )-konjugiert sind . Mithilfe des Fusionssatzes von Burnside lässt sich eine stärkere Faktorisierung, das sogenannte semidirekte Produkt , angeben : Ist G eine endliche Gruppe, deren Sylow -p -Untergruppe P im Zentrum ihres Normalisators enthalten ist, so besitzt G einen Normalteiler K von teilerfremder Ordnung zu P , G = PK und P ∩ K = {1}, d. h. G ist p -nilpotent .

Zu den weniger trivialen Anwendungen der Sylow-Sätze gehört der Fokusgruppensatz , der den Einfluss einer Sylow -p -Untergruppe einer abgeleiteten Untergruppe auf die Struktur der gesamten Gruppe untersucht. Dieser Einfluss wird in verschiedenen Phasen der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen genutzt und definiert beispielsweise die Fallunterteilungen im Satz von Alperin-Brauer-Gorenstein, der endliche einfache Gruppen klassifiziert , deren Sylow-2-Untergruppe eine Quasi-Diedergruppe ist . Diese Fallunterteilungen basieren auf J. L. Alperins Verschärfung des Konjugationsteils des Sylow-Satzes, um festzulegen, welche Elemente in der Konjugation verwendet werden.

Beweis der Sylow-Sätze

Die Sylow-Sätze wurden auf verschiedene Weisen bewiesen, und die Geschichte der Beweise selbst ist Gegenstand zahlreicher Arbeiten, darunter Waterhouse, ^{[ 4 ]} Scharlau, ^{[ 5 ]} Casadio und Zappa, ^{[ 6 ]} Gow, ^{[ 7 ]} und in gewissem Maße Meo. ^{[ 8 ]}

Ein Beweis der Sylow-Sätze nutzt den Begriff der Gruppenwirkung auf verschiedene kreative Weisen. Die Gruppe $G$ wirkt auf sich selbst oder auf die Menge ihrer p -Untergruppen auf verschiedene Weisen, und jede dieser Wirkungen kann zum Beweis eines der Sylow-Sätze verwendet werden. Die folgenden Beweise basieren auf kombinatorischen Argumenten von Wielandt. ^{[ 9 ]} Im Folgenden verwenden wir als Notation für „a teilt b“ und für die Negation dieser Aussage. $a\mid b$ $a\nmid b$

Satz (1) — Eine endliche Gruppe G , deren Ordnung durch eine Primzahlpotenz p ^k teilbar ist, besitzt eine Untergruppe der Ordnung p ^k . $|G|$

Nachweisen

Sei $| G | = pk m = pk + ru,$ sodass , und sei Ω die Menge der Teilmengen von $G$ $der$ Größe pk . $G$ operiert auf Ω durch Linksmultiplikation: Für $g$ $\in$ $G$ und $ω$ $\in Ω$ $gilt g \cdot ω$ $=$ ${$ gx $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ $.$ $Für$ ^eine $gegebene$ Menge $ω$ $\in Ω$ schreiben wir _Gω für ihre Stabilisatoruntergruppe ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ und Gω für ihre $Bahn$ { $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ g $\in$ $G$ $}$ $in$ $Ω$ . $p\nmid u$

Der Beweis zeigt die Existenz eines $ω \in Ω,$ für das $G$ _$ω$ p ^k Elemente besitzt und somit die gewünschte Untergruppe liefert. Dies ist die maximal mögliche Größe einer Stabilisatoruntergruppe $G$ _$ω$ , da für jedes feste Element $α \in ω \subseteq G$ die rechte Nebenklasse $G$ _$ω$ $α in$ $ω$ enthalten ist ; daher gilt $| G ω | = | G ω α | \leq | ω | = p k$ .

Nach dem Orbitstabilisator-Theorem gilt $| Gω | = | G |$ für jedes $ω$ $\in Ω$ . Unter Verwendung der additiven p-adischen Bewertung ν  $p$ _ , die die Anzahl der Faktoren p zählt , erhält man $ν p (| Gω |) + ν p ( | Gω |) = ν p (| G |) = k + r$ . Dies bedeutet, dass für diejenigen $ω$ mit $| Gω | = p k$ , die wir suchen, $ν p (| Gω |) = r$ gilt , während für alle anderen $ω ν $ $p (| Gω |) > r$ gilt (da $0 < | Gω | k $ $ν p (| Gω |) < k$ impliziert $)$ . Da $| Ω |$ die Summe von $| Gω | ist$ $,$ $\dots$ Über alle verschiedenen Bahnen $G$ $ω$ kann man die Existenz eines ω vom erstgenannten Typ zeigen, indem man beweist, dass $ν p (| Ω |) = r$ (wenn kein solches ω existierte, wäre diese Bewertung größer als r ). Dies ist ein Beispiel für den Satz von Kummer (da die Zahl $|$ $G$ $| in der$ p- Basis-Notation genau k + r Nullstellen hat, führt die Subtraktion von p ^k von ihr zu einem Übertrag an r Stellen) und kann auch durch eine einfache Rechnung gezeigt werden:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}mj}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}mj/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

Und in keinem der Faktoren des Produkts auf der rechten Seite bleibt eine Potenz von p übrig. Daher gilt $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , womit der Beweis abgeschlossen ist.

Es sei darauf hingewiesen, dass umgekehrt jede Untergruppe H der Ordnung p ^{k Mengen} $ω \in Ω$ erzeugt, für die G _ω = H gilt, nämlich eine der m verschiedenen Nebenklassen Hg .

Lemma — Sei $H$ eine endliche $p-$ Gruppe, sei Ω eine endliche Menge, auf der $H$ wirkt , und sei Ω₀ _die Menge der Punkte von Ω, die unter der Wirkung von $H$ fixiert sind . Dann gilt $|$ $Ω | \equiv | Ω₀ | (mod p)$ .

Nachweisen

Jedes Element $x \in Ω,$ $das$ nicht durch $H fixiert ist$ _, liegt in einer Bahn der Ordnung $| H |/| Hx |$ (wobei Hx den Stabilisator bezeichnet ), die nach Annahme ein Vielfaches von $p ist. Das Ergebnis folgt unmittelbar$ $,$ $indem man$ $| Ω |$ als Summe von $| Hx |$ über alle verschiedenen Bahnen $Hx$ schreibt und modulo $p$ reduziert .

Satz (2) – Ist H eine p- Untergruppe von $G$ und P eine Sylow -p- Untergruppe von $G$ , so existiert ein Element g in $G$ mit g⁻¹Hg ≤ P. Insbesondere sind alle Sylow- p- Untergruppen von $G$ zueinander konjugiert (und daher isomorph ) , d. h., sind H ^und^K Sylow- p - Untergruppen von G $,$ so existiert ein Element g in $G$ mit g⁻¹Hg = K.

Nachweisen

Let Ω be the set of left cosets of P in $G$ and let H act on Ω by left multiplication. Applying the Lemma to H on Ω, we see that $| Ω 0 | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ . Now $p\nmid [G:P]$ by definition so $p\nmid |\Omega _{0}|$ , hence in particular $| Ω 0 | \neq 0$ so there exists some $gP \in Ω 0$ . With this gP, we have hgP = gP for all $h \in H$ , so g⁻¹HgP = P and therefore g⁻¹Hg ≤ P. Furthermore, if H is a Sylow p-subgroup, then $| g -1 Hg | = | H | = | P |$ so that g⁻¹Hg = P.

Theorem (3)—Let q denote the order of any Sylow p-subgroup P of a finite group G. Let n_p denote the number of Sylow p-subgroups of G. Then (a) $n p = [G : N G (P)]$ (where N_G(P) is the normalizer of P), (b) $n p$ divides $| G |/ q$ , and (c) $n p \equiv 1 (mod p)$ .

Proof

Sei Ω die Menge aller Sylow -p- Untergruppen von $G$ und $G$ operiere auf Ω durch Konjugation. Sei $P \in Ω$ eine Sylow- p- Untergruppe. Nach Satz 2 hat die Bahn von P die Größe n _p , also gilt nach dem Bahnstabilisatorsatz $n p = [G : G P]$ . Für diese Gruppenoperation ist der Stabilisator $G$ _P gegeben durch ${g \in G | gPg - 1 = P} = N G (P)$ , den Normalisator von P in G. Somit ist $n p = [G : N G (P)]$ , und daraus folgt, dass diese Zahl ein Teiler von $[G : P] = | G |/ q$ ist .

$Wir betrachten$ nun die Operation P auf Ω mittels Konjugation. _Ω₀ bezeichne die Menge der Fixpunkte dieser Operation. Sei $Q \in Ω₀ .$ Dann gilt $Q = xQx⁻¹$ für alle $x \in P$ mit P ≤ N _G ( Q ). Nach Satz 2 sind P und Q insbesondere in N _G ( Q ) konjugiert, und Q ist ein Normalteiler in N _G ( Q ), also P = Q. Daraus folgt Ω₀ ₌ { P }, sodass nach dem Lemma $| Ω | \equiv | Ω₀ | = 1 (mod p)$ gilt .

Algorithmen

Das Problem, eine Sylow-Untergruppe einer gegebenen Gruppe zu finden, ist ein wichtiges Problem in der algorithmischen Gruppentheorie .

Ein Beweis für die Existenz von Sylow -p- Untergruppen ist konstruktiv: Ist H eine p- Untergruppe von G und der Index [ G : H ] durch p teilbar , so ist auch der Normalisator N = N _G ( H ) von H in G so beschaffen, dass [ N : H ] durch p teilbar ist . Anders ausgedrückt: Ein polyzyklisches Erzeugendensystem einer Sylow- p -Untergruppe lässt sich finden, indem man von einer beliebigen p- Untergruppe H (einschließlich des neutralen Elements) ausgeht und Elemente p -ter Ordnung auswählt, die im Normalisator von H , aber nicht in H selbst enthalten sind. Die algorithmische Version dieses Beweises (und zahlreiche Verbesserungen) ist in Butler ^{[ 10 ]} ausführlich beschrieben, einschließlich des in Cannon ^{[ 11 ]} beschriebenen Algorithmus. Diese Versionen werden weiterhin im Computeralgebrasystem GAP verwendet .

In Permutationsgruppen wurde in Kantor ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} und Kantor und Taylor ^{[ 15 ]} bewiesen , dass eine Sylow -p- Untergruppe und ihr Normalisator in Polynomialzeit des Eingabewerts (Grad der Gruppe multipliziert mit der Anzahl der Erzeuger) gefunden werden können. Diese Algorithmen sind in Seress ^{[ 16 ]} ausführlich beschrieben und gewinnen mit der zunehmenden Realisierung der konstruktiven Erkennung endlicher einfacher Gruppen an praktischer Bedeutung. Insbesondere werden Varianten dieses Algorithmus im Computeralgebrasystem Magma verwendet .

Siehe auch

Anmerkungen

^ Sylow, L. (1872). „Théorèmes sur les groupes de substitutions“ . Mathe. Ann. (auf Französisch). 5 (4): 584–594 . doi : 10.1007/BF01442913 . JFM 04.0056.02 . S2CID 121928336 .
^ Gracia–Saz, Alfonso. „Klassifikation von Gruppen der Ordnung 60“ (PDF) . math.toronto.edu . Archiviert (PDF) vom Original am 28. Oktober 2020. Abgerufen am 8. Mai 2021 .
^ Fraleigh, John B. (2004). Ein erster Kurs in abstrakter Algebra . mit Beitrag von Victor J. Katz . Pearson-Ausbildung. P. 322. ISBN 9788178089973Die
^ Waterhouse 1980 .
^ Scharlau 1988 .
^ Casadio & Zappa 1990 .
^ Gow 1994 .
^ Meo 2004 .
^ Wielandt 1959 .
^ Butler 1991 , Kapitel 16.
^ Cannon 1971 .
^ Kantor 1985a .
^ Kantor 1985b .
^ Kantor 1990 .
^ Kantor & Taylor 1988 .
^ Seress 2003 .

Referenzen

Beweise

Casadio, Giuseppina; Zappa, Guido (1990). „Geschichte des Sylow-Theorems und seiner Beweise“. Boll. Storia Sci. Matte. (auf Italienisch). 10 (1): 29–75 . ISSN 0392-4432 . HERR 1096350 . Zbl 0721.01008 .
Gow, Rod (1994). „Sylows Beweis des Satzes von Sylow“ . Irish Math. Soc. Bull . 0033 (33): 55–63 . doi : 10.33232/BIMS.0033.55.63 . ISSN 0791-5578 . MR 1313412. Zbl 0829.01011 .
Kammüller, Florian; Paulson, Lawrence C. (1999). „Ein formaler Beweis des Satzes von Sylow. Ein Experiment in abstrakter Algebra mit Isabelle HOL“ ( PDF) . J. Automat. Reason. 23 ( 3): 235–264 . doi : 10.1023/A:1006269330992 . ISSN 0168-7433 . MR 1721912. S2CID 1449341. Zbl 0943.68149 . Archiviert vom Original (PDF) am 03.01.2006.
Meo, M. (2004). „Das mathematische Leben des Gruppensatzes von Cauchy“ . Historia Math. 31 (2): 196–221 . doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003- X . ISSN 0315-0860 . MR 2055642. Zbl 1065.01009 .
Scharlau, Winfried (1988). „Die Entdeckung der Sylow-Sätze“ . Historia Math. (auf Deutsch). 15 (1): 40–52 . doi : 10.1016/0315-0860(88)90048-1 . ISSN 0315-0860 . HERR 0931678 . Zbl 0637.01006 .
Waterhouse, William C. ( 1980). „Die frühen Beweise des Satzes von Sylow“. Arch. Hist. Exact Sci. 21 ( 3 ) : 279–290 . doi : 10.1007/BF00327877 . ISSN 0003-9519 . MR 0575718. S2CID 123685226. Zbl 0436.01006 .
Wielandt, Helmut [auf Deutsch] (1959). „Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen“. Bogen. Mathe. (auf Deutsch). 10 (1): 401– 402. doi : 10.1007/BF01240818 . ISSN 0003-9268 . HERR 0147529 . S2CID 119816392 . Zbl 0092.02403 .

Algorithmen

Butler, G. (1991). Fundamentale Algorithmen für Permutationsgruppen . Lecture Notes in Computer Science . Band 559. Berlin, New York City: Springer-Verlag . doi : 10.1007/3-540-54955-2 . ISBN 9783540549550. HERR 1225579 . S2CID 395110 . Zbl 0785.20001 .
Cannon, John J. (1971). „Berechnung der lokalen Struktur großer endlicher Gruppen“. Computer in Algebra and Number Theory ( Proc. SIAM-AMS Sympos. Appl. Math. , New York City, 1970) . SIAM-AMS Proc ., Band 4. Providence, RI: AMS , S. 161–176 . ISSN 0160-7634 . MR 0367027. Zbl 0253.20027 .
Kantor, William M. (1985a). „Polynomialzeitalgorithmen zum Finden von Elementen von Primzahlordnung und Sylow-Untergruppen“ (PDF) . J. Algorithms . 6 (4): 478–514 . CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . doi : 10.1016 / 0196-6774(85)90029-X . ISSN 0196-6774 . MR 0813589. Zbl 0604.20001 .
Kantor, William M. (1985b). „Sylows Theorem in Polynomialzeit“ . J. Comput. Syst. Sci . 30 (3): 359–394 . doi : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 . ISSN 1090-2724 . MR 0805654. Zbl 0573.20022 .
Kantor, William M.; Taylor, Donald E. (1988). „Polynomialzeitversionen des Satzes von Sylow“. J. Algorithms . 9 (1): 1–17 . doi : 10.1016 / 0196-6774(88)90002-8 . ISSN 0196-6774 . MR 0925595. Zbl 0642.20019 .
Kantor, William M. (1990). „Finding Sylow normalizers in polynomial time“. J. Algorithms . 11 (4): 523–563 . doi : 10.1016/0196-6774(90)90009-4 . ISSN 0196-6774 . MR 1079450. Zbl 0731.20005 .
Seress, Ákos (2003). Permutationsgruppenalgorithmen . Cambridge Tracts in Mathematics. Band 152. Cambridge University Press . ISBN 9780521661034. HERR 1970241 . Zbl 1028.20002 .

Externe Links

„Sylow-Theoreme“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Abstrakte Algebra/Gruppentheorie/Die Sylow-Sätze bei Wikibooks
Weisstein, Eric W. „Sylow p-Untergruppe“ . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Sylow-Theoreme“ . MathWorld .

[Sylow1872-1] Sylow, L. (1872). „Théorèmes sur les groupes de substitutions“ . Mathe. Ann. (auf Französisch). 5 (4): 584–594 . doi : 10.1007/BF01442913 . JFM 04.0056.02 . S2CID 121928336 .

[GraciaSaz_WebPDF-2] Gracia–Saz, Alfonso. „Klassifikation von Gruppen der Ordnung 60“ (PDF) . math.toronto.edu . Archiviert (PDF) vom Original am 28. Oktober 2020. Abgerufen am 8. Mai 2021 .

[Fraleigh_2004_322-3] Fraleigh, John B. (2004). Ein erster Kurs in abstrakter Algebra . mit Beitrag von Victor J. Katz . Pearson-Ausbildung. P. 322. ISBN 9788178089973Die

[FOOTNOTEWaterhouse1980-4] Waterhouse 1980 .

[FOOTNOTEScharlau1988-5] Scharlau 1988 .

[FOOTNOTECasadioZappa1990-6] Casadio & Zappa 1990 .

[FOOTNOTEGow1994-7] Gow 1994 .

[FOOTNOTEMeo2004-8] Meo 2004 .

[FOOTNOTEWielandt1959-9] Wielandt 1959 .

[FOOTNOTEButler1991Chapter_16-10] Butler 1991 , Kapitel 16.

[FOOTNOTECannon1971-11] Cannon 1971 .

[FOOTNOTEKantor1985a-12] Kantor 1985a .

[FOOTNOTEKantor1985b-13] Kantor 1985b .

[FOOTNOTEKantor1990-14] Kantor 1990 .

[FOOTNOTEKantorTaylor1988-15] Kantor & Taylor 1988 .

[FOOTNOTESeress2003-16] Seress 2003 .

[1]

2

,

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

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Sylow-Sätze

Theorems

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Sylow-Sätze für unendliche Gruppen

Beispiele

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Siehe auch

Anmerkungen

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Beweise

Algorithmen

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