Messung in der Quantenmechanik

In der Quantenphysik bezeichnet eine Messung die Untersuchung oder Manipulation eines physikalischen Systems, um ein numerisches Ergebnis zu erhalten. Ein grundlegendes Merkmal der Quantentheorie ist, dass ihre Vorhersagen Wahrscheinlichkeitsaussagen liefern .

Das Verfahren zur Wahrscheinlichkeitsberechnung kombiniert einen Quantenzustand , der ein Quantensystem mathematisch beschreibt, mit einer mathematischen Darstellung der an diesem System durchzuführenden Messung. Die Formel für diese Berechnung ist als Bornsche Regel bekannt . Beispielsweise kann ein Quantenteilchen wie ein Elektron durch einen Quantenzustand beschrieben werden, der jedem Punkt im Raum eine komplexe Zahl, die sogenannte Wahrscheinlichkeitsamplitude, zuordnet . Die Anwendung der Bornschen Regel auf diese Amplituden liefert die Wahrscheinlichkeiten, mit denen sich das Elektron bei einem Experiment zu seinem Aufenthaltsort in einem bestimmten Bereich befindet. Dies ist die bestmögliche Vorhersage der Theorie; sie kann nicht mit Sicherheit sagen, wo sich das Elektron befindet. Derselbe Quantenzustand kann auch verwendet werden, um eine Vorhersage über die Bewegung des Elektrons zu treffen, wenn ein Experiment durchgeführt wird, um seinen Impuls anstelle seiner Position zu messen. Die Unschärferelation besagt, dass unabhängig vom Quantenzustand der Vorhersagebereich für die Position des Elektrons und der Vorhersagebereich für seinen Impuls nicht beide eng sein können. Manche Quantenzustände implizieren eine nahezu sichere Vorhersage des Ergebnisses einer Ortsmessung, während das Ergebnis einer Impulsmessung höchst unvorhersehbar ist – und umgekehrt. Darüber hinaus zeigt die Tatsache, dass die Natur die als Bellsche Ungleichungen bekannten statistischen Bedingungen verletzt , dass die Unvorhersagbarkeit von Quantenmessergebnissen nicht mit der Unkenntnis lokaler, verborgener Variablen innerhalb von Quantensystemen erklärt werden kann.

Die Messung eines Quantensystems verändert im Allgemeinen den Quantenzustand, der dieses System beschreibt. Dies ist ein zentrales Merkmal der Quantenmechanik, das sowohl mathematisch komplex als auch konzeptionell subtil ist. Die mathematischen Werkzeuge zur Vorhersage möglicher Messergebnisse und der Veränderung von Quantenzuständen wurden im 20. Jahrhundert entwickelt und nutzen lineare Algebra und Funktionalanalysis . Die Quantenphysik hat sich empirisch als erfolgreich erwiesen und besitzt ein breites Anwendungsspektrum.

Auf einer philosophischeren Ebene dauern die Debatten über die Bedeutung des Messbegriffs an. Die verschiedenen Interpretationen der Quantenmechanik befassen sich mit der Lösung des sogenannten Messproblems .

In der Quantenmechanik ist jedem physikalischen System ein Hilbertraum zugeordnet , dessen Elemente jeweils einen möglichen Zustand des Systems repräsentieren. Der von John von Neumann kodifizierte Ansatz beschreibt eine Messung eines physikalischen Systems mittels eines selbstadjungierten Operators auf diesem Hilbertraum, der als „Observable“ bezeichnet wird. ^{[ 1 ] : 17} Diese Observablen entsprechen messbaren Größen aus der klassischen Physik wie Ort, Impuls , Energie , Drehimpuls usw. Die Dimension des Hilbertraums kann unendlich sein, wie beispielsweise im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer Geraden, der zur Definition der Quantenphysik eines kontinuierlichen Freiheitsgrades verwendet wird. Alternativ kann der Hilbertraum endlichdimensional sein, wie etwa bei Spin -Freiheitsgraden. Viele Darstellungen der Theorie konzentrieren sich auf den endlichdimensionalen Fall, da die damit verbundene Mathematik weniger anspruchsvoll ist. Tatsächlich vernachlässigen einführende Lehrbücher der Quantenmechanik oft mathematische Details, die bei stetigen Observablen und unendlichdimensionalen Hilberträumen auftreten, wie etwa die Unterscheidung zwischen beschränkten und unbeschränkten Operatoren , Konvergenzfragen (ob der Grenzwert einer Folge von Hilbertraumelementen ebenfalls zum Hilbertraum gehört), exotische Möglichkeiten für Eigenwertmengen, wie z. B. Cantor-Mengen , und so weiter. ^{[ 2 ] : 79 [ 3 ]} Diese Probleme lassen sich mithilfe der Spektraltheorie zufriedenstellend lösen ; ^{[ 2 ] : 101} der vorliegende Artikel wird sie nach Möglichkeit vermeiden.

Die Eigenvektoren einer von-Neumann-Observablen bilden eine Orthonormalbasis des Hilbertraums, und jedes mögliche Messergebnis entspricht einem der Basisvektoren. Ein Dichteoperator ist ein positiv semidefiniter Operator auf dem Hilbertraum, dessen Spur gleich 1 ist. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Für jede definierbare Messung lässt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Messergebnisse mithilfe des Dichteoperators berechnen. Das Verfahren hierfür ist die Bornsche Regel , die besagt, dass

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

Hierbei ist der Dichteoperator und der Projektionsoperator auf den Basisvektor, der dem Messergebnis entspricht . Der Mittelwert der Eigenwerte einer von-Neumann-Observablen, gewichtet mit den Bornschen Wahrscheinlichkeiten, ist der Erwartungswert dieser Observablen. Für eine Observable ist der Erwartungswert gegeben einen Quantenzustand gegeben durch${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho).}$

Ein Dichteoperator, der eine Projektion vom Rang -1 ist, wird als reiner Quantenzustand bezeichnet, alle nicht reinen Quantenzustände heißen gemischt . Reine Zustände werden auch als Wellenfunktionen bezeichnet . Die Zuordnung eines reinen Zustands zu einem Quantensystem impliziert Gewissheit über das Ergebnis einer Messung an diesem System (d. h. für ein bestimmtes Ergebnis ). Jeder gemischte Zustand lässt sich als Konvexkombination reiner Zustände darstellen, jedoch nicht eindeutig . ^{[ 4 ]} Der Zustandsraum eines Quantensystems ist die Menge aller ihm zuordenbaren reinen und gemischten Zustände. ${\displaystyle P(x)=1}$${\displaystyle x}$

Die Bornsche Regel ordnet jedem Einheitsvektor im Hilbertraum eine Wahrscheinlichkeit zu, deren Summe für jede Menge von Einheitsvektoren, die eine Orthonormalbasis bilden, 1 ergibt. Die einem Einheitsvektor zugeordnete Wahrscheinlichkeit ist eine Funktion des Dichteoperators und des Einheitsvektors selbst, nicht aber zusätzlicher Informationen wie der Wahl der Basis, in die der Vektor eingebettet wird. Der Satz von Gleason beweist die Umkehrung: Alle Wahrscheinlichkeitszuordnungen zu Einheitsvektoren (oder äquivalent dazu zu den Operatoren, die auf sie projizieren), die diese Bedingungen erfüllen, entsprechen der Anwendung der Bornschen Regel auf einen Dichteoperator. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

In der Funktionalanalysis und der Quantenmesstheorie ist ein positiv-operatorwertiges Maß (POVM) ein Maß , dessen Werte positiv semidefinite Operatoren auf einem Hilbertraum sind . POVMs sind eine Verallgemeinerung von projektionswertigen Maßen (PVMs), und dementsprechend sind Quantenmessungen, die durch POVMs beschrieben werden, eine Verallgemeinerung von Quantenmessungen, die durch PVMs beschrieben werden. In grober Analogie verhält sich ein POVM zu einem PVM wie ein gemischter Zustand zu einem reinen Zustand. Gemischte Zustände werden benötigt, um den Zustand eines Teilsystems eines größeren Systems zu spezifizieren (siehe Satz von Schrödinger-HJW ); analog dazu sind POVMs notwendig, um die Wirkung einer projektiven Messung an einem größeren System auf ein Teilsystem zu beschreiben. POVMs sind die allgemeinste Art von Messung in der Quantenmechanik und können auch in der Quantenfeldtheorie verwendet werden . ^{[ 8 ]} Sie finden breite Anwendung im Bereich der Quanteninformation .

Im einfachsten Fall einer POVM mit endlich vielen Elementen, die auf einem endlichdimensionalen Hilbertraum wirken , ist eine POVM eine Menge positiv semidefiniter Matrizen auf einem Hilbertraum, deren Summe die Einheitsmatrix ergibt , ^{[ 9 ] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

In der Quantenmechanik ist das POVM-Element mit dem Messergebnis verknüpft , sodass die Wahrscheinlichkeit, dieses Element bei einer Messung des Quantenzustands zu erhalten , gegeben ist durch ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$,

Hierbei ist der Spuroperator . Wenn der gemessene Quantenzustand ein reiner Zustand ist, vereinfacht sich diese Formel zu ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$Die

Eine Messung an einem Quantensystem führt im Allgemeinen zu einer Änderung des Quantenzustands dieses Systems. Die Formulierung eines POVM liefert nicht alle notwendigen Informationen zur Beschreibung dieses Zustandsänderungsprozesses. ^{[ 10 ] : 134} Um dies zu beheben, werden zusätzliche Informationen spezifiziert, indem jedes POVM-Element in ein Produkt zerlegt wird:

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

Die nach Karl Kraus benannten Kraus-Operatoren beschreiben den Zustandsänderungsprozess. ^{[ a ]} Sie sind nicht notwendigerweise selbstadjungiert, ihre Produkte jedoch schon. Wird bei der Messung das gewünschte Ergebnis erzielt, wird der Anfangszustand aktualisiert auf ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

Ein wichtiger Spezialfall ist die Lüders-Regel, benannt nach Gerhart Lüders . ^{[ 16 ] [ 17 ]} Wenn die POVM selbst eine PVM ist, dann können die Kraus-Operatoren als Projektoren auf die Eigenräume der von-Neumann-Observablen gewählt werden:

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

Ist der Anfangszustand rein und haben die Projektoren Rang 1, so lassen sie sich als Projektoren auf die Vektoren bzw. schreiben . Die Formel vereinfacht sich somit zu ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

Lüders Regel ist historisch als „Reduktion des Wellenpakets“ oder „ Kollaps der Wellenfunktion “ bekannt. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} Der reine Zustand impliziert eine Wahrscheinlichkeit-1-Vorhersage für jede von-Neumann-Observable, die als Eigenvektor besitzt. Einführende Lehrbücher zur Quantentheorie drücken dies oft so aus, dass bei wiederholter, schneller Wiederholung einer Quantenmessung zweimal dasselbe Ergebnis eintritt. Dies ist eine Vereinfachung, da die physikalische Realisierung einer Quantenmessung einen Prozess wie die Absorption eines Photons beinhalten kann; nach der Messung existiert das Photon nicht mehr und kann somit nicht erneut gemessen werden. ^{[ 9 ] : 91} ${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$

Wir können eine lineare, spurerhaltende, vollständig positive Abbildung definieren , indem wir über alle möglichen Zustände eines POVM nach der Messung ohne Normalisierung summieren:

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

Es handelt sich um ein Beispiel für einen Quantenkanal [ ^{10 ] : 150 und kann so interpretiert werden, dass er beschreibt, wie sich ein Quantenzustand ändert ,} wenn eine Messung durchgeführt wird, deren Ergebnis aber verloren geht. ^{[ 10 ] : 159}

Das prototypische Beispiel eines endlichdimensionalen Hilbertraums ist ein Qubit , ein Quantensystem, dessen Hilbertraum zweidimensional ist. Ein reiner Zustand eines Qubits lässt sich als Linearkombination zweier orthogonaler Basiszustände mit komplexen Koeffizienten schreiben: ${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

Eine Messung in der Basis liefert das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit und das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit , sodass durch Normalisierung ${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\beta |^{2}}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

Ein beliebiger Zustand eines Qubits kann als Linearkombination der Pauli-Matrizen geschrieben werden , welche eine Basis für selbstadjungierte Matrizen bilden: ^{[ 10 ] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

wobei die reellen Zahlen die Koordinaten eines Punktes innerhalb der Einheitskugel sind und ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

POVM-Elemente lassen sich analog darstellen, obwohl die Spur eines POVM-Elements nicht auf 1 festgelegt ist. Die Pauli-Matrizen sind spurfrei und orthogonal zueinander bezüglich des Hilbert-Schmidt-Skalarprodukts . Daher entsprechen die Zustandskoordinaten den Erwartungswerten der drei durch die Pauli-Matrizen definierten von-Neumann-Messungen. ^{[ 10 ] : 126} Wird eine solche Messung an einem Qubit durchgeführt, so aktualisiert sich der Zustand gemäß der Lüders-Regel auf den Eigenvektor der Pauli-Matrix, der dem Messergebnis entspricht. Die Eigenvektoren von sind die Basiszustände und , und eine Messung von wird oft als Messung in der „Rechenbasis“ bezeichnet. ^{[ 10 ] : 76} Nach einer Messung in der Rechenbasis ist das Ergebnis einer oder -Messung maximal unsicher. ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \sigma _{z}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

Zwei Qubits bilden zusammen ein System, dessen Hilbertraum vierdimensional ist. Eine wichtige von-Neumann-Messung an diesem System ist die durch die Bell-Basis definierte , ^{[ 21 ] : 36} eine Menge von vier maximal verschränkten Zuständen:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

Ein gängiges und nützliches Beispiel für die Anwendung der Quantenmechanik auf einen kontinuierlichen Freiheitsgrad ist der quantenmechanische harmonische Oszillator . ^{[ 22 ] : 24} Dieses System wird durch den Hamiltonoperator definiert.

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

wobei der Impulsoperator und der Ortsoperator selbstadjungierte Operatoren auf dem Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen auf der reellen Achse sind . Die Energieeigenzustände lösen die zeitunabhängige Schrödingergleichung : ${\displaystyle {H}}$${\displaystyle {p}}$${\displaystyle {x}}$

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Man kann zeigen, dass diese Eigenwerte gegeben sind durch

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

Diese Werte geben die möglichen numerischen Ergebnisse einer Energiemessung am Oszillator an. Die Menge der möglichen Ergebnisse einer Positionsmessung an einem harmonischen Oszillator ist kontinuierlich, daher werden Vorhersagen in Form einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion formuliert , die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass das Messergebnis im infinitesimalen Intervall von bis liegt . ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+dx}$

Die alte Quantentheorie ist eine Sammlung von Ergebnissen aus den Jahren 1900–1925 ^{[ 23 ]} , die der modernen Quantenmechanik vorausgingen . Die Theorie war nie vollständig oder in sich widerspruchsfrei, sondern vielmehr eine Reihe heuristischer Korrekturen der klassischen Mechanik ^{[ 24 ]} . Heute wird sie als semiklassische Näherung ^{[ 25 ]} der modernen Quantenmechanik verstanden ^{[ 26 ]} . Zu den bedeutenden Ergebnissen dieser Zeit zählen Max Plancks Berechnung des Schwarzkörperstrahlungsspektrums , Albert Einsteins Erklärung des photoelektrischen Effekts , Einsteins und Peter Debyes Arbeiten zur spezifischen Wärme von Festkörpern, Niels Bohrs und Hendrika van Leeuwens Beweis , dass die klassische Physik den Magnetismus nicht erklären kann , Bohrs Atommodell des Wasserstoffatoms und Arnold Sommerfelds Erweiterung des Bohrschen Atommodells um relativistische Effekte .

Das 1921 vorgeschlagene und 1922 durchgeführte Stern-Gerlach-Experiment ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} wurde zu einem prototypischen Beispiel für eine Quantenmessung mit einer diskreten Menge möglicher Ergebnisse. Im ursprünglichen Experiment wurden Silberatome durch ein räumlich variables Magnetfeld geschickt, das sie ablenkte, bevor sie auf einen Detektorschirm, beispielsweise einen Objektträger, trafen. Teilchen mit einem von null verschiedenen magnetischen Moment werden aufgrund des Magnetfeldgradienten von ihrer geraden Bahn abgelenkt . Der Schirm zeigt diskrete Punkte der Anhäufung anstelle einer kontinuierlichen Verteilung aufgrund des quantisierten Spins der Teilchen . ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

Eine 1925 veröffentlichte Arbeit von Werner Heisenberg , im Englischen als „ Quantum theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relations “ bekannt, markierte einen Wendepunkt in der Entwicklung der Quantenphysik. ^{[ 33 ]} Heisenberg strebte die Entwicklung einer Theorie atomarer Phänomene an, die ausschließlich auf beobachtbaren Größen beruhte. Im Gegensatz zur späteren Standarddarstellung der Quantenmechanik betrachtete Heisenberg die Position eines im Atom gebundenen Elektrons damals nicht als beobachtbar. Stattdessen konzentrierte er sich auf die Frequenzen des von Atomen emittierten oder absorbierten Lichts. ^{[ 33 ]}

Das Unschärfeprinzip stammt aus dieser Zeit. Es wird häufig Heisenberg zugeschrieben, der das Konzept in einem Gedankenexperiment einführte , in dem man versucht, Ort und Impuls eines Elektrons gleichzeitig zu messen . Heisenberg lieferte jedoch keine präzisen mathematischen Definitionen dessen, was die „Unschärfe“ in diesen Messungen bedeutet. Die präzise mathematische Formulierung des Orts-Impuls-Unschärfeprinzips geht auf Earle Hesse Kennard , Wolfgang Pauli und Hermann Weyl zurück , und seine Verallgemeinerung auf beliebige Paare nichtkommutierender Observablen auf Howard P. Robertson und Erwin Schrödinger . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

Schreibt man und für die selbstadjungierten Operatoren, die Ort bzw. Impuls darstellen, so lässt sich eine Standardabweichung des Ortes definieren als ${\displaystyle {x}}$${\displaystyle {p}}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

und ebenso gilt dies für die Dynamik:

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

Die Kennard-Pauli-Weyl-Unschärferelation lautet:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

Diese Ungleichung bedeutet, dass keine Präparation eines Quantenteilchens gleichzeitig präzise Vorhersagen für eine Orts- und eine Impulsmessung implizieren kann. ^{[ 36 ]} Die Robertson-Ungleichung verallgemeinert dies auf den Fall eines beliebigen Paares selbstadjungierter Operatoren und . Der Kommutator dieser beiden Operatoren ist ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

Und dies liefert die untere Grenze für das Produkt der Standardabweichungen:

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

Durch Einsetzen der kanonischen Kommutationsrelation , eines Ausdrucks, der erstmals von Max Born im Jahr 1925 postuliert wurde, ^{[ 37 ]} erhält man die Kennard-Pauli-Weyl-Formulierung des Unschärfeprinzips zurück. ${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$

Die Existenz der Unschärferelation wirft naturgemäß die Frage auf, ob die Quantenmechanik als Näherung einer exakteren Theorie verstanden werden kann. Gibt es „ verborgene Variablen “, die fundamentaler sind als die in der Quantentheorie selbst behandelten Größen und deren Kenntnis genauere Vorhersagen ermöglichen würde als die Quantentheorie selbst? Eine Reihe von Ergebnissen, allen voran das Bellsche Theorem , hat gezeigt, dass breite Klassen solcher Theorien mit verborgenen Variablen tatsächlich mit der Quantenphysik unvereinbar sind.

John Stewart Bell veröffentlichte 1964 das nach ihm benannte Theorem und untersuchte damit ein Gedankenexperiment, das ursprünglich 1935 von Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen vorgeschlagen worden war . ^{[ 38 ] [ 39 ]} Laut Bells Theorem sind die Ergebnisse eines Bell-Tests auf eine bestimmte, quantifizierbare Weise eingeschränkt, wenn die Natur tatsächlich mit einer Theorie lokaler verborgener Variablen übereinstimmt. Werden Bell-Tests im Labor durchgeführt und die Ergebnisse sind nicht auf diese Weise eingeschränkt, so sind sie mit der Hypothese der Existenz lokaler verborgener Variablen unvereinbar. Solche Ergebnisse würden die Position stützen, dass es keine Möglichkeit gibt, die Phänomene der Quantenmechanik durch eine fundamentalere Naturbeschreibung zu erklären, die besser mit den Regeln der klassischen Physik übereinstimmt. Viele Arten von Bell-Tests wurden in Physiklaboren durchgeführt, oft mit dem Ziel, Probleme im Versuchsaufbau oder in der Versuchsplanung zu beheben, die die Gültigkeit der Ergebnisse früherer Bell-Tests prinzipiell beeinträchtigen könnten. Dies wird als „Schließen von Lücken in Bell-Tests “ bezeichnet. Bisherige Bell-Tests haben gezeigt, dass die Hypothese lokaler verborgener Variablen mit dem Verhalten physikalischer Systeme unvereinbar ist. ^{[ 40 ] [ 41 ]}

Das Robertson-Schrödinger-Unschärfeprinzip besagt, dass bei Nichtkommutativität zweier Observablen ein Kompromiss in ihrer Vorhersagbarkeit besteht. Das Wigner-Araki-Yanase-Theorem zeigt eine weitere Konsequenz der Nichtkommutativität auf: Das Vorhandensein eines Erhaltungssatzes begrenzt die Messgenauigkeit von Observablen, die nicht mit der Erhaltungsgröße kommutieren. ^{[ 42 ]} Weiterführende Untersuchungen in diesem Bereich führten zur Formulierung der Wigner-Yanase-Skew-Information . ^{[ 43 ]}

Historisch gesehen wurden Experimente in der Quantenphysik oft semiklassisch beschrieben. Beispielsweise kann der Spin eines Atoms in einem Stern-Gerlach-Experiment als quantenmechanischer Freiheitsgrad behandelt werden, während das Atom sich durch ein Magnetfeld bewegt, das durch die klassische Theorie der Maxwell-Gleichungen beschrieben wird . ^{[ 2 ] : 24} Die zum Aufbau der experimentellen Apparatur verwendeten Geräte sind jedoch selbst physikalische Systeme, weshalb die Quantenmechanik auch auf sie anwendbar sein sollte. Ab den 1950er Jahren versuchten Léon Rosenfeld , Carl Friedrich von Weizsäcker und andere, Konsistenzbedingungen zu entwickeln, die festlegen, wann ein quantenmechanisches System als Messgerät behandelt werden kann. ^{[ 44 ]} Ein Vorschlag für ein Kriterium, wann ein als Teil eines Messgeräts verwendetes System semiklassisch modelliert werden kann, basiert auf der Wigner-Funktion , einer Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung , die als Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum behandelt werden kann , sofern sie überall nichtnegativ ist. ^{[ 2 ] : 375}

Der Quantenzustand eines nicht perfekt isolierten Systems verschränkt sich im Allgemeinen mit dem Quantenzustand der Umgebung. Folglich ist der Zustand zu einem späteren Zeitpunkt, der sich durch die partielle Spur des gemeinsamen System-Umgebungs-Zustands ergibt, selbst dann gemischt, wenn der Anfangszustand des Systems rein ist. Dieses Phänomen der durch System-Umgebungs-Wechselwirkungen hervorgerufenen Verschränkung neigt dazu, die exotischeren Eigenschaften der Quantenmechanik, die das System prinzipiell manifestieren könnte, zu verschleiern. Die Quantendekohärenz, wie dieser Effekt genannt wird, wurde erstmals in den 1970er Jahren detailliert untersucht. ^{[ 45 ]} (Frühere Untersuchungen darüber, wie klassische Physik als Grenzfall der Quantenmechanik erhalten werden könnte, hatten sich zwar mit dem Thema nicht perfekt isolierter Systeme befasst, die Rolle der Verschränkung wurde jedoch nicht vollständig erkannt. ^{[ 44 ]} ) Ein wesentlicher Teil der Forschungsarbeit im Bereich des Quantencomputings besteht darin, die schädlichen Auswirkungen der Dekohärenz zu vermeiden. ^{[ 46 ] [ 21 ] : 239}

Zur Veranschaulichung bezeichne den Anfangszustand des Systems, den Anfangszustand der Umgebung und den Hamiltonoperator, der die System-Umgebungs-Wechselwirkung beschreibt. Der Dichteoperator kann diagonalisiert und als Linearkombination der Projektoren auf seine Eigenvektoren geschrieben werden: ${\displaystyle \rho _{S}}$${\displaystyle \rho _{E}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \rho _{E}}$

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

Drückt man die zeitliche Entwicklung über eine bestimmte Dauer mithilfe des unitären Operators aus , so ergibt sich der Zustand des Systems nach dieser Entwicklung zu ${\displaystyle t}$${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

was zu

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

Die umgebenden Größen können als Kraus-Operatoren identifiziert werden , und damit wird ein Quantenkanal definiert. ^{[ 45 ]}${\displaystyle \rho _{S}}$

Durch die Spezifizierung einer Interaktionsform zwischen System und Umgebung lässt sich eine Menge von „Zeigerzuständen“ festlegen. Diese Zustände des Systems sind, abgesehen von den Gesamtphasenfaktoren, (annähernd) stabil gegenüber Schwankungen der Umgebung. Eine Menge von Zeigerzuständen definiert eine bevorzugte orthonormale Basis für den Hilbertraum des Systems. ^{[ 2 ] : 423}

Die Quanteninformationswissenschaft untersucht, wie die Informationswissenschaft und ihre technologischen Anwendungen von quantenmechanischen Phänomenen abhängen. Das Verständnis von Messungen in der Quantenphysik ist für dieses Gebiet in vielerlei Hinsicht wichtig; einige dieser Aspekte werden hier kurz erläutert.

Die von-Neumann-Entropie ist ein Maß für die statistische Unsicherheit eines Quantenzustands. Für eine Dichtematrix ist die von-Neumann-Entropie ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

in Bezug auf seine Basis von Eigenvektoren, ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

Die von-Neumann-Entropie ist

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

Dies ist die Shannon-Entropie der als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretierten Eigenwertmenge. Die von-Neumann-Entropie ist somit die Shannon-Entropie der durch Messung in der Eigenbasis von definierten Zufallsvariablen . Folglich verschwindet die von-Neumann-Entropie, wenn rein ist. ^{[ 10 ] : 320} Die von-Neumann-Entropie von kann äquivalent als die minimale Shannon-Entropie für eine Messung gegeben den Quantenzustand charakterisiert werden , wobei die Minimierung über alle POVMs mit Elementen vom Rang 1 erfolgt. ^{[ 10 ] : 323} ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Viele weitere Größen der Quanteninformationstheorie finden ihre Motivation und Begründung ebenfalls in Messungen. Beispielsweise entspricht der Spurabstand zwischen Quantenzuständen der größten Wahrscheinlichkeitsdifferenz , die diese beiden Quantenzustände für ein Messergebnis implizieren können: ^{[ 10 ] : 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

In ähnlicher Weise wird die Treue zweier Quantenzustände definiert durch

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

Sie drückt die Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Zustand einen Test zur Identifizierung einer erfolgreichen Präparation des anderen besteht. Die Spurdistanz liefert Schranken für die Treue über die Fuchs-van-de-Graaf-Ungleichungen : ^{[ 10 ] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

Quantenschaltkreise sind ein Modell für Quantenberechnungen , bei dem eine Berechnung aus einer Sequenz von Quantengattern und anschließenden Messungen besteht. ^{[ 21 ] : 93} Die Gatter sind reversible Transformationen eines quantenmechanischen Analogons eines n - Bit- Registers . Diese analoge Struktur wird als n - Qubit- Register bezeichnet . Messungen, die in einem Schaltplan als stilisierte Zeiger dargestellt werden, zeigen an, wo und wie ein Ergebnis vom Quantencomputer nach Ausführung der Berechnungsschritte erhalten wird. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man mit dem Standard-Schaltkreismodell arbeiten, in dem die Gatter unitäre Transformationen einzelner Qubits und kontrollierte NOT-Gatter auf Qubit-Paaren sind und alle Messungen in der Berechnungsbasis erfolgen. ^{[ 21 ] : 93 [ 47 ]}

Messbasiertes Quantencomputing (MBQC) ist ein Modell des Quantencomputings, bei dem die Antwort auf eine Frage – vereinfacht ausgedrückt – durch die Messung des physikalischen Systems, das als Computer dient, erzeugt wird. ^{[ 21 ] : 317 [ 48 ] [ 49 ]}

Die Quantenzustandstomographie ist ein Verfahren, bei dem aus einem Datensatz, der die Ergebnisse von Quantenmessungen repräsentiert, ein mit diesen Messergebnissen konsistenter Quantenzustand berechnet wird. ^{[ 50 ]} Die Bezeichnung ist analog zur Tomographie , der Rekonstruktion dreidimensionaler Bilder aus Schnittbildern, wie beispielsweise bei einer Computertomographie (CT) , gewählt . Die Tomographie von Quantenzuständen lässt sich auf die Tomographie von Quantenkanälen ^{[ 50 ]} und sogar von Messungen erweitern. ^{[ 51 ]}

Die Quantenmetrologie nutzt die Quantenphysik, um die Messung von Größen zu verbessern, die üblicherweise in der klassischen Physik eine Bedeutung haben. Beispielsweise werden Quanteneffekte genutzt, um die Präzision von Längenmessungen zu erhöhen. ^{[ 52 ]} Ein bekanntes Beispiel ist die Einführung von gequetschtem Licht im LIGO- Experiment, wodurch dessen Empfindlichkeit für Gravitationswellen gesteigert wurde . ^{[ 53 ] [ 54 ]}

Das Spektrum physikalischer Verfahren, auf die die Mathematik der Quantenmessung Anwendung findet, ist sehr breit. ^{[ 55 ]} In den Anfängen des Fachgebiets umfassten Laborverfahren die Aufzeichnung von Spektrallinien , die Schwärzung von fotografischem Film, die Beobachtung von Szintillationen , die Suche nach Spuren in Nebelkammern und das Abhören von Klicks in Geigerzählern . ^{[ b ]} Die Sprache dieser Zeit hat sich bis heute erhalten, beispielsweise die abstrakte Beschreibung von Messergebnissen als „Detektorklicks“. ^{[ 57 ]}

Das Doppelspaltexperiment ist ein typisches Beispiel für Quanteninterferenz , die üblicherweise anhand von Elektronen oder Photonen beschrieben wird. Das erste Interferenzexperiment, das in einem Bereich durchgeführt wurde, in dem sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften von Photonen relevant sind, war der Versuch von G. I. Taylor im Jahr 1909. Taylor verwendete getönte Glasschirme, um das durch seine Apparatur hindurchtretende Licht so weit abzuschwächen, dass – modern ausgedrückt – jeweils nur ein Photon die Interferometerspalte beleuchtete. Er hielt die Interferenzmuster auf fotografischen Platten fest; für das schwächste Licht betrug die Belichtungszeit etwa drei Monate. ^{[ 58 ] [ 59 ]} Im Jahr 1974 führten die italienischen Physiker Pier Giorgio Merli , Gian Franco Missiroli und Giulio Pozzi das Doppelspaltexperiment mit einzelnen Elektronen und einer Fernsehbildröhre durch . ^{[ 60 ]} Ein Vierteljahrhundert später führte ein Team der Universität Wien ein Interferenzexperiment mit Fullerene durch , bei dem die Fullerene, die das Interferometer durchliefen, mit einem Laser ionisiert wurden . Die Ionen induzierten dann die Emission von Elektronen, die wiederum verstärkt und mit einem Elektronenvervielfacher detektiert wurden . ^{[ 61 ]}

Moderne Quantenoptik-Experimente können Einzelphotonendetektoren einsetzen . Beispielsweise verwendeten im „BIG Bell Test“ von 2018 mehrere Laboraufbauten Einzelphotonen-Lawinendioden . Ein anderer Laboraufbau nutzte supraleitende Qubits . ^{[ 40 ]} Die Standardmethode zur Messung supraleitender Qubits besteht darin, ein Qubit mit einem Resonator so zu koppeln, dass sich die charakteristische Frequenz des Resonators entsprechend dem Zustand des Qubits verschiebt. Diese Verschiebung wird dann durch Beobachtung der Reaktion des Resonators auf ein Testsignal detektiert. ^{[ 62 ]}

Obwohl unter Wissenschaftlern weitgehend Einigkeit darüber herrscht, dass die Quantenphysik in der Praxis eine erfolgreiche Theorie ist, bestehen weiterhin Meinungsverschiedenheiten auf philosophischer Ebene. Viele Debatten im Bereich der Quantengrundlagen betreffen die Rolle der Messung in der Quantenmechanik. Zu den wiederkehrenden Fragen gehören, welche Interpretation der Wahrscheinlichkeitstheorie am besten zu den nach der Bornschen Regel berechneten Wahrscheinlichkeiten passt und ob die scheinbare Zufälligkeit der Messergebnisse in der Quantenmechanik fundamental ist oder eine Folge eines tiefer liegenden deterministischen Prozesses. ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]} Weltanschauungen, die Antworten auf solche Fragen liefern, werden als „Interpretationen“ der Quantenmechanik bezeichnet. Wie der Physiker N. David Mermin einmal scherzhaft bemerkte: „Jedes Jahr tauchen neue Interpretationen auf. Keine verschwindet jemals.“ ^{[ 66 ]}

Ein zentrales Anliegen der Grundlagen der Quantenmechanik ist das „ Quantenmessproblem “. Die Abgrenzung dieses Problems und die Frage, ob es als eine einzige Frage oder als mehrere separate Probleme zu betrachten ist, sind jedoch umstritten. ^{[ 56 ] [ 67 ]} Von besonderem Interesse ist die scheinbare Diskrepanz zwischen offenbar unterschiedlichen Arten der Zeitentwicklung. Von Neumann erklärte, die Quantenmechanik kenne „zwei fundamental unterschiedliche Arten“ von Quantenzustandsänderungen. ^{[ 68 ] §V.1} Erstens gibt es Änderungen, die einen Messprozess beinhalten, und zweitens die unitäre Zeitentwicklung ohne Messung. Erstere sei stochastisch und diskontinuierlich, schreibt von Neumann, letztere deterministisch und kontinuierlich. Diese Dichotomie prägte die spätere Debatte maßgeblich. ^{[ 69 ] [ 70 ]} Manche Interpretationen der Quantenmechanik sehen die Verwendung zweier unterschiedlicher Arten der Zeitentwicklung als problematisch an und betrachten die Unklarheit, wann welche Art anzuwenden ist, als Mangel der historischen Darstellungsweise der Quantentheorie. ^{[ 71 ]} Um diese Interpretationen zu untermauern, haben ihre Befürworter versucht, „Messung“ als sekundäres Konzept zu betrachten und den scheinbar stochastischen Effekt von Messprozessen als Annäherungen an fundamentalere deterministische Dynamiken abzuleiten. Es besteht jedoch kein Konsens unter den Befürwortern über die korrekte Umsetzung dieses Programms, insbesondere darüber, wie die Bornsche Regel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zu rechtfertigen ist. ^{[ 72 ] [ 73 ]} Andere Interpretationen betrachten Quantenzustände als statistische Information über Quantensysteme und behaupten daher, dass abrupte und diskontinuierliche Änderungen von Quantenzuständen unproblematisch sind, sondern lediglich Aktualisierungen der verfügbaren Information widerspiegeln. ^{[ 55 ] [ 74 ]} Zu diesem Gedankengang fragte Bell: „ Wessen Information? Information worüber ?“ ^{[ 71 ]} Die Antworten auf diese Fragen variieren unter den Befürwortern der informationsorientierten Interpretationen. ^{[ 64 ] [ 74 ]}

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• Braginsky, Vladimir B.; Khalili, Farid Ya. (1992). Quantenmessung . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-41928-4Die
• Greenstein, George S.; Zajonc, Arthur G. (2006). Die Herausforderung der Quantenmechanik: Moderne Forschung zu den Grundlagen der Quantenmechanik (2. Aufl.). ISBN 978-0-7637-2470-2Die
• Alter, Orly; Yamamoto, Yoshihisa (2001). Quantenmessung eines einzelnen Systems . New York: Wiley. doi : 10.1002/9783527617128 . ISBN 978-0-471-28308-9Die
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