Umdeutungspapier​

In der Geschichte der Physik war „ Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen “ , auch Umdeutungsarbeit genannt , ^{[ 1 ] [ 2 ]} ein bahnbrechender Artikel in der Quantenmechanik von Werner Heisenberg , der im Juli 1925 in der Zeitschrift für Physik veröffentlicht wurde . ^{[ 3 ]}

In seinem Artikel beschrieb Heisenberg einen neuen Rahmen für die Quantentheorie, der sich ausschließlich auf beobachtbare Parameter konzentrierte – Parameter, die in wissenschaftlichen Experimenten gemessen werden konnten, wie etwa Übergangswahrscheinlichkeiten oder Frequenzen von Quantensprüngen in Spektrallinien . Dies stand im Gegensatz zu früheren Quantentheorien, die sich auf nicht beobachtbare Parameter wie die Position oder Geschwindigkeit von Elektronen in ihren Bahnen konzentrierten . Anders als andere Quantentheorien nahm Heisenberg an, dass die Probleme in der Kinematik (der Definition von Position und Geschwindigkeit) der alten Quantentheorie begründet lagen , nicht in den klassischen Bewegungsgleichungen.

Mathematisch verwendete Heisenberg für seine Neuinterpretation des Ortsbegriffs zwei Indizes, die den Anfangs- und Endzuständen von Quantensprüngen entsprachen. Darüber hinaus führte er nichtkommutative Operatoren in einer neuen Multiplikationsregel ein, allgemein für Quantengrößen und . Diese Erkenntnis bildete später die Grundlage für Heisenbergs Unschärferelation . ^{[ 4 ] : ​​97–99.} Heisenberg nutzte seinen Ansatz, um die Energieniveaus eines eindimensionalen anharmonischen Oszillators erfolgreich zu erklären . ^{[ 5 ] : 153} ${\displaystyle AB\neq BA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

Auf die Arbeit „Umdeutung“ folgte 1925 eine weitere Arbeit von Max Born und Pascual Jordan , die auf dem konzeptionellen Rahmen der „Umdeutung“ aufbaute ^{[ 6 ]} , sowie 1926 die sogenannte „Dreimännerarbeit“ von Born, Heisenberg und Jordan [ 7 ] ^{[ 1 ] [ 8 ] . Diese Artikel} beschrieben die Matrizenmechanik , die die alte Quantentheorie ablösen sollte. Sie stellt die erste ausgereifte mathematische Formulierung der Quantenmechanik dar ^{[ 9 ] .}

Für seine Arbeit zur Entwicklung der Quantenmechanik erhielt Heisenberg 1932 den Nobelpreis für Physik. ^{[ 10 ]}

Anfang 1924, ein Jahr vor der Veröffentlichung von Heisenbergs Arbeit, forderten bereits einige Physiker die Aufgabe des Konzepts der nicht beobachtbaren Größen in Elektronenbahnen; so verzichtete beispielsweise Arnold Sommerfeld bei der Diskussion komplexer Spektrallinien darauf. ^{[ 11 ]}

Die gängige Darstellung der Entstehungsgeschichte von Heisenbergs „Umdeutung“ besagt, dass der damals 23-Jährige den Artikel während seiner Genesung von Heuschnupfen auf der weitgehend vegetationslosen Insel Helgoland verfasste . Nach seiner Ankunft am 6. Juni 1925 hatte er dort etwa zehn Tage lang einen Geistesblitz , der zur Entwicklung der Quantenmechanik führte. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Diese Darstellung wurde jedoch kritisiert, da sie auf Heisenbergs Memoiren von 1969 bis 1971 basiert, in denen er erklärte, sein Buch sei in allgemeinen historischen Zügen und ohne präzise Details verfasst worden. ^{[ 14 ]} Es wird argumentiert, dass Heisenbergs Darstellung schwer mit zeitgenössischen Erkenntnissen vereinbar sei und dass der Großteil des Artikels wahrscheinlich nach seinem Aufenthalt auf Helgoland in den ersten Juliwochen entstand. ^{[ 1 ]}

Es wurde auch argumentiert, dass die Idee einer „Heureka“-Entdeckung im Widerspruch zu Heisenbergs häufigem Briefwechsel mit Wolfgang Pauli über seine Arbeit steht, in dem er Unsicherheiten zum Ausdruck brachte. ^{[ 14 ]} Auf die Frage nach seiner Meinung zum Manuskript reagierte Pauli positiv, doch Heisenberg erklärte, er sei sich dessen noch „sehr unsicher“. Nach seiner Rückkehr von Helgoland diskutierte Heisenberg ausschließlich brieflich mit Pauli, sodass Pauli als Einziger über die Erfolge und Misserfolge von Heisenbergs Quantenmechanik Bescheid wusste. ^{[ 15 ]} Im Juli 1925 sandte er das Manuskript an Max Born zur Begutachtung und Entscheidung über die Veröffentlichung. ^{[ 15 ]} Die Idealisierung von Heisenbergs Arbeit als „Heureka“-Durchbruch wurde zudem als unverhältnismäßig im Vergleich zu den Arbeiten anderer Physiker derselben Zeit angesehen. ^{[ 16 ]}

In der klassischen Physik entspricht die Intensität jeder Frequenz des in einem strahlenden System erzeugten Lichts dem Quadrat der Amplitude der Strahlung bei dieser Frequenz. Daher richtete sich das Augenmerk im nächsten Schritt auf die Amplituden. Die klassischen Gleichungen, die Heisenberg zur Formulierung quantentheoretischer Gleichungen verwenden wollte, würden zunächst die Amplituden liefern, und in der klassischen Physik ließen sich die Intensitäten einfach durch Quadrieren der Amplituden berechnen. Heisenberg erkannte jedoch, dass „die einfachste und natürlichste Annahme darin bestünde“ ^{[ 17 ] : 275f,} den jüngsten Arbeiten von Hans Kramers zur Berechnung der Lichtdispersion zu folgen . ^{[ 18 ]} Seine im Vorjahr in Zusammenarbeit mit Kramers geleistete Arbeit ^{[ 17 ] (Paper 3)} lieferte ihm nun einen wichtigen Hinweis darauf, wie sich das Verhalten angeregten Wasserstoffgases bei der Lichtemission modellieren lässt und was geschieht, wenn einfallende Strahlung einer bestimmten Frequenz Atome in einem dispersiven Medium anregt und die dabei freigesetzte Energie wieder abstrahlt – manchmal mit der ursprünglichen Frequenz, oft aber mit zwei niedrigeren Frequenzen, deren Summe der ursprünglichen Frequenz entspricht. Gemäß ihrem Modell kann ein Elektron , das durch die Aufnahme der Energie eines einfallenden Photons in einen höheren Energiezustand versetzt wurde, entweder in einem Schritt in seine Gleichgewichtslage zurückkehren und dabei ein Photon derselben Frequenz wieder abstrahlen oder in mehreren Schritten zurückkehren und für jeden Schritt auf dem Weg zurück in seinen Gleichgewichtszustand ein Photon emittieren. Da sich die Faktoren bei der Herleitung der auf diesen Überlegungen basierenden neuen Gleichung aufheben, ist das Ergebnis relativ einfach.

Ein Schlüsselaspekt von Heisenbergs Arbeit zur Begründung einer neuen Quantentheorie war die bewusste Entscheidung, nicht beobachtbare Größen wie die Position und Periode des Elektrons zu verwenden, sondern ausschließlich beobachtbare Parameter wie Übergangswahrscheinlichkeiten oder Spektralfrequenzen. ^{[ 17 ] [ 19 ]} Während dies als eine der nachfolgenden Innovationen von Heisenbergs Arbeit im Hinblick auf die Abkehr von der klassischen Mechanik angesehen wurde, ^{[ 20 ]} betrachten andere das Korrespondenzprinzip – die Idee, dass sich Quantensysteme im klassischen Grenzfall wie klassische Systeme verhalten – als Hauptantrieb für Heisenbergs Argumentation. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Sein Brief an Ralph Kronig, einen Monat vor der Veröffentlichung der „Umdeutung“, weist eine ähnliche Struktur wie die Arbeit selbst auf, betont aber die Korrespondenz der Fourier-Koeffizienten anstelle des philosophischen Fokus auf beobachtbare Größen. ^{[ 23 ]}

Klassischerweise lässt sich die Bahn eines Elektrons im stationären Zustand als Fourier-Reihe für eine charakteristische Frequenz darstellen, wobei sichergestellt wird, dass reellwertig ist ( ist die komplex Konjugierte von ). ^{[ 24 ]}${\displaystyle n}$$ω (n)$$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}_{\alpha }(n)e^{i\alpha \omega (n)t},}$$${\vec {X}}_{-\alpha }(n)={\vec {X}}_{\alpha }^{*}(n)$$X$${\vec {X}}^{*}$${\vec {X}}$

Heisenberg interpretiert diese Gleichung im Sinne von Quantensprüngen von einem Zustand in alle anderen Zustände um ^{[ 25 ] [ 26 ].}${\displaystyle n}$${\displaystyle n-\alpha }$

wobei die Frequenz des emittierten/absorbierten Lichts und die Intensität des Lichts beim Übergang darstellt, die mit der Wahrscheinlichkeit des Übergangs zusammenhängt. ${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$${\displaystyle {\vec {X}}(n,n-\alpha )}$

Heisenberg erwähnt, dass man dies mithilfe der Bohrschen Modellrechnung finden kann , wobei die Energie eines gegebenen stationären Zustands ist . ^{[ 27 ]}${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}[W(n)-W(n-\alpha )]}$$${\displaystyle W(n)}$${\displaystyle n}$

Eine Rechtfertigung für Heisenbergs Fourier-Neuinterpretation findet sich im Vergleich klassischer und quantenmechanischer Ausdrücke für die Orbitalfrequenzen. Klassisch, mit Hilfe von Wirkungs-Winkel-Variablen , ergibt sich, dass ; im Bohrschen Atommodell hingegen gilt . Mithilfe des Korrespondenzprinzips lässt sich aus der alten Quantentheorie ableiten . [ ^{28 ] Diese} Korrespondenz zwischen und legt auch eine Korrespondenz zwischen den Intensitäten und in der Verbindung nahe.$${\displaystyle \alpha \omega =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {E(J+\alpha \epsilon )-E(J)}{\epsilon }},\quad \alpha \in \mathbb {Z} }$$${\displaystyle dE/dJ=\omega }$$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {E(n\hbar )-E((n-\alpha )\hbar )}{\hbar }},\quad (E(J)=E(n\hbar )).}$$$${\displaystyle \omega ={\frac {dE}{dJ}}\to {\frac {\Delta E}{\Delta J}}}$$$${\displaystyle (n-(n-\alpha ))\omega =\alpha \omega (n)\approx {\frac {E(n\hbar )-E((n-\alpha )\hbar )}{\hbar }}=\omega (n,n-\alpha ),\quad |\alpha -n|\ll \alpha .}$$${\displaystyle J=n\hbar }$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$${\displaystyle \alpha \omega (n)}$${\displaystyle {\vec {X}}(n,n-\alpha )}$${\displaystyle {\vec {X}}_{\alpha }(n)}$$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}_{\alpha }(n)e^{i\alpha \omega (n)t}\longleftrightarrow x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t}.}$$

Diese Fourier-Neuinterpretation war nach Heisenbergs Ansicht auch deshalb gerechtfertigt, weil das Elektron in seiner periodischen Bewegung, wie sie das Bohrsche Atommodell vorhersagte, im stationären Zustand keine einzige charakteristische Strahlungsfrequenz aufwies, die der Frequenz der periodischen Bewegung des Elektrons entspräche und experimentell nie gemessen worden wäre. Gemäß Heisenbergs Neuinterpretation hätte die Bewegung des Elektrons lediglich die experimentell beobachteten Spektralfrequenzen als Komponenten seiner periodischen Bewegung. Heisenberg merkt jedoch an, dass mit der Veröffentlichung der Arbeit die Elektronenbahn als physikalisch sinnvoll aufgegeben wurde. ^{[ 29 ]}${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )}$

Heisenberg verwendet das Rydberg-Ritz-Kombinationsprinzip als fundamentalen Bestandteil der Beschreibung des Frequenzverhaltens in seiner Quantentheorie. Anstelle der klassischen Regel , nach der klassisch gilt , formuliert Heisenberg das Ritz-Kombinationsprinzip . ^{[ 30 ]}$${\displaystyle \omega (n,\alpha )+\omega (n,\beta )=\omega (n,\alpha +\beta ),}$$${\textstyle \omega (n,\alpha )=\alpha \omega (n)}$$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha)+\omega (n-\alpha,n-\beta)=\omega (n,n-\beta).}$$

Klassischerweise bildet die Multiplikation zweier Orts-Fourier-Reihen eine neue Fourier-Reihe: wobei ^{[ 31 ]}$${\displaystyle \sum _{\tau }a_{\tau }e^{i\omega \tau t}\times \sum _{\tau }b_{\tau }e^{i\omega \tau t}=\sum _{\tau }c_{\tau }e^{i\omega \tau t}}$$$${\displaystyle c_{\tau }=\sum _{\tau '+\tau ''=\tau }a_{\tau '}b_{\tau ''}.}$$

Heisenberg schloss aus diesem klassischen Fall, dass das Produkt zweier Quantenreihen eine weitere Quantenreihe derselben Form ergeben sollte. Mit anderen Worten: Heisenberg fand heraus, dass, wenn eine Quantenreihe wie folgt geschrieben werden kann,$${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }{\vec {X}}(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t},}$$$${\displaystyle x^{2}=\sum _{\beta =-\infty }^{\infty }{\vec {B}}(n,n-\beta )e^{i\omega (n,n-\beta )t}.}$$

Während eine normale Multiplikation nicht funktionieren würde, um eine neue Quantenreihe zu bilden, interpretiert Heisenberg die Multiplikation bewusst so um, dass sie nun der neuen Quantenmultiplikationsregel folgt ^{[ 1 ] : 223–224 [ 23 ].}$${\displaystyle {\vec {B}}(n,n-\beta)=\sum _{\alpha }{\vec {X}}(n,n-\alpha)\times {\vec {X}}(n-\alpha,n-\beta).}$$

Dies geschieht durch Anwendung der früheren Rydberg-Ritz-Kombinationsregel, sodass alle Frequenzen für die neue Reihe korrekt sind. ^{[ 22 ]}$${\displaystyle e^{i\omega (n,n-\alpha )t}\times e^{i\omega (n-\alpha ,n-\beta )t}=e^{it(\omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta ))}=e^{it\omega (n,n-\beta )}}$$${\displaystyle \omega (n,n-\alpha)+\omega (n-\alpha,n-\beta)=\omega (n,n-\beta)}$${\displaystyle \omega (n,n-\beta)}$

Ausgehend von dem früheren Multiplikationsfall von , schrieb Heisenberg seine neue, nichtkommutative Multiplikationsregel auf, die das quantenmechanische Analogon zur klassischen Berechnung von Intensitäten darstellt: ^{[ 17 ] : 266 [ 32 ] : 5 [ 25 ]}${\displaystyle x^{2}}$

Es gibt potenziell unendlich viele Terme und ihre entsprechenden Gegenstücke. Jede dieser Multiplikationen hat als Faktoren zwei Messwerte, die sich auf aufeinanderfolgende Übergänge zwischen Energiezuständen eines Elektrons beziehen. Diese Regel unterscheidet die Matrizenmechanik von der uns aus dem Alltag bekannten Physik, da die entscheidenden Werte nicht das Verhalten des Elektrons in den verschiedenen Energiezuständen sind, sondern den Beginn und das Ende des Übergangs (in welchem ​​Energiezustand oder „Orbital“). ${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

Wenn sich und beide auf Listen von Amplituden von Quantenübergängen beziehen, beispielsweise, erfolgt die Berechnung wie folgt: ${\displaystyle {\vec {A}}}$${\displaystyle {\vec {B}}}$

Multipliziere die Frequenz für eine Energieänderung von einem Zustand in einen anderen mit der Frequenz für eine Energieänderung von einem Zustand in einen anderen und addiere dazu das Produkt, das sich durch Multiplikation der Frequenz für eine Energieänderung von einem Zustand in einen anderen mit der Frequenz für eine Energieänderung von einem Zustand in einen anderen ergibt , und so weiter. Symbolisch ausgedrückt: ${\textstyle n}$${\textstyle na}$${\textstyle na}$${\textstyle nb}$${\textstyle na}$${\textstyle nb}$${\textstyle nb}$${\textstyle n-c}$

${\displaystyle f(n,n-a)f(n-a,n-b)+f(n-a,n-b)f(n-b,n-c)+\cdots }$

(Gemäß der verwendeten Konvention stellt einen höheren Energiezustand als dar , sodass ein Übergang von zu bedeuten würde, dass ein Elektron Energie von einem einfallenden Photon aufgenommen hat und auf ein höheres Orbital aufgestiegen ist, während ein Übergang von zu bedeuten würde, dass ein Elektron auf ein niedrigeres Orbital zurückfällt und ein Photon emittiert.) ${\textstyle n-a}$${\textstyle n}$${\textstyle n}$${\textstyle n-a}$${\textstyle n-a}$${\textstyle n}$

Heisenberg entwickelte diese Gleichung ursprünglich, um zwei gleichartige Messungen (Amplituden) multiplizieren zu können, sodass die Reihenfolge der Multiplikation keine Rolle spielte. Er bemerkte jedoch, dass bei der Anwendung desselben Schemas zur Multiplikation zweier Variablen, wie beispielsweise Impuls und Auslenkung, „eine erhebliche Schwierigkeit auftritt“ ^{[ 17 ] : 266.} Es zeigt sich, dass die Multiplikation einer Matrix von mit einer Matrix von ein anderes Ergebnis liefert als die Multiplikation einer Matrix von mit einer Matrix von , wobei deren Differenz beträgt, wobei die reduzierte Planck-Konstante ist . ${\textstyle p}$${\textstyle q}$${\textstyle p}$${\textstyle q}$${\textstyle q}$${\textstyle p}$${\textstyle i\hbar }$${\textstyle \hbar }$

Heisenberg merkt außerdem an, dass in der alten Quantentheorie die beobachtbaren Größen mithilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes und der Wilson-Sommerfeld-Quantisierungsregel berechnet werden, wobei die Kraft pro Masseneinheitsfunktion ist. Heisenberg geht dabei davon aus, dass mit seiner neuen Fourier-Interpretation von dieselben Newtonschen Gleichungen zur Berechnung der beobachtbaren Größen verwendet werden können. ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x)=0}$$$${\displaystyle \oint p\,dq=\oint m{\dot {x}}\,dx=\oint m{\dot {x}}^{2}\,dt=J=nh,}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

Die Idee, dass dieselben klassischen Gleichungen auch in der Quantenmechanik weiterhin Anwendung finden können, gilt als eine der wichtigsten Ideen in Heisenbergs Arbeit. ^{[ 33 ]}

Als Teil von Heisenbergs Rechtfertigung für eine Theorie der Mechanik, die sich nur auf die messbaren Intensitäten und Frequenzen stützt, leitet Heisenberg die Thomas-Reiche-Kuhn-Summenregel ab, die er aus der Untersuchung der Dispersion gefunden hat ^{[ 27 ].}

für . ^{[ 22 ]}${\displaystyle x=\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }a(n,n-\alpha )e^{i\omega (n,n-\alpha )t}}$

Heisenberg untersuchte außerdem die Energieniveaus des anharmonischen Oszillators, der durch die Gleichung beschrieben wird , da der konzeptionell einfachere harmonische Oszillator seine neue Multiplikationsregel nicht erfordert hätte. ^{[ 34 ]} Während er unter klassischer Betrachtung findet, dass , findet er unter quantenmechanischer Betrachtung mit der in seiner Arbeit entwickelten Theorie bis zur Ordnung , dass , was die Existenz der Nullpunktsenergie erklärt, die Robert S. Mulliken bereits sechs Monate zuvor aus spektroskopischen Experimenten abgeleitet hatte . ^{[ 35 ] [ 36 ] : 149} Die Unabhängigkeit von ermöglichte es, die Gleichung auch für die Energieniveaus des harmonischen Oszillators ( ) zu verwenden . Heisenberg erweiterte diese Gleichung auch auf das Elektron, das mit der Winkelgeschwindigkeit um den Kern mit dem Trägheitsmoment rotiert, und fand ^{[ 34 ]} und für die Energie , was mit experimentellen Beobachtungen an den Cyanid-Spektroskopiebanden von Adolf Kratzer übereinstimmt , der halbzahlige Quantenzahlen einführte. ^{[ 24 ]}${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0}$${\displaystyle E_{n}=n\hbar \omega _{0}}$${\displaystyle \lambda ^{2}}$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{0}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle I=ma^{2}}$$${\displaystyle \omega _{n,n-1}={\frac {h}{2\pi ma^{2}}}n}$$${\displaystyle W}$$${\displaystyle W={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}ma^{2}}}\left(n^{2}+n+{\frac {1}{2}}\right)}$$

Darüber hinaus zeigte Heisenberg, dass die Energieerhaltung durch seine Theorie gestützt wird. ^{[ 37 ]}

Das Hauptanliegen der damaligen Forscher im Zusammenhang mit der Wasserstoffstrahlung war die Vorhersage bzw. Erklärung der Linienintensitäten in ihrem Spektrum. Obwohl Heisenberg dies zu seiner Zeit noch nicht wusste, kann das von ihm entwickelte allgemeine Format zur Beschreibung seiner neuen Arbeitsweise mit quantentheoretischen Berechnungen als Anleitung für die Multiplikation zweier Matrizen dienen. ^{[ 17 ] : Kap. 12}

Die Arbeit „Umdeutung“ erwähnt keine Matrizen. Heisenbergs großer Fortschritt bestand in dem „Schema, das prinzipiell in der Lage war, die relevanten physikalischen Eigenschaften (Übergangsfrequenzen und Amplituden)“ ^{[ 32 ] : 2} der Wasserstoffstrahlung eindeutig zu bestimmen.

Nachdem Heisenberg die Abhandlung „Umdeutung“ verfasst hatte , übergab er sie einem seiner älteren Kollegen zur Korrektur und ging in Urlaub. Max Born grübelte über die Gleichungen und die nichtkommutierenden Gleichungen, die Heisenberg als problematisch und beunruhigend empfunden hatte. Nach einigen Tagen erkannte er, dass diese Gleichungen Anweisungen zum Aufstellen von Matrizen darstellten. ^{[ 38 ]}

Unter Berücksichtigung von Beispielen fand Heisenberg diese Regel. Dies geschah im Sommer 1925. Heisenberg nahm sich Urlaub und übergab mir seine Arbeit zur Veröffentlichung. Heisenbergs Multiplikationsregel ließ mich nicht in Ruhe, und nach einer Woche intensiven Nachdenkens und Ausprobierens erinnerte ich mich plötzlich an eine algebraische Theorie. Solche quadratischen Anordnungen sind Mathematikern wohlbekannt und werden in Verbindung mit einer bestimmten Multiplikationsregel als Matrizen bezeichnet. Ich wandte diese Regel auf Heisenbergs Quantenbedingung an und stellte fest, dass sie für die Diagonalelemente galt. Es war leicht zu erraten, was die übrigen Elemente sein mussten, nämlich null; und sogleich stand die seltsame Formel vor mir.$${\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}$$

Diese Gleichung wird nun als kanonische Kommutationsrelation bezeichnet , wobei das Symbol die Verschiebungsmatrix, die Impulsmatrix, i die Quadratwurzel aus minus eins und h die Planck-Konstante ist. ^{[ 39 ] [ 32 ] : A} ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Born entdeckte diese Gleichung, indem er sie nahm, was es ihm ermöglichte, Heisenbergs komplizierte Quantisierungsbedingung zu vereinfachen ^{[ 40 ],} wobei er die Multiplikation der Komponenten von erkannte und sie auf die Matrixmultiplikation reduzierte . ^{[ 15 ]}$${\displaystyle Q_{nn'}=a(n,n')e^{i\omega (n,n')t}}$$$${\displaystyle P_{nn'}=m{\frac {dQ_{nn'}}{dt}}=im\omega (n,n')a(n,n')e^{i\omega (n,n')t},}$$$${\displaystyle h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\{|a(n,n+\alpha )|^{2}\omega (n,n+\alpha )-|a(n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )\}}$$$${\displaystyle \implies h=2\pi i\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(P_{nn'}Q_{n'n}-Q_{nn'}P_{n'n})}$$$${\displaystyle \implies {\frac {h}{2\pi i}}=\sum _{n'=-\infty }^{\infty }(P_{nn'}Q_{n'n}-Q_{nn'}P_{n'n}),}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

Als Born den Artikel las, erkannte er die Formulierung als eine, die sich auf die systematische Sprache der Matrizen übertragen und erweitern ließ. Born begann umgehend mit Hilfe seines Assistenten und ehemaligen Studenten Pascual Jordan mit der Übertragung in die reine Matrizenalgebra und der Erweiterung und reichte seine Ergebnisse zur Veröffentlichung ein; ihr Manuskript wurde nur 60 Tage nach Heisenbergs Artikel angenommen. ^{[ 6 ]} Ein Folgeartikel aller drei Autoren, der die Theorie auf mehrere Dimensionen erweiterte, wurde noch vor Jahresende zur Veröffentlichung eingereicht. ^{[ 7 ]}

Paul Dirac , der im August 1925 ein Probeexemplar erhalten hatte, erkannte, dass das Nichtkommutativgesetz noch nicht vollständig entwickelt war, und formulierte es algebraisch, um dieselben Ergebnisse logischer auszudrücken. ^{[ 41 ]} Seine Erkenntnis führte zu neuen und fruchtbaren Ansätzen in der Entwicklung der Quantenmechanik. ^{[ 42 ]}

Während einer Konferenz über seine neue Quantenmechanik an der Universität Berlin im Jahr 1926 erklärte Heisenberg, dass sein Aufbau einer Theorie ausschließlich auf Basis beobachtbarer Größen dem Geist der speziellen Relativitätstheorie entspräche . In seiner Autobiografie „Physik und darüber hinaus“ schreibt Heisenberg, dass Albert Einstein diesen Ansatz nach der Konferenz kritisierte und argumentierte, dass keine Theorie allein aus Beobachtungen aufgebaut werden könne, da die beobachtbaren Elemente bereits von den theoretischen Annahmen abhingen. ^{[ 37 ]}

Steven Weinberg bezeichnete Heisenbergs Arbeit 1993 als „reine Magie“, da Heisenberg die einzelnen mathematischen Schritte nicht schriftlich begründete und den Leser trotz der erfolgreichen Vorhersagen seines Modells ratlos zurückließ. ^{[ 43 ]} Es wurden mehrere Versuche unternommen, seine Arbeit verständlicher zu erklären. ^{[ 3 ]}

Die UNESCO feierte den 100. Jahrestag der Veröffentlichung von Heisenbergs Arbeit, indem sie das Jahr 2025 zum Gedenkjahr für Quantenwissenschaft und -technologie erklärte. ^{[ 44 ]}

• Geschichte der Quantenmechanik
• Mathematische Formulierung der Quantenmechanik
• Zeitleiste der Quantenmechanik

• Werner Heisenberg (1925). „Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ (PDF) . Zeitschrift für Physik (auf Deutsch). 33 (1): 879–893 . Bibcode : 1925ZPhy...33..879H . doi : 10.1007/BF01328377 . S2CID  186238950 .
• Eine englische Übersetzung von „Quantum-theoretical reinterpretation of kinematic and mechanical relations“ von B. L. van der Waerden findet sich in: B. L. van der Waerden (Hrsg.) (1968). Sources of Quantum Mechanics . New York: Dover. S.  261–276 . ISBN 0-486-61881-1Die
• Dirac, PAM (1925). „Die fundamentalen Gleichungen der Quantenmechanik“ . Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character . 109 (752): 642–653 . Bibcode : 1925RSPSA.109..642D . doi : 10.1098/rspa.1925.0150 . ISSN  0950-1207 . JSTOR  94441 .Die entscheidende Neuinterpretationssynthese von Heisenbergs Aufsatz, die die heute verwendete zeitgenössische Sprache einführt.