Milnor-K-Theorie

In der Mathematik ist die Milnor-K-Theorie ^{[ 1 ]} eine algebraische Invariante (bezeichnet mit für einen Körper ), die von John Milnor  ( 1970 ) definiert wurde, um die höhere algebraische K-Theorie im Spezialfall von Körpern zu untersuchen . Man erhoffte sich dadurch, die Struktur der algebraischen K-Theorie zu erhellen und Einblicke in ihre Beziehungen zu anderen Bereichen der Mathematik, wie der Galois-Kohomologie und dem Grothendieck-Witt-Ring quadratischer Formen , zu gewinnen . Vor der Definition der Milnor-K-Theorie existierten ad-hoc-Definitionen für und . Glücklicherweise lässt sich zeigen, dass die Milnor -K-Theorie Teil der algebraischen K-Theorie ist , die im Allgemeinen am einfachsten zu berechnen ist. ^{[ 2 ]}${\displaystyle K_{*}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$

Nach der Definition der Grothendieck-Gruppe eines kommutativen Rings wurde erwartet, dass es eine Folge von Invarianten geben würde, die als höhere K-Theorie -Gruppen bezeichnet werden, da eine kurze exakte Folge existiert.${\displaystyle K(R)}$${\displaystyle K_{i}(R)}$

${\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}$

Diese sollte durch eine lange exakte Sequenz fortgesetzt werden . Die Gruppe links ist die relative K-Theorie . Dies führte zu umfangreichen Studien, und Milnor gab als erste Annäherung an die Struktur dieser Theorie eine Definition für Körper. Seine Definition basiert auf zwei Berechnungen, wie die höhere K-Theorie in Grad n und n aussehen „sollte“ . Wenn dann in einer späteren Verallgemeinerung der algebraischen K-Theorie die Erzeuger von n im Grad n und die Relationen im Grad n lägen , dann würden die Konstruktionen in Grad n und n die Struktur für den Rest des K-Theorie -Rings liefern. Unter dieser Annahme gab Milnor seine „ad-hoc“-Definition an. Es stellt sich heraus, dass die algebraische K-Theorie im Allgemeinen eine komplexere Struktur aufweist, aber für Körper sind die Milnor -K-Theorie- Gruppen nach Tensorisierung mit n in den allgemeinen algebraischen K-Theorie- Gruppen enthalten , d. h. n = n . ^{[ 3 ]} Es stellt sich heraus, dass die natürliche Abbildung für einen globalen Körper nicht injektiv ist ^{[ 3 ] S. 96} . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle K_{*}(R)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle K_{*}(R)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }$${\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}$${\displaystyle F}$

Anmerkung: Für Körper lässt sich die Grothendieck-Gruppe leicht berechnen, da die einzigen endlich erzeugten Moduln endlichdimensionale Vektorräume sind . Außerdem hängt Milnors Definition höherer K-Gruppen vom kanonischen Isomorphismus ab.${\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}$

(die Einheitengruppe von ) und die Berechnung von K ₂ eines Feldes durch Hideya Matsumoto , die die einfache Darstellung lieferte ${\displaystyle F}$

${\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

für ein zweiseitiges Ideal, das von Elementen erzeugt wird , sogenannte Steinberg-Relationen . Milnor nahm die Hypothese an, dass dies die einzigen Relationen seien, und gab daher die folgende „ad-hoc“-Definition der Milnor-K-Theorie an: ${\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}$

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

Die direkte Summe dieser Gruppen ist isomorph zu einer Tensoralgebra über den ganzen Zahlen der multiplikativen Gruppe, modulo dem zweiseitigen Ideal, das von erzeugt wird: ${\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}$

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

Also

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

Dies zeigt, dass seine Definition eine direkte Erweiterung der Steinberg-Relationen darstellt.

Der graduierte Modul ist ein graduierter kommutativer Ring ^{[ 1 ] S. 1–3} . ^{[ 4 ]} Wenn wir schreiben ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

als

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

dann für und wir haben ${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

Aus dem Beweis dieser Eigenschaft ergeben sich weitere Eigenschaften, wie beispielsweise , da . Außerdem gilt: Wenn die Anzahl der Elemente eines Körpers ungleich null gleich ist , dann . Es gibt eine direkte arithmetische Anwendung: ist genau dann eine Summe von Quadraten, wenn jede positivdimensionale Menge nilpotent ist. Dies ist eine wichtige Aussage über die Struktur von Milnor -K-Gruppen . Insbesondere sind für die Körper , mit , alle Milnor -K-Gruppen nilpotent. Umgekehrt lässt sich der Körper in einen reell abgeschlossenen Körper einbetten , was eine totale Ordnung auf dem Körper ergibt. $${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$$${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle 0,1}$$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$$${\displaystyle -1\in F}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle F}$

Eine der Kerneigenschaften, die die Milnor-K-Theorie mit der höheren algebraischen K-Theorie verbindet, ist die Existenz natürlicher Isomorphismen zu Blochs höheren Chow-Gruppen , die einen Morphismus graduierter Ringe induzieren. Dies lässt sich mithilfe eines expliziten Morphismus ^{[ 2 ], S. 181,} verifizieren, wobei diese Abbildung für die Klasse der Punkte mit gegeben ist . Die wichtigste zu überprüfende Eigenschaft ist, dass für und gilt. Beachten Sie, dass dies von verschieden ist, da dies ein Element in ist . Außerdem impliziert die zweite Eigenschaft die erste für . Dieser Nachweis kann mithilfe einer rationalen Kurve erbracht werden, die einen Zyklus in definiert, dessen Bild unter der Randabbildung die Summe für ist , was zeigt, dass sie sich durch einen Rand unterscheiden. Analog dazu zeigt die Randabbildung, dass dieser Zyklus auf abgebildet wird , was ebenfalls zeigt, dass sie sich durch einen Rand unterscheiden. Die zweite wichtige zu zeigende Eigenschaft sind die Steinberg-Relationen. Damit und mit der Tatsache, dass die höheren Chow-Gruppen eine Ringstruktur besitzen, erhalten wir eine explizite Abbildung. Der Nachweis, dass die Abbildung in umgekehrter Richtung ein Isomorphismus ist, erfordert etwas mehr Aufwand, aber wir erhalten die Isomorphismen. Wir können dann die höheren Chow-Gruppen mit der höheren algebraischen K-Theorie in Verbindung bringen, indem wir die Isomorphismen nutzen, die die Beziehung zu Quillens höherer algebraischer K-Theorie herstellen. Beachten Sie, dass die Abbildungen $${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$$${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$$$${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$$${\displaystyle [a]}$${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$${\displaystyle [a]\cdot [b]}$${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$${\displaystyle b=1/a}$${\displaystyle C^{1}(F,2)}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$${\displaystyle ab\neq 1}$${\displaystyle ab=1}$${\displaystyle [a]-[1/a]}$$${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$$${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$$

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

Der Übergang von den Milnor-K-Gruppen eines Körpers zu den Quillen -K-Gruppen ist ein Isomorphismus für n ≥ 0 , jedoch nicht für größere n . Für von Null verschiedene Elemente in F bezeichnet das Symbol in das Bild von in der Tensoralgebra. Jedes Element der Milnor-K-Theorie lässt sich als endliche Summe von Symbolen darstellen. Die Tatsache, dass in für , wird manchmal als Steinberg-Relation bezeichnet . ${\displaystyle n\leq 2}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$

In der motivischen Kohomologie , insbesondere der motivischen Homotopietheorie , gibt es eine Garbe , die eine Verallgemeinerung der Milnor-K-Theorie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe darstellt . Bezeichnen wir mit , so definieren wir die Garbe als die Garbenifizierung der folgenden Prägarbe ^{[ 5 ] S. 4.} Man beachte, dass Schnitte dieser Prägarbe äquivalente Klassen von Zyklen auf mit Koeffizienten in sind , die über gleichdimensional und endlich sind (was direkt aus der Definition von folgt ). Es lässt sich zeigen, dass eine -schwache Äquivalenz mit den motivischen Eilenberg-Maclane-Garben besteht (abhängig von der Graduierungskonvention). ${\displaystyle K_{n,A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$${\displaystyle K_{n,A}}$$${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle K(A,2n,n)}$

Für einen endlichen Körper ist eine zyklische Gruppe der Ordnung (da sie isomorph zu ist ), daher folgt aus der graduierten Kommutativität . Da eine endliche Gruppe ist , muss sie die Ordnung haben . Weiterhin lässt sich stets als Summe quadratischer Nichtreste darstellen, d. h. als Elemente, für die ungleich ist , woraus folgt . Da die Steinberg-Relationen alle Relationen im Milnor-K-Theorie-Ring erzeugen, gilt für . ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$$${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$$$${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle a,b\in F}$${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a+b=1}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$${\displaystyle n>2}$

Für den Körper der reellen Zahlen lassen sich die Milnor -K-Theorie- Gruppen leicht berechnen. Im Grad n wird die Gruppe durch n erzeugt, wobei n eine Gruppe der Ordnung n liefert und die von n erzeugte Untergruppe teilbar ist. Die von n erzeugte Untergruppe ist nicht teilbar, da sie sonst als Summe von Quadraten dargestellt werden könnte. Der Milnor-K-Theorie-Ring ist wichtig für die Untersuchung der motivischen Homotopietheorie, da er Erzeuger für einen Teil der motivischen Steenrod-Algebra n liefert . ^{[ 6 ]} Die übrigen Erzeuger sind Liftungen der klassischen Steenrod-Operationen zur motivischen Kohomologie. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$$${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$${\displaystyle (-1)^{n}}$

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$ist eine überabzählbare , eindeutig teilbare Gruppe . ^{[ 7 ]} Außerdem ist die direkte Summe einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2 und einer überabzählbaren, eindeutig teilbaren Gruppe; ist die direkte Summe der multiplikativen Gruppe von und einer überabzählbaren, eindeutig teilbaren Gruppe; ist die direkte Summe der zyklischen Gruppe der Ordnung 2 und zyklischer Gruppen der Ordnung für alle ungeraden Primzahlen . Für , . Der vollständige Beweis findet sich im Anhang von Milnors Originalarbeit. ^{[ 1 ]} Ein Teil der Berechnung lässt sich durch eine Abbildung auf nachvollziehen, die durch die Inklusion eines globalen Körpers in seine Vervollständigungen induziert wird . Daher existiert ein Morphismus, dessen Kern endlich erzeugt ist. Darüber hinaus ist der Kokern isomorph zu den Einheitswurzeln in . ${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{v}}$$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$$${\displaystyle F}$

Darüber hinaus sind für einen allgemeinen lokalen Körper (wie etwa eine endliche Erweiterung ) die Milnor -K-Gruppen teilbar.${\displaystyle F}$${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$

Es gibt einen allgemeinen Struktursatz, der die Berechnung eines Körpers in Bezug auf die Milnor -K-Theorie und Erweiterungen für nicht-triviale Primideale beschreibt . Dieser Satz ist durch eine exakte Sequenz gegeben, wobei ein Morphismus ist, der durch eine Reduktion von auf für eine diskrete Bewertung konstruiert wird . Aus dem Satz folgt, dass genau ein Homomorphismus existiert , der für die Gruppe der Einheiten, die Elemente sind, die Bewertung hat und einen natürlichen Morphismus besitzt, wobei ein Primelement ist , d. h. , und . Da jedes nicht-triviale Primideal eine Bewertung liefert , erhalten wir die Abbildung auf den Milnor-K-Gruppen. ${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F[t]/(\pi )}$${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$$${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$$${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$$${\displaystyle U\subset F}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$$${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$$${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$$${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$$${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$${\displaystyle \partial _{\pi }}$

Die Milnor-K-Theorie spielt eine fundamentale Rolle in der höheren Klassenkörpertheorie und ersetzt sie in der eindimensionalen Klassenkörpertheorie . ${\displaystyle K_{1}^{M}(F)=F^{\times }\!}$

Die Milnor-K-Theorie fügt sich über den Isomorphismus in den breiteren Kontext der motivischen Kohomologie ein.

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\cong H^{n}(F,\mathbb {Z} (n))}$

der Milnor-K-Theorie eines Körpers mit einer bestimmten motivischen Kohomologiegruppe. ^{[ 8 ]} In diesem Sinne wird die scheinbar ad hoc Definition der Milnor -K-Theorie zu einem Theorem: Bestimmte motivische Kohomologiegruppen eines Körpers können explizit durch Erzeuger und Relationen berechnet werden .

Ein wesentlich tiefgreifenderes Ergebnis, die Bloch-Kato-Vermutung (auch Normrestisomorphiesatz genannt), stellt eine Verbindung zwischen der Milnor -K-Theorie und der Galois-Kohomologie bzw. étale-Kohomologie her :

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/r\cong H_{\mathrm {et} }^{n}(F,\mathbb {Z} /r(n)),}$

Für jede positive ganze Zahl r, die im Körper F invertierbar ist, gilt diese Vermutung. Sie wurde von Vladimir Voevodsky unter Mitwirkung von Markus Rost und anderen bewiesen. ^{[ 9 ]} Dies schließt den Satz von Alexander Merkurjev und Andrei Suslin sowie die Milnor-Vermutung als Spezialfälle ein (die Fälle, in denen und ). ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle r=2}$

Schließlich besteht ein Zusammenhang zwischen der Milnor-K-Theorie und quadratischen Formen . Für einen Körper F mit Charakteristik ungleich 2 definieren wir das Fundamentalideal I im Witt-Ring der quadratischen Formen über F als den Kern des Homomorphismus, der durch die Dimension einer quadratischen Form modulo 2 gegeben ist. Milnor definierte einen Homomorphismus: ${\displaystyle W(F)\to \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle {\begin{cases}K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}\\\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle \end{cases}}}$

wobei die Klasse der n -fachen Pfister-Form bezeichnet . ^{[ 10 ]}${\displaystyle \langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle }$

Dmitri Orlov, Alexander Vishik und Voevodsky bewiesen eine weitere Aussage, die sogenannte Milnor-Vermutung, nämlich dass dieser Homomorphismus ein Isomorphismus ist. ^{[ 11 ]}${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\to I^{n}/I^{n+1}}$

• Azumaya-Algebra
• Motivische Homotopietheorie

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• Einige Aspekte des Funktors von Feldern${\displaystyle K_{2}}$
• Zu Tates Berechnung von${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Q} )}$