Signifikante Zahlen

Signifikante Stellen , auch signifikante Ziffern genannt , sind bestimmte Ziffern innerhalb einer Zahl, die in Stellenwertschreibweise dargestellt wird und für die Angabe einer bestimmten Größe sowohl zuverlässig als auch notwendig ist. Bei der Angabe des Messergebnisses (z. B. Länge, Druck, Volumen oder Masse) gilt: Übersteigt die Anzahl der Ziffern die Auflösung des Messgeräts, sind nur die durch die Auflösung bestimmbaren Ziffern verlässlich und somit signifikant.

Wenn beispielsweise eine Längenmessung  mit einem Lineal, dessen kleinste Teilung 1 mm beträgt, 114,8 Millimeter (mm) ergibt, sind die ersten drei Ziffern (1, 1 und 4, die 114 mm ergeben) sicher und bilden die signifikanten Stellen. Auch Ziffern, die zwar unsicher, aber dennoch aussagekräftig sind, werden zu den signifikanten Stellen gezählt. In diesem Beispiel ist die letzte Ziffer (8, die 0,8 mm ergibt) trotz ihrer Unsicherheit ebenfalls signifikant. ^{[ 1 ]} Daher enthält diese Messung vier signifikante Stellen.

Ein weiteres Beispiel ist eine Volumenmessung von 2,98  Litern (L) mit einer Unsicherheit von ± 0,05 L. Das tatsächliche Volumen liegt zwischen 2,93 L und 3,03 L. Selbst wenn einzelne Stellen nicht exakt bekannt sind, sind sie dennoch signifikant, sofern sie aussagekräftig sind, da sie das tatsächliche Volumen innerhalb eines akzeptablen Unsicherheitsbereichs angeben. In diesem Fall könnte das tatsächliche Volumen 2,94 L oder möglicherweise 3,02 L betragen, daher sind alle drei Stellen signifikant. ^{[ 1 ]} Somit gibt es in diesem Beispiel drei signifikante Stellen.

Folgende Zifferntypen werden als nicht signifikant betrachtet: ^{[ 2 ]}

• Führende Nullen . Beispielsweise hat 013 kg zwei signifikante Stellen – 1 und 3 –, während die führende Null irrelevant ist, da sie die Massenangabe nicht beeinflusst; 013 kg entspricht 13 kg, wodurch die Null überflüssig wird. Ebenso gibt es im Fall von 0,056 m zwei irrelevante führende Nullen, da 0,056 m dasselbe wie 56 mm ist; daher tragen die führenden Nullen nicht zur Längenangabe bei.
• Nachfolgende Nullen dienen als Platzhalter. Bei der Messung 1500 m mit einer Messauflösung von 100 m sind die nachfolgenden Nullen irrelevant, da sie lediglich die Zehner- und Einerstelle darstellen. In diesem Fall bedeutet 1500 m, dass die Länge ungefähr 1500 m beträgt, nicht den exakten Wert von 1500 m.
• Falsche Ziffern, die aus Berechnungen resultieren, die zu einer höheren Genauigkeit als den Originaldaten führen, oder eine Messung, die mit einer höheren Genauigkeit als der Auflösung des Instruments gemeldet wird.

Eine Null nach dem Komma (z. B. 1,0) ist signifikant, und beim Anhängen einer solchen Null ist Vorsicht geboten. Daher hat 1,0 zwei signifikante Stellen, während 1 (ohne Komma) nur eine signifikante Stelle hat.

Bei den signifikanten Ziffern einer Zahl ist die höchstwertige Ziffer diejenige mit dem größten Exponenten (die am weitesten links stehende signifikante Ziffer), während die niederwertigste Ziffer diejenige mit dem kleinsten Exponenten (die am weitesten rechts stehende signifikante Ziffer) ist. Beispielsweise ist in der Zahl „123“ die „1“ die höchstwertige Ziffer und steht für Hunderter (10² ⁾ , während die „3“ die niederwertigste Ziffer ist und für Einer steht (10⁰ ⁾ .

Um eine irreführende Genauigkeit zu vermeiden, werden Zahlen oft gerundet . Beispielsweise würde die Angabe einer Messung als 12345,25 g falsche Präzision suggerieren, wenn das Messgerät nur auf das nächste Gramm genau ist. In diesem Fall sind die ersten fünf Ziffern (1, 2, 3, 4 und 5) von links die signifikanten Stellen. Die Zahl wird auf diese signifikanten Stellen gerundet, was zu 12345 g als korrektem Wert führt. Der Rundungsfehler (in diesem Beispiel 0,25 g) entspricht annähernd der numerischen Auflösung bzw. Präzision. Zahlen können auch aus Gründen der Einfachheit gerundet werden, ohne unbedingt die Messgenauigkeit anzugeben, beispielsweise aus Zeitgründen in Nachrichtensendungen.

Signifikanzarithmetik umfasst eine Reihe von Näherungsregeln zur Erhaltung der Signifikanz bei Berechnungen. Fortgeschrittenere wissenschaftliche Regeln werden als Fehlerfortpflanzung bezeichnet .

Im Folgenden wird das Zehnersystem (Basis 10, Dezimalzahlen) vorausgesetzt. (Siehe die letzte Einheit zur Erweiterung dieser Konzepte auf andere Zahlensysteme.)

Um die signifikanten Stellen einer Zahl zu bestimmen, muss man wissen, welche Ziffern relevant sind. Dies wiederum setzt voraus, die Auflösung zu kennen, mit der die Zahl gemessen, ermittelt oder verarbeitet wird. Beträgt die kleinste messbare Masse beispielsweise 0,001 g, so ist in einer Messung von 0,00234 g die „4“ nicht relevant und sollte verworfen werden, während die „3“ relevant ist und oft beibehalten werden sollte. ^{[ 3 ]}

• Innerhalb der angegebenen Mess- oder Meldeauflösung sind alle von Null verschiedenen Ziffern signifikant .
  • 91 hat zwei signifikante Stellen (9 und 1), wenn es sich um messzulässige Ziffern handelt.
  • Die Zahl 123,45 hat fünf signifikante Stellen (1, 2, 3, 4 und 5), sofern diese innerhalb der Messgenauigkeit liegen. Beträgt die Genauigkeit beispielsweise 0,1, so zeigt die 5 an, dass der wahre Wert auf vier signifikante Stellen mit gleicher Wahrscheinlichkeit 123,4 oder 123,5 ist.
• Nullen zwischen zwei signifikanten Ziffern ungleich Null sind signifikant ( signifikante eingeschlossene Nullen) .
  • 101,12003 besteht aus acht signifikanten Stellen, wenn die Auflösung 0,00001 beträgt.
  • 125,340006 hat sieben signifikante Stellen, wenn die Auflösung 0,0001 beträgt: 1, 2, 5, 3, 4, 0 und 0.
• Nullen links von der ersten von Null verschiedenen Ziffer ( führende Nullen ) sind nicht signifikant .
  • Wenn eine Längenmessung ergibt0,052 km , dann0,052 km = 52 m, daher sind nur 5 und 2 von Bedeutung; die führenden Nullen erscheinen oder verschwinden, je nachdem, welche Einheit verwendet wird, daher sind sie nicht notwendig, um die Messskala anzugeben.
  • 0,00034 hat 2 signifikante Stellen (3 und 4), wenn die Auflösung 0,00001 beträgt.
• Nullen rechts von der letzten von Null verschiedenen Ziffer ( nachfolgende Nullen ) in einer Zahl mit Dezimalpunkt sind signifikant , wenn sie innerhalb der Mess- oder Meldeauflösung liegen.
  • 1,200 hat vier signifikante Stellen (1, 2, 0 und 0), sofern dies durch die Messauflösung zugelassen wird.
  • 0,0980 hat drei signifikante Stellen (9, 8 und die letzte Null), wenn diese innerhalb der Messauflösung liegen.
  • 120.000 besteht aus sechs signifikanten Stellen (1, 2 und den vier darauffolgenden Nullen), wenn sie, wie zuvor, innerhalb der Messauflösung liegen.
• Nachfolgende Nullen in einer ganzen Zahl können signifikant sein oder nicht , je nach Mess- oder Berichtsauflösung.
  • Die Zahl 45 600 hat 3, 4 oder 5 signifikante Stellen, je nachdem, wie die letzten Nullen verwendet werden. Wird beispielsweise die Länge einer Straße mit 45600 m angegeben, ohne Angaben zur Messgenauigkeit oder zur Art der Angabe, ist unklar, ob die Straßenlänge exakt mit 45600 m gemessen wurde oder ob es sich um eine grobe Schätzung handelt. Im letzteren Fall sind nur die ersten drei von Null verschiedenen Ziffern relevant, da die nachfolgenden Nullen weder zuverlässig noch notwendig sind.45.600 m können ausgedrückt werden  als45,6 km oder als4,56 × 10 ⁴  m in wissenschaftlicher Notation , und keiner der beiden Ausdrücke benötigt die nachfolgenden Nullen.
• Eine exakte Zahl hat unendlich viele signifikante Stellen.
  • Wenn die Anzahl der Äpfel in einer Tüte 4 beträgt (exakte Zahl), dann ist diese Zahl4,0000… (mit unendlich vielen Nullen rechts vom Dezimalkomma). Daher hat die Ziffer 4 keinen Einfluss auf die Anzahl der signifikanten Stellen oder Ziffern im Ergebnis von Berechnungen.
• Eine mathematische oder physikalische Konstante hat signifikante Stellen an ihren bekannten Ziffern.
  • π ist eine spezielle reelle Zahl mit mehreren äquivalenten Definitionen. Alle Ziffern in ihrer exakten Dezimaldarstellung.3,141 59 ... sind signifikant. Obwohl viele Eigenschaften dieser Ziffern bekannt sind – beispielsweise wiederholen sie sich nicht, da π irrational ist –, sind nicht alle Ziffern bekannt. Stand März 2024 wurden mehr als 102 Billionen Ziffern berechnet ^{[ 4 ]} . Eine 102 Billionen Ziffern umfassende Näherung hat 102 Billionen signifikante Ziffern. In praktischen Anwendungen werden weitaus weniger Ziffern verwendet. Die gebräuchliche Näherung 3,14 hat drei signifikante Stellen und sieben korrekte Binärziffern . Die Näherung 22/7 hat dieselben drei korrekten Dezimalziffern, aber zehn korrekte Binärziffern. Die meisten Taschenrechner und Computerprogramme können eine 16-stellige Näherung verarbeiten, die für interplanetare Navigationsberechnungen ausreicht. ^{[ 5 ]}
  • Die Planck-Konstante ist genau definiert als h =6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅s . ^{[ 6 ]}

Die Bedeutung nachfolgender Nullen in einer Zahl ohne Dezimalkomma kann mehrdeutig sein. Beispielsweise ist nicht immer klar, ob die Zahl 1300 auf die nächste Einerstelle genau ist (und zufällig ein exaktes Vielfaches von Hunderter darstellt) oder ob sie aufgrund von Rundungen oder Ungenauigkeiten nur auf Hunderter gerundet angegeben wird. Es gibt zahlreiche Konventionen, um dieses Problem zu lösen. Diese werden jedoch nicht allgemein angewendet und sind nur dann wirksam, wenn der Leser mit der jeweiligen Konvention vertraut ist.

• Ein Überstrich , manchmal auch Überstrich oder, weniger genau, Vinculum genannt , kann über die letzte signifikante Stelle gesetzt werden; alle nachfolgenden Nullen sind bedeutungslos. Beispielsweise hat 13 0 0 drei signifikante Stellen (und zeigt daher an, dass die Zahl auf die nächste Zehnerstelle gerundet ist).
• Seltener wird, nach einer eng verwandten Konvention, die letzte signifikante Stelle einer Zahl unterstrichen ; zum Beispiel hat „1 3 00“ zwei signifikante Stellen.
• Nach der Zahl kann ein Dezimalpunkt gesetzt werden; beispielsweise zeigt „1300.“ an, dass nachfolgende Nullen von Bedeutung sind. ^{[ 7 ]}

Da die oben genannten Konventionen nicht allgemein üblich sind, stehen folgende, weit verbreitetere Optionen zur Verfügung, um die Bedeutung von Zahlen mit nachfolgenden Nullen anzugeben:

• Mehrdeutige oder nicht signifikante Nullen lassen sich beseitigen, indem man die Einheit vor einer Zahl ändert und die Maßeinheit angibt . Beispielsweise ist die Messgenauigkeit bei der Angabe 1300 g mehrdeutig, während sie bei der Angabe 1,30 kg eindeutig ist. Ebenso kann 0,0123 L als 12,3 mL geschrieben werden.
• Mehrdeutige oder nicht signifikante Nullen lassen sich durch die Verwendung der wissenschaftlichen Notation eliminieren: Zum Beispiel wird 1300 mit drei signifikanten Stellen zu1,30 × 10³ ^. Ebenso kann 0,0123 umgeschrieben werden als1,23 × 10⁻² . Der Teil der Darstellung, der die signifikanten Stellen (1,30 oder 1,23) enthält, wird als Mantisse oder Mantisse bezeichnet ^. Die Ziffern in der Basis und im Exponenten (10 ³ oderBei Ziffern von 10 ⁻² handelt es sich um exakte Zahlen, daher sind signifikante Stellen für diese Ziffern irrelevant.
• Geben Sie die Anzahl der signifikanten Stellen explizit an (manchmal wird die Abkürzung sf verwendet): Zum Beispiel „20 000 auf 2 sf“ oder „20 000 (2 sf)“.
• Geben Sie die erwartete Variabilität (Präzision) explizit mit einem Plus-Minus-Zeichen an , z. B. „20 000 ± 1 %“. Dies ermöglicht auch die Angabe eines Präzisionsbereichs zwischen Zehnerpotenzen.

Das Runden auf signifikante Stellen ist eine allgemeinere Methode als das Runden auf n Stellen, da es Zahlen unterschiedlicher Größenordnungen einheitlich behandelt. Beispielsweise ist die Einwohnerzahl einer Stadt möglicherweise nur auf Tausend gerundet und wird mit 52.000 angegeben, während die Einwohnerzahl eines Landes nur auf die nächste Million gerundet und mit 52.000.000 angegeben wird. Erstere Angabe kann um Hunderte, letztere um Hunderttausende fehlerhaft sein, aber beide haben zwei signifikante Stellen (5 und 2). Dies spiegelt die Tatsache wider, dass die Bedeutung des Fehlers in beiden Fällen im Verhältnis zur Größe der gemessenen Größe gleich ist.

Um eine Zahl auf n signifikante Stellen zu runden: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

1. Ist die (n +1)-te Ziffer größer als 5 oder besteht sie aus einer 5 gefolgt von anderen Ziffern ungleich null, wird 1 zur n-ten Ziffer addiert. Um beispielsweise 1,2459 auf 3 signifikante Stellen zu runden, ergibt dieser Schritt 1,25.
2. Wenn die (n +1)-te Ziffer eine 5 ist, der keine anderen Ziffern oder nur Nullen folgen, ist zum Runden eine Regel zur Auflösung von Gleichständen erforderlich . Um beispielsweise 1,25 auf 2 signifikante Stellen zu runden:
   • Eine halbe Rundung von Null ergibt 1,3. Dies ist die in vielen Disziplinen übliche Rundungsmethode, wenn keine andere Rundungsmethode angegeben wird.
   • Die Hälfte wird auf die nächste gerade Zahl gerundet . So wird beispielsweise 1,25 auf 1,2 abgerundet. 1,35 wird entsprechend auf 1,4 aufgerundet. Diese Methode wird in vielen wissenschaftlichen Disziplinen bevorzugt, da sie beispielsweise eine Verzerrung des Mittelwerts einer langen Werteliste nach oben vermeidet.
3. Beim Runden einer ganzen Zahl werden die Ziffern nach der n-ten Stelle durch Nullen ersetzt. Wird beispielsweise 1254 auf zwei signifikante Stellen gerundet, werden die 5 und die 4 durch Nullen ersetzt, sodass das Ergebnis 1300 ist. Beim Runden einer Zahl mit Dezimaltrennzeichen werden die Ziffern nach der n-ten Stelle entfernt. Wird beispielsweise 14,895 auf drei signifikante Stellen gerundet, werden die Ziffern nach der 8 entfernt, sodass das Ergebnis 14,9 ist.

Bei Finanzberechnungen werden Zahlen oft auf eine bestimmte Anzahl von Stellen gerundet. Beispielsweise auf zwei Nachkommastellen bei vielen Währungen. Dies geschieht, weil eine höhere Genauigkeit nicht von Bedeutung ist und Schulden unterhalb der kleinsten Währungseinheit in der Regel nicht beglichen werden können.

Bei der britischen Einkommensteuererklärung wird das Einkommen auf das nächste Pfund abgerundet, während die gezahlte Steuer auf den nächsten Penny gerundet wird.

Beispielsweise kann die Dezimalzahl 12,345 mit unterschiedlicher Anzahl signifikanter Stellen oder Nachkommastellen dargestellt werden. Reicht die Genauigkeit nicht aus, wird die Zahl gerundet , um die verfügbare Genauigkeit zu erreichen. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für verschiedene Gesamtgenauigkeiten bei zwei Rundungsverfahren (N/A steht für „Nicht anwendbar“).

Ein weiteres Beispiel für 0,012345 . (Beachten Sie, dass die führenden Nullen nicht signifikant sind.)

Die Darstellung einer von Null verschiedenen Zahl x mit einer Genauigkeit von p signifikanten Stellen hat einen numerischen Wert, der durch die Formel gegeben ist:

$${\displaystyle 10^{n}\cdot \operatorname {round} \left({\frac {x}{10^{n}}}\right)}$$

Wo

$${\displaystyle n=\lfloor \log _{10}(|x|)\rfloor +1-p}$$

Diese müssen gegebenenfalls mit einer speziellen Kennzeichnung versehen werden, wie oben beschrieben , um die Anzahl der signifikanten nachfolgenden Nullen anzugeben.

Es wird empfohlen, die Messunsicherheit in einem Messergebnis anzugeben, beispielsweise durch die Formel , wobei x _{_best} und σ _{_x} den besten Schätzwert bzw. die Messunsicherheit darstellen. ^{[ 10 ]} x _{_best} kann der Mittelwert der Messwerte und σ _{_x} die Standardabweichung oder ein Vielfaches der Messabweichung sein . Die Regeln für die Schreibweise lauten: ^{[ 11 ]}${\displaystyle x_{\text{best}}\pm \sigma _{x}}$${\displaystyle x_{\text{best}}\pm \sigma _{x}}$

• σ _x sollte üblicherweise nur mit einer oder zwei signifikanten Stellen angegeben werden, da eine höhere Genauigkeit wahrscheinlich weder zuverlässig noch sinnvoll ist:
  • 1,79 ± 0,06 (richtig), 1,79 ± 0,96 (richtig), 1,79 ± 1,96 (falsch).
• Die Positionen der letzten signifikanten Stellen in x_{_best} und σ _{_x} müssen übereinstimmen, da sonst die Konsistenz verloren ginge. Beispielsweise ist „1,79 ± 0,067“ falsch, da eine genauere Unsicherheitsangabe als die beste Schätzung keinen Sinn ergibt.
  • 1,79 ± 0,06 (richtig), 1,79 ± 0,96 (richtig), 1,79 ± 0,067 (falsch).

Wenn eine Messunsicherheit nicht explizit angegeben wird, kann sie sich aus der letzten signifikanten Stelle ergeben. ^{[ 1 ]} Die implizite Unsicherheit beträgt ± die Hälfte des kleinsten Skalenbereichs an der letzten signifikanten Stelle. Wird beispielsweise die Masse eines Objekts mit 3,78 kg angegeben, ohne die Unsicherheit zu erwähnen, so kann eine Messunsicherheit von ± 0,005 kg impliziert sein. Wird die Masse eines Objekts auf 3,78 ± 0,07 kg geschätzt, liegt die tatsächliche Masse also wahrscheinlich im Bereich von 3,71 bis 3,85 kg, und soll sie als einzelne Zahl angegeben werden, so ist 3,8 kg die beste Wahl, da die implizite Unsicherheit von ± 0,05 kg einen Massenbereich von 3,75 bis 3,85 kg ergibt, der nahe am Messbereich liegt. Ist die Unsicherheit etwas größer, z. B. 3,78 ± 0,09 kg, dann ist 3,8 kg immer noch die beste Einzelzahl, die man angeben kann, da bei der Angabe von „4 kg“ viele Informationen verloren gingen.

Wenn die implizite Unsicherheit einer Zahl angegeben werden muss, kann man sie wie folgt schreiben: x = σx , wobei _x die Zahl mit einer zusätzlichen Null (gemäß den oben genannten Regeln zur Angabe von Unsicherheiten) und σx die zugehörige implizite Unsicherheit ist. Beispielsweise kann 6 kg mit der impliziten Unsicherheit ± 0,5 kg als 6,0 ± 0,5 kg angegeben werden. ${\displaystyle x\pm \sigma _{x}}$

So wie es Regeln zur Bestimmung der signifikanten Stellen bei direkt gemessenen Größen gibt, gibt es auch Richtlinien (keine Regeln) zur Bestimmung der signifikanten Stellen bei Größen, die aus diesen gemessenen Größen berechnet werden .

Signifikante Stellen in Messwerten sind entscheidend für die Bestimmung signifikanter Stellen in berechneten Größen . Eine mathematische oder physikalische Konstante (z. B. π in der Formel für die Fläche eines Kreises mit Radius r als πr² ^{) hat keinen Einfluss auf die Bestimmung der signifikanten Stellen im Ergebnis einer Berechnung} , wenn ihre bekannten Stellen gleich oder größer als die signifikanten Stellen der in der Berechnung verwendeten Messwerte sind. Eine exakte Zahl wie z . B.1/2in der Formel für die kinetische Energie einer Masse m mit Geschwindigkeit v als1/2mv² hat keinen Einfluss auf die signifikanten Stellen der berechneten kinetischen Energie, da seine Anzahl an signifikanten Stellen unendlich ist (0,500000... ) ^.

Die nachfolgend beschriebenen Richtlinien sollen verhindern, dass Berechnungsergebnisse präziser sind als die gemessenen Größen. Sie gewährleisten jedoch nicht, dass die resultierende Unsicherheit ausreichend nahe an den gemessenen Unsicherheiten liegt. Dieses Problem zeigt sich beispielsweise bei der Einheitenumrechnung. Weicht die berechnete Unsicherheit zu stark von den gemessenen Werten ab, müssen gegebenenfalls die signifikanten Stellen so gewählt werden, dass eine vergleichbare Unsicherheit entsteht.

Bei Größen, die durch Multiplikation und Division aus Messgrößen entstehen , sollte das Ergebnis so viele signifikante Stellen aufweisen wie die geringste Anzahl signifikanter Stellen der verwendeten Messgrößen. ^{[ 12 ]} Zum Beispiel:

• 1,234 × 2 = 2,468 ≈ 2
• 1,234 × 2,0 = 2,468 ≈ 2,5
• 0,01234 × 2 = 0,0 2 468 ≈ 0,02
• 0,012345678 / 0,00234 = 5,2 7 59 ≈ 5,28

mit jeweils einer , zwei und einer signifikanten Stelle. (Die 2 ist hier keine exakte Zahl.) Im ersten Beispiel hat der erste Multiplikationsfaktor vier signifikante Stellen und der zweite eine. Der Faktor mit den wenigsten signifikanten Stellen ist der zweite mit nur einer, daher sollte auch das Endergebnis nur eine signifikante Stelle haben.

Bei der Umrechnung von Einheiten kann die resultierende Unsicherheit unerfreulicherweise höher sein als bei der vorherigen Einheit, wenn diese Rundungsrichtlinie befolgt wird. Beispielsweise hat 8 Zoll eine Unsicherheit von ± 0,5 Zoll = ± 1,27 cm. Wird dies in Zentimeter umgerechnet und die Rundungsrichtlinie für Multiplikation und Division befolgt, ergibt sich 2 × 0,32 cm ≈ 20 cm mit einer Unsicherheit von ± 5 cm. Wird diese Unsicherheit als zu hoch angesehen, können die signifikanten Stellen im Ergebnis der Umrechnung wie folgt angegeben werden: 2 × 0,32 cm ≈ 20 cm mit einer Unsicherheit von ± 0,5 cm.

Eine weitere Ausnahme von der oben genannten Rundungsregel ist die Multiplikation einer Zahl mit einer ganzen Zahl, z. B. 1,234 × 9. Nach der oben genannten Regel wird das Ergebnis gerundet: 1,234 × 9,000… = 11,106 ≈ 11,11. Diese Multiplikation entspricht jedoch im Wesentlichen der neunfachen Addition von 1,234 zu sich selbst, also 1,234 + 1,234 + … + 1,234. Daher ist die unten beschriebene Rundungsregel für Addition und Subtraktion der korrektere Ansatz. ^{[ 13 ]} Das Endergebnis lautet somit 1,234 + 1,234 + … + 1,234 = 11,106 ≈ 11,106 (eine signifikante Stelle mehr).

Bei Größen, die durch Addition und Subtraktion aus gemessenen Größen entstehen, muss die letzte signifikante Stelle (z. B. Hunderter, Zehner, Einer, Zehntel, Hundertstel usw.) im Ergebnis mit der ersten oder größten Stelle der letzten signifikanten Stellen der gemessenen Größen in der Berechnung übereinstimmen . Zum Beispiel:

• 1,234 + 2 = 3 0,234 ≈ 3
• 1,234 + 2,0 = 3,2 34 ≈ 3,2
• 0,01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2
• 12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12000

Die letzten signifikanten Stellen befinden sich jeweils an der Einer- , Zehntel- , Einer- und Tausenderstelle . (Die 2 ist hier als nicht exakte Zahl angenommen.) Im ersten Beispiel hat der erste Term seine letzte signifikante Stelle an der Tausendstelstelle und der zweite Term an der Einerstelle . Die am weitesten links stehende bzw. größte Stelle der letzten signifikanten Stellen dieser Terme ist die Einerstelle; daher sollte auch das berechnete Ergebnis seine letzte signifikante Stelle an der Einerstelle haben.

Die Regeln zur Berechnung signifikanter Stellen bei Multiplikation und Division unterscheiden sich von denen bei Addition und Subtraktion. Bei Multiplikation und Division zählt nur die Gesamtzahl der signifikanten Stellen in jedem Faktor; die Position der letzten signifikanten Stelle ist irrelevant. Bei Addition und Subtraktion zählt hingegen nur die Position der letzten signifikanten Stelle in jedem Term; die Gesamtzahl der signifikanten Stellen ist ebenfalls irrelevant. Eine höhere Genauigkeit lässt sich jedoch oft erzielen, wenn in Zwischenergebnissen, die für weitere Berechnungen verwendet werden, einige nicht signifikante Stellen beibehalten werden.

Der Logarithmus zur Basis -10 einer normierten Zahl (d. h. a × 10 ^b mit 1 ≤ a < 10 und b als ganze Zahl) wird so gerundet, dass sein Dezimalteil (die sogenannte Mantisse ) so viele signifikante Stellen hat wie die signifikanten Stellen in der normierten Zahl.

• log ₁₀ (3,000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3,000) = 4,000000... (exakte Zahl, daher unendlich viele signifikante Stellen) + 0,477 1 212547... = 4,477 1 212547 ≈ 4,4771.

Bei der Berechnung des Antilogarithmus einer normalisierten Zahl wird das Ergebnis so gerundet, dass es so viele signifikante Stellen hat wie der Dezimalteil der zu antilogarithmierenden Zahl signifikante Stellen aufweist.

• 10 ^4,4771 = 299 9 8,5318119... = 30000 = 3,000 × 10 ⁴ .

Ist eine transzendente Funktion (z. B. die Exponentialfunktion , der Logarithmus oder die trigonometrischen Funktionen ) an ihrem Definitionsbereichselement x differenzierbar, so besteht zwischen ihrer Anzahl signifikanter Stellen (bezeichnet als „signifikante Stellen von “) und der Anzahl signifikanter Stellen in x (bezeichnet als „signifikante Stellen von x “) ein annähernder Zusammenhang durch die Formel ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\rm {(signifikante Stellen von f(x))}}\approx {\rm {(signifikante Stellen von x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)}$,

Wo befindet sich die Konditionszahl ? ${\displaystyle \left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert }$

Bei mehrstufigen Berechnungen sollten Zwischenergebnisse nicht gerundet werden. Stattdessen sollten so viele Stellen wie möglich (mindestens eine Stelle mehr, als die Rundungsregel pro Stufe zulässt) bis zum Abschluss aller Berechnungen beibehalten werden, um kumulative Rundungsfehler beim Erfassen der signifikanten Stellen in den Zwischenergebnissen zu vermeiden. Das Endergebnis wird dann gerundet, beispielsweise auf die geringste Anzahl signifikanter Stellen (bei Multiplikation oder Division) oder auf die letzte signifikante Stelle von links (bei Addition oder Subtraktion) der Eingangswerte der Endberechnung. ^{[ 14 ]}

• (2,3494 + 1,345) × 1,2 = 3,69 4 4 × 1,2 = 4,4 3328 ≈ 4,4.
• (2,3494 × 1,345) + 1,2 = 3,15 9 943 + 1,2 = 4,3 59943 ≈ 4,4.

Beim Messen mit einem Lineal sollte man zunächst die kleinste Markierung als erste geschätzte Ziffer verwenden. Beträgt die kleinste Markierung eines Lineals beispielsweise 0,1 cm und wird 4,5 cm abgelesen, so ergibt sich ein Abstand von 4,5 (±0,1 cm) bzw. 4,4 cm bis 4,6 cm. In der Praxis lässt sich eine Messung jedoch meist genauer schätzen als der Abstand zwischen den kleinsten Markierungen des Lineals, z. B. im obigen Fall auf 4,51 cm bis 4,53 cm. ^{[ 15 ]}

Es ist auch möglich, dass die Gesamtlänge eines Lineals nicht bis auf die kleinste Markierung genau ist und die Markierungen innerhalb jeder Einheit ungleichmäßig verteilt sind. Bei einem normalen, qualitativ hochwertigen Lineal sollte es jedoch möglich sein, die Zehntel zwischen den beiden nächstgelegenen Markierungen abzuschätzen, um eine zusätzliche Dezimalstelle Genauigkeit zu erreichen. ^{[ 16 ]} Wird dies nicht beachtet, addiert sich der Ablesefehler zum Kalibrierungsfehler des Lineals.

Bei der Schätzung des Anteils von Individuen mit einem bestimmten Merkmal in einer Population anhand einer Zufallsstichprobe dieser Population sollte die Anzahl der signifikanten Stellen die durch die Stichprobengröße zulässige maximale Genauigkeit nicht überschreiten.

Traditionell bezeichnet „Genauigkeit“ in verschiedenen technischen Bereichen die Nähe eines Messwerts zu seinem wahren Wert; „Präzision“ hingegen die Stabilität dieser Messung bei wiederholter Durchführung. Daher ist es möglich, „präzise falsch“ zu liegen. Um der tatsächlichen Verwendung des Begriffs „Genauigkeit“ in der Wissenschaft Rechnung zu tragen, existiert die neuere Norm ISO 5725. Sie behält die Definition von Präzision bei, definiert aber „Richtigkeit“ als die Nähe eines Messwerts zu seinem wahren Wert und verwendet den Begriff „Genauigkeit“ als Kombination aus Richtigkeit und Präzision. (Eine ausführliche Erläuterung finden Sie im Artikel zu Genauigkeit und Präzision .) In beiden Fällen entspricht die Anzahl der signifikanten Stellen annähernd der Präzision , nicht der Genauigkeit oder dem neueren Konzept der Richtigkeit.

Computergestützte Darstellungen von Gleitkommazahlen verwenden eine Form des Rundens auf signifikante Stellen (wobei die genaue Anzahl in der Regel nicht erfasst wird), im Allgemeinen bei Binärzahlen . Die Anzahl der korrekten signifikanten Stellen steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff des relativen Fehlers (der den Vorteil hat, ein genaueres Präzisionsmaß zu sein und unabhängig von der Basis des verwendeten Zahlensystems ist ) .

Elektronische Taschenrechner mit einem speziellen Anzeigemodus für signifikante Stellen sind relativ selten.

Zu den Taschenrechnern, die ähnliche Funktionen unterstützen, gehören der Commodore M55 Mathematician (1976) ^{[ 17 ]} und der S61 Statistician (1976), ^{[ 18 ],} die zwei Anzeigemodi unterstützen, wobei DISP+ insgesamt nn signifikante Stellen anzeigt , während + + n Dezimalstellen anzeigt . DISP.n

Die Grafikrechnerfamilien TI-83 Plus (1999) und TI-84 Plus (2004) von Texas Instruments unterstützen einen Sig-Fig-Rechnermodus, in dem der Rechner die Anzahl der signifikanten Stellen eingegebener Zahlen ermittelt und diese in eckigen Klammern hinter der entsprechenden Zahl anzeigt. Die Berechnungsergebnisse werden ebenfalls so angepasst, dass nur die signifikanten Stellen angezeigt werden. ^{[ 19 ]}

Für die auf dem HP 20b / 30b basierenden, von der Community entwickelten Taschenrechner WP 34S (2011) und WP 31S (2014) stehen die Anzeigemodi für signifikante Stellen + und + (mit Nullauffüllung) als Kompilierzeitoption zur Verfügung . ^{[ 20 ] [ 21 ]} Die auf dem SwissMicros DM42 basierenden, von der Community entwickelten Taschenrechner WP 43C (2019) ^{[ 22 ]}  / C43 (2022) / C47 (2023) unterstützen ebenfalls einen Anzeigemodus für signifikante Stellen. SIGnSIG0n

• Delury, DB (1958). „Rechnungen mit Näherungszahlen“. The Mathematics Teacher . 51 (7): 521–30 . doi : 10.5951/MT.51.7.0521 . JSTOR  27955748 .
• Bond, EA (1931). „Signifikante Stellen bei Berechnungen mit Näherungszahlen“. The Mathematics Teacher . 24 (4): 208–12 . doi : 10.5951/MT.24.4.0208 . JSTOR  27951340 .
• ASTM E29-06b, Standardverfahren zur Verwendung signifikanter Stellen in Prüfdaten zur Bestimmung der Konformität mit Spezifikationen

• Video „Bedeutende Persönlichkeiten“ von der Khan Academy
• Häufig gestellte Fragen zur Dezimalarithmetik – Ist die Dezimalarithmetik „Signifikanz“-Arithmetik?
• Erweiterte Methoden zum Umgang mit Unsicherheit (Archiviert am 15.04.2009 in der Wayback Machine) und einige Erläuterungen zu den Unzulänglichkeiten der Signifikanzarithmetik und der signifikanten Stellen.
• Rechner für signifikante Stellen – Zeigt eine Zahl mit der gewünschten Anzahl signifikanter Stellen an.
• Messungen und Unsicherheiten versus signifikante Stellen oder signifikante Ziffern (Archiviert am 15.04.2009 in der Wayback Machine) – Richtige Methoden zur Angabe von Unsicherheiten, einschließlich einer detaillierten Diskussion der Probleme mit dem Konzept der signifikanten Stellen.