Gegenseitige Exklusivität

In der Logik und Wahrscheinlichkeitstheorie sind zwei Ereignisse (oder Aussagen) einander ausschließend oder disjunkt , wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können. Ein anschauliches Beispiel ist der Münzwurf, bei dem entweder Kopf oder Zahl erscheinen kann, aber nicht beides.

Im Beispiel des Münzwurfs sind beide Ergebnisse theoretisch vollständig , d. h. mindestens eines der Ergebnisse muss eintreten, sodass diese beiden Möglichkeiten zusammen alle Möglichkeiten abdecken. ^{[ 1 ]} Allerdings sind nicht alle sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse vollständig. Beispielsweise schließen sich die Ergebnisse 1 und 4 eines einzelnen Wurfs mit einem sechsseitigen Würfel gegenseitig aus (beide können nicht gleichzeitig eintreten), sind aber nicht vollständig (es gibt weitere mögliche Ergebnisse: 2, 3, 5, 6).

In der Logik schließen sich zwei Aussagen gegenseitig aus, wenn es logisch unmöglich ist , dass sie gleichzeitig wahr sind; das heißt, „ ist eine Tautologie“. Wenn man sagt, dass sich mehr als zwei Aussagen gegenseitig ausschließen, bedeutet das je nach Kontext entweder 1. „ ist eine Tautologie“ (es ist logisch unmöglich, dass mehr als eine Aussage wahr ist) oder 2. „ ist eine Tautologie“ (es ist logisch unmöglich, dass alle Aussagen gleichzeitig wahr sind). Der Begriff „paarweiser Ausschluss“ meint immer die erste Variante. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \lnot (\phi \land \psi )}$${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2})\land \lnot (\phi _{1}\land \phi _{3})\land \lnot (\phi _{2}\land \phi _{3})}$${\displaystyle \lnot (\phi _{1}\land \phi _{2}\land \phi _{3})}$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie heißen Ereignisse E₁ , E₂ _, ..., Eₙ _{disjunkt ,} wenn das Eintreten eines dieser Ereignisse das Nichteintreten der übrigen n  − 1 Ereignisse impliziert. Daher können zwei disjunkte Ereignisse nicht gleichzeitig eintreten. Formal ausgedrückt: Eine Menge disjunkter Ereignisse ist genau dann disjunkt , wenn für jedes beliebige n − 1 gilt: n ^{− 1 ...}${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{i},E_{j}\in X}$${\displaystyle E_{i}\neq E_{j}}$${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$${\displaystyle P(A\cap B)=0}$

In einem Standard-Kartenspiel mit 52 Karten und zwei Farben ist es beispielsweise unmöglich, eine Karte zu ziehen, die sowohl rot als auch Kreuz ist, da Kreuz immer schwarz ist. Zieht man nur eine Karte, erhält man entweder eine rote Karte (Herz oder Karo) oder eine schwarze Karte (Kreuz oder Pik). Wenn A und B sich gegenseitig ausschließen, gilt: P( A ∪ B ) = P( A ) + P( B ) . ^{[ 3 ]} Um beispielsweise die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, eine rote oder eine Kreuzkarte zu ziehen, addiert man die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen, und die Wahrscheinlichkeit, eine Kreuzkarte zu ziehen. In einem Standard-Kartenspiel mit 52 Karten gibt es 26 rote und 13 Kreuzkarten: 26/52 + 13/52 = 39/52 oder 3/4.

Um sowohl eine rote als auch eine Kreuzkarte zu ziehen, muss man mindestens zwei Karten ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dafür hängt davon ab, ob die erste gezogene Karte vor dem zweiten Ziehen zurückgelegt wurde, da ohne Zurücklegen nach dem ersten Ziehen eine Karte weniger im Spiel ist. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse (rot und Kreuz) werden multipliziert, nicht addiert. Die Wahrscheinlichkeit, in zwei Zügen ohne Zurücklegen eine rote und eine Kreuzkarte zu ziehen, beträgt somit 26/52 × 13/51 × 2 = 676/2652 oder 13/51. Mit Zurücklegen beträgt die Wahrscheinlichkeit 26/52 × 13/52 × 2 = 676/2704 oder 13/52.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglicht das Wort „oder“ die Möglichkeit, dass beide Ereignisse eintreten. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines oder beider Ereignisse wird mit P( A ∪ B ) bezeichnet und entspricht allgemein P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ). ^{[ 3 ]} Wenn man also eine rote Karte oder einen König zieht, gilt das Ziehen eines roten Königs, einer roten Nicht-Königskarte oder eines schwarzen Königs als Erfolg. In einem Standardkartenspiel mit 52 Karten gibt es 26 rote Karten und vier Könige, von denen zwei rot sind. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte oder einen König zu ziehen, beträgt somit 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52.

Ereignisse sind kollektiv erschöpfend, wenn alle möglichen Ergebnisse durch diese Ereignisse abgedeckt sind, sodass mindestens eines dieser Ergebnisse eintreten muss. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse eintritt, ist gleich eins. ^{[ 4 ]} Beispielsweise gibt es theoretisch nur zwei Möglichkeiten, eine Münze zu werfen: Kopf und Zahl. Diese Ereignisse sind kollektiv erschöpfend, und die Wahrscheinlichkeit, entweder Kopf oder Zahl zu werfen, beträgt eins. Ereignisse können sich gegenseitig ausschließen und gleichzeitig kollektiv erschöpfend sein. ^{[ 4 ]} Im Fall eines Münzwurfs schließen sich Kopf und Zahl ebenfalls gegenseitig aus. Beide Ergebnisse können nicht bei einem einzigen Wurf (d. h., wenn eine Münze nur einmal geworfen wird) eintreten. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und die Wahrscheinlichkeit für Zahl ergeben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1: 1/2 + 1/2 = 1. ^{[ 5 ]}

In der Statistik und Regressionsanalyse wird eine unabhängige Variable , die nur zwei mögliche Werte annehmen kann, als Dummy-Variable bezeichnet . Sie kann beispielsweise den Wert 0 annehmen, wenn es sich bei der Beobachtung um eine weiße Person handelt, oder den Wert 1, wenn es sich um eine schwarze Person handelt. Die beiden möglichen Kategorien, die den beiden möglichen Werten zugeordnet sind, schließen sich gegenseitig aus, sodass keine Beobachtung in mehr als eine Kategorie fällt. Die Kategorien sind zudem erschöpfend, sodass jede Beobachtung mindestens einer Kategorie zugeordnet werden kann. Manchmal gibt es drei oder mehr mögliche Kategorien, die sich paarweise gegenseitig ausschließen und gemeinsam erschöpfend sind – beispielsweise unter 18 Jahren, 18 bis 64 Jahre und 65 Jahre oder älter. In diesem Fall wird ein Satz von Dummy-Variablen erstellt, wobei jede Dummy-Variable zwei sich gegenseitig ausschließende und gemeinsam erschöpfende Kategorien aufweist. In diesem Beispiel wäre eine Dummy-Variable (genannt D1 ₎ gleich 1, wenn das Alter unter 18 Jahren liegt, und ansonsten gleich 0 . Eine zweite Dummy-Variable (D₂ ₎ nimmt den Wert 1 an, wenn das Alter zwischen 18 und 64 Jahren liegt, und ansonsten den Wert 0. In diesem Modell können die Dummy-Variablenpaare (D₁ _, D₂ ₎ die Werte (1,0) (unter 18), (0,1) (zwischen 18 und 64) oder (0,0) (65 Jahre oder älter) annehmen (jedoch nicht (1,1), da dies fälschlicherweise bedeuten würde, dass eine beobachtete Person sowohl unter 18 als auch zwischen 18 und 64 Jahre alt ist). Anschließend können die Dummy-Variablen als unabhängige (erklärende) Variablen in eine Regression einbezogen werden. Die Anzahl der Dummy-Variablen ist stets um eins geringer als die Anzahl der Kategorien: Bei den zwei Kategorien „schwarz“ und „weiß“ genügt eine einzige Dummy-Variable, um diese zu unterscheiden, während bei den drei Alterskategorien zwei Dummy-Variablen benötigt werden.

Such qualitative data can also be used for dependent variables. For example, a researcher might want to predict whether someone gets arrested or not, using family income or race, as explanatory variables. Here the variable to be explained is a dummy variable that equals 0 if the observed subject does not get arrested and equals 1 if the subject does get arrested. In such a situation, ordinary least squares (the basic regression technique) is widely seen as inadequate; instead probit regression or logistic regression is used. Further, sometimes there are three or more categories for the dependent variable — for example, no charges, charges, and death sentences. In this case, the multinomial probit or multinomial logit technique is used.

• Contrariety
• Dichotomy
• Disjoint sets
• Double bind
• Event structure
• Oxymoron
• Synchronicity
• MECE principle (mutually exclusive and collectively exhaustive)

• Whitlock, Michael C.; Schluter, Dolph (2008). The Analysis of Biological Data. Roberts and Co. ISBN 978-0-9815194-0-1.
• Lind, Douglas A.; Marchal, William G.; Wathen, Samuel A. (2003). Basic Statistics for Business & Economics (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-247104-2.