Dimensionslosmachung und Skalierung der Navier-Stokes-Gleichungen

In der Strömungsmechanik bezeichnet die Dimensionslosmachung der Navier-Stokes-Gleichungen deren Umwandlung in eine dimensionslose Form . Dieses Verfahren kann die Analyse des jeweiligen Problems vereinfachen und die Anzahl der freien Parameter reduzieren . Kleine oder große Werte bestimmter dimensionsloser Parameter geben Aufschluss über die Bedeutung bestimmter Terme in den Gleichungen für die untersuchte Strömung. Dies ermöglicht es, Terme in (bestimmten Bereichen) der betrachteten Strömung zu vernachlässigen. Darüber hinaus sind dimensionslose Navier-Stokes-Gleichungen vorteilhaft, wenn ähnliche physikalische Situationen vorliegen – also Probleme, bei denen sich lediglich die Grunddimensionen des Systems ändern.

Die Skalierung der Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet den Prozess der Auswahl geeigneter räumlicher Skalen für eine bestimmte Strömungsart zur Dimensionslosmachung der Gleichung. Da die resultierenden Gleichungen dimensionslos sein müssen, ist eine geeignete Kombination von Parametern und Konstanten der Gleichungen sowie der Strömungscharakteristika (des Gebiets) zu finden. Durch diese Kombination reduziert sich die Anzahl der zu analysierenden Parameter, und die Ergebnisse können in Form der skalierten Variablen dargestellt werden .

Neben der Reduzierung der Parameteranzahl ermöglicht die Dimensionslosmachung der Gleichung ein besseres Verständnis der relativen Größe der verschiedenen Terme. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Durch die geeignete Wahl der Skalen für die Dimensionslosmachung lassen sich kleine Terme in der Gleichung identifizieren. Die Vernachlässigung der kleineren Terme gegenüber den größeren vereinfacht die Situation. Im Fall einer Strömung ohne Wärmeübertragung hängt die dimensionslose Navier-Stokes-Gleichung nur von der Reynolds-Zahl ab , sodass alle physikalischen Realisierungen des entsprechenden Experiments bei gleicher Reynolds-Zahl dieselben Werte der dimensionslosen Variablen aufweisen. ^{[ 3 ]}

Die Skalierung trägt zu einem besseren Verständnis der physikalischen Situation bei, da die Dimensionen der in der Gleichung enthaltenen Parameter variieren. Dies ermöglicht Experimente an kleineren Prototypen, vorausgesetzt, dass alle physikalischen Effekte, die nicht in der dimensionslosen Gleichung berücksichtigt werden, vernachlässigbar sind.

Die inkompressible Navier-Stokes-Impulsgleichung lautet:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

wobei ρ die Dichte , p der Druck , ν die kinematische Viskosität , u die Strömungsgeschwindigkeit und g das Beschleunigungsfeld des Körpers ist.

Die obige Gleichung kann durch Auswahl geeigneter Skalen wie folgt dimensionslos gemacht werden:

Skala	dimensionslose Variable
Länge L	${\displaystyle \mathbf {r} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {r} }{L}}}$Und${\displaystyle \nabla ^{*}\ =L\nabla }$
Strömungsgeschwindigkeit U	${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {u} }{U}}\,}$
Zeit L / U	${\displaystyle t^{*}\ ={\frac {t}{L/U}}\,}$
Druck : Auf der Druckskala findet keine natürliche Selektion statt.	Wo dynamische Effekte dominieren, d. h. Strömungen mit hoher Geschwindigkeit ${\displaystyle p^{*}={\frac {p}{\rho U^{2}}}}$ Wo viskose Effekte dominieren, d. h. bei Kriechströmungen ${\displaystyle p^{*}={\frac {pL}{\mu U}}}$

Durch Einsetzen der Skalen ergibt sich die dimensionslose Gleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} +{\frac {1}{Fr^{2}}}{\hat {g}}.}$[ 4 ]

1

wobei die Froude-Zahl und die Reynolds-Zahl ( ) ist. ${\displaystyle Fr}$${\displaystyle Re}$${\displaystyle Re=UL/\nu }$

Bei Strömungen, in denen viskose Kräfte dominieren, d. h. bei langsamen Strömungen mit hoher Viskosität, wird eine viskose Druckskala μ U / L verwendet. In Abwesenheit einer freien Oberfläche ergibt sich folgende Gleichung:

${\displaystyle Re\left({\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \right)\ =-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

2

Eine Skalierung der Gleichung ( 1 ) ist möglich, wenn der Trägheitsterm kleiner als der Viskositätsterm ist, d. h. wenn Re → 0, dann können die Trägheitsterme vernachlässigt werden, sodass nur noch die Gleichung einer Kriechbewegung übrig bleibt .

${\displaystyle Re{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

Solche Strömungen weisen tendenziell einen Einfluss der viskosen Wechselwirkung über große Entfernungen von einem Objekt auf. Bei niedrigen Reynolds-Zahlen reduziert sich dieselbe Gleichung auf eine Diffusionsgleichung , die als Stokes-Gleichung bezeichnet wird.

${\displaystyle -\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .}$

Analog dazu kann der viskose Anteil vernachlässigt werden, wenn Re → ∞, d. h. wenn die Trägheitskräfte dominieren. Die dimensionslose Euler-Gleichung für eine reibungsfreie Strömung lautet:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.}$^{[ 6 ]}

Die Dichteänderung aufgrund von Konzentration und Temperatur ist ein wichtiges Forschungsgebiet der doppelten diffusiven Konvektion . Werden Dichteänderungen aufgrund von Temperatur und Salzgehalt berücksichtigt, so ergeben sich weitere Terme zur Z-Komponente des Impulses wie folgt: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)}$

Hierbei ist S der Salzgehalt der Flüssigkeit, β _T der thermische Ausdehnungskoeffizient bei konstantem Druck und β _S der Koeffizient der Salzausdehnung bei konstantem Druck und konstanter Temperatur.

Dimensionslose Darstellung mithilfe der Skala:

${\displaystyle S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}}$Und${\displaystyle T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}}$

wir bekommen

${\displaystyle {\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}}$

Dabei bezeichnen S _{_T} und T_{_T} den Salzgehalt und die Temperatur der oberen Schicht, S _{_B} und T_{_B} den Salzgehalt und die Temperatur der unteren Schicht, Ra die Rayleigh-Zahl und Pr die Prandtl-Zahl . Das Vorzeichen von Ra_{_S} und Ra_{_T} ändert sich je nachdem, ob es das System stabilisiert oder destabilisiert.

• Y. Cengel und J. Cimbala, FLUID MECHANICS: Fundamentals and Applications, 4. Auflage, McGraw-Hill Education, 2018 (siehe S. 521, Abschnitt 10.2. Dimensionslose Bewegungsgleichungen).