Option auf realisierte Varianz

Im Finanzwesen ist eine Option auf realisierte Varianz (oder Varianzoption ) eine Art von Varianzderivaten. Dabei handelt es sich um derivative Wertpapiere, deren Auszahlung von der annualisierten realisierten Varianz der Rendite eines bestimmten Basiswerts abhängt, wie beispielsweise eines Aktienindex, einer Anleihe, eines Wechselkurses usw. Ein weiteres liquidierbares Wertpapier derselben Art ist der Varianzswap , also ein Terminkontrakt auf realisierte Varianz.

Ähnlich wie bei Standardoptionen geben Varianzoptionen dem Inhaber das Recht, aber nicht die Pflicht, die realisierte Varianz zu einem vereinbarten Preis (Varianz-Strike) zu einem späteren Zeitpunkt (Verfallstermin) zu kaufen oder zu verkaufen. Das Risiko beschränkt sich dabei ausschließlich auf die Preisvarianz selbst. Diese Eigenschaft ist für Händler interessant, da sie damit die zukünftige Volatilitätsentwicklung eines Basiswerts spekulieren und beispielsweise ein Portfolio gegen Kursschwankungen absichern können , ohne das Richtungsrisiko des Besitzes des Basiswerts einzugehen.

In der Praxis wird die annualisierte realisierte Varianz als die Summe der Quadrate der diskreten logarithmischen Renditen des jeweiligen Basiswerts definiert. Anders ausgedrückt: Wenn es Stichprobenpunkte der Basiswertpreise gibt, die zum Zeitpunkt beobachtet wurden, wobei für alle gilt , dann hat die mit bezeichnete realisierte Varianz die Form ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{2}},\dots ,S_{t_{n}}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle 0\leq t_{i-1}<t_{i}\leq T}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle RV_{d}:={\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}}$

Wo

• ${\displaystyle A}$ist ein annualisierter Faktor, der normalerweise so gewählt wird, dass er bei täglicher Preisüberwachung bzw. bei wöchentlicher oder monatlicher Beobachtung beträgt.${\displaystyle A=252}$${\displaystyle A=52}$${\displaystyle A=12}$
• ${\displaystyle T}$ist das Ablaufdatum der Option, das der Zahl entspricht${\displaystyle n/{A}.}$

Wenn man

• ${\displaystyle K_{\text{var}}^{C}}$einen Varianzschlag haben und
• ${\displaystyle L}$ein fiktiver Betrag, der die Auszahlungen in eine Geldeinheit umrechnet, beispielsweise USD oder GBP,

Die Auszahlungen bei Fälligkeit für die verkauften Call- und Put-Optionen (oder einfach Varianz-Call- und Put-Optionen) sind dann${\displaystyle RV_{d}}$

${\displaystyle (RV_{d}-K_{\text{var}}^{C})^{+}\times L}$

Und

${\displaystyle (K_{\text{var}}^{C}-RV_{d})^{+}\times L}$

jeweils.

Es ist zu beachten, dass die annualisierte realisierte Varianz auch durch kontinuierliches Sampling definiert werden kann, was zu einer quadratischen Variation des zugrunde liegenden Preises führt. Das heißt, wenn wir annehmen, dass diese die momentane Volatilität des Preisprozesses bestimmt, dann ${\displaystyle \sigma (t)}$

${\displaystyle RV_{c}:={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds}$

definiert die annualisierte realisierte Varianz bei kontinuierlicher Abtastung, die sich auch als Grenzwert in der Wahrscheinlichkeit der diskreten Form erweist ^{[ 1 ]} d.h.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }RV_{d}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln ^{2}{\Big (}{\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}{\Big )}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sigma ^{2}(s)ds=RV_{c}}$Die

Dieser Ansatz wird jedoch nur zur Annäherung an den diskreten Ansatz verwendet, da Verträge mit realisierter Varianz in der Praxis auf Basis der diskreten Stichprobenmethode abgeschlossen werden.

Angenommen, unter einem risikoneutralen Maß löst der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts das zeitlich variable Black-Scholes- Modell wie folgt: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle S=(S_{t})_{0\leq t\leq T}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=r(t)\,dt+\sigma (t)\,dW_{t},\;\;S_{0}>0}$

Wo:

• ${\displaystyle r(t)\in \mathbb {R} }$ist der (zeitlich variable) risikofreie Zinssatz,
• ${\displaystyle \sigma (t)>0}$ist (zeitlich variable) Preisvolatilität, und
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$ist eine Brownsche Bewegung unter dem gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum, wobei die natürliche Filtration von ist .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle W}$

Unter diesen Bedingungen kann im Falle einer Varianzkündigung deren fairer Preis zum Zeitpunkt t durch den erwarteten Barwert ihrer Auszahlungsfunktion ermittelt werden, d. h .${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$

${\displaystyle C_{t_{0}}^{\operatorname {var} }:=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[(RV_{(\cdot )}-K_{\operatorname {var} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}],}$

wobei für diskrete und für kontinuierliche Stichproben gilt. Mithilfe der Put-Call-Parität lässt sich der Put-Wert ermitteln, sobald bekannt ist. Die Lösung kann analytisch mit einer ähnlichen Methodik wie bei der Black-Scholes -Herleitung gefunden werden, sobald die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bekannt ist , oder mithilfe von Näherungsverfahren wie der Monte-Carlo-Methode . ${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{d}}$${\displaystyle RV_{(\cdot )}=RV_{c}}$${\displaystyle C_{t_{0}}^{\text{var}}}$${\displaystyle RV_{(\cdot )}}$

• Varianztausch
• Volatilitätstausch
• Volatilität (Finanzen)
• Volatilitätsrisiko