SABR-Volatilitätsmodell

In der Finanzmathematik ist das SABR-Modell ein stochastisches Volatilitätsmodell , das versucht, die Volatilitätskurve auf den Derivatemärkten abzubilden . Der Name steht für „ stochastisches Alpha , Beta und Rho “ und bezieht sich auf die Modellparameter. Das SABR-Modell findet breite Anwendung in der Finanzbranche, insbesondere auf den Märkten für Zinsderivate . Es wurde von Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew Lesniewski und Diana Woodward entwickelt. ^{[ 1 ]}

Das SABR-Modell beschreibt einen einzelnen Terminkontrakt , wie beispielsweise einen LIBOR -Terminsatz , einen Terminswap-Satz oder einen Terminkurs einer Aktie. Es ist einer der Standards, die Marktteilnehmer zur Angabe von Volatilitäten verwenden. Die Volatilität des Terminkontrakts wird durch einen Parameter beschrieben . SABR ist ein dynamisches Modell, in dem sowohl als auch durch stochastische Zustandsvariablen dargestellt werden, deren zeitliche Entwicklung durch das folgende System stochastischer Differentialgleichungen beschrieben wird : ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},}$

mit den vorgegebenen Werten zum Zeitpunkt null (derzeit beobachtet) und . Hierbei sind und zwei korrelierte Wiener-Prozesse mit dem Korrelationskoeffizienten : ${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle -1<\rho <1}$

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

Die konstanten Parameter erfüllen die Bedingungen . ist ein Volatilitätsparameter. ist die momentane Korrelation zwischen dem Basiswert und seiner Volatilität. Die Anfangsvolatilität bestimmt die Höhe der impliziten Volatilität am Geldmarkt . Sowohl die Korrelation als auch bestimmen die Steigung der impliziten Schiefe. Die Volatilität der Volatilität bestimmt deren Krümmung. ${\displaystyle \beta ,\;\alpha }$${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

Die obige Dynamik ist eine stochastische Version des CEV-Modells mit dem Schiefeparameter : Tatsächlich reduziert sie sich auf das CEV-Modell, wenn Der Parameter wird oft als Volvol bezeichnet und hat die Bedeutung der logarithmischen Normalvolatilität des Volatilitätsparameters . ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma }$

Wir betrachten eine europäische Option (beispielsweise eine Call-Option) auf einen Terminkurs mit einem Ausübungspreis von , die in Jahren verfällt . Der Wert dieser Option entspricht dem entsprechend diskontierten Erwartungswert der Auszahlung gemäß der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses . ${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$${\displaystyle F_{t}}$

Bis auf die Spezialfälle und ist keine geschlossene Formel für diese Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt. Der allgemeine Fall lässt sich näherungsweise durch eine asymptotische Entwicklung im Parameter lösen . Unter typischen Marktbedingungen ist dieser Parameter klein, und die Näherungslösung ist recht genau. Zudem besitzt diese Lösung eine relativ einfache Funktionsform, ist sehr leicht in Computercode zu implementieren und eignet sich hervorragend für das Risikomanagement großer Optionsportfolios in Echtzeit. ${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$

Es ist zweckmäßig, die Lösung mithilfe der impliziten Volatilität der Option auszudrücken. Dazu zwingen wir den SABR-Modellpreis der Option in die Form der Bewertungsformel des Black-Modells . Die implizite Volatilität, also der Wert des lognormalen Volatilitätsparameters im Black-Modell, der die Übereinstimmung mit dem SABR-Preis erzwingt, ergibt sich dann näherungsweise wie folgt: ${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},}$

Zur Verdeutlichung haben wir gesetzt . Die Formel ist für undefiniert , daher ersetzen wir sie durch ihren Grenzwert für , der durch Ersetzen des Faktors durch 1 gegeben ist. Der Wert bezeichnet einen geeignet gewählten Mittelwert zwischen und (wie beispielsweise das geometrische oder das arithmetische Mittel ). Wir haben außerdem gesetzt. ${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$${\displaystyle K=F_{0}}$${\displaystyle K\to F_{0}}$${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}}$${\displaystyle F_{\text{mid}}}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),}$

Und

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

Die in die obige Formel eingesetzte Funktion ist gegeben durch ${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

Alternativ lässt sich der SABR-Preis mithilfe des Bachelier -Modells ausdrücken. Die implizite normale Volatilität kann dann asymptotisch mit folgendem Ausdruck berechnet werden:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

Es ist erwähnenswert, dass die implizite Volatilität nach SABR im Allgemeinen etwas genauer ist als die implizite Volatilität nach logarithmischer Normalverteilung.

Die Genauigkeit der Approximation und der Grad der Arbitrage können weiter verbessert werden, wenn die äquivalente Volatilität unter dem CEV-Modell mit demselben Wert für die Optionspreisberechnung verwendet wird. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \beta }$

Eine Erweiterung des SABR-Modells für negative Zinssätze , die in den letzten Jahren an Popularität gewonnen hat, ist das verschobene SABR-Modell, bei dem angenommen wird, dass der verschobene Terminzins einem SABR-Prozess folgt.

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

für eine positive Entwicklung . Da Verschiebungen in den Marktnotierungen enthalten sind und es eine intuitive, weiche Grenze dafür gibt, wie negativ die Zinsen werden können, hat sich die Verwendung von verschobenen SABR-Zinsen als bewährte Marktpraxis etabliert, um negative Zinsen zu berücksichtigen. ${\displaystyle s}$

Das SABR-Modell kann auch so modifiziert werden, dass es negative Zinssätze abdeckt :

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

for ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$ and a free boundary condition for ${\displaystyle F=0}$. Its exact solution for the zero correlation as well as an efficient approximation for a general case are available.^[3] An obvious drawback of this approach is the a priori assumption of potential highly negative interest rates via the free boundary.

Although the asymptotic solution is very easy to implement, the density implied by the approximation is not always arbitrage-free, especially not for very low strikes (it becomes negative or the density does not integrate to one).

One possibility to "fix" the formula is use the stochastic collocation method and to project the corresponding implied, ill-posed, model on a polynomial of an arbitrage-free variables, e.g. normal. This will guarantee equality in probability at the collocation points while the generated density is arbitrage-free.^[4] Using the projection method analytic European option prices are available and the implied volatilities stay very close to those initially obtained by the asymptotic formula.

Another possibility is to rely on a fast and robust PDE solver on an equivalent expansion of the forward PDE, that preserves numerically the zero-th and first moment, thus guaranteeing the absence of arbitrage.^[5]

The SABR model can be extended by assuming its parameters to be time-dependent. This however complicates the calibration procedure. An advanced calibration method of the time-dependent SABR model is based on so-called "effective parameters".^[6]

Alternatively, Guerrero and Orlando^[7] show that a time-dependent local stochastic volatility (SLV) model can be reduced to a system of autonomous PDEs that can be solved using the heat kernel, by means of the Wei-Norman factorization method and Lie algebraic techniques. Explicit solutions obtained by said techniques are comparable to traditional Monte Carlo simulations allowing for shorter time in numerical computations.

Da der stochastische Volatilitätsprozess einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt , ist seine exakte Simulation unkompliziert. Die Simulation des Forward-Asset-Prozesses ist jedoch keine triviale Aufgabe. Typischerweise werden Taylor-basierte Simulationsverfahren wie Euler-Maruyama oder Milstein herangezogen . Kürzlich wurden neue Methoden für die nahezu exakte Monte-Carlo-Simulation des SABR-Modells vorgeschlagen. ^{[ 8 ]} Umfangreiche Studien zum SABR-Modell wurden in jüngster Zeit durchgeführt. ^{[ 9 ]} Für das normale SABR-Modell ( ohne Randbedingung bei ) ist eine geschlossene Simulationsmethode bekannt. ^{[ 10 ]}${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle F=0}$

• Volatilität (Finanzen)
• Stochastische Volatilität
• Risikoneutrale Maßnahme

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• Bartlett, Bruce (Februar 2006). „Hedging nach dem SABR-Modell“ (PDF) . Wilmott . Archiviert vom Original (PDF) am 30.12.2020 . Abgerufen am 30.04.2022 .
• Hagan, Patrick; Lesniewski, Andrew (30.04.2008). „LIBOR-Marktmodell mit stochastischer Volatilität im SABR-Stil“ (PDF) . Archiviert vom Original (PDF) am 03.03.2022 . Abgerufen am 30.04.2022 .
• Hagan, Patrick S.; Kumar, Deep; Lesniewski, Andrew S.; Woodward, Diana E. (29.01.2014). „Arbitragefreies SABR“ . Wilmott . Band 2014, Nr. 69, S.  60–75 . doi : 10.1002/wilm.10290 . Abgerufen am 30.04.2022 .
• Obloj, Jan (18.03.2008). „Feinabstimmung Ihres Lächelns – Korrektur an Hagan et al.“ arXiv : 0708.0998 [ q-fin.CP ].
• West, Graeme. „Eine Zusammenfassung der Ansätze zum SABR-Modell für die Smile-Kurve von Aktienderivaten“ . Riskworx . Archiviert vom Original am 14.09.2015 . Abgerufen am 30.04.2022 .
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• Jordan, Richard; Tier, Charles (2011-05-17). „Asymptotische Näherungen für CEV- und SABR-Modelle“. SSRN  1850709 .
• „SABR-Kalibrierung“ . 26.12.2012. Archiviert vom Original am 27.05.2016 . Abgerufen am 30.04.2022 .
• Antonov, Alexandre; Spector, Michael (2012-03-23). ​​„Advanced Analytics for the SABR Model“. SSRN  2026350 .
• Antonov, Alexandre; Konikov, Michael; Spector, Michael (02.05.2019). Moderne SABR-Analytik: Formeln und Erkenntnisse für Quantitative Analysten, ehemalige Physiker und Mathematiker (Springer Briefs in Quantitative Finance), 1. Auflage . doi : 10.1007/978-3-030-10656-0 . ISBN 978-3-030-10655-3ISSN  2192-7014 . S2CID  182484805 .​Pressemitteilung , New York, NY – 24. Juni 2019
• Gulisashvili, Archil; Horvath, Blanka; Jacquier, Antoine (Jack) (2016-11-22). „Masse bei Null im unkorrelierten SABR-Modell und implizite Volatilitätsasymptotik“. SSRN  2563510 .