Quantor (Logik)

In der Logik ist ein Quantor ein Operator, der angibt, wie viele Individuen im Diskursbereich eine offene Formel erfüllen . Beispielsweise drückt der Allquantor in der Prädikatenlogik erster Stufe aus, dass alles im Bereich die durch bezeichnete Eigenschaft erfüllt . Der Existenzquantor hingegen drückt aus, dass es etwas im Bereich gibt, das diese Eigenschaft erfüllt. Eine Formel, in der ein Quantor den weitesten Geltungsbereich hat, wird als quantifizierte Formel bezeichnet. Eine quantifizierte Formel muss eine gebundene Variable und eine Teilformel enthalten , die eine Eigenschaft des Bezugsobjekts dieser Variable spezifiziert. ${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \forall xP(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \exists xP(x)}$

Die gebräuchlichsten Quantoren sind ∅ und ∅ . Diese Quantoren werden üblicherweise als Duale definiert ; in der klassischen Logik kann jeder ∅ durch Negation des anderen definiert werden . Sie können auch zur Definition komplexerer Quantoren verwendet werden, wie in der Formel ∅ , die ausdrückt, dass nichts die Eigenschaft ∅ besitzt . Andere Quantoren sind nur in der Prädikatenlogik zweiter Stufe oder in Logiken höherer Stufe definierbar . Die Verallgemeinerung von Quantoren begann mit den Arbeiten von Andrzej Mostowski und Per Lindström . ${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \neg \exists xP(x)}$${\displaystyle P}$

In einer Prädikatenlogik erster Stufe können Quantifizierungen desselben Typs (Allgemeinquantifizierungen oder Existenzquantifizierungen) ausgetauscht werden, ohne die Bedeutung der Aussage zu verändern. Der Austausch von Quantifizierungen unterschiedlicher Typen hingegen verändert die Bedeutung. Beispielsweise besteht der einzige Unterschied zwischen der Definition von gleichmäßiger und gewöhnlicher Stetigkeit in der Reihenfolge der Quantifizierungen.

Quantoren erster Stufe nähern sich der Bedeutung einiger Quantoren der natürlichen Sprache wie „einige“ und „alle“ an. Viele Quantoren der natürlichen Sprache können jedoch nur mithilfe verallgemeinerter Quantoren analysiert werden .

Für einen endlichen Diskursbereich ist die universell quantifizierte Formel äquivalent zur logischen Konjunktion . Dual dazu ist die existenziell quantifizierte Formel äquivalent zur logischen Disjunktion . Ist beispielsweise die Menge der Binärziffern , so ergibt die Formel , was zu wahr ausgewertet wird . ${\displaystyle D=\{a_{1},...a_{n}\}}$${\displaystyle \forall x\in D\;P(x)}$${\displaystyle P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})}$${\displaystyle \exists x\in D\;P(x)}$${\displaystyle P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})}$${\displaystyle B=\{0,1\}}$${\displaystyle \forall x\in B\;x=x^{2}}$${\displaystyle 0=0^{2}\land 1=1^{2}}$

Betrachten Sie die folgende Aussage (unter Verwendung der Punktnotation für die Multiplikation):

Dies erweckt den Anschein einer unendlichen Konjunktion von Aussagen. Aus der Sicht formaler Sprachen stellt dies unmittelbar ein Problem dar, da Syntaxregeln endliche Aussagen erzeugen sollen . Eine prägnante, äquivalente Formulierung, die diese Probleme vermeidet, verwendet die Allquantifizierung :

Eine ähnliche Analyse gilt für die Disjunktion .

was sich mithilfe der Existenzquantifizierung umformulieren lässt :

Es ist möglich, abstrakte Algebren zu entwickeln , deren Modelle formale Sprachen mit Quantifizierung beinhalten , doch die Fortschritte sind langsam und das Interesse an solchen Algebren begrenzt. Bislang wurden drei Ansätze entwickelt:

• Die Relationalgebra wurde von Augustus De Morgan erfunden und von Charles Sanders Peirce , Ernst Schröder , Alfred Tarski und dessen Schülern weiterentwickelt. Sie kann keine Formel mit mehr als dreifach verschachtelten Quantoren darstellen. Überraschenderweise gehören die axiomatische Mengenlehre ZFC und die Peano-Arithmetik zu den Modellen der Relationalgebra .
• Die Zylinderalgebra wurde von Alfred Tarski , Leon Henkin und anderen entwickelt;
• Die polyadische Algebra von Paul Halmos .

Die beiden gebräuchlichsten Quantoren sind der Allquantor und der Existenzquantor. Das traditionelle Symbol für den Allquantor ist „ ∀ “, ein gedrehter Buchstabe „ A “, der für „für alle“ oder „alle“ steht. Das entsprechende Symbol für den Existenzquantor ist „ ∃ “, ein gedrehter Buchstabe „ E “, der für „es existiert“ oder „es gibt“ steht. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Ein Beispiel für die Übersetzung einer quantifizierten Aussage in eine natürliche Sprache wie Englisch wäre folgendes: Gegeben sei die Aussage „Jeder von Peters Freunden tanzt entweder gern oder geht gern an den Strand (oder beides)“. Wichtige Aspekte lassen sich identifizieren und mithilfe von Symbolen, einschließlich Quantoren, umschreiben. Sei X die Menge aller Freunde von Peter, P ( x ) das Prädikat „ x tanzt gern“ und Q (x ) das Prädikat „ x geht gern an den Strand“. Dann lässt sich der obige Satz in formaler Notation wie folgt schreiben: P( x) = Q ( x ) , was bedeutet: „Für jedes x, das ein Element von X ist , gilt P ( x) oder Q( x) für x .“ ${\displaystyle \forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))}$

Einige andere quantifizierte Ausdrücke werden wie folgt konstruiert:

• ${\displaystyle \exists {x}\,P}$^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

für eine Formel P. Diese beiden Ausdrücke (unter Verwendung der obigen Definitionen) werden gelesen als „Es gibt einen Freund von Peter, der gerne tanzt“ bzw. „Alle Freunde von Peter tanzen gerne“. Varianten der Notation sind für die Menge X und Mengenelemente x :

• ${\displaystyle \bigvee _{x}P}$
• ${\displaystyle (\exists {x})P}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle (\exists x\ .\ P)}$
• ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$
• ${\displaystyle (\exists x:P)}$
• ${\displaystyle \exists {x}(P)}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$
• ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

Alle diese Varianten gelten auch für die Allquantifizierung. Weitere Varianten des Allquantors sind:

• ${\displaystyle \bigwedge _{x}P}$
• ${\displaystyle \bigwedge xP}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle (x)\,P}$^{[ 7 ]}

Manche Versionen der Notation erwähnen explizit den Quantifizierungsbereich. Der Quantifizierungsbereich muss immer angegeben werden; für eine gegebene mathematische Theorie kann dies auf verschiedene Weisen geschehen:

• Man geht davon aus, dass jeder Quantifizierung ein fester Diskursbereich zugeordnet ist, wie es in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre üblich ist .
• Legen Sie im Voraus mehrere Diskursbereiche fest und fordern Sie, dass jede Variable einen deklarierten Bereich besitzt, der ihrem Typ entspricht . Dies ist analog zur Situation in statisch typisierten Programmiersprachen , in denen Variablen deklarierte Typen haben.
• Geben Sie den Quantifizierungsbereich explizit an, vielleicht unter Verwendung eines Symbols für die Menge aller Objekte in diesem Bereich (oder für den Typ der Objekte in diesem Bereich).

Unter bestimmten Einschränkungen, bei denen keine Variablenerfassung stattfindet, kann jede Variable anstelle einer anderen als quantifizierte Variable verwendet werden . Selbst wenn die Notation typisierte Variablen verwendet, können Variablen dieses Typs verwendet werden.

Umgangssprachlich oder im natürlichen Sprachgebrauch kann „∀ x “ oder „∃ x “ nach oder mitten in P ( x ) stehen. Formal wird die Phrase, die die Dummy-Variable einführt, jedoch vorangestellt.

Mathematische Formeln vermischen symbolische Ausdrücke für Quantoren mit Quantoren der natürlichen Sprache wie zum Beispiel:

Zu den Schlüsselwörtern für die Quantifizierung von Einzigartigkeit gehören:

Des Weiteren kann x durch ein Pronomen ersetzt werden . Zum Beispiel:

Die Reihenfolge der Quantoren ist für die Bedeutung entscheidend, wie die folgenden beiden Aussagen veranschaulichen:

Das ist eindeutig richtig; es besagt lediglich, dass jede natürliche Zahl ein Quadrat besitzt. Die Bedeutung der Aussage, in der die Reihenfolge der Quantoren umgekehrt ist, ist eine andere:

Das ist eindeutig falsch; es behauptet, dass es genau eine natürliche Zahl s gibt , die das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist. Das liegt daran, dass die Syntax vorschreibt, dass eine Variable keine Funktion von nachfolgend eingeführten Variablen sein kann.

Ein weniger triviales Beispiel aus der Analysis betrifft die Begriffe der gleichmäßigen und punktweisen Stetigkeit, deren Definitionen sich nur durch den Austausch der Positionen zweier Quantoren unterscheiden. Eine Funktion f von ℝ nach ℝ heißt stetig.

• Punktweise stetig, wenn$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$
• Gleichmäßig stetig, wenn$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$

Im ersten Fall kann der gewählte Wert für δ eine Funktion sowohl von ε als auch von x , den vorhergehenden Variablen, sein. Im zweiten Fall kann δ nur eine Funktion von ε sein (d. h., es muss unabhängig von x gewählt werden ). Beispielsweise erfüllt f ( x ) = x² ^die punktweise, aber nicht die gleichmäßige Stetigkeit (seine Steigung ist unbeschränkt). Im Gegensatz dazu ändert das Vertauschen der beiden einleitenden Allquantoren in der Definition der punktweisen Stetigkeit nichts an der Bedeutung.

Als allgemeine Regel gilt: Das Vertauschen zweier benachbarter Allquantoren mit gleichem Geltungsbereich (oder das Vertauschen zweier benachbarter Existenzquantoren mit gleichem Geltungsbereich) ändert nichts an der Bedeutung der Formel (siehe Beispiel hier ), aber das Vertauschen eines Existenzquantors und eines benachbarten Allquantors kann ihre Bedeutung verändern.

Die maximale Verschachtelungstiefe von Quantoren in einer Formel wird als ihr „ Quantorenrang “ bezeichnet.

Wenn D ein Definitionsbereich von x ist und P ( x ) ein Prädikat ist, das von der Objektvariablen x abhängt , dann kann die universelle Aussage wie folgt ausgedrückt werden:

$${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$$

Diese Notation wird als eingeschränkte, relativierte oder beschränkte Quantifizierung bezeichnet . Äquivalent dazu kann man schreiben:

$${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$$

Der Existenzsatz kann mit beschränkter Quantifizierung ausgedrückt werden als

$${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$$

oder gleichwertig

$${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$$

Zusammen mit der Negation genügt entweder der Allquantor oder der Existenzquantor, um beide Aufgaben zu erfüllen:

$${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

Dies zeigt, dass man zum Widerlegen einer Aussage „für alle x “ lediglich ein x finden muss, für das das Prädikat falsch ist. Ebenso verhält es sich mit …

$${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

Um eine Aussage „Es existiert ein x “ zu widerlegen, muss man zeigen, dass das Prädikat für alle x falsch ist .

In der klassischen Logik ist jede Formel logisch äquivalent zu einer Formel in Pränexnormalform , d. h. einer Folge von Quantoren und gebundenen Variablen, gefolgt von einer quantorenfreien Formel.

Jede Quantifizierung beinhaltet eine spezifische Variable und einen Diskursbereich oder Quantifizierungsbereich dieser Variable. Der Quantifizierungsbereich legt die Menge der Werte fest, die die Variable annehmen kann. In den obigen Beispielen ist der Quantifizierungsbereich die Menge der natürlichen Zahlen. Die Angabe des Quantifizierungsbereichs ermöglicht es uns, den Unterschied zwischen der Aussage, dass ein Prädikat für eine natürliche Zahl oder für eine reelle Zahl gilt, auszudrücken . In mathematischen Konventionen werden oft bestimmte Variablennamen reserviert, wie z. B. „ n “ für natürliche Zahlen und „ x “ für reelle Zahlen. Sich ausschließlich auf Namenskonventionen zu verlassen, ist jedoch im Allgemeinen nicht zielführend, da sich die Wertebereiche von Variablen im Verlauf einer mathematischen Argumentation ändern können.

Eine universell quantifizierte Formel über einem leeren Bereich (wie z. B. ) ist immer trivial wahr . Umgekehrt ist eine existenziell quantifizierte Formel über einem leeren Bereich (wie z. B. ) immer falsch. ${\displaystyle \forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x}$${\displaystyle \exists x\!\in \!\varnothing \;x=x}$

Eine natürlichere Methode zur Einschränkung des Diskursbereichs ist die Verwendung von kontrollierter Quantifizierung . Zum Beispiel die kontrollierte Quantifizierung

bedeutet

In einigen mathematischen Theorien wird ein einziger, im Voraus festgelegter Diskursbereich vorausgesetzt. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre beispielsweise durchlaufen Variablen alle Mengen. In diesem Fall können geschützte Quantoren verwendet werden, um einen kleineren Quantifizierungsbereich nachzubilden. Um dies im obigen Beispiel auszudrücken, …

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre würde man schreiben:

wobei N die Menge aller natürlichen Zahlen ist.

Die mathematische Semantik ist die Anwendung mathematischer Methoden zur Untersuchung der Bedeutung von Ausdrücken in einer formalen Sprache. Sie besteht aus drei Elementen: einer mathematischen Spezifikation einer Objektklasse mittels Syntax , einer mathematischen Spezifikation verschiedener semantischer Domänen und der Beziehung zwischen beiden, die üblicherweise als Funktion von syntaktischen Objekten zu semantischen Objekten ausgedrückt wird. Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit der Interpretation von Quantoren. Die Syntax einer Formel kann durch einen Syntaxbaum dargestellt werden. Ein Quantor hat einen Gültigkeitsbereich , und das Vorkommen einer Variablen x ist frei , sofern es nicht innerhalb des Gültigkeitsbereichs einer Quantifizierung dieser Variablen liegt.

$${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$$

Das Auftreten von x und y in C ( y , x ) ist frei, während das Auftreten von x und y in B ( y , x ) gebunden (d.h. nicht frei) ist.

Eine Interpretation des Prädikatenkalküls erster Stufe geht von einer gegebenen Menge von Individuen X aus . Eine Formel A mit den freien Variablen _x₁ , ..., xₙ wird als boolesche Funktion F ( v₁ _, ..., vₙ ₎ mit n Argumenten interpretiert, wobei jedes Argument den Bereich X durchläuft . Boolesch bedeutet, dass die Funktion einen der Werte W (wahr) oder F (falsch) annimmt _. Die Interpretation der Formel

$${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

_Die Funktion G mit n - 1 Argumenten ist _definiert als G ( v₁ , ..., vₙ₋₁ ) = T genau dann, wenn F ( v₁ _, ..., vₙ₋₁ , w ) = T für alle w ∈ X _gilt . Wenn F ( v₁ _, ..., vₙ₋₁ , w ) = F für mindestens einen Wert von w _gilt , dann _{ist auch} G ( v₁ _, ..., vₙ₋₁ ) = F. Analog _{lässt sich die} Formel interpretieren _.

$${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

ist die Funktion H von n -1 Argumenten, sodass H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = T genau dann gilt, wenn F ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T für mindestens ein w gilt und H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = F sonst.

Die Semantik für die Eindeutigkeitsquantifizierung erfordert Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit. Dies bedeutet, dass ein ausgezeichnetes zweistelliges Prädikat "=" gegeben ist; die Semantik wird entsprechend modifiziert, sodass "=" immer als zweistellige Gleichheitsrelation auf X interpretiert wird . Die Interpretation von

$${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

dann ist die Funktion von n - 1 Argumenten, welche die logische UND- Verknüpfung der Interpretationen von

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exists x_{n}&A(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\forall y,z&{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z{\big )}.\end{aligned}}}$$

Jede Art von Quantifizierung definiert einen entsprechenden Abschlussoperator auf der Formelmenge, indem für jede freie Variable x ein Quantor hinzugefügt wird, der x bindet . ^{[ 9 ]} Beispielsweise ist der existentielle Abschluss der offenen Formel n > 2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ die abgeschlossene Formel ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n > 2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ); letztere Formel ist, interpretiert über den positiven ganzen Zahlen, nach dem Fermatschen Satz falsch . Ein weiteres Beispiel: Gleichungsaxiome wie x + y = y + x bezeichnen üblicherweise ihren universellen Abschluss , wie etwa ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ), um die Kommutativität auszudrücken .

Keiner der zuvor besprochenen Quantifizierer ist auf eine Quantifizierung wie beispielsweise … anwendbar.

Ein möglicher Interpretationsmechanismus lässt sich wie folgt herleiten: Angenommen, zusätzlich zu einem semantischen Bereich X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf X definiert, und es gelten Abschneidezahlen 0 < a ≤ b ≤ 1. Wenn A eine Formel mit freien Variablen x₁ , _... , xₙ _ist , deren Interpretation die Funktion F der Variablen v₁ _, ..., vₙ ist _, dann ist die Interpretation von

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

ist die Funktion von v ₁ ,..., v _{n -1,} die genau dann T ist, wenn

$${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$$

und F andernfalls. Ebenso ist die Interpretation von

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

ist die Funktion von v ₁ ,..., v _{n -1,} die genau dann F ist, wenn

$${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$$

und T andernfalls.

Im Laufe der Zeit wurden einige weitere Quantoren vorgeschlagen. Insbesondere der Lösungsquantor ^{[ 10 ] : 28,} der mit § ( Abschnittszeichen ) gekennzeichnet ist und „jene“ lautet. Zum Beispiel

$${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$$

wird gelesen als „diejenigen n ∈ N , für die ^n² ≤ 4 in {0,1,2} liegt“. Dieselbe Konstruktion lässt sich in Mengenschreibweise ausdrücken als

$${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$$

Im Gegensatz zu den anderen Quantoren liefert § eine Menge und keine Formel. ^{[ 11 ]}

Weitere in der Mathematik manchmal verwendete Quantoren sind:

• Es gibt unendlich viele Elemente, die...
• Für alle bis auf endlich viele Elemente... (manchmal auch ausgedrückt als "für fast alle Elemente...").
• Es gibt unzählige Elemente, die...
• Für alle bis auf eine abzählbare Anzahl von Elementen...
• Für alle Elemente einer Menge mit positivem Maß...
• Für alle Elemente außer denen einer Menge vom Maß Null...

Die Termlogik , auch aristotelische Logik genannt, behandelt Quantifizierungen auf eine Weise, die der natürlichen Sprache näherkommt und sich weniger für formale Analysen eignet. Im 4. Jahrhundert v. Chr. behandelte die Termlogik die Begriffe „ Alle“ , „Einige “ und „Keinen“ und berührte dabei auch die alethischen Modalitäten .

Im Jahr 1827 veröffentlichte George Bentham seinen Entwurf eines neuen Systems der Logik: Mit einer kritischen Untersuchung von Dr. Whatelys Elementen der Logik , in dem er das Prinzip des Quantors beschrieb, aber das Buch fand keine weite Verbreitung. ^{[ 12 ]}

William Hamilton beanspruchte, die Begriffe „quantifizieren“ und „Quantifizierung“ geprägt zu haben, höchstwahrscheinlich in seinen Vorlesungen in Edinburgh um 1840. Augustus De Morgan bestätigte dies 1847, aber der moderne Gebrauch begann mit De Morgan im Jahr 1862, als er Aussagen traf wie: „Wir müssen sowohl ‚ alle‘ als auch ‚einige-nicht-alle‘ als Quantoren einbeziehen.“ ^{[ 13 ]}

Gottlob Frege verwendete in seiner 1879 erschienenen Begriffsschrift als Erster einen Quantor, um eine Variable zu binden, die einen Diskursbereich umfasst und in Prädikaten auftritt . Er quantifizierte eine Variable (oder Relation) universell, indem er die Variable über eine Delle in einer ansonsten geraden Linie seiner diagrammatischen Formeln schrieb. Frege entwickelte keine explizite Notation für die Existenzquantifizierung, sondern verwendete stattdessen sein Äquivalent von ~∀ x ~, die Kontraposition . Freges Behandlung der Quantifizierung blieb weitgehend unbeachtet bis zu Bertrand Russells 1903 erschienenen „Principles of Mathematics“ .

In Arbeiten, die in Peirces Aufsatz „Über die Algebra der Logik: Ein Beitrag zur Philosophie der Notation“ von 1885 gipfelten, erfanden Charles Sanders Peirce und sein Schüler Oscar Howard Mitchell unabhängig voneinander den Allquantor, den Existenzquantor und gebundene Variablen . Peirce und Mitchell schrieben Π _x und Σ _x, wo wir heute ∀ x und ∃ x schreiben . Peirces Notation findet sich in den Schriften von Ernst Schröder , Leopold Loewenheim , Thoralf Skolem und polnischen Logikern bis in die 1950er Jahre. Besonders hervorzuheben ist ihre Notation in Kurt Gödels bahnbrechendem Aufsatz von 1930 zur Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe und in seinem Aufsatz von 1931 zur Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik . Per Martin-Löf verwendete eine ähnliche Notation für abhängige Produkte und Summen in seiner intuitionistischen Typentheorie , die begrifflich mit der Quantifizierung verwandt sind.

Peirces Ansatz zur Quantifizierung beeinflusste auch William Ernest Johnson und Giuseppe Peano , die eine weitere Notation einführten: ( x ) für die Allquantifizierung von x und (1897) ∃x für die Existenzquantifizierung von x . Jahrzehntelang war daher die kanonische Notation in Philosophie und mathematischer Logik ( x ) P für „Alle Individuen im Diskursbereich besitzen die Eigenschaft P “ und „(∃x ) P “ für „Es existiert mindestens ein Individuum im Diskursbereich mit der Eigenschaft P “. Peano, der weitaus bekannter war als Peirce, trug maßgeblich zur Verbreitung von dessen Gedankengut in ganz Europa bei. Peanos Notation wurde von Whitehead und Russell in ihren „Principia Mathematica“ , von Quine und von Alonzo Church übernommen . 1935 führte Gentzen in Analogie zu Peanos ∃-Symbol das Symbol ∀ ein. ∀ wurde erst in den 1960er Jahren kanonisch.

Um 1895 begann Peirce mit der Entwicklung seiner Existenzgraphen , deren Variablen als stillschweigend quantifiziert betrachtet werden können. Ob die oberflächlichste Instanz einer Variable gerade oder ungerade ist, bestimmt, ob die Quantifizierung dieser Variable universell oder existenziell ist. (Oberflächlichkeit ist das Gegenteil von Tiefe, die durch die Verschachtelung von Negationen bestimmt wird.) Peirces grafische Logik hat in den letzten Jahren bei Forschern im Bereich heterogener Argumentation und diagrammatischer Inferenz Beachtung gefunden .

• Absolute Allgemeinheit
• Fast alle
• Verzweigungsquantor
• Konditionaler Quantor
• Zählquantifizierung
• Schließlich (Mathematik)
• Generalisierter Quantor – eine Eigenschaft höherer Ordnung, die als Standardsemantik quantifizierter Nominalphrasen verwendet wird
• Lindström-Quantor – ein verallgemeinerter polyadischer Quantor
• Quantorenverschiebung

• Barwise, Jon und Etchemendy, John , 2000. Sprachbeweis und Logik . CSLI (University of Chicago Press) und New York: Seven Bridges Press. Eine leicht verständliche Einführung in die Prädikatenlogik erster Stufe von zwei erstklassigen Logikern.
• Brown, Christopher W. (31. Juli 2002). „Was ist Quantoreneliminierung?“ . Abgerufen am 30. August 2018 .
• Frege, Gottlob , 1879. Begriffsschrift . Übersetzt in: Jean van Heijenoort , 1967. Von Frege zu Gödel: Ein Quellenbuch zur mathematischen Logik, 1879–1931 . Harvard University Press. Das erste Auftreten der Quantifizierung.
• Hilbert, David ; und Ackermann, Wilhelm , 1950 (1928). Principles of Mathematical Logic . Chelsea. Übersetzung von Grundzüge der theoretischen Logik . Springer-Verlag. In der Erstausgabe von 1928 wurde die Quantifizierung erstmals bewusst in der heute üblichen Weise eingesetzt, nämlich als bindende Variablen, die einen festen Diskursbereich umfassen. Dies ist das definierende Merkmal der Prädikatenlogik erster Stufe .
• Peirce, C. S. , 1885, „Über die Algebra der Logik: Ein Beitrag zur Philosophie der Notation“, American Journal of Mathematics , Bd. 7, S. 180–202. Nachgedruckt in: Kloesel, N. et al. (Hrsg.), 1993. Writings of C. S. Peirce, Bd. 5. Indiana University Press. Dies ist das erste Auftreten der Quantifizierung in einer Form, die ihrer heutigen ähnelt.
• Reichenbach, Hans , 1975 (1947). Elemente der symbolischen Logik , Dover Publications. Die Quantoren werden in den Kapiteln §18 „Bindung von Variablen“ bis §30 „Ableitungen aus synthetischen Prämissen“ behandelt.
• Westerståhl, Dag, 2001, „Quantoren“, in Goble, Lou, Hrsg., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• Wiese, Heike, 2003. Zahlen, Sprache und der menschliche Geist . Cambridge University Press. ISBN 0-521-83182-2Die

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• Stanford Encyclopedia of Philosophy :
  • Shapiro, Stewart (2000). „Klassische Logik“ (Behandelt Syntax, Modelltheorie und Metatheorie der Prädikatenlogik erster Stufe im Stil der natürlichen Deduktion.)
  • Westerståhl, Dag (2005). „Generalisierte Quantoren“
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). „Quantifiers“. Archiviert am 16.07.2012 im Internet Archive.