Lügengruppe

In der Mathematik ist eine Lie-Gruppe (ausgesprochen / l iː / Lee ) eine Gruppe , die gleichzeitig eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist , sodass sowohl die Gruppenmultiplikation als auch die Bildung von Inversen differenzierbar sind.

Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal dem euklidischen Raum ähnelt , während Gruppen den abstrakten Begriff einer binären Operation sowie die zusätzlichen Eigenschaften definieren, die diese besitzen muss, um als „Transformation“ im abstrakten Sinne verstanden werden zu können, beispielsweise Multiplikation und Inversbildung (zur Ermöglichung der Division) oder äquivalent dazu den Begriff der Addition und Subtraktion. Durch die Kombination dieser beiden Ideen erhält man eine stetige Gruppe , in der die Multiplikation von Punkten und ihren Inversen stetig ist. Sind Multiplikation und Inversbildung zudem glatt (differenzierbar), so erhält man eine Lie-Gruppe.

Lie-Gruppen bieten ein natürliches Modell für das Konzept der kontinuierlichen Symmetrie ; ein bekanntes Beispiel hierfür ist die Kreisgruppe . Die Rotation eines Kreises ist ein Beispiel für eine kontinuierliche Symmetrie. Für jede Rotation des Kreises existiert dieselbe Symmetrie ^{[ 1 ]} , und die Verkettung solcher Rotationen ergibt die Kreisgruppe, ein archetypisches Beispiel einer Lie-Gruppe. Lie-Gruppen finden in vielen Bereichen der modernen Mathematik und Physik breite Anwendung .

Lie - Gruppen wurden erstmals durch die Untersuchung von Matrixuntergruppen in den Gruppen der invertierbaren Matrizen über bzw. gefunden . Diese werden heute als klassische Gruppen bezeichnet , da das Konzept weit über diese Ursprünge hinaus erweitert wurde. Lie-Gruppen sind nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie (1842–1899) benannt , der die Grundlagen der Theorie der stetigen Transformationsgruppen legte. Lies ursprüngliche Motivation für die Einführung von Lie-Gruppen bestand darin, die stetigen Symmetrien von Differentialgleichungen zu modellieren , ähnlich wie endliche Gruppen in der Galoistheorie zur Modellierung der diskreten Symmetrien algebraischer Gleichungen verwendet werden . ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Sophus Lie betrachtete den Winter 1873/74 als Geburtsstunde seiner Theorie der stetigen Gruppen. ^{[ 2 ]} Thomas Hawkins hingegen vermutet, dass Lies immense Forschungstätigkeit in den vier Jahren vom Herbst 1869 bis zum Herbst 1873 zur Entstehung der Theorie führte. ^{[ 2 ]} Einige von Lies frühen Ideen entstanden in enger Zusammenarbeit mit Felix Klein . Lie traf sich von Oktober 1869 bis 1872 täglich mit Klein: von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870 in Berlin und in den darauffolgenden zwei Jahren in Paris, Göttingen und Erlangen. ^{[ 3 ]} Lie gab an, alle wesentlichen Ergebnisse bis 1884 erzielt zu haben. Doch in den 1870er Jahren wurden all seine Arbeiten (mit Ausnahme der ersten Notiz) in norwegischen Fachzeitschriften veröffentlicht, was die Anerkennung seiner Arbeit im übrigen Europa erschwerte. ^{[ 4 ]} Im Jahr 1884 kam der junge deutsche Mathematiker Friedrich Engel zu Lie, um mit ihm an einer systematischen Abhandlung zu arbeiten, die seine Theorie der stetigen Gruppen darlegen sollte. Aus dieser Arbeit entstand die dreibändige Theorie der Transformationsgruppen , die 1888, 1890 und 1893 veröffentlicht wurde. Der Begriff „ groupes de Lie“ tauchte erstmals 1893 in der Dissertation von Lies Schüler Arthur Tresse im Französischen auf. ^{[ 5 ]}

Lies Ideen standen nicht isoliert von der übrigen Mathematik. Sein Interesse an der Geometrie von Differentialgleichungen wurde vielmehr durch die Arbeiten von Carl Gustav Jacobi zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung und zu den Gleichungen der klassischen Mechanik geweckt . Viele von Jacobis Arbeiten wurden in den 1860er Jahren posthum veröffentlicht und stießen in Frankreich und Deutschland auf großes Interesse. ^{[ 6 ]} Lies zentrales Anliegen war die Entwicklung einer Theorie der Symmetrien von Differentialgleichungen, die für diese das leisten sollte, was Évariste Galois für algebraische Gleichungen erreicht hatte: nämlich ihre Klassifizierung mithilfe der Gruppentheorie. Lie und andere Mathematiker zeigten, dass die wichtigsten Gleichungen für spezielle Funktionen und orthogonale Polynome tendenziell aus gruppentheoretischen Symmetrien hervorgehen. In Lies frühen Arbeiten verfolgte er das Ziel, eine Theorie stetiger Gruppen zu entwickeln , um die Theorie diskreter Gruppen zu ergänzen, die sich in der Theorie der Modulformen unter der Leitung von Felix Klein und Henri Poincaré entwickelt hatte . Lies ursprüngliche Anwendung bezog sich auf die Theorie der Differentialgleichungen . Ausgehend vom Modell der Galoistheorie und der Polynomgleichungen war die treibende Idee eine Theorie, die durch die Untersuchung von Symmetrien das gesamte Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen vereinheitlichen könnte . Die Hoffnung, dass die Lie-Theorie das gesamte Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen vereinheitlichen würde, erfüllte sich jedoch nicht. Symmetriemethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen werden zwar weiterhin erforscht, dominieren das Gebiet aber nicht. Es existiert eine Differential-Galoistheorie , die jedoch von anderen Forschern wie Picard und Vessiot entwickelt wurde und eine Theorie der Quadraturen , der unbestimmten Integrale zur Darstellung von Lösungen, liefert .

Zusätzliche Anregungen zur Betrachtung stetiger Gruppen kamen von Bernhard Riemanns Ideen zu den Grundlagen der Geometrie und deren Weiterentwicklung durch Klein. So vereinte Lie drei Hauptthemen der Mathematik des 19. Jahrhunderts in seiner neuen Theorie:

• Die Idee der Symmetrie, wie sie Galois am Beispiel des algebraischen Gruppenbegriffs veranschaulichte ;
• Geometrische Theorie und die expliziten Lösungen der Differentialgleichungen der Mechanik, ausgearbeitet von Poisson und Jacobi;
• Das neue Verständnis von Geometrie , das in den Werken von Plücker , Möbius , Grassmann und anderen entstand und in Riemanns revolutionärer Vision des Fachs gipfelte.

Obwohl Sophus Lie heute zu Recht als Begründer der Theorie stetiger Gruppen gilt, leistete Wilhelm Killing einen bedeutenden Beitrag zur Entwicklung ihrer Strukturtheorie, die die weitere Entwicklung der Mathematik tiefgreifend beeinflussen sollte. Er veröffentlichte 1888 die erste Arbeit einer Reihe mit dem Titel „ Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen “ ^{[ 7 ]} . Killings Arbeit, später von Élie Cartan verfeinert und verallgemeinert , führte zur Klassifizierung halbeinfacher Lie-Algebren , Cartans Theorie der symmetrischen Räume und Hermann Weyls Beschreibung von Darstellungen kompakter und halbeinfacher Lie-Gruppen mit höchsten Gewichten .

Im Jahr 1900 stellte David Hilbert die Lie-Theoretiker mit seinem fünften Problem auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris vor.

Weyl trug maßgeblich zur Entwicklung der Theorie der Lie-Gruppen bei, indem er nicht nur irreduzible Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen klassifizierte und die Gruppentheorie mit der Quantenmechanik verknüpfte, sondern auch Lies Theorie selbst festigte, indem er die Unterscheidung zwischen Lies infinitesimalen Gruppen (d. h. Lie-Algebren) und den eigentlichen Lie-Gruppen klar herausarbeitete und Untersuchungen zur Topologie von Lie-Gruppen einleitete. ^{[ 8 ]} Die Theorie der Lie-Gruppen wurde in einer Monographie von Claude Chevalley systematisch in moderner mathematischer Sprache neu formuliert .

Lie-Gruppen sind glatte, differenzierbare Mannigfaltigkeiten und können daher – im Gegensatz zu allgemeineren topologischen Gruppen – mithilfe der Differentialrechnung untersucht werden . Eine der Kernideen der Theorie der Lie-Gruppen besteht darin, das globale Objekt, die Gruppe, durch ihre lokale oder linearisierte Version zu ersetzen, die Lie selbst als seine „infinitesimale Gruppe“ bezeichnete und die seither als seine Lie-Algebra bekannt ist .

Lie-Gruppen spielen in der modernen Geometrie auf verschiedenen Ebenen eine enorme Rolle. Felix Klein argumentierte in seinem Erlanger Programm , dass man verschiedene „Geometrien“ betrachten kann , indem man eine geeignete Transformationsgruppe festlegt, die bestimmte geometrische Eigenschaften invariant lässt . So entspricht die euklidische Geometrie der Wahl der Gruppe E(3) der abstandserhaltenden Transformationen des euklidischen Raums , die ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$konforme Geometrie der Erweiterung der Gruppe zur konformen Gruppe , während man sich in der projektiven Geometrie für die unter der projektiven Gruppe invarianten Eigenschaften interessiert . Diese Idee führte später zum Begriff der G -Struktur , wobei G eine Lie-Gruppe der „lokalen“ Symmetrien einer Mannigfaltigkeit ist.

Lie-Gruppen (und ihre zugehörigen Lie-Algebren) spielen eine wichtige Rolle in der modernen Physik, wobei die Lie-Gruppe typischerweise die Funktion einer Symmetrie eines physikalischen Systems übernimmt. Hierbei sind die Darstellungen der Lie-Gruppe (oder ihrer Lie-Algebra ) von besonderer Bedeutung. Die Darstellungstheorie findet in der Teilchenphysik breite Anwendung . Gruppen, deren Darstellungen von besonderer Wichtigkeit sind, umfassen die Rotationsgruppe SO(3) (oder ihre doppelte Überlagerung SU(2) ), die spezielle unitäre Gruppe SU(3) und die Poincaré-Gruppe .

Auf globaler Ebene liefert die Wirkung einer Lie-Gruppe auf ein geometrisches Objekt, wie etwa eine Riemannsche oder eine symplektische Mannigfaltigkeit , ein Maß für dessen Rigidität und führt zu einer reichhaltigen algebraischen Struktur. Das Vorhandensein stetiger Symmetrien, die durch die Wirkung einer Lie-Gruppe auf eine Mannigfaltigkeit ausgedrückt werden, legt starke Beschränkungen für deren Geometrie fest und erleichtert die Analyse der Mannigfaltigkeit. Lineare Wirkungen von Lie-Gruppen sind besonders wichtig und werden in der Darstellungstheorie untersucht .

In den 1940er und 1950er Jahren erkannten Ellis Kolchin , Armand Borel und Claude Chevalley , dass sich viele grundlegende Ergebnisse über Lie-Gruppen vollständig algebraisch entwickeln lassen. Dies führte zur Theorie der algebraischen Gruppen über einem beliebigen Körper . Diese Erkenntnis eröffnete neue Möglichkeiten in der reinen Algebra, indem sie eine einheitliche Konstruktion für die meisten endlichen einfachen Gruppen lieferte , sowie in der algebraischen Geometrie . Die Theorie der automorphen Formen , ein wichtiger Zweig der modernen Zahlentheorie , befasst sich ausführlich mit Analoga von Lie-Gruppen über Adele-Ringen ; p -adische Lie-Gruppen spielen dabei aufgrund ihrer Verbindungen zu Galois-Darstellungen in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Eine reelle Lie-Gruppe ist eine Gruppe , die gleichzeitig eine endlichdimensionale reelle glatte Mannigfaltigkeit ist , in der die Gruppenoperationen Multiplikation und Inversion glatte Abbildungen sind . Glattheit der Gruppenmultiplikation

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

Das bedeutet, dass es sich um eine stetige Abbildung der Produktmannigfaltigkeit in handelt . Die beiden Anforderungen lassen sich zu der einen Anforderung zusammenfassen, dass die Abbildung ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G\times G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (x,y)\in G\times G\mapsto x^{-1}y}$

sei eine glatte Abbildung des Produktmannigfaltigkeitsfeldes in . ${\displaystyle G}$

• Die reellen invertierbaren Matrizen bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe, die als allgemeine lineare Gruppe vom Grad 2 bezeichnet und mit oder notiert wird. Dies ist eine vierdimensionale , nichtkompakte reelle Lie-Gruppe und eine offene Teilmenge von . Diese Gruppe ist unzusammenhängend ; sie besitzt zwei Zusammenhangskomponenten, die Matrizen mit positiven bzw. negativen Determinanten enthalten .${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$
• Die Rotationsmatrizen bilden eine Untergruppe von ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$ , die mit ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$ bezeichnet wird . Sie ist selbst eine Lie-Gruppe: genauer gesagt eine eindimensionale, kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, die diffeomorph zum Kreis ist . Mithilfe des Rotationswinkels als Parameter lässt sich diese Gruppe wie folgt parametrisieren : Die Addition der Winkel entspricht der Multiplikation der Elemente von ⁠ ⁠ , und die Bildung des entgegengesetzten Winkels entspricht der Inversion. Somit sind sowohl Multiplikation als auch Inversion differenzierbare Abbildungen.${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\ 2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$
• Die affine Gruppe einer Dimension ist eine zweidimensionale Matrix-Lie-Gruppe, bestehend aus reellen oberen Dreiecksmatrizen, deren erstes Diagonalelement positiv und deren zweites Diagonalelement negativ ist . Somit besteht die Gruppe aus Matrizen der Form${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$$${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$$

Wir präsentieren nun ein Beispiel einer Gruppe mit überabzählbar vielen Elementen, die bezüglich einer bestimmten Topologie keine Lie-Gruppe ist. Die gegebene Gruppe lautet:

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

Mit einer festen irrationalen Zahl ist eine Untergruppe des Torus , die keine Lie-Gruppe ist, wenn die Unterraumtopologie gegeben ist . [ 9 ^{] Betrachtet man} beispielsweise eine kleine Umgebung eines Punktes in , so ist der Teil von in unzusammenhängend . Die Gruppe windet sich wiederholt um den Torus , ohne jemals einen vorherigen Punkt der Spirale zu erreichen, und bildet somit eine dichte Untergruppe von .${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle h}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

Die Gruppe kann jedoch auch eine andere Topologie erhalten, in der der Abstand zwischen zwei Punkten als die Länge des kürzesten Pfades in der Gruppe definiert ist, der diese beiden Punkte verbindet . In dieser Topologie wird die Gruppe homöomorph mit der reellen Zahlengeraden identifiziert, indem jedes Element mit der Zahl in der Definition der Gruppe identifiziert wird . Mit dieser Topologie ist die Gruppe der reellen Zahlen bezüglich der Addition und somit eine Lie-Gruppe. ${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Die Gruppe ist ein Beispiel für eine „ Lie-Untergruppe “ einer nicht abgeschlossenen Lie-Gruppe. Siehe dazu die Erläuterungen zu Lie-Untergruppen im Abschnitt über grundlegende Konzepte. ${\displaystyle H}$

Sei die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit Einträgen in . Jede abgeschlossene Untergruppe von ist eine Lie-Gruppe; ^{[ 10 ]} Lie-Gruppen dieser Art werden Matrix-Lie-Gruppen genannt. Da sich die meisten interessanten Beispiele von Lie-Gruppen als Matrix-Lie-Gruppen realisieren lassen, beschränken sich einige Lehrbücher, darunter die von Hall, ^{[ 11 ]} Rossmann, ^{[ 12 ]} und Stillwell. ^{[ 13 ]} Die Beschränkung auf Matrix-Lie-Gruppen vereinfacht die Definition der Lie-Algebra und der Exponentialabbildung. Im Folgenden sind Standardbeispiele für Matrix-Lie-Gruppen aufgeführt. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

• Die speziellen linearen Gruppen über und , und , bestehend aus Matrizen mit Determinante und Einträgen in oder${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Die unitären Gruppen und speziellen unitären Gruppen , und ⁠ ⁠ , bestehend aus komplexen Matrizen, die (und auch im Fall von ) erfüllen, wobei die konjugiert Transponierte von ist${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$${\displaystyle \det(U)=1}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle U^{*}}$${\displaystyle U}$
• Die orthogonalen Gruppen und speziellen orthogonalen Gruppen , und ⁠ ⁠ , bestehend aus reellen Matrizen, die (und auch im Fall von ) erfüllen, wobei die Transponierte von ist${\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$${\displaystyle \det(R)=1}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle R^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle R}$

Alle vorhergehenden Beispiele fallen unter die Kategorie der klassischen Gruppen .

Eine komplexe Lie-Gruppe wird analog dazu mithilfe komplexer Mannigfaltigkeiten anstelle reeller Mannigfaltigkeiten (Beispiel: ) und holomorpher Abbildungen definiert. Analog lässt sich mithilfe einer alternativen metrischen Vervollständigung von eine p - adische Lie-Gruppe über den p -adischen Zahlen definieren , einer topologischen Gruppe, die zugleich eine analytische p -adische Mannigfaltigkeit ist, sodass die Gruppenoperationen analytisch sind. Insbesondere besitzt jeder Punkt eine p -adische Umgebung. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Hilberts fünftes Problem fragte, ob sich durch das Ersetzen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten durch topologische oder analytische Mannigfaltigkeiten neue Beispiele finden lassen. Die Antwort darauf war negativ: 1952 zeigten Gleason , Montgomery und Zippin , dass es für jede topologische Mannigfaltigkeit G mit stetigen Gruppenoperationen genau eine analytische Struktur auf G gibt , die sie in eine Lie-Gruppe überführt (siehe auch die Hilbert-Smith-Vermutung ). Ist die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit unendlichdimensional (beispielsweise eine Hilbert-Mannigfaltigkeit ), so gelangt man zum Begriff der unendlichdimensionalen Lie-Gruppe. Es lassen sich Analoga vieler Lie-Gruppen über endlichen Körpern definieren , und diese liefern die meisten Beispiele endlicher einfacher Gruppen .

Die Sprache der Kategorientheorie liefert eine prägnante Definition für Lie-Gruppen: Eine Lie-Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten. Dies ist wichtig, da es die Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Gruppe zu Lie-Supergruppen ermöglicht . Dieser kategorientheoretische Blickwinkel führt auch zu einer anderen Verallgemeinerung von Lie-Gruppen, nämlich zu Lie-Gruppoiden , die Gruppoidobjekte in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten mit einer weiteren Bedingung sind.

Eine Lie-Gruppe kann als ( Hausdorffsche ) topologische Gruppe definiert werden , die in der Nähe des neutralen Elements wie eine Transformationsgruppe aussieht, ohne Bezug auf differenzierbare oder topologische Mannigfaltigkeiten. ^{[ 14 ]} Genauer gesagt ist eine Lie-Gruppe definiert als eine topologische Gruppe, die (1) in der Nähe der neutralen Elemente lokal isomorph zu einer Matrix-Lie-Gruppe, einer abgeschlossenen Untergruppe von , ist und (2) höchstens abzählbar viele Zusammenhangskomponenten besitzt. ^{[ a ]} ​​Der Nachweis der Äquivalenz der topologischen Definition zur üblichen ist technisch (und Anfänger sollten den folgenden Abschnitt überspringen), lässt sich aber grob wie folgt durchführen: ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. Gegeben eine Lie-Gruppe G im üblichen Sinne einer Mannigfaltigkeit, konstruiert die Korrespondenz zwischen Lie-Gruppe und Lie-Algebra (oder eine Version des dritten Satzes von Lie ) eine abgeschlossene Lie-Untergruppe , deren Elemente dieselbe Lie-Algebra besitzen; ^{[ b ]} daher sind sie lokal isomorph. Folglich erfüllt die Gruppe die obige topologische Definition.${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G,G'}$${\displaystyle G}$
2. Umgekehrt sei G eine topologische Gruppe, die im obigen topologischen Sinne eine Lie-Gruppe ist, und wir wählen eine Matrix-Lie-Gruppe , die lokal isomorph zu G um die jeweiligen neutralen Elemente ist. Dann ist G nach einer Version des Satzes über abgeschlossene Untergruppen eine reell-analytische Mannigfaltigkeit , und durch den lokalen Isomorphismus erhält G in der Nähe des neutralen Elements die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Man zeigt dann, dass das Gruppengesetz auf G durch formale Potenzreihen gegeben werden kann ; ^{[ c ]} sodass die Gruppenoperationen reell-analytisch sind und G selbst eine reell-analytische Mannigfaltigkeit ist.${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$

Die topologische Definition besagt, dass zwei Lie-Gruppen, die als topologische Gruppen isomorph sind, auch als Lie-Gruppen isomorph sind. Sie formuliert das allgemeine Prinzip, dass die Topologie einer Lie-Gruppe zusammen mit dem Gruppengesetz weitgehend ihre Geometrie bestimmt.

Lie-Gruppen treten in Mathematik und Physik in großer Zahl auf. Matrixgruppen oder algebraische Gruppen sind (grob gesagt) Gruppen von Matrizen (zum Beispiel orthogonale und symplektische Gruppen ), und diese liefern die meisten der gebräuchlichsten Beispiele für Lie-Gruppen.

Die einzigen zusammenhängenden Lie - Gruppen der Dimension eins sind die reellen Zahlen (mit der Addition als Gruppenoperation) und die Kreisgruppe der komplexen Zahlen mit dem Betrag eins (mit der Multiplikation als Gruppenoperation). Die Gruppe wird oft als die Gruppe der unitären Matrizen bezeichnet. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$${\displaystyle 1\times 1}$

In zwei Dimensionen lassen sich einfach zusammenhängende Gruppen anhand ihrer Lie-Algebren klassifizieren. Bis auf Isomorphie existieren nur zwei zweidimensionale Lie-Algebren. Die zugehörigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen sind (mit Vektoraddition als Gruppenoperation) und die affine Gruppe in Dimension eins, die im vorherigen Unterabschnitt unter „Erste Beispiele“ beschrieben wurde. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• Die Gruppe SU(2) ist die Gruppe der unitären Matrizen mit Determinante ⁠ ⁠ . Topologisch ist sie die ⁠ ⁠ -Sphäre ⁠ ⁠ ; als Gruppe kann sie mit der Gruppe der Einheitsquaternionen identifiziert werden .${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S^{3}}$
• Die Heisenberg-Gruppe ist eine zusammenhängende nilpotente Lie-Gruppe der Dimension ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ , die eine Schlüsselrolle in der Quantenmechanik spielt .
• Die Lorentz-Gruppe ist eine 6-dimensionale Lie-Gruppe linearer Isometrien des Minkowski-Raums .
• Die Poincaré-Gruppe ist eine 10-dimensionale Lie-Gruppe von affinen Isometrien des Minkowski-Raums.
• Die außergewöhnlichen Lie-Gruppen vom Typ G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ haben die Dimensionen 14, 52, 78, 133 und 248. Zusammen mit der Reihe A–B–C–D der einfachen Lie-Gruppen vervollständigen die außergewöhnlichen Gruppen die Liste der einfachen Lie-Gruppen.
• Die symplektische Gruppe besteht aus allen Matrizen, die die symplektische Form auf erhalten . Sie ist eine zusammenhängende Lie-Gruppe der Dimension .${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle 2n^{2}+n}$

Es gibt mehrere Standardmethoden, um neue Lie-Gruppen aus alten zu bilden:

• Das Produkt zweier Lie-Gruppen ist wieder eine Lie-Gruppe.
• Jede topologisch abgeschlossene Untergruppe einer Lie-Gruppe ist wieder eine Lie-Gruppe. Dies ist als Satz über abgeschlossene Untergruppen oder Satz von Cartan bekannt .
• Der Quotient einer Lie-Gruppe nach einem abgeschlossenen Normalteiler ist wieder eine Lie-Gruppe.
• Die universelle Überlagerung einer zusammenhängenden Lie-Gruppe ist wieder eine Lie -Gruppe. Beispielsweise ist die Gruppe die universelle Überlagerung der Kreisgruppe . Tatsächlich ist jede Überlagerung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, aber durch die Angabe einer universellen Überlagerung wird eine Gruppenstruktur garantiert (die mit ihren anderen Strukturen kompatibel ist).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

Einige Beispiele für Gruppen, die keine Lie-Gruppen sind (außer in dem trivialen Sinne, dass jede Gruppe mit höchstens abzählbar vielen Elementen als -dimensionale Lie-Gruppe mit der diskreten Topologie betrachtet werden kann ), sind: ${\displaystyle 0}$

• Unendlichdimensionale Gruppen, wie etwa die additive Gruppe eines unendlichdimensionalen reellen Vektorraums oder der Raum der glatten Funktionen von einer Mannigfaltigkeit in eine Lie-Gruppe , sind keine Lie-Gruppen, da sie keine endlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten sind.${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• Einige völlig unzusammenhängende Gruppen , wie die Galoisgruppe einer unendlichen Körpererweiterung oder die additive Gruppe der n-adischen Zahlen, sind keine Lie-Gruppen, da ihre zugrundeliegenden Räume keine reellen Mannigfaltigkeiten sind. (Einige dieser Gruppen sind „ n-adische Lie-Gruppen“.) Im Allgemeinen können nur topologische Gruppen, die ähnliche lokale Eigenschaften wie n für eine positive ganze Zahl n besitzen , Lie-Gruppen sein (selbstverständlich müssen sie auch eine differenzierbare Struktur aufweisen).${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$

Jeder Lie-Gruppe lässt sich eine Lie-Algebra zuordnen, deren zugrundeliegender Vektorraum der Tangentialraum der Lie-Gruppe am neutralen Element ist und die die lokale Struktur der Gruppe vollständig erfasst. Anschaulich kann man sich die Elemente der Lie-Algebra als Elemente der Gruppe vorstellen, die infinitesimal nahe am neutralen Element liegen, und die Lie-Klammer der Lie-Algebra ist mit dem Kommutator zweier solcher infinitesimaler Elemente verwandt. Bevor wir die abstrakte Definition geben, betrachten wir einige Beispiele:

• Die Lie-Algebra des Vektorraums R ⁿ ist einfach R ⁿ mit der Lie-Klammer     [ A ,  B ] = 0. (Im Allgemeinen ist die Lie-Klammer einer zusammenhängenden Lie-Gruppe genau dann 0, wenn die Lie-Gruppe abelsch ist.)
• Die Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppe GL( n , C ) der invertierbaren Matrizen ist der Vektorraum M( n , C ) der quadratischen Matrizen mit der Lie-Klammer     [ A ,  B ] = AB  −  BA .
• Ist G eine abgeschlossene Untergruppe von GL( n , C ), so kann man sich die Lie-Algebra von G anschaulich als die Menge der Matrizen m aus M( n , C ) vorstellen, für die 1 + εm in G liegt , wobei ε eine infinitesimale positive Zahl mit ε² = 0 ist ⁽  eine solche reelle Zahl ε existiert natürlich nicht). Beispielsweise besteht die orthogonale Gruppe O( n , ℝ ) aus Matrizen A mit AAᵀ = ¹  , sodass die Lie-Algebra aus den Matrizen m mit (1 + εm ) (1 + εm ) ᵀ ⁼  1 besteht, was äquivalent zu m  +  mᵀ ⁼  0 ist, da ε² ⁼  0.
• Die vorangegangene Beschreibung lässt sich wie folgt präzisieren. Die Lie-Algebra einer abgeschlossenen Untergruppe G von GL( n , C ) kann wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[ 16 ] [ 11 ]} wobei exp(tXMatrixexponentialfunktiondefiniert ist. Dann lässt sich zeigen, dass die Lie-Algebra vonGeinreeller Vektorraum ist, der unter der Klammeroperation abgeschlossen ^ist .${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ^[ 17 ^]

Die oben angegebene konkrete Definition für Matrixgruppen ist zwar einfach anzuwenden, weist aber einige kleinere Probleme auf: Um sie zu verwenden, muss man zunächst eine Lie-Gruppe als Gruppe von Matrizen darstellen, doch lassen sich nicht alle Lie-Gruppen auf diese Weise darstellen, und es ist nicht einmal offensichtlich, dass die Lie-Algebra unabhängig von der verwendeten Darstellung ist. ^{[ 18 ]} Um diese Probleme zu umgehen, geben wir die allgemeine Definition der Lie-Algebra einer Lie-Gruppe an (in 4 Schritten):

1. Vektorfelder auf einer beliebigen glatten Mannigfaltigkeit M können als Derivationen X des Rings der glatten Funktionen auf der Mannigfaltigkeit betrachtet werden und bilden daher eine Lie-Algebra unter der Lie-Klammer [ X ,  Y ] =  XY  −  YX , da die Lie-Klammer zweier Derivationen eine Derivation ist.
2. Ist G eine beliebige Gruppe, die glatt auf der Mannigfaltigkeit M wirkt , so wirkt sie auf die Vektorfelder, und der von der Gruppe fixierte Vektorraum der Vektorfelder ist unter der Lie-Klammer abgeschlossen und bildet daher ebenfalls eine Lie-Algebra.
3. Wir wenden diese Konstruktion auf den Fall an, dass die Mannigfaltigkeit M der zugrundeliegende Raum einer Lie-Gruppe  G ist , wobei G auf G  =  M durch Linksverschiebungen L _g ( h ) =  gh wirkt . Dies zeigt, dass der Raum der linksinvarianten Vektorfelder (Vektorfelder, die L _{g *} X _h =  X _gh für jedes h in G erfüllen , wobei L _{g * das Differential von} L _g bezeichnet ) auf einer Lie-Gruppe eine Lie-Algebra bezüglich der Lie-Klammer der Vektorfelder ist.
4. Jeder Tangentialvektor an der Identität einer Lie-Gruppe lässt sich durch Linksverschiebung des Tangentialvektors auf andere Punkte der Mannigfaltigkeit zu einem linksinvarianten Vektorfeld fortsetzen. Genauer gesagt ist die linksinvariante Fortsetzung eines Elements v des Tangentialraums an der Identität das Vektorfeld, das durch v ^ _g  =  L _{g *} v definiert ist . Dies identifiziert den Tangentialraum T _e G an der Identität mit dem Raum der linksinvarianten Vektorfelder und macht ihn somit zu einer Lie-Algebra, der sogenannten Lie-Algebra von G , die üblicherweise mit einer Fraktur bezeichnet wird. Die Lie-Klammer auf ist daher explizit gegeben durch [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e .${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Diese Lie-Algebra ist endlichdimensional und hat dieselbe Dimension wie die Mannigfaltigkeit G. Die Lie-Algebra von G bestimmt G bis auf „lokalen Isomorphismus“. Zwei Lie-Gruppen heißen lokal isomorph , wenn sie in der Nähe des neutralen Elements identisch aussehen. Probleme über Lie-Gruppen werden oft gelöst, indem man zunächst das entsprechende Problem für die Lie-Algebren löst; das Ergebnis für die Gruppen folgt dann meist unmittelbar. Beispielsweise werden einfache Lie-Gruppen üblicherweise klassifiziert, indem man zuerst die entsprechenden Lie-Algebren klassifiziert. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Wir könnten auch eine Lie-Algebra-Struktur auf Te definieren _, indem wir rechtsinvariante anstelle von linksinvarianten Vektorfeldern verwenden. Dies führt zur gleichen Lie-Algebra, da die Umkehrabbildung auf G verwendet werden kann , um linksinvariante Vektorfelder mit rechtsinvarianten Vektorfeldern zu identifizieren, und auf dem Tangentialraum Te als −1 wirkt _.

Die Lie-Algebra-Struktur auf T _e kann auch wie folgt beschrieben werden: die Kommutatoroperation

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

Die Abbildung G × G bildet ( e ,  e ) auf e ab , sodass ihre Ableitung eine bilineare Operation auf T _e G ergibt . Diese bilineare Operation ist tatsächlich die Nullabbildung, aber die zweite Ableitung liefert, unter der richtigen Identifizierung von Tangentialräumen, eine Operation, die die Axiome einer Lie-Klammer erfüllt und gleich dem Doppelten derjenigen ist, die durch linksinvariante Vektorfelder definiert ist.

Sind G und H Lie-Gruppen, so ist ein Lie-Gruppenhomomorphismus f  : G → H ein glatter Gruppenhomomorphismus . Im Fall komplexer Lie-Gruppen muss ein solcher Homomorphismus eine holomorphe Abbildung sein . Diese Anforderungen sind jedoch etwas streng; jeder stetige Homomorphismus zwischen reellen Lie-Gruppen ist (reell) analytisch . ^{[ 19 ] [ d ]}

Die Komposition zweier Lie-Homomorphismen ist wiederum ein Homomorphismus, und die Klasse aller Lie-Gruppen bildet zusammen mit diesen Morphismen eine Kategorie . Darüber hinaus induziert jeder Lie-Gruppenhomomorphismus einen Homomorphismus zwischen den entsprechenden Lie-Algebren. Sei ein Lie-Gruppenhomomorphismus und sei seine Ableitung am neutralen Element. Wenn wir die Lie-Algebren von G und H mit ihren Tangentialräumen an den neutralen Elementen identifizieren, dann ist eine Abbildung zwischen den entsprechenden Lie-Algebren. ${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

Dies erweist sich als Lie-Algebra-Homomorphismus (d. h. als lineare Abbildung , die die Lie-Klammer erhält ). In der Sprache der Kategorientheorie haben wir dann einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Lie-Gruppen in die Kategorie der Lie-Algebren, der eine Lie-Gruppe auf ihre Lie-Algebra und einen Lie-Gruppen-Homomorphismus auf ihre Ableitung am neutralen Element abbildet.

Zwei Lie-Gruppen heißen isomorph, wenn es einen bijektiven Homomorphismus zwischen ihnen gibt, dessen Umkehrung ebenfalls ein Lie-Gruppenhomomorphismus ist. Äquivalent dazu ist es ein Diffeomorphismus , der auch ein Gruppenhomomorphismus ist. Demnach ist ein stetiger Homomorphismus von einer Lie-Gruppe in eine andere genau dann ein Isomorphismus von Lie-Gruppen, wenn er bijektiv ist. ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

Isomorphe Lie-Gruppen besitzen notwendigerweise isomorphe Lie-Algebren; daher ist es angebracht zu fragen, wie Isomorphieklassen von Lie-Gruppen mit Isomorphieklassen von Lie-Algebren zusammenhängen.

Das erste Ergebnis in dieser Richtung ist der dritte Satz von Lie , der besagt, dass jede endlichdimensionale reelle Lie-Algebra die Lie-Algebra einer (linearen) Lie-Gruppe ist. Ein Beweis des dritten Satzes von Lie besteht darin, den Satz von Ado zu verwenden , der besagt, dass jede endlichdimensionale reelle Lie-Algebra isomorph zu einer Matrix-Lie-Algebra ist. Gleichzeitig existiert zu jeder endlichdimensionalen Matrix-Lie-Algebra eine lineare Gruppe (Matrix-Lie-Gruppe), deren Lie-Algebra diese Algebra ist. ^{[ 20 ]}

Andererseits müssen Lie-Gruppen mit isomorphen Lie-Algebren nicht isomorph sein. Dieses Ergebnis gilt auch dann, wenn wir annehmen, dass die Gruppen zusammenhängend sind. Anders ausgedrückt: Die globale Struktur einer Lie-Gruppe wird nicht durch ihre Lie-Algebra bestimmt; ist beispielsweise Z eine beliebige diskrete Untergruppe des Zentrums von G , so besitzen G und G / Z dieselbe Lie-Algebra (siehe die Tabelle der Lie-Gruppen für Beispiele). Ein wichtiges Beispiel aus der Physik sind die Gruppen SU(2) und SO(3) . Diese beiden Gruppen besitzen isomorphe Lie-Algebren ^{[ 21 ]} , sind aber selbst nicht isomorph, da SU(2) einfach zusammenhängend, SO(3) jedoch nicht ist ^{[ 22 ] .}

Fordern wir hingegen, dass die Lie-Gruppe einfach zusammenhängend ist , so wird die globale Struktur durch ihre Lie-Algebra bestimmt: Zwei einfach zusammenhängende Lie-Gruppen mit isomorphen Lie-Algebren sind isomorph. ^{[ 23 ]} (Weitere Informationen zu einfach zusammenhängenden Lie-Gruppen finden Sie im nächsten Unterabschnitt.) Im Lichte des dritten Satzes von Lie können wir daher sagen, dass eine bijektive Korrespondenz zwischen den Isomorphieklassen endlichdimensionaler reeller Lie-Algebren und den Isomorphieklassen einfach zusammenhängender Lie-Gruppen besteht.

Eine Lie-Gruppe heißt einfach zusammenhängend , wenn jede Schleife in stetig auf einen Punkt in reduziert werden kann . Dieser Begriff ist wichtig aufgrund des folgenden Ergebnisses, das die einfache Zusammenhangseigenschaft als Voraussetzung hat: ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Satz : ^{[ 24 ]} Seien und Lie-Gruppen mit Lie-Algebren und und sei ein Lie-Algebra-Homomorphismus. Wenn einfach zusammenhängend ist, dann existiert ein eindeutiger Lie-Gruppen-Homomorphismus mit , wobei das Differential von an der neutralen Stelle ist .${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$${\displaystyle \phi _{*}=f}$${\displaystyle \phi _{*}}$${\displaystyle \phi }$

Der dritte Satz von Lie besagt, dass jede endlichdimensionale reelle Lie-Algebra die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist. Aus dem dritten Satz von Lie und dem vorhergehenden Ergebnis folgt, dass jede endlichdimensionale reelle Lie-Algebra die Lie-Algebra einer eindeutigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe ist.

Ein Beispiel für eine einfach zusammenhängende Gruppe ist die spezielle unitäre Gruppe SU(2) , die als Mannigfaltigkeit die 3-Sphäre bildet. Die Rotationsgruppe SO(3) hingegen ist nicht einfach zusammenhängend. (Siehe Topologie von SO(3) .) Die fehlende einfache Zusammenhangseigenschaft von SO(3) hängt eng mit der Unterscheidung zwischen ganzzahligem und halbzahligem Spin in der Quantenmechanik zusammen. Weitere Beispiele für einfach zusammenhängende Lie-Gruppen sind die spezielle unitäre Gruppe SU(n) , die Spingruppe (doppelte Überlagerung der Rotationsgruppe) Spin( n ) für n = 2${\displaystyle n\geq 3}$ und die kompakte symplektische Gruppe Sp(n) . ^{[ 25 ]}

Methoden zur Bestimmung, ob eine Lie-Gruppe einfach zusammenhängend ist oder nicht, werden im Artikel über fundamentale Gruppen von Lie-Gruppen diskutiert .

Die Exponentialabbildung von der Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppe nach ist durch die Matrixexponentialfunktion definiert , die durch die übliche Potenzreihe gegeben ist: ${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

Für Matrizen ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ . Ist eine abgeschlossene Untergruppe von ⁠ ⁠ , so bildet die Exponentialabbildung die Lie-Algebra von in ab ; somit haben wir eine Exponentialabbildung für alle Matrixgruppen. Jedes Element von , das hinreichend nahe am neutralen Element liegt, ist die Exponentialfunktion einer Matrix in der Lie-Algebra. ^{[ 26 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Die obige Definition ist zwar einfach anzuwenden, gilt aber nicht für Lie-Gruppen, die keine Matrixgruppen sind. Außerdem ist nicht klar, ob die Exponentialabbildung einer Lie-Gruppe unabhängig von ihrer Darstellung als Matrixgruppe ist. Beide Probleme lassen sich mit einer abstrakteren Definition der Exponentialabbildung lösen, die für alle Lie-Gruppen gültig ist.

Für jeden Vektor in der Lie-Algebra von (d. h. dem Tangentialraum von an der neutralen Stelle) beweist man, dass es eine eindeutige einparametrige Untergruppe gibt, sodass ⁠ ⁠ . Zu sagen, dass eine einparametrige Untergruppe ist, bedeutet einfach, dass eine glatte Abbildung in ist und dass ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$${\displaystyle c'(0)=X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

für alle und . Die Operation auf der rechten Seite ist die Gruppenmultiplikation in . Die formale Ähnlichkeit dieser Formel mit der für die Exponentialfunktion gültigen Formel rechtfertigt die Definition ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).}$

Dies wird als Exponentialabbildung bezeichnet und bildet die Lie-Algebra auf die Lie - Gruppe ab . Sie liefert einen Diffeomorphismus zwischen einer Umgebung von 0 in und einer Umgebung von in . Diese Exponentialabbildung ist eine Verallgemeinerung der Exponentialfunktion für reelle Zahlen (da die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der positiven reellen Zahlen mit Multiplikation ist), für komplexe Zahlen (da die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der von Null verschiedenen komplexen Zahlen mit Multiplikation ist) und für Matrizen (da mit dem regulären Kommutator die Lie-Algebra der Lie-Gruppe aller invertierbaren Matrizen ist). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Da die Exponentialabbildung auf einer Umgebung von ⁠ ⁠ surjektiv ist , werden Elemente der Lie-Algebra üblicherweise als infinitesimale Erzeuger der Gruppe ⁠ ⁠ bezeichnet. Die von erzeugte Untergruppe von ist die neutrale Komponente von ⁠ ⁠ . ${\displaystyle N}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

Die Exponentialabbildung und die Lie-Algebra bestimmen die lokale Gruppenstruktur jeder zusammenhängenden Lie-Gruppe aufgrund der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel : Es existiert eine Umgebung des Nullelements von ⁠ ⁠ , sodass für gilt: ${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

wobei die ausgelassenen Terme bekannt sind und Lie-Klammern mit vier oder mehr Elementen enthalten. Im Falle von Kommutativität reduziert sich diese Formel auf das bekannte Exponentialgesetz .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

Die Exponentialabbildung verknüpft Lie-Gruppenhomomorphismen. Das heißt, wenn ein Lie-Gruppenhomomorphismus und die induzierte Abbildung auf den entsprechenden Lie-Algebren ist, dann gilt für alle :${\displaystyle \phi :G\to H}$${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).}$

Mit anderen Worten, das folgende Diagramm kommutiert , ^{[ 27 ]}

(Kurz gesagt, exp ist eine natürliche Transformation vom Funktor Lie zum Identitätsfunktor auf der Kategorie der Lie-Gruppen.)

Die Exponentialabbildung von der Lie-Algebra auf die Lie-Gruppe ist nicht immer surjektiv , selbst wenn die Gruppe zusammenhängend ist (obwohl sie für zusammenhängende, kompakte oder nilpotente Gruppen auf die Lie-Gruppe abbildet). Beispielsweise ist die Exponentialabbildung von SL(2, R ) nicht surjektiv. Auch für unendlichdimensionale Lie-Gruppen, die auf dem C ^∞ Fréchet-Raum modelliert sind (siehe unten), ist die Exponentialabbildung weder surjektiv noch injektiv, selbst nicht von beliebig kleinen Umgebungen von 0 auf entsprechende Umgebungen von 1.

Eine Lie-Untergruppe einer Lie-Gruppe ist eine Lie-Gruppe, die eine Teilmenge von ist und deren Inklusionsabbildung von nach eine injektive Immersion und ein Gruppenhomomorphismus ist . Nach dem Satz von Cartan besitzt eine abgeschlossene Untergruppe von eine eindeutige glatte Struktur, wodurch sie eine eingebettete Lie-Untergruppe von ist – d. h. eine Lie-Untergruppe, deren Inklusionsabbildung eine glatte Einbettung ist. ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Es gibt zahlreiche Beispiele für nicht abgeschlossene Untergruppen; sei beispielsweise G ein Torus der Dimension 2 oder größer und sei G eine einparametrige Untergruppe mit irrationaler Steigung , d. h . eine, die sich in G windet . Dann existiert ein Lie-Gruppenhomomorphismus mit ⁠ ⁠ . Der Abschluss von G ist ein Untertorus in G.${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

Die Exponentialabbildung stellt eine bijektive Korrespondenz zwischen den zusammenhängenden Lie-Untergruppen einer zusammenhängenden Lie-Gruppe und den Unteralgebren der Lie-Algebra von her . ^{[ 28 ]} Typischerweise ist die einer Unteralgebra entsprechende Untergruppe keine abgeschlossene Untergruppe. Es gibt kein Kriterium, das allein auf der Struktur basiert und bestimmt , welche Unteralgebren abgeschlossenen Untergruppen entsprechen. ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Ein wichtiger Aspekt der Untersuchung von Lie-Gruppen sind ihre Darstellungen, d. h. die Art und Weise, wie sie (linear) auf Vektorräumen wirken. In der Physik kodieren Lie-Gruppen oft die Symmetrien eines physikalischen Systems. Diese Symmetrie wird häufig mithilfe der Darstellungstheorie zur Analyse des Systems genutzt. Betrachten wir beispielsweise die zeitunabhängige Schrödingergleichung der Quantenmechanik . Nehmen wir an, das betrachtete System besitzt die Rotationsgruppe SO(3) als Symmetrie, was bedeutet, dass der Hamiltonoperator mit der Wirkung von SO(3) auf die Wellenfunktion kommutiert . (Ein wichtiges Beispiel für ein solches System ist das Wasserstoffatom , das ein sphärisch symmetrisches Potential besitzt.) Diese Annahme bedeutet nicht notwendigerweise, dass die Lösungen rotationsinvariante Funktionen sind. Vielmehr bedeutet sie, dass der Lösungsraum von unter Rotationen invariant ist (für jeden festen Wert von ). Dieser Raum stellt somit eine Darstellung von SO(3) dar. Diese Darstellungen wurden klassifiziert , und die Klassifizierung führt zu einer erheblichen Vereinfachung des Problems , indem im Wesentlichen eine dreidimensionale partielle Differentialgleichung in eine eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung umgewandelt wird. ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$${\displaystyle E}$

Der Fall einer zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppe K (einschließlich des soeben erwähnten Falls SO(3)) ist besonders gut handhabbar. ^{[ 29 ]} In diesem Fall lässt sich jede endlichdimensionale Darstellung von K als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegen. Die irreduziblen Darstellungen wurden wiederum von Hermann Weyl klassifiziert . Die Klassifizierung erfolgt anhand des „höchsten Gewichts“ der Darstellung. Sie ist eng verwandt mit der Klassifizierung von Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra .

Man kann auch (allgemein unendlichdimensionale) unitäre Darstellungen einer beliebigen Lie-Gruppe (nicht notwendigerweise kompakt) untersuchen. Beispielsweise ist es möglich, eine relativ einfache explizite Beschreibung der Darstellungen der Gruppe SL(2, ℝ ) und der Poincaré-Gruppe zu geben .

Lie-Gruppen lassen sich als stetig variierende Familien von Symmetrien auffassen. Beispiele für Symmetrien sind Drehungen um eine Achse. Entscheidend ist das Verständnis der Natur „kleiner“ Transformationen, etwa Drehungen um winzige Winkel, die benachbarte Transformationen miteinander verknüpfen. Das mathematische Objekt, das diese Struktur beschreibt, wird Lie-Algebra genannt ( Lie selbst bezeichnete sie als „infinitesimale Gruppen“). Sie lässt sich definieren, da Lie-Gruppen glatte Mannigfaltigkeiten sind und somit in jedem Punkt Tangentialräume besitzen.

Die Lie-Algebra einer beliebigen kompakten Lie-Gruppe (grob gesagt: einer Gruppe, deren Symmetrien eine beschränkte Menge bilden) lässt sich als direkte Summe einer abelschen Lie-Algebra und einer bestimmten Anzahl einfacher Lie -Algebren darstellen. Die Struktur einer abelschen Lie-Algebra ist mathematisch uninteressant (da die Lie-Klammer identisch null ist); von Interesse sind die einfachen Summanden. Daher stellt sich die Frage: Was sind die einfachen Lie-Algebren kompakter Gruppen? Es zeigt sich, dass sie größtenteils in vier unendliche Familien fallen, die „klassischen Lie-Algebren“ A _{_n} , B _{_n} , C _{_n} und D _{_n} , die sich einfach durch Symmetrien des euklidischen Raums beschreiben lassen. Es gibt aber auch fünf „ausgenommene Lie-Algebren“, die keiner dieser Familien angehören. E _₈ ist die größte von ihnen.

Lie-Gruppen werden nach ihren algebraischen Eigenschaften ( einfach , halbeinfach , auflösbar , nilpotent , abelsch ), ihrer Zusammenhangseigenschaft ( zusammenhängend oder einfach zusammenhängend ) und ihrer Kompaktheit klassifiziert .

Ein erstes wichtiges Ergebnis ist die Levi-Zerlegung , die besagt, dass jede einfach zusammenhängende Lie-Gruppe das semidirekte Produkt einer auflösbaren normalen Untergruppe und einer halbeinfachen Untergruppe ist.

• Alle zusammenhängenden kompakten Lie-Gruppen sind bekannt: Sie sind endliche zentrale Quotienten eines Produkts von Kopien der Kreisgruppe S ^{1 und einfachen kompakten Lie-Gruppen (die zusammenhängenden} Dynkin-Diagrammen entsprechen ).
• Jede einfach zusammenhängende auflösbare Lie-Gruppe ist isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe der Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen eines bestimmten Rangs, und jede endlichdimensionale irreduzible Darstellung einer solchen Gruppe ist eindimensional. Auflösbare Gruppen sind zu komplex, um sie – außer in wenigen kleinen Dimensionen – zu klassifizieren.
• Jede einfach zusammenhängende nilpotente Lie-Gruppe ist isomorph zu einer abgeschlossenen Untergruppe der Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonalen von Rang 1, und jede endlichdimensionale irreduzible Darstellung einer solchen Gruppe ist eindimensional. Wie auflösbare Gruppen sind auch nilpotente Gruppen zu komplex, um sie – außer in wenigen kleinen Dimensionen – zu klassifizieren.
• Einfache Lie-Gruppen werden manchmal als solche definiert, die als abstrakte Gruppen einfach sind, und manchmal als zusammenhängende Lie-Gruppen mit einer einfachen Lie-Algebra. Beispielsweise ist SL(2, R ) nach der zweiten Definition einfach, aber nicht nach der ersten. Sie wurden alle (nach beiden Definitionen) klassifiziert .
• Halbeinfache Lie-Gruppen sind Lie-Gruppen, deren Lie-Algebra ein Produkt einfacher Lie-Algebren ist. ^{[ 30 ]} Sie sind zentrale Erweiterungen von Produkten einfacher Lie-Gruppen.

Die neutrale Komponente jeder Lie-Gruppe ist ein offener Normalteiler , und die Faktorgruppe ist eine diskrete Gruppe . Die universelle Überlagerung jeder zusammenhängenden Lie-Gruppe ist eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe, und umgekehrt ist jede zusammenhängende Lie-Gruppe ein Quotient einer einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe nach einem diskreten Normalteiler des Zentrums. Jede Lie-Gruppe G kann auf kanonisch Weise wie folgt in diskrete, einfache und abelsche Gruppen zerlegt werden.

G _con für die Zusammenhangskomponente der Identität

G _sol für die größte zusammenhängende normale auflösbare Untergruppe

G _nil für die größte zusammenhängende normale nilpotente Untergruppe

sodass wir eine Folge normaler Untergruppen haben

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

Dann

G / G _con ist diskret

G _con / G _sol ist eine zentrale Erweiterung eines Produkts einfacher zusammenhängender Lie-Gruppen .

G _sol / G _nil ist abelsch. Eine zusammenhängende abelsche Lie-Gruppe ist isomorph zu einem Produkt von Kopien von R und der Kreisgruppe S ¹ .

G _nil /1 ist nilpotent, und daher sind alle Quotienten seiner aufsteigenden Zentralreihe abelsch.

Dies kann genutzt werden, um einige Probleme über Lie-Gruppen (wie das Finden ihrer unitären Darstellungen) auf die gleichen Probleme für zusammenhängende einfache Gruppen und nilpotente und auflösbare Untergruppen kleinerer Dimension zu reduzieren.

• Die Diffeomorphismengruppe einer Lie-Gruppe operiert transitiv auf der Lie-Gruppe.
• Jede Lie-Gruppe ist parallelisierbar und somit eine orientierbare Mannigfaltigkeit (es gibt einen Bündelisomorphismus zwischen ihrem Tangentialbündel und dem Produkt von sich selbst mit dem Tangentialraum an der Identität).

Lie-Gruppen werden oft als endlichdimensional definiert, doch es gibt viele Gruppen, die Lie-Gruppen ähneln, aber unendlichdimensional sind. Unendlichdimensionale Lie-Gruppen lassen sich am einfachsten definieren, indem man sie lokal auf Banachräumen modelliert (im Gegensatz zum euklidischen Raum im endlichdimensionalen Fall). In diesem Fall ähnelt ein Großteil der grundlegenden Theorie derjenigen endlichdimensionaler Lie-Gruppen. Dies ist jedoch für viele Anwendungen unzureichend, da viele natürliche Beispiele unendlichdimensionaler Lie-Gruppen keine Banach-Mannigfaltigkeiten sind . Stattdessen müssen Lie-Gruppen auf allgemeineren, lokal konvexen topologischen Vektorräumen modelliert werden. In diesem Fall wird die Beziehung zwischen Lie-Algebra und Lie-Gruppe komplexer, und einige Ergebnisse über endlichdimensionale Lie-Gruppen gelten nicht mehr.

Die Literatur ist hinsichtlich der genauen Eigenschaften unendlichdimensionaler Gruppen, die die Verwendung des Präfixes „Lie-Gruppe“ rechtfertigen, nicht einheitlich . Im Bereich der Lie-Algebren ist die Situation einfacher, da die Kriterien für die Verwendung des Präfixes „ Lie - Gruppe“ rein algebraischer Natur sind. Beispielsweise kann eine unendlichdimensionale Lie-Algebra eine zugehörige Lie-Gruppe besitzen oder auch nicht. Es kann also eine Gruppe geben, die der Lie-Algebra entspricht, aber diese ist möglicherweise nicht „gut genug“, um als Lie-Gruppe bezeichnet zu werden, oder die Verbindung zwischen der Gruppe und der Lie-Algebra ist nicht „gut genug“ (beispielsweise wenn die Exponentialabbildung nicht auf eine Umgebung des neutralen Elements abgebildet wird). Die Definition von „gut genug“ ist nicht allgemein gültig.

Zu den untersuchten Beispielen gehören unter anderem:

• Die Gruppe der Diffeomorphismen einer Mannigfaltigkeit. Über die Gruppe der Diffeomorphismen des Kreises ist recht viel bekannt. Ihre Lie-Algebra ist (mehr oder weniger) die Witt-Algebra , deren zentrale Erweiterung, die Virasoro-Algebra (siehe Virasoro-Algebra aus Witt-Algebra für eine Herleitung dieser Tatsache), die Symmetriealgebra der zweidimensionalen konformen Feldtheorie ist . Diffeomorphismengruppen kompakter Mannigfaltigkeiten höherer Dimension sind reguläre Fréchet-Lie-Gruppen ; über ihre Struktur ist sehr wenig bekannt.
• Die Diffeomorphismengruppe der Raumzeit taucht gelegentlich bei Versuchen zur Quantisierung der Gravitation auf.
• Die Gruppe der glatten Abbildungen von einer Mannigfaltigkeit in eine endlichdimensionale Lie-Gruppe ist ein Beispiel für eine Eichgruppe (mit punktweiser Multiplikation ) und findet Anwendung in der Quantenfeldtheorie und der Donaldson-Theorie . Ist die Mannigfaltigkeit ein Kreis, so werden diese Gruppen Schleifengruppen genannt und besitzen zentrale Erweiterungen, deren Lie-Algebren (mehr oder weniger) Kac-Moody-Algebren sind .
• Es gibt unendlichdimensionale Analoga allgemeiner linearer Gruppen, orthogonaler Gruppen usw. ^{[ 31 ]} Ein wichtiger Aspekt ist, dass diese einfachere topologische Eigenschaften aufweisen können: siehe beispielsweise den Satz von Kuiper . In der M-Theorie beispielsweise wird eine 10-dimensionale SU( N )-Eichtheorie zu einer 11-dimensionalen Theorie, wenn N unendlich wird.

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• Zeitschrift für Lügentheorie