Schraubenachse

Eine Schraubenachse ( auch Wendelachse genannt ) ist eine Gerade, die gleichzeitig Rotationsachse und Translationsachse eines Körpers ist. Der Satz von Chasles zeigt, dass jede euklidische Verschiebung im dreidimensionalen Raum eine Schraubenachse besitzt und sich in eine Rotation um und eine Verschiebung entlang dieser Schraubenachse zerlegen lässt. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Plücker-Koordinaten dienen zur Lokalisierung einer Schraubenachse im Raum und bestehen aus einem Paar dreidimensionaler Vektoren. Der erste Vektor gibt die Richtung der Achse an, der zweite ihre Position. Der Spezialfall, dass der erste Vektor null ist, wird als reine Translation in Richtung des zweiten Vektors interpretiert. Jedem Vektorpaar in der Schraubenalgebra, auch Schraubentheorie genannt, ist eine Schraubenachse zugeordnet . ^{[ 3 ]}

Die räumliche Bewegung eines Körpers lässt sich durch eine kontinuierliche Folge von Verschiebungen darstellen. Da jede dieser Verschiebungen eine Schraubenachse besitzt, ist der Bewegung eine Regelfläche zugeordnet , die als Schraubenfläche bezeichnet wird . Diese Fläche ist nicht identisch mit der Axode , die durch die momentanen Schraubenachsen der Körperbewegung beschrieben wird.Die momentane Schraubenachse bzw. momentane Helixachse (IHA) ist die Achse des helikoidalen Feldes, das durch die Geschwindigkeiten jedes Punktes eines sich bewegenden Körpers erzeugt wird.

Wenn eine räumliche Verschiebung in eine ebene Verschiebung übergeht, wird die Schraubenachse zum Verschiebungspol und die momentane Schraubenachse zum Geschwindigkeitspol bzw. zum momentanen Drehzentrum , auch Momentanzentrum genannt . Der Begriff Zentro wird ebenfalls für einen Geschwindigkeitspol verwendet, und die Menge dieser Punkte bei einer ebenen Bewegung wird Zentrode genannt . ^{[ 4 ]}

Der Beweis, dass eine räumliche Verschiebung in eine Drehung um eine Gerade im Raum und eine Translation entlang dieser Geraden zerlegt werden kann, wird Michel Chasles im Jahr 1830 zugeschrieben. ^{[ 5 ]} Kürzlich wurde die Arbeit von Giulio Mozzi als eine Arbeit aus dem Jahr 1763 identifiziert, die ein ähnliches Ergebnis lieferte. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Eine Schraubenverschiebung (auch Schraubenoperation oder Drehbewegung genannt ) ist die Kombination einer Drehung um den Winkel φ um eine Achse (die sogenannte Schraubenachse ) mit einer Verschiebung um die Strecke d entlang dieser Achse. Eine positive Drehrichtung entspricht üblicherweise der Verschiebungsrichtung gemäß der Rechte-Hand-Regel . Das bedeutet, dass bei einer Drehung im Uhrzeigersinn die Verschiebung vom Betrachter weg gerichtet ist. Außer bei φ = 180° muss eine Schraubenverschiebung von ihrem Spiegelbild unterschieden werden . Im Gegensatz zu Drehungen erzeugen Rechts- und Linksschraubenoperationen unterschiedliche Gruppen.

Die Kombination aus einer Drehung um eine Achse und einer Translation senkrecht zu dieser Achse ist eine Drehung um eine parallele Achse. Eine Schraubenoperation mit einem von null verschiedenen Translationsvektor entlang der Achse lässt sich jedoch nicht auf diese Weise reduzieren. Daher ist die Wirkung einer Drehung in Kombination mit einer beliebigen Translation im allgemeinen Sinne eine Schraubenoperation, wobei reine Translation, reine Drehung und die Identität Spezialfälle darstellen. Dies sind alle direkten Isometrien im dreidimensionalen Raum .

In der Kristallographie bezeichnet man als Schraubenachsensymmetrie eine Kombination aus Rotation um eine Achse und Translation parallel zu dieser Achse, die den Kristall unverändert lässt. Wenn φ = ⁠360°/NFür eine positive ganze Zahl n impliziert die Schraubenachsensymmetrie eine Translationssymmetrie mit einem Translationsvektor, der das n -fache der Schraubenverschiebung beträgt.

Anwendbar auf Raumgruppen ist eine Drehung um ⁠360°/Num eine Achse, kombiniert mit einer Translation entlang dieser Achse um ein Vielfaches des Abstands der Translationssymmetrie, geteilt durch n . Dieses Vielfache wird durch einen Index angegeben. So ist 6 ₃ eine Rotation um 60° kombiniert mit einer Translation um die Hälfte des Gittervektors, was impliziert, dass auch eine dreizählige Rotationssymmetrie um diese Achse vorliegt. Die Möglichkeiten sind 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4 ₂ , 6 ₁ , 6 ₂ und 6 ₃ , sowie die enantiomorphen 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ und 6 ₅ . ^{[ 8 ]}

Betrachtet man eine Schraubenachse n _m , so existiert, wenn g der größte gemeinsame Teiler von n und m ist , auch eine g -zählige Drehachse. Wenn ⁠N/GDie Schraubenbearbeitungen wurden durchgeführt, die Verschiebung beträgtM/G, was, da es sich um eine ganze Zahl handelt, bedeutet, dass man sich bei einer Drehung um einen bestimmten Wert an einen äquivalenten Punkt im Gitter bewegt hat .360°/G⁠ . Also erzeugen 4 ₂ , 6 ₂ und 6 ₄ zweizählige Rotationsachsen, während 6 ₃ eine dreizählige Achse erzeugt.

Eine nichtdiskrete Schraubenachsenisometriegruppe enthält alle Kombinationen einer Drehung um eine Achse und einer proportionalen Translation entlang dieser Achse (beim Drall wird die Proportionalitätskonstante als Verdrehungsrate bezeichnet); im Allgemeinen wird diese mit k -fachen Rotationsisometrien um dieselbe Achse kombiniert ( k ≥ 1); die Menge der Bilder eines Punktes unter den Isometrien ist eine k -fache Helix ; zusätzlich kann es eine zweifache Drehung um eine senkrecht schneidende Achse geben, und somit eine k -fache Helix solcher Achsen.

Sei D  : ℝ³ → ℝ³ eine orientierungserhaltende starre Bewegung von ℝ³ . Die Menge dieser Transformationen ist eine Untergruppe der euklidischen Bewegungen, ^bekannt als die spezielle euklidische Gruppe SE(3). Diese starren Bewegungen sind durch Transformationen von x in ℝ³ definiert ^{, die gegeben sind} durch

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }$

bestehend aus einer dreidimensionalen Rotation A, gefolgt von einer Translation um den Vektor d .

Eine dreidimensionale Rotation A besitzt eine eindeutige Achse, die eine Gerade L definiert. Sei S der Einheitsvektor entlang dieser Geraden, sodass der Translationsvektor d in die Summe zweier Vektoren zerlegt werden kann, eines parallel und eines senkrecht zur Achse L , d. h.

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

In diesem Fall nimmt die starre Bewegung die folgende Form an:

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Die orientierungserhaltende starre Bewegung D * = A ( x ) + d⊥ transformiert nun alle Punkte von R³ so, dass sie in Ebenen senkrecht zu L liegen . Für eine solche starre Bewegung gibt es genau einen Punkt c in der Ebene P, _die ^senkrecht zu L durch 0 verläuft , sodass

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Der Punkt C kann wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle \mathbf {C} =[IA]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

weil d _⊥ keine Komponente in Richtung der Achse von A hat .

Eine starre Bewegung D * mit einem festen Punkt muss eine Drehung um die Achse Lc durch den Punkt c sein . Daher ist die starre _Bewegung

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

besteht aus einer Drehung um die Gerade L _c, gefolgt von einer Translation um den Vektor d _L in Richtung der Geraden L _c .

Schlussfolgerung: Jede starre Bewegung des ^Körpers R³ ist das Ergebnis einer Drehung von R³ um die Gerade L_{_c} ^, gefolgt von einer Translation in Richtung dieser Geraden. Die Kombination aus Drehung um eine Gerade und Translation entlang dieser Geraden wird als Schraubenbewegung bezeichnet.

Ein Punkt C auf der Schraubenachse erfüllt die Gleichung: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Lösen Sie diese Gleichung nach C auf, indem Sie die Cayley-Formel für eine Rotationsmatrix verwenden .

${\displaystyle [A]=[IB]^{-1}[I+B],}$

wobei [B] die aus dem Rodrigues-Vektor konstruierte schiefsymmetrische Matrix ist.

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

so dass

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Verwenden Sie diese Form der Drehung A, um Folgendes zu erhalten

${\displaystyle \mathbf {C} =[IB]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [IB]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[IB]\mathbf {d} _{\perp },}$

was wird

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[IB]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Diese Gleichung kann nach C auf der Schraubenachse P (t) aufgelöst werden, um Folgendes zu erhalten:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

Die Schraubenachse P (t) = C + t S dieser räumlichen Verschiebung hat die Plücker-Koordinaten S = ( S , C × S ) . ^{[ 9 ]}

Die Schraubenachse tritt in der dualen Quaternionenformulierung einer räumlichen Verschiebung D = ([A], d ) auf . Das duale Quaternion wird aus dem dualen Vektor S = ( S , V ), der die Schraubenachse definiert, und dem dualen Winkel ( φ , d ) konstruiert , wobei φ die Drehung um und d die Verschiebung entlang dieser Achse ist, wodurch die Verschiebung D definiert wird.

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Eine räumliche Verschiebung von Punkten q, dargestellt als Vektorquaternion, kann mithilfe von Quaternionen als Abbildung definiert werden.

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

wobei d ein Translationsvektorquaternion und S ein Einheitsquaternion, auch Versor genannt , ist, gegeben durch

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

das eine Drehung um 2 θ um eine Achse S definiert .

In der eigentlichen euklidischen Gruppe E ⁺ (3) kann eine Drehung mit einer Translation konjugiert werden , um sie auf eine parallele Drehachse zu verschieben. Eine solche Konjugation, unter Verwendung von Quaternionenhomographien , liefert die entsprechende Schraubenachse, um die gegebene räumliche Verschiebung gemäß dem Satz von Chasles als Schraubenverschiebung auszudrücken .

Die momentane Bewegung eines starren Körpers kann eine Kombination aus Rotation um eine Achse (der Schraubenachse) und Translation entlang dieser Achse sein. Diese Schraubenbewegung wird durch den Geschwindigkeitsvektor der Translation und den Winkelgeschwindigkeitsvektor in gleicher oder entgegengesetzter Richtung charakterisiert. Sind diese beiden Vektoren konstant und verlaufen entlang einer der Hauptachsen des Körpers, sind für diese Bewegung (Drehung und Rotation) keine äußeren Kräfte erforderlich. Beispielsweise entspricht diese Bewegung, wenn Schwerkraft und Luftwiderstand vernachlässigt werden, der Bewegung eines aus einem gezogenen Lauf abgefeuerten Geschosses .

Dieser Parameter wird häufig in der Biomechanik verwendet , um die Bewegung von Körpergelenken zu beschreiben . Die Gelenkbewegung kann über einen beliebigen Zeitraum als die Bewegung eines einzelnen Punktes auf einer Gelenkfläche relativ zur angrenzenden Fläche (üblicherweise distal relativ proximal ) betrachtet werden. Die gesamte Translation und Rotation entlang der Bewegungsbahn kann als Zeitintegral der momentanen Translations- und Rotationsgeschwindigkeiten am IHA für einen gegebenen Referenzzeitpunkt definiert werden. ^{[ 10 ]}

In jeder Ebene wird die Bahn, die durch die Positionen der sich bewegenden momentanen Rotationsachse (IAR) gebildet wird, als „Schwerpunkt“ bezeichnet und zur Beschreibung der Gelenkbewegung verwendet.

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