Spektralsequenz

In der homologischen Algebra und algebraischen Topologie dienen Spektralsequenzen der Berechnung von Homologiegruppen durch sukzessive Approximation. Spektralsequenzen sind eine Verallgemeinerung exakter Sequenzen und haben sich seit ihrer Einführung durch Jean Leray  ( 1946a , 1946b ) zu wichtigen Werkzeugen der Informatik entwickelt, insbesondere in der algebraischen Topologie, der algebraischen Geometrie und der homologischen Algebra.

Motiviert durch Probleme der algebraischen Topologie führte Jean Leray den Begriff der Garbe ein und sah sich mit dem Problem der Berechnung der Garbenkohomologie konfrontiert . Um die Garbenkohomologie zu berechnen, entwickelte Leray eine Rechentechnik, die heute als Leray-Spektralsequenz bekannt ist . Diese lieferte eine Beziehung zwischen den Kohomologiegruppen einer Garbe und den Kohomologiegruppen des Pushforwards der Garbe . Diese Beziehung beinhaltete einen unendlichen Prozess. Leray fand heraus, dass die Kohomologiegruppen des Pushforwards einen natürlichen Kettenkomplex bildeten , sodass er die Kohomologie der Kohomologie bilden konnte. Dies war zwar noch nicht die Kohomologie der ursprünglichen Garbe, aber in gewisser Weise ein Schritt näher an ihr. Die Kohomologie der Kohomologie bildete wiederum einen Kettenkomplex, und deren Kohomologie bildete ebenfalls einen Kettenkomplex usw. Der Grenzwert dieses unendlichen Prozesses war im Wesentlichen identisch mit den Kohomologiegruppen der ursprünglichen Garbe.

Man erkannte bald, dass Lerays Berechnungsmethode ein Beispiel für ein allgemeineres Phänomen war. Spektralsequenzen traten in verschiedensten Situationen auf und lieferten komplexe Zusammenhänge zwischen Homologie- und Kohomologiegruppen, die sowohl aus geometrischen Fragestellungen wie Faserungen als auch aus algebraischen Fragestellungen mit abgeleiteten Funktoren resultierten. Obwohl ihre theoretische Bedeutung seit der Einführung abgeleiteter Kategorien abgenommen hat , stellen sie nach wie vor das effektivste verfügbare Berechnungswerkzeug dar. Dies gilt selbst dann, wenn viele Terme der Spektralsequenz nicht berechenbar sind.

Leider sind Spektralsequenzen aufgrund der großen Menge an Information, die sie enthalten, schwer zu erfassen. Diese Information ist üblicherweise in einem Verband abelscher Gruppen oder Moduln vom Rang drei enthalten . Am einfachsten lassen sich Fälle behandeln, in denen die Spektralsequenz schließlich kollabiert, d. h. ein weiteres Durchlaufen der Sequenz keine neuen Informationen mehr liefert. Selbst wenn dies nicht der Fall ist, können oft mithilfe verschiedener Tricks nützliche Informationen aus einer Spektralsequenz gewonnen werden.

Sei eine abelsche Kategorie , etwa eine Kategorie von Moduln über einem Ring , und eine nichtnegative ganze Zahl . Eine kohomologische Spektralsequenz ist eine Folge von Objekten und Endomorphismen , sodass für jedes${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$, die Homologie von in Bezug auf .${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle d_{r}}$

Üblicherweise werden die Isomorphismen unterdrückt, und wir schreiben stattdessen . Ein Objekt wird Blatt (wie in einem Blatt Papier ) oder manchmal Seite oder Term genannt ; ein Endomorphismus wird Randabbildung oder Differential genannt . Manchmal wird als das abgeleitete Objekt von bezeichnet . ${\displaystyle E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle d_{r}}$${\displaystyle E_{r+1}}$${\displaystyle E_{r}}$

In der Realität treten Spektralsequenzen meist in der Kategorie der doppelt graduierten Moduln über einem Ring R (oder doppelt graduierten Garben von Moduln über einer Garbe von Ringen) auf, d. h. jedes Blatt ist ein bigradierter R-Modul. In diesem Fall ist eine kohomologische Spektralsequenz also eine Folge bigradierter R-Moduln , und für jeden Modul ist die direkte Summe von Endomorphismen vom Bidegree , sodass für jedes gilt: ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$${\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}}$${\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$${\displaystyle (r,1-r)}$${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$Die

Die hier verwendete Notation wird als komplementärer Grad bezeichnet . Manche Autoren schreiben stattdessen , wobei der Gesamtgrad ist . Abhängig von der Spektralsequenz kann die Randabbildung auf dem ersten Blatt einen Grad aufweisen, der r = 0, r = 1 oder r = 2 entspricht. Beispielsweise ist für die unten beschriebene Spektralsequenz eines gefilterten Komplexes r _₀ = 0, für die Grothendieck-Spektralsequenz hingegen r _₀ = 2. Üblicherweise ist r _₀ null, eins oder zwei. Im oben beschriebenen ungradierten Fall ist r _₀ irrelevant. ${\displaystyle E_{r}^{d,q}}$${\displaystyle d=p+q}$

Bei den meisten Objekten handelt es sich um Kettenkomplexe , die in absteigender (wie oben) oder aufsteigender Reihenfolge auftreten. Im letzteren Fall erhält man durch Ersetzen von durch und durch (Bidegree ) die Definition einer homologischen Spektralsequenz analog zum kohomologischen Fall. ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$${\displaystyle d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{pr,q+r-1}^{r}}$${\displaystyle (-r,r-1)}$

Das einfachste Beispiel im ungraduierten Fall ist ein Kettenkomplex C _• . Ein Objekt C _• in einer abelschen Kategorie von Kettenkomplexen besitzt naturgemäß ein Differential d . Sei _r₀ = 0 und E₀ _gleich C _• . Dadurch ist E₁ der Komplex H ( C _• ): An der i′ - ten Position ist dies die i′ - te Homologiegruppe von C _• . Das einzige natürliche Differential auf diesem neuen Komplex ist die Nullabbildung, also setzen wir d₁ = 0. _Dies zwingt zu _d₁ = 0 , und wiederum ist unser einziges natürliches Differential die Nullabbildung. Durch Anwenden des Nulldifferentials auf alle übrigen Blätter erhalten wir eine Spektralsequenz mit folgenden Gliedern: ${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}}$

• E ₀ = C _•
• E _r = H ( C _• ) für alle r ≥ 1.

Die Terme dieser Spektralsequenz stabilisieren sich auf dem ersten Blatt, da ihr einziges nichttriviales Differential auf dem nullten Blatt lag. Folglich können wir in späteren Schritten keine weiteren Informationen gewinnen. Um in späteren Schritten nützliche Informationen zu erhalten, benötigen wir üblicherweise zusätzliche Strukturen auf dem . ${\displaystyle E_{r}}$

Eine doppelt graduierte Spektralsequenz erfordert eine enorme Datenmenge, die verwaltet werden muss. Es gibt jedoch eine gängige Visualisierungstechnik, die die Struktur der Spektralsequenz verdeutlicht. Wir verwenden drei Indizes: r , p und q . Ein Objekt kann als die r ^-te karierte Seite eines Buches betrachtet werden. Auf diesen Seiten definieren wir p als horizontale und q als vertikale Richtung. An jedem Gitterpunkt befindet sich das Objekt . Das Umblättern zur nächsten Seite entspricht der Homologie, d. h. die ^n-te Seite ist ein Teiler der r ^-ten Seite. Der Gesamtgrad n = p + q verläuft diagonal von Nordwesten nach Südosten über jede Seite. Im homologischen Fall haben die Differentiale den Bidegree (−r , r − 1) , wodurch n um eins verringert wird . Im kohomologischen Fall erhöht sich n um eins. Die Differentiale ändern mit jedem Umblättern ihre Richtung relativ zu r. ${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle (r+1)}$

Die roten Pfeile veranschaulichen den Fall einer Folge im ersten Quadranten (siehe Beispiel unten ), bei der nur die Objekte des ersten Quadranten ungleich null sind. Beim Umblättern wird entweder der Definitionsbereich oder der Wertebereich aller Differentiale null.

Die Menge der kohomologischen Spektralsequenzen bildet eine Kategorie: Ein Morphismus von Spektralsequenzen ist per Definition eine Menge von Abbildungen , die mit den Differentialen kompatibel sind, d. h . mit den gegebenen Isomorphismen zwischen der Kohomologie des r ^-ten Schritts und des ⁠ ⁠ ^′-ten Blattes von E bzw. E ′ : . Im bigradierten Fall müssen sie auch die Graduierung berücksichtigen:${\displaystyle f:E\to E'}$${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E'_{r}}$${\displaystyle f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}}$${\displaystyle (r+1)}$${\displaystyle f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))}$${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.}$

Ein Cup-Produkt verleiht einer Kohomologiegruppe eine Ringstruktur und macht sie so zu einem Kohomologiering . Daher ist es naheliegend, auch eine Spektralsequenz mit Ringstruktur zu betrachten. Sei eine Spektralsequenz vom kohomologischen Typ. Wir sagen, sie besitzt multiplikative Struktur, wenn (i) (doppelt graduierte) differentiell graduierte Algebren sind und (ii) die Multiplikation auf durch die Multiplikation auf mittels eines Übergangs zur Kohomologie induziert wird . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{r+1}}$${\displaystyle E_{r}}$

Ein typisches Beispiel ist die kohomologische Serre-Spektralsequenz einer Faserung , wenn die Koeffizientengruppe ein Ring R ist . Sie besitzt die multiplikative Struktur, die durch die Cup-Produkte von Faser und Basis auf der -Seite induziert wird. ^{[ 1 ]} Im Allgemeinen ist der Grenzwert jedoch als graduierte Algebra nicht isomorph zu H( E ; R ). ^{[ 2 ]} Die multiplikative Struktur kann sehr nützlich sein, um Differentiale auf der Sequenz zu berechnen. ^{[ 3 ]}${\displaystyle F\to E\to B}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{\infty }}$

Spektralsequenzen lassen sich auf verschiedene Weisen konstruieren. In der algebraischen Topologie ist die Verwendung eines exakten Paares wohl das gebräuchlichste Konstruktionsmittel. In der algebraischen Geometrie werden Spektralsequenzen üblicherweise aus Filtrationen von Kokettenkomplexen konstruiert.

Eine weitere Technik zur Konstruktion von Spektralsequenzen ist William Masseys Methode der exakten Paare. Exakte Paare sind besonders in der algebraischen Topologie verbreitet. Trotzdem sind sie in der abstrakten Algebra , wo die meisten Spektralsequenzen aus gefilterten Komplexen stammen, unpopulär.

Um exakte Paare zu definieren, beginnen wir erneut mit einer abelschen Kategorie. Wie zuvor ist dies in der Praxis üblicherweise die Kategorie der doppelt graduierten Moduln über einem Ring. Ein exaktes Paar ist ein Paar von Objekten ( A , C ) zusammen mit drei Homomorphismen zwischen diesen Objekten: f  : A → A , g  : A → C und h  : C → A, die bestimmten Exaktheitsbedingungen genügen.

• Bild f = Kernel g
• Bild g = Kernel h
• Bild h = Kernel f

Wir kürzen diese Daten mit ( A , C , f , g , h ) ab. Exakte Paare werden üblicherweise als Dreiecke dargestellt. Wir werden sehen, dass C dem E₀ _- Term der Spektralsequenz entspricht und dass A Hilfsdaten darstellt.

Um zum nächsten Blatt der Spektralsequenz zu gelangen, bilden wir das abgeleitete Paar . Wir setzen:

• d = g o h
• A' = f ( A )
• C' = Ker d / Im d
• f ' = f|_A', the restriction of f to A'
• h' : C' → A' is induced by h. It is straightforward to see that h induces such a map.
• g' : A' → C' is defined on elements as follows: For each a in A', write a as f(b) for some b in A. g'(a) is defined to be the image of g(b) in C'. In general, g' can be constructed using one of the embedding theorems for abelian categories.

From here it is straightforward to check that (A', C', f ', g', h') is an exact couple. C' corresponds to the E₁ term of the spectral sequence. We can iterate this procedure to get exact couples (A⁽ⁿ⁾, C⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾, g⁽ⁿ⁾, h⁽ⁿ⁾).

In order to construct a spectral sequence, let E_n be C⁽ⁿ⁾ and d_n be g⁽ⁿ⁾oh⁽ⁿ⁾.

• Serre spectral sequence^[4] - used to compute (co)homology of a fibration
• Atiyah–Hirzebruch spectral sequence - used to compute (co)homology of extraordinary cohomology theories, such as K-theory
• Bockstein spectral sequence.
• Spectral sequences of filtered complexes

Ein sehr häufiger Typ von Spektralsequenzen entsteht durch einen gefilterten Kokettenkomplex, da dieser auf natürliche Weise ein bigradiertes Objekt induziert. Betrachten wir einen Kokettenkomplex zusammen mit einer absteigenden Filtration . Wir fordern, dass die Randabbildung mit der Filtration kompatibel ist, d. h. , und dass die Filtration erschöpfend ist , d. h. die Vereinigung der Menge aller ist der gesamte Kettenkomplex . Dann existiert eine Spektralsequenz mit und . ^{[ 5 ]} Später nehmen wir außerdem an, dass die Filtration Hausdorffsch oder separiert ist , d. h. der Schnitt der Menge aller ist null. ${\displaystyle (C^{\bullet },d)}$${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}}$${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$${\textstyle C^{\bullet }}$${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

Die Filtration ist nützlich, da sie ein Maß für die Nähe zu Null liefert: Mit zunehmendem p nähert sich der Wert immer weiter Null an. Wir konstruieren eine Spektralsequenz aus dieser Filtration, in der sich Kogrenzen und Kozyklen in späteren Blättern den Kogrenzen und Kozyklen im ursprünglichen Komplex immer weiter annähern. Diese Spektralsequenz ist doppelt graduiert durch den Filtrationsgrad p und den komplementären Grad q = n − p . ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

${\displaystyle C^{\bullet }}$Da nur eine einzige Graduierung und eine Filtration vorliegen, konstruieren wir zunächst ein doppelt graduiertes Objekt für die erste Seite der Spektralsequenz. Um die zweite Graduierung zu erhalten, betrachten wir das zugehörige graduierte Objekt bezüglich der Filtration. Wir schreiben es auf eine ungewöhnliche Weise, die im folgenden Schritt begründet wird: ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle B_{0}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}}$

${\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}}$

Da wir angenommen haben, dass die Randabbildung mit der Filtration kompatibel ist, handelt es sich um ein doppelt graduiertes Objekt, und es existiert eine natürliche doppelt graduierte Randabbildung auf . Um zu erhalten , betrachten wir die Homologie von . ${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}$

${\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}$

Beachten Sie, dass und als die Bilder in geschrieben werden können . ${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}}$${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}}$${\displaystyle E_{0}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

und dass wir dann haben

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}}$Es handelt sich dabei genau um die Elemente, die durch die Differentialgleichung um eine Stufe nach oben verschoben werden, und genau um das Bild der Elemente, die durch die Differentialgleichung um null Stufen nach oben verschoben werden. Dies legt nahe, dass wir die Elemente wählen sollten, die durch die Differentialgleichung um r Stufen nach oben verschoben werden, und das Bild der Elemente, die durch die Differentialgleichung um r-1 Stufen nach oben verschoben werden. Mit anderen Worten: Die Spektralsequenz sollte die Bedingung erfüllen. ${\displaystyle B_{1}^{p,q}}$${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$${\displaystyle B_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}$

und wir sollten die Beziehung haben

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).}$

Damit dies Sinn ergibt, müssen wir für jedes Element ein Differential finden und überprüfen, ob es zu einer Homologie führt, die isomorph zu ist . Das Differential ${\displaystyle d_{r}}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{r+1}}$

${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}}$

Die Definition erfolgt durch Einschränkung des ursprünglichen Differentials auf das Teilobjekt . Man kann leicht überprüfen, dass die Homologie von bezüglich dieses Differentials gleich ist , woraus sich eine Spektralsequenz ergibt. Leider ist das Differential nicht sehr explizit. Die Bestimmung von Differentialen oder das Finden von Möglichkeiten, diese zu umgehen, ist eine der größten Herausforderungen für die erfolgreiche Anwendung einer Spektralsequenz. ${\displaystyle d}$${\displaystyle C^{p+q}}$${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{r+1}}$

• Hodge-de-Rham-Spektralsequenz
• Spektralsequenz eines Doppelkomplexes
• Kann zur Konstruktion gemischter Hodge-Strukturen verwendet werden ^{[ 6 ].}

Eine weitere gängige Spektralsequenz ist die Spektralsequenz eines Doppelkomplexes. Ein Doppelkomplex ist eine Menge von Objekten C i,j für alle ganzen Zahlen i und j zusammen mit zwei Differentialen d I und d II . Es wird angenommen, dass d I  in i abnimmt und d II  in j abnimmt . Weiterhin nehmen wir an, dass die Differentiale antikommutieren , sodass d I  d II + d II  d I = 0. Unser Ziel ist es, die iterierten Homologien zu vergleichen . Dies erreichen wir durch Filtern unseres Doppelkomplexes auf zwei verschiedene Arten. Hier sind unsere Filtrationen: ${\displaystyle H_{i}^{\textrm {I}}(H_{j}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$${\displaystyle H_{j}^{\textrm {II}}(H_{i}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {I}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {II}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

Um eine Spektralsequenz zu erhalten, kehren wir zum vorherigen Beispiel zurück. Wir definieren den Gesamtkomplex T ( C •,• ) als den Komplex, dessen n′-ter Term gleich dI + dII ist. Dies ist ein Komplex, da dI und dII antikommutierende Differentiale sind . Die beiden Filtrationen auf C  i , j  liefern zwei Filtrationen auf dem Gesamtkomplex: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {II}}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

Um zu zeigen , dass diese Spektralsequenzen Informationen über die iterierten Homologien liefern, werden wir die Terme E₀ ^, E₁ und ^E₂ der I- Filtration auf T ( C ^• _,• ) ^berechnen . Der Term E₀ ist klar:

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

wobei n = p + q .

Um den Term E₁ zu ^finden , müssen wir dI + dII auf E₀ bestimmen. Beachten Sie ^{, dass das Differential den} Grad −1 bezüglich n haben muss , sodass wir eine Abbildung erhalten ^.

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q-1}}$

Folglich ist das Differential auf E 0  die Abbildung C p , q → C p , q -1 , die von d I  + d II  induziert wird . Da d I aber den falschen Grad hat, um eine solche Abbildung zu induzieren, muss d I auf E 0  null sein . Das bedeutet, das Differential ist genau d II , und wir erhalten

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet }).}$

Um E₂ zu finden ^, müssen wir bestimmen

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p+1,\bullet })}$

Da E₁ genau die Homologie bezüglich d₂ war, ^ist d₂ auf E₁ null ^{. Folglich erhalten} wir

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Die Verwendung der anderen Filterung liefert eine andere Spektralsequenz mit einem ähnlichen E² ^- Term:

${\displaystyle {}^{\textrm {II}}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Es gilt nun, eine Beziehung zwischen diesen beiden Spektralsequenzen zu finden. Es wird sich zeigen, dass die beiden Sequenzen mit zunehmendem r so ähnlich werden, dass sinnvolle Vergleiche möglich sind.

Sei E _r eine Spektralfolge, beginnend beispielsweise mit r = 1. Dann gibt es eine Folge von Teilobjekten

${\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}$

sodass ; tatsächlich setzen wir rekursiv und so, dass der Kern und das Bild von sind${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}}$${\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0}$${\displaystyle Z_{r},B_{r}}$${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}}$${\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.}$

Dann lassen wir und ${\displaystyle \textstyle Z_{\infty }=\bigcap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\bigcup _{r}B_{r}}$

${\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}$;

Man nennt ihn den Grenzwert . (Natürlich muss ein solcher in der Kategorie nicht existieren, aber das ist normalerweise kein Problem, da beispielsweise in der Kategorie der Moduln solche Grenzwerte existieren oder da eine Spektralsequenz, mit der man arbeitet, in der Praxis dazu neigt, zu degenerieren; es gibt nur endlich viele Inklusionen in der obigen Sequenz.) ${\displaystyle E_{\infty }}$

Wir sagen, eine Spektralfolge konvergiert schwach, wenn es ein graduiertes Objekt mit einer Filtration für jedes gibt und für jedes ein Isomorphismus existiert . Sie konvergiert gegen , wenn die Filtration eine Hausdorffsche Filtration ist, d. h . . Wir schreiben ${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}}$${\displaystyle H^{\bullet }}$${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$${\displaystyle \textstyle \bigcap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}$

Das bedeutet, dass die Folge gegen konvergiert, wenn p + q = n . Wir sagen, dass eine Spektralfolge an die Folge angrenzt (die Spektralfolgenangrenzung).${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$Wenn es für jedes ein gibt, sodass für alle gilt , dann ist der Grenzwert. Die Spektralfolge heißt regulär oder degeneriert in , wenn die Differentiale für alle verschwinden . Wenn es insbesondere ein gibt , sodass das Blatt auf eine einzelne Zeile oder Spalte konzentriert ist, dann sagt man, es kollabiert . Symbolisch schreiben wir: ${\displaystyle p,q}$${\displaystyle r(p,q)}$${\displaystyle r\geq r(p,q)}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}}$${\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle d_{r}^{p,q}}$${\displaystyle r\geq r_{0}}$${\displaystyle r_{0}\geq 2}$${\displaystyle r_{0}^{th}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$

Der Index p bezeichnet den Filtrationsindex. Es ist üblich, den Term links vom Abutment zu schreiben, da dies der nützlichste Term der meisten Spektralsequenzen ist. Die Spektralsequenz eines ungefilterten Kettenkomplexes degeneriert auf dem ersten Blatt (siehe erstes Beispiel): Da nach dem nullten Blatt nichts mehr passiert, ist das Grenzblatt identisch mit . ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$${\displaystyle E_{\infty }}$${\displaystyle E_{1}}$

Die exakte Fünf-Term-Sequenz einer Spektralsequenz verknüpft bestimmte Terme niedrigen Grades mit E _∞ Termen.

Man beachte, dass wir eine Kette von Einschlüssen haben:

${\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}$

Wir können uns fragen, was passiert, wenn wir definieren

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$ist ein natürlicher Kandidat für den Endpunkt dieser Spektralfolge. Konvergenz tritt nicht automatisch ein, ist aber in vielen Fällen gegeben. Insbesondere degeneriert die Spektralfolge nach dem r -ten Blatt, wenn die Filtration endlich ist und aus genau r nichttrivialen Schritten besteht . Konvergenz tritt auch dann ein, wenn sowohl der Komplex als auch die Filtration nach unten oder nach oben beschränkt sind.

Um die Aneinanderreihung unserer Spektralsequenz genauer zu beschreiben, beachte man die folgenden Formeln:

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

Um zu verstehen, was dies für bedeutet, erinnern wir uns daran, dass wir von einer separierten Filtration ausgegangen sind. Dies bedeutet, dass die Filterkerne mit zunehmendem r schrumpfen, bis nur noch übrig bleibt . Für erinnern wir uns daran, dass wir von einer erschöpfenden Filtration ausgegangen sind. Dies bedeutet, dass die Bilder mit zunehmendem r wachsen, bis wir erreichen . Wir schließen daraus. ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})}$${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}}$${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$,

Das heißt, der Endpunkt der Spektralsequenz ist der p -te graduierte Teil der (p+q) -ten Homologie von C. Wenn unsere Spektralsequenz konvergiert, dann schließen wir daraus:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$

Mithilfe der Spektralsequenz eines gefilterten Komplexes lässt sich die Existenz langer exakter Sequenzen herleiten . Wir wählen eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen 0 → A • → B • → C • → 0 und bezeichnen die erste Abbildung mit f •  : A • → B • . Wir erhalten natürliche Abbildungen von Homologieobjekten H n  ( A • ) → H n ( B • ) → H n ( C • ), und wir wissen, dass diese in der Mitte exakt ist. Wir verwenden die Spektralsequenz eines gefilterten Komplexes, um den verbindenden Homomorphismus zu finden und zu beweisen, dass die resultierende Sequenz exakt ist. Zunächst filtern wir B • :

${\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}}$

${\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}}$

${\displaystyle F^{2}B^{n}=0}$

Dies ergibt:

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

Das Differential hat Bidegree (1, 0), also d _{0, q}  : H ^q ( C ^• ) → H ^{q +1} ( A ^• ). Dies sind die verbindenden Homomorphismen aus dem Schlangenlemma , und zusammen mit den Abbildungen A ^• → B ^• → C ^• ergeben sie eine Folge:

${\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots }$

Es bleibt zu zeigen, dass diese Sequenz an den Stellen A und C exakt ist . Man beachte, dass diese Spektralsequenz beim E₂ _- Term degeneriert, da die Differentiale den Bidegree (2, −1) haben. Folglich ist der E₂ _- Term identisch mit dem E∞ _- Term.

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

Wir haben aber auch eine direkte Beschreibung des E₂ _- Terms als Homologie des E₁ _- Terms. Diese beiden Beschreibungen müssen isomorph sein:

${\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })}$

${\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))}$

Ersteres liefert Genauigkeit am Punkt C , letzteres liefert Genauigkeit am Punkt A.

Unter Verwendung des Widerlagers für einen gefilterten Komplex ergibt sich Folgendes:

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

Im Allgemeinen sind die beiden Bewertungsstufen auf ⁠ ⁠${\displaystyle H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$ unterschiedlich . Trotzdem ist es möglich, aus diesen beiden Spektralsequenzen nützliche Informationen zu gewinnen.

Sei R ein Ring, M ein rechter R- Modul und N ein linker R- Modul. Die abgeleiteten Funktoren des Tensorprodukts werden mit Tor bezeichnet . Tor wird mithilfe einer projektiven Auflösung seines ersten Arguments definiert. Es zeigt sich jedoch, dass … Dies lässt sich zwar auch ohne Spektralsequenz verifizieren, ist aber mit Spektralsequenzen sehr einfach. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)}$

Wähle projektive Auflösungen von M bzw. N. Betrachte diese als Komplexe, die im negativen Grad verschwinden und deren Differentiale d bzw. e sind . Wir können einen Doppelkomplex konstruieren, dessen Terme und dessen Differentiale und sind. (Der Faktor −1 dient dazu, dass die Differentiale antikommutieren.) Da projektive Moduln flach sind, kommutiert das Tensorprodukt mit einem projektiven Modul mit der Homologie, sodass wir erhalten: ${\displaystyle P_{\bullet }}$${\displaystyle Q_{\bullet }}$${\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}}$${\displaystyle d\otimes 1}$${\displaystyle (-1)^{\textrm {I}}(1\otimes e)}$

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{\textrm {II}}(Q_{\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })}$

Da es sich bei den beiden Komplexen um Resolutionen handelt, verschwindet ihre Homologie außerhalb des Grades Null. Im Grad Null bleibt uns Folgendes übrig:

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)}$

Insbesondere verschwinden die Terme außer entlang der Geraden q = 0 (für die Spektralsequenz I ) und p = 0 (für die Spektralsequenz II ). Dies impliziert, dass die Spektralsequenz auf dem zweiten Blatt degeneriert, sodass die E∞ ^{- Terme isomorph zu den} E2 ^- Termen sind . ${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

Wenn schließlich p und q gleich sind, sind auch die beiden rechten Seiten gleich, und die Kommutativität von Tor folgt.

Betrachten wir eine Spektralfolge, in der für alle kleiner als ein bestimmter Wert und für alle kleiner als ein bestimmter Wert verschwindet . Wenn und als Null gewählt werden können, spricht man von einer Spektralfolge des ersten Quadranten . Die Folge grenzt an , da für alle gilt , wenn und . Dies lässt sich daran erkennen, dass entweder der Definitionsbereich oder der Zielbereich der Differentialabbildung in den betrachteten Fällen null ist. Anschaulich betrachtet stabilisieren sich die Flächen in einem wachsenden Rechteck (siehe Abbildung oben). Die Spektralfolge muss jedoch nicht degenerieren, da die Differentialabbildungen nicht alle gleichzeitig null sein müssen. Analog konvergiert die Spektralfolge auch, wenn für alle größer als ein bestimmter Wert und für alle größer als ein bestimmter Wert verschwindet . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q_{0}}$${\displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle i\geq 0}$${\displaystyle r>p}$${\displaystyle r>q+1}$${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{0}}$

Sei eine homologische Spektralsequenz, sodass für alle p ≠ 0, 1 gilt. Visuell entspricht dies der Spektralsequenz mit -Seite ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle E_{p,q}^{2}=0}$${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}$

Die Differentiale auf der zweiten Seite haben den Grad (-2, 1), also sind sie von der Form

${\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}$

Diese Karten sind alle Null, da sie

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0}$,${\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}$

Daher degeneriert die Spektralsequenz: . Sagen wir, sie konvergiert mit einer Filtration zu .${\displaystyle E^{\infty }=E^{2}}$${\displaystyle H_{*}}$

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}$

so dass . Dann , , , , usw. Somit gibt es die exakte Sequenz: ^{[ 7 ]}${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}}$${\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}}$${\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}}$${\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0}$${\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$

${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}$Die

Sei nun eine Spektralfolge, deren zweite Seite nur aus zwei Geraden q = 0, 1 besteht. Diese muss auf der zweiten Seite nicht degenerieren, degeneriert aber dennoch auf der dritten Seite, da die Differentiale dort den Grad (-3, 2) haben. Beachten Sie , dass der Nenner null ist. Analog gilt . Somit gilt . ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})}$${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}$

${\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}$Die

Nehmen wir nun an, die Spektralfolge konvergiert mit einer Filtration F wie im vorherigen Beispiel gegen H. Da , , usw., gilt: . Zusammengefasst ergibt sich: ^{[ 8 ]}${\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0}$${\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0}$${\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0}$

${\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}$

Die Berechnung aus dem vorherigen Abschnitt lässt sich auf einfache Weise verallgemeinern. Betrachten wir eine Faserung über einer Kugel:

${\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}$

mit n mindestens 2. Es gibt die Serre-Spektralsequenz :

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)}$;

Das heißt, mit einer gewissen Filterung . ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)}$${\displaystyle F_{\bullet }}$